tích phân đường tich_phan_duong

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

Trang 1

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016

Trang 2

NỘI DUNG

1 T ÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

2 T ÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

3 T HỰC HÀNH M AT L AB

Trang 3

NỘI DUNG

Trang 4

NỘI DUNG

Trang 5

Cho hàm số z = f (x,y) Ê 0 và đường cong C

Trang 6

Tích phân đường loại một Đặt vấn đề

Diện tích của "hàng rào" cần tìm là

Đây là tổng Riemann và khi lấy giới hạn

đường loại I.

Trang 7

Diện tích của "hàng rào" cần tìm là

Đây là tổng Riemann và khi lấy giới hạn

đường loại I.

Trang 8

Tích phân đường loại một Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1.1

Nếu f (x, y) là hàm số xác định trên đường

cong trơn C = AB _ thì tích phân đường loại I

Trang 10

Tích phân đường loại một Tính chất của tích phân đường loại một

Trang 11

Trang 12

Trang 14

Đường cong trơn AB_

Trang 15

Tích phân đường loại một AB có phương trình tham số

VÍ DỤ 1.1

Viết phương trình tham số của đoạn thẳng

nối hai điểm A(x A , y A ), B(x B , y B )

Giải Phương trình tham số của đoạn thẳng

(

x = x A + (x B − x A ).t,

y = y A + (y B − y A ).t 0 É t É 1.

Trang 16

VÍ DỤ 1.1

Viết phương trình tham số của đoạn thẳng nối hai điểm A(x A , y A ), B(x B , y B )

Giải Phương trình tham số của đoạn thẳng

(

x = x A + (x B − x A ).t,

Trang 17

Trang 19

Trang 21

Theo công thức lấy vi phân cung của đường

Trang 22

Theo công thức lấy vi phân cung của đường

b

Trang 25

Giải Ta phải tham số hóa nửa đường tròn

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Tích phân đường loại một ABcó phương trình y = y(x),a É x É b.

Trang 32

Trang 33

Trang 34

Trang 36

Tích phân đường loại một ABcó phương trình x = x(y),c É y É d.

Trang 38

V Í DỤ 1.6

Tính I =

Z

C

xyd `, với C là cung của parabol

x = y 2 nối hai điểm A(0, 0) và B(2, p

2).

Trang 39

V Í DỤ 1.6

Tính I =

Z

C

xyd `, với C là cung của parabol

x = y 2 nối hai điểm A(0, 0) và B(2, p

2).

Trang 40

Trang 41

Trang 42

Trang 45

Tích phân đường loại một AB cho trong hệ tọa độ cực

Trang 46

Trang 48

Trang 50

ĐỊNH LÝ 1.4

Cho hàm số f (x, y) liên tục trên cung AB _

Khi đó

Trang 53

Giải Ta có r( ϕ) = pcos2ϕ ⇒ r 0 ( ϕ) = − sin 2 ϕ

Trang 54

Trang 55

Trang 56

Tích phân đường loại một Tính phân đường loại một trong không gian

không gian thì tích phân đường loại I là tích

Trang 57

Khi đường cong C được xác định trong

không gian thì tích phân đường loại I là tích phân có dạng

Trang 58

VÍ DỤ 1.9

Viết phương trình tham số giao tuyến của mặt trụ x 2 + y 2 = 4 và mặt phẳng z = 1

Trang 59

VÍ DỤ 1.9

Viết phương trình tham số giao tuyến của mặt trụ x 2 + y 2 = 4 và mặt phẳng z = 1

Trang 60

Giải Giao tuyến của mặt trụ x 2 + y 2 = 4 và

Trang 61

Giải Giao tuyến của mặt trụ x 2 + y 2 = 4 và

Trang 62

V Í DỤ 1.10

Viết phương trình tham số giao tuyến của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4z và mặt phẳng

z = 2 − x.

Trang 63

V Í DỤ 1.10

Viết phương trình tham số giao tuyến của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4z và mặt phẳng

z = 2 − x.

Trang 64

Giải Giao tuyến của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4z

Trang 65

Trang 66

Trang 67

Trang 71

Giải Từ phương trình đường cong

·

t − 1

2 sin 2t

¸ 2π 0

= p 2 π.

Trang 72

·

t − 1

2 sin 2t

¸ 2π 0

= p 2 π.

Trang 73

·

t − 1

2 sin 2t

¸ 2π 0

= p 2 π.

Trang 76

Giải Viết phương trình tham số hóa giao

Trang 77

Giải Viết phương trình tham số hóa giao

Trang 78

Vì giao tuyến lấy phần z Ê 0 nên z = 1, và

x Ê 0 nên khi đặt x = cost ta lấy phần

Trang 79

Trang 80

Trang 82

Tích phân đường loại hai Đặt vấn đề

là W =< − → F , −→

AB >= | → − F |.| −→ AB|.cos(  − → F , −→

AB)

Bài toán đặt ra: Hãy tính công của lực − → F để

Trang 83

Công của lực → − F để di chuyển chất điểm M

là W =< − → F , −→

AB >= | → − F |.| −→ AB|.cos(  − → F , −→

AB)

Bài toán đặt ra: Hãy tính công của lực − → F để

Trang 84

Trang 85

Trang 86

Công của lực khi di chuyển chất điểm M i từ

Trang 87

Trang 88

Trang 89

Trang 91

Trang 92

Nếu giới hạn I 1 , I 2 tồn tại thì những giới hạn

Trang 94

Tích phân đường loại hai Định nghĩa

SỰ KHÁC NHAU GIỮA ĐƯỜNG LOẠI I VÀ TÍCH PHÂN

ĐƯỜNG LOẠI II

Như vậy, đối với tích phân đường loại II thì

Trang 95

SỰ KHÁC NHAU GIỮA ĐƯỜNG LOẠI I VÀ TÍCH PHÂN

ĐƯỜNG LOẠI II

Như vậy, đối với tích phân đường loại II thì

Trang 96

Tích phân đường loại hai Trường hợp cung AB_có phương trình tham số x = x(t),y = y(t)

.

Trang 97

Tích phân đường loại hai Trường hợp cung ABcó phương trình tham số x = x(t),y = y(t)

.

Trang 98

Trang 99

Trang 100

Tích phân đường loại hai Trường hợp cung AB_có phương trình tham số x = x(t),y = y(t)

Giải Tham số hóa x 2 + y 2 = 4, x Ê 0

Trang 101

Giải Tham số hóa x 2 + y 2 = 4, x Ê 0

Trang 102

Tích phân đường loại hai Trường hợp cung ABcó phương trình y = y(x)

có phương trình

y = y(x) , x = a là hoành độ điểm đầu, x = b là

P(x, y), Q(x, y) liên tục trong miền mở D chứa

Trang 103

Trang 104

Trang 105

Tích phân đường loại hai Trường hợp cung AB_có phương trình y = y(x)

Giải Vì phương trình của C là y = 3x 2 nên

y 0 (x) = 6x, điểm đầu A ứng với x = 0, điểm

Trang 106

Giải Vì phương trình của C là y = 3x 2 nên

y 0 (x) = 6x, điểm đầu A ứng với x = 0, điểm

Trang 107

Tích phân đường loại hai Trường hợp cung ABcó phương trình x = x(y)

có phương trình

x = x(y) , y = a là tung độ điểm đầu, y = b là

P(x, y), Q(x, y) liên tục trong miền mở D chứa

Trang 108

V Í DỤ 2.3

Tính tích phân I =

Z

C ¡xydx − y 2 dy ¢ theo đường cong C, được xác định bởi y 2 = 2x đi từ

A(0, 0) đến B(2, 2)

Trang 109

V Í DỤ 2.3

Tính tích phân I =

Z

C ¡xydx − y 2 dy ¢ theo đường cong C, được xác định bởi y 2 = 2x đi từ

A(0, 0) đến B(2, 2)

Trang 110

Tích phân đường loại hai Trường hợp cung AB_có phương trình x = x(y)

Trang 111

Trang 112

Cho cung trơn AB_

Trang 114

VÍ DỤ 2.4

Tính

Z

C £(x + y)dx + 2zdy + xydz¤, với C là

đường cong xác định bởi phương trình tham

số x = t,y = t 2 , z = 3 − t, đi từ điểm A ứng với

t = 1 đến điểm B ứng với t = 2.

Trang 115

VÍ DỤ 2.4

Tính

Z

C £(x + y)dx + 2zdy + xydz¤, với C là

đường cong xác định bởi phương trình tham

số x = t,y = t 2 , z = 3 − t, đi từ điểm A ứng với

t = 1 đến điểm B ứng với t = 2.

Trang 116

Giải Với đường cong AB_

Trang 121

Áp dụng công thức Green đối với đường

chiều ngược kim đồng hồ, ta được

Trang 122

Đổi miền D : x 2 + y 2 É 9 sang hệ tọa độ cực, ta được

Trang 125

Giải Bằng việc thêm đường C 1 là đường

Trang 126

0dx =

Trang 129

Giải Bằng việc thêm đường C 1 là đường

đường cong khép kín theo chiều cùng

chiều kim đồng hồ Áp dụng công thức

Trang 131

ỨNG DỤNG CÔNG THỨC GREEN TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN PHẲNG D.

Từ công thức Green cho

(

Q(x, y) = x P(x, y) = −y

C

xdy − ydx.

Trang 132

VÍ DỤ 2.8

Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi

x = cos 3 t, y = sin 3 t, 0 É t É 2π.

Trang 133

VÍ DỤ 2.8

Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi

x = cos 3 t, y = sin 3 t, 0 É t É 2π.

Trang 134

Tích phân đường loại hai Công thức Green

Giải Cho Q(x, y) = x và P(x, y) = −y ta được

S D = Ï

D

dxdy = 1

2 I

C xdy − ydx =

= 1 2

Trang 135

Tích phân đường loại hai Công thức Green

S D = Ï

D

dxdy = 1

2 I

C xdy − ydx =

= 1 2

Trang 136

S D = Ï

D

dxdy = 1

2 I

C xdy − ydx =

= 1 2

Trang 137

TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI I

không phụ thuộc đường cong trơn từng

Trang 138

TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI II

của P(x, y)dx + Q(x,y)dy, tức là

du(x, y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

Trang 139

TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI III

Trang 140

Do tích phân I không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên ta có thể lấy tích phân

Trang 141

Tích phân đường loại hai Tích phân không phụ thuộc vào đường đi

Z x B

x A P(x, y B )dx.

Trang 142

=

Trang 143

với A(1, −2) là điểm đầu, B(2, 3) là điểm cuối,

không phụ thuộc vào đường đi Tính I.

Trang 147

Cách 2: Tính I

Trang 148

Trang 149

Vì I không phụ thuộc vào đường đi nên

Trang 150

VÍ DỤ 2.10

Cho 2 hàm P(x, y) = (1 + x + y)e −y ,

Q(x, y) = (1 − x − y)e −y Tìm hàm h(x) thỏa

h(0) = 1 để h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y) nào đó Với

Trang 151

Giải Để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x,y)dy

thì

[h(x)Q(x, y)] 0 x = [h(x)P(x, y)] 0 y

⇒ h 0 (x)Q(x, y) + h(x).Q 0 x = h(x).P y 0

⇒ h 0 (x).(1 − x − y)e −y + h(x).(−1)e −y =

= h(x).[e −y − (1 + x + y)e −y ]

Trang 153

I =

Z

C

h

h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x,y)dy i không

Trang 154

Theo công thức tích phân từng phần, đặt

Trang 155

VÍ DỤ 2.11

Cho 2 hàm P(x, y) = 2ye xy + e αx cos y,

Q(x, y) = 2xe xy − e αx sin y, trong đó α là hằng số Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y) nào đó Với α vừa tìm được, tính tích phân đường

C là đường tròn x 2 + y 2 = 2x lấy theo chiều

dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Trang 156

Giải Để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn

Trang 157

HÌNH: C : x 2 + y 2 = 2x lấy theo chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Trang 158

Khi đó theo công thức Green đối với đường

Trang 162

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE

Định dạng
Số trang	162
Dung lượng	7,89 MB