Nửa nhóm số và đa thức chia đường tròn

Theo đó, luận văn có trình bày hai chứng minh chokết quả cổ điển nói trên, trong phiên bản bao gồm cả trường hợp cặp p, qkhông nhất thiết nguyên tố xem Định lý 2.2.1, đồng thời có đưa ra

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN DUY TÂN

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Một số định nghĩa và tính chất 61.2 Tập Apéry 13

2 Mối liên hệ giữa nửa nhóm số và đa thức bù trừ 162.1 Đa thức chia đường tròn và đa thức bù trừ 162.2 Định lý chính 202.3 Đa thức bù trừ nhị phân 24

3 Một vài ứng dụng 273.1 Nửa nhóm số đối xứng 273.2 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng 2 là đối xứng 293.3 Phân bố gián đoạn và độ gián đoạn 303.3.1 Độ gián đoạn cực đại trong đa thức chia đường tròn

nhị phân 323.3.2 Tổng Sylvester và số Bernoulli 35

Tài liệu tham khảo 39

Lời nói đầu

Ta xét tập S = S(3, 7) gồm các tổ hợp tuyến tính nguyên không âm của

3 và 7, tức là

S = {3u + 7v | u, v ∈ Z≥0} = {0, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, }.Khi đó S là một ví dụ của nửa nhóm số: S tập con của Z≥0 mà đóng vớiphép cộng và Z≥0\ S là tập hữu hạn Đối với nửa nhóm số S = S(3, 7), taliên kết với nó một chuỗi lũy thừa hình thức sau đây, gọi là chuỗi Hilbertcủa S:

PS(p,q)(x) = Φpq(x).

Mục đích của đề tài là tìm hiểu về chứng minh của kết quả này nói riêng

và tìm hiểu về mối liên hệ giữa nửa nhóm số dạng S(p, q) và đa thức chiađường tròn nói chung Theo đó, luận văn có trình bày hai chứng minh chokết quả cổ điển nói trên, trong phiên bản bao gồm cả trường hợp cặp (p, q)không nhất thiết nguyên tố (xem Định lý 2.2.1), đồng thời có đưa ra mộtvài hệ quả Đặc biệt luận văn còn trình một số ứng dụng trong việc xét sốcác gián đoạn một nửa nhóm số

Ngoài phần lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3chương:

Chương 1 Nửa nhóm số: Trong chương này chúng tôi trình bày địnhnghĩa nửa nhóm số và một số bất biến liên quan của nửa nhóm số như: sốFrobenius, chiều nhúng, bội, chuỗi Hilbert của nửa nhóm số, đa thức nửanhóm số Chúng tôi chủ yếu sử dụng tài liệu [4] và [5] cho nội dung củachương này

Chương 2 Mối liên hệ giữa nửa nhóm số và đa thức bù trừ:Trình bày một tổng quát hóa của đa thức chia đường tròn: Đa thức bù trừ,được giới thiệu bởi Bachman Đồng thời trình bày một kết quả (folklore)

về đa thức nửa nhóm số chiều nhúng 2 với đa thức bù trừ nhị phân.Chương 3 Một vài ứng dụng: Trong chương này chúng tôi đưa rađịnh nghĩa nửa nhóm số đối xứng và trình bày kết quả chứng minh mọinửa nhóm số với chiều nhúng 2 là đối xứng Bên cạnh đó chúng tôi cũngtrình bày một số ứng dụng trong việc xét số các gián đoạn một nửa nhóm

số và trình bày kết quả của Hong-Lee-Lee-Park về độ gián đoạn cực đạitrong đa thức chia đường tròn nhị phân

Luận văn được viết dựa theo bài báo Numerical semigroups, cyclotomicpolynomials, and Bernoulli numbers của tác giả P Moree (2004) và mộtphần trong cuốn sách Numerical semigroups của tác giả J C Rosales and

P A García-Sánchez (2009)

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Tân.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướngdẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thờigian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trongsuốt quá trình làm luận văn

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ íchcho công tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm

ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao họcToán K9B2 (khóa 2015 - 2017); nhà trường và các phòng chức năng củatrường; khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9B2(khóa 2015 - 2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong

quá trình học tập, nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, 2017 Lê Thị Ngọc Bích

Học viên lớp Cao học Toán K9B2Khoa Toán Tin - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Mệnh đề 1.1.2 Ta có S(a1, , am) là nửa nhóm số khi và chỉ khi

a1, , am là nguyên tố cùng nhau

Chứng minh "⇒": Giả sử S := S(a1, , am) là một nửa nhóm số, tức là

Z≥0\ S hữu hạn Gọi d là ước chung lớn nhất của a1, , am Khi đó mọiphần tử s của S đều chia hết cho d Vì Z≥0\ S hữu hạn, nên tồn tại x saocho x và x + 1 đều thuộc S Điều này suy ra d là ước của cả x và x + 1

Do vậy d = 1

"⇐": Ta giả sử rằng ước chung lớn nhất của a1, , am là bằng 1 Khi đótồn tại z1, , zm ∈ Z sao cho z1a1 + · · · + zmam = 1 Bằng cách chuyển

các giá trị zi sang bên vế phải, ta tìm được i1, , ik, j1, , jl sao cho

zi1ai1 + · · · + zikaik = 1 + (−zj1)aj1 + · · · + (−zjl)ajl

Đặt s = (−zj1)aj 1+ · · · + (−zj l)aj l Khi đó s và s + 1 đều thuộc S Ta chứngminh rằng nếu n ≥ (s − 1)s + (s − 1) = s2− 1 thì n thuộc S Thật vậy tachia n cho s ta được n = qs + r với 0 ≤ r < s Vì n ≥ (s − 1)s + (s − 1)nên q ≥ s − 1 ≥ r Do đó

Định lý 1.1.4 (Sylvester) Nếu a, b là hai số nguyên dương nguyên tốcùng nhau thì F (S(a, b)) = ab − a − b

Chứng minh Ta chứng minh rằng phương trình ab − a − b = ax + by không

có nghiệm nguyên không âm x, y Giả sử phản chứng rằng

ab − a − b = ax + by,

với x, y nguyên không âm nào đó Khi đó a(b − x − 1) = b(y + 1) Suy ra

y + 1 chia hết cho a (vì a và b nguyên tố cùng nhau) Do đó y ≥ a − 1 và

ax + by ≥ b(a − 1) = ab − b > ab − a − b, mâu thuẫn

Mặt khác, xét k là một số nguyên dương bất kỳ lớn hơn ab − a − b Ta

sẽ chứng minh rằng phương trình k = ax + by có nghiệm nguyên không

âm x, y Thật vậy, vì a, b nguyên tố cùng nhau nên tồn tại x, y ∈ Z sao cho

k = ax + by Gọi x0 là số dư của x cho b, tức là x = bq + x0, với q ∈ Z và

0 ≤ x0 ≤ b − 1 Khi đó

k = ax + by = ax0+ b(y + q) = ax0 + by0,với y0 = y + q Vì ab − a − b + 1 ≤ k = ax0 + by0 ≤ a(b − 1) + by0 nên

1 ≤ b(y0+ 1) Do vậy y0 ≥ 1

b − 1 > −1 và do đó y0 ≥ 0 vì y0 là số nguyên

Ta có điều phải chứng minh

Chú ý 1.1.5 (1) Ở chương sau ta sẽ đưa ra một chứng minh khác chođịnh lý này của Sylvester

(2) Việc tính toán số Frobenius của một nửa nhóm nói chung là mộtvấn đề khó (xem [5])

Định nghĩa 1.1.6 Một hệ sinh của nửa nhóm số S được gọi là một hệsinh tối tiểu nếu như không có bất kỳ một tập con thực sự nào của nósinh ra nửa nhóm số S Người ta chứng minh được rằng nửa nhóm số S códuy nhất một hệ sinh tối tiểu, đồng thời hệ sinh tổi tiểu này là hữu hạn(ta chứng minh khẳng định này ở dưới đây)

Lực lượng của hệ sinh tối tiểu được gọi là chiều nhúng của nửa nhóm

số S và được kí hiệu là e(S)

Phần tử nhỏ nhất trong hệ sinh tối tiểu được gọi là bội của nửa nhóm

số S và được kí hiệu là m(S)

Chú ý 1.1.7 (1) Dễ thấy m(S) chính là số nguyên dương nhỏ nhất trong

S Thật vậy giả sử {a1 = m(S) < a2 < < ae} là hệ sinh tối tiểu của S.Xét s là một số nguyên dương bất kỳ trong S Khi đó

s = λ1a1 + + λeae,với a1, , ae ∈ Z≥0 nào đó Vì s 6= 0 nên tồn tại i sao cho λi 6= 0 Khi đó

ta có s ≥ λiai ≥ ai ≥ a1, ta có điều phải chứng minh

(2) Người ta có thể chứng minh được rằng e(S) ≤ m(S)

Với hai tập A và B gồm các số nguyên, ta gọi

A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}

Với S là một nửa nhóm số, ta ký hiệu S∗ = S \ {0}

Mệnh đề 1.1.8 Cho S là một nửa nhóm số Khi đó S∗\ (S∗+ S∗) là một

hệ sinh của S Hơn nữa mọi hệ sinh của S đều chứa S∗ \ (S∗ + S∗) Tức

là, S∗ \ (S∗+ S∗) là hệ sinh tối thiểu duy nhất của S

Chứng minh Lấy s là một phần tử của S∗ Nếu s 6∈ S∗\ (S∗+ S∗) thì tồntại x, y ∈ S∗ sao cho s = x+y Ta lặp lại việc này đối với x và y, thì sau một

số hữu hạn bước (vì x, y < s) ta có thể tìm được s1, , sn ∈ S∗\ (S∗+ S∗)sao cho s = s1+ · · · + sn Như vậy ta chứng minh được rằng S∗\ (S∗+ S∗)

là một hệ sinh của S

Bây giờ xét A là một hệ sinh bất kỳ của S Lấy x ∈ S∗\ (S∗+ S∗) Khi

đó tồn tại n ≥ 1, λ1, , λn ∈ Z>0 và a1, , an ∈ A \ {0} sao cho

x = λ1a1 + · · · + λnan

Vì x 6∈ (S∗ + S∗) nên ta suy ra n = 1 và λ = 1, tức là x = a1 ∈ A Nhưvậy S∗\ (S∗ + S∗) chứa trong A

Mệnh đề sau cho ta một cách để kiểm tra một hệ sinh của nửa nhóm số

S có phải là hệ sinh tối tiểu

Mệnh đề 1.1.9 Giả sử nửa nhóm số S có một hệ sinh là {0 6= a1 < a2 < < am} Khi đó {a1 < a2 < < am} là một hệ sinh tối tiểu khi và chỉkhi ai+1 6∈ S(a1, , ai) với mọi i = 1, , m − 1

Chứng minh "⇒": Giả sử {a1 < a2 < < am} là hệ sinh tối tiểu của

S Khi đó với mọi i = 1, , m − 1 ta có ai+1 6∈ S(a1, , ai) Thậtvậy, giả sử phản chứng rằng tồn tại i sao cho ai+1 ∈ S(a1, , ai) Khi

đó {a1, , ai−1, ai+1, , am} cũng là một hệ sinh của S, điều này làmâu thuẫn

"⇐": Giả sử ai+1 6∈ S(a1, , ai) với mọi i = 1, , m − 1 Ta chứngminh ai+1 6∈ S(a1, , ai, ai+2, , am) Thật vậy giả sử phản chứng rằng

ai+1 = λ1a1 + · · · + λiai + λi+2ai+2 + · · · + λmam,với λj ∈ Z≥0 nào đó Vì ai+1 < aj với mọi j > i + 1 nên ta có λi+2 = · · · =

λm = 0 Điều này suy ra ai+1 = λ1a1 + · · · + λiai ∈ S(a1, , ai), mâuthuẫn với giả thiết Như vậy với mọi i thì {a1, , ai, ai+2, , am} không

là hệ sinh của S và ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.1.10 Chuỗi Hilbert của nửa nhóm số S có dạng chuỗi lũythừa hình thức

0 trong trường hợp còn lại

Chứng minh Theo định nghĩa ta có

Ta so sánh hệ số của đồng nhất trên Nếu k ∈ S và k − 1 6∈ S, thì ta có

aS(k) = 1 (vì tổng bên phải chứa hạng tử (xk− xk+1) mà số hạng xk khônggiản ước được) Nếu k 6∈ S nhưng k − 1 ∈ S thì ta có aS(k) = −1 (vì tổngbên phải chứa hạng tử (xk−1− xk) mà số hạng xk không giản ước được).Trong các trường hợp còn lại, k ∈ S và k − 1 ∈ S hoặc k 6∈ S và k − 1 6∈ Sthì ta đều có aS(k) = 0

Định lý trên suy ra ngay tính chất sau về hệ số của đa thức nửa nhóm số

Hệ quả 1.1.12 Các hệ số khác 0 của PS(x) là xen kẽ giữa 1 và −1

Ví dụ 1.1.13 Xét S = S(2, 7) Khi đó S = {0, 2, 4, 6, →} Ở đây (vàsau này) ”n, → ” để chỉ các số nguyên bắt đầu từ n đều thuộc S Ta có

F (S) = 2 · 7 − 2 − 7 = 5 Tức là 5 là số nguyên dương lớn nhất k sao chophương trình k = 2x + 7y không có nghiệm không âm Chiều nhúng của

S là e(S) = 2 và bội của S là m(S) = 2 Chuỗi Hilbert của S là

và F (S) = 4 · 7 − 4 − 7 = 17 Tức là 17 là số nguyên dương lớn nhất k saocho phương trình k = 4x + 7y không có nghiệm không âm Chiều nhúngcủa S là e(S) = 2 và bội của S là m(S) = 4 Chuỗi Hilbert của S là

i≥18

xi

=1 − x + x4 − x5 + x7 − x9+ x11− x13+ x14 − x17+ x18.Tương tự như ví dụ trước, ta có thể kiểm tra được rằng

PS(x) = 1−x+x4−x5+x7−x9+x11−x13+x14−x17+x18 = (x

28− 1)(x − 1)(x4 − 1)(x7− 1).

Ví dụ 1.1.15 Xét S = S(4, 7, 9) Khi đó

S = {0, 4, 7, 8, 9, 11, →}

và F (S) = 10 Tức là 10 là số nguyên dương lớn nhất k sao cho phươngtrình k = 4x + 7y + 9z không có nghiệm không âm Chiều nhúng của S làe(S) = 3 và bội của S là m(S) = 4 Chuỗi Hilbert của S là

Ngược lại giả sử s ∈ Ap(S, n) Gọi i là số dư của s khi chia cho n Ta

có s ≡ w(i) ≡ i mod n Từ tính nhỏ nhất của w(i), ta suy ra s ≥ w(i) và

s − w(i) = kn với k ≥ 0 Giả sử k ≥ 1 Khi đó s − n = w(i) + (k − 1)n ∈ S,mâu thuẫn Vậy k = 0 và s = w(i)

Như vậy khi n ∈ S \ {0} thì Ap(S, n) có n phần tử và lập nên một hệthặng dư đầy đủ modulo n

Bổ đề 1.2.2 Cho S là một nửa nhóm số và n ∈ S \ {0} Khi đó với mọi

s ∈ S, tồn tại duy nhất (k, w) ∈ Z≥0× Ap(S, n) sao cho s = kn + w

Chứng minh Xét s ∈ S bất kỳ Gọi i là số dư của s khi chia cho n Nhưvậy s ≡ w(i) (mod n) Do vậy s = kn + w(i) Vì tính nhỏ nhất của w(i),

ta suy ra k ≥ 0 Tính duy nhất của k và w(i) là hiển nhiên

Bổ đề trên suy ra rằng

S = Ap(S; n) + nZ≥0.Chú ý 1.2.3 Người ta có thể định nghĩa nửa nhóm số như sau Tập con

S của Z≥0 được gọi là một nửa nhóm số nếu nó đóng với phép cộng vàphần bù Z≥0 \ S là hữu hạn (*) Khi đó ta có thể chứng minh được rằngmọi S như vậy đều có dạng S(a1, , am) với một bộ các số nguyên dương

a1, , am nào đó Thật vậy, các Bổ đề 1.2.1 và Bổ đề 1.2.2 vẫn đúng chonửa nhóm số S theo nghĩa (*) Hơn nữa, lấy n ∈ S∗ bất kỳ Khi đó theo

Bổ đề 1.2.2, tập Ap(S; n) ∪ {n} là một hệ sinh của S và tập này là tập hữuhạn theo Bổ đề 1.2.1 Như vậy, nếu viết Ap(S; n) ∪ {n} = {a1, , am} thì

Trong chương sau ta sẽ cần kết quả sau đây:

Bổ đề 1.2.6 Cho p và q là hai số nguyên tố cùng nhau Khi đó

Xét s = kq với 0 ≤ k ≤ p − 1 Hiển nhiên s ∈ S Ta có kq − p ≤(p − 1)q − p = pq − p − q Do vậy kp − q 6∈ S Như vậy kp ∈ Ap(S(p, q), p)

và ta có

{0, q, 2q, , (p − 1)q} ⊆ Ap(S(p, q); p)

Nhưng cả tập bên trái và tập bên phải của bao hàm trên đều có p phần

tử, nên hai tập này phải bằng nhau và ta có điều phải chứng minh

Chương 2

Mối liên hệ giữa nửa nhóm số và đa thức bù trừ

2.1 Đa thức chia đường tròn và đa thức bù trừ

Định nghĩa 2.1.1 Đa thức chia đường tròn thứ n, Φn(x) được định nghĩabởi

n là căn bậc n của đơn vị.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của đa thức chia đường tròn

1 Đa thức chia đường tròn có bậc ϕ(n), với ϕ là hàm Euler

2 Đa thức Φn(x) là đa thức với hệ số nguyên và nó bất khả quy trêntrường số hữu tỷ

3 Ta cũng có phân tích đa thức xn− 1 thành tích

xn− 1 = Y

d|n

Φd(x)

Dùng phép nghịch đảo M¨obius ta suy ra

1 nếu n là tích của một số chẵn các số nguyên tố phân biệt,

−1 nếu n là tích của một số lẻ các số nguyên tố phân biệt,

0 trong trường hợp còn lại

Nói riêng nếu p |n là một số nguyên tố, thì

Φpn(x) = Φn(xp)

Ví dụ 2.1.2 (1) Nếu p là một số nguyên tố thì Φp(x) = 1 + x + · · · + xp−1.(2) Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì

là một tổng quát hóa của đa thức chia đường tròn Xét ρ = {r1, r2, , rs}

là một tập gồm một số số nguyên thỏa mãn ri > 1 và (ri, rj) = 1 với i 6= j

Ta có thể chứng minh rằng Qρ(x) là một đa thức bậc d := Q

i(ri − 1)

Giả sử ω 6∈ B Khi đó gọi I là tập các chỉ số i ∈ {1, , s} sao cho

ω ∈ Ai Khi đó I là tập khác rỗng Ta đặt k = |I| ≥ 1 Ta có số nhân tử(x − ω) xuất hiện trên tử số của Qρ(x) là

1 +k

2

+k4

+ · · ·

Số nhân tử (x − ω) xuất hiện trên mẫu số của Qρ(x) là

k1

+k3

+k5

+ · · ·

Hiển nhiên rằng nếu ω ∈ B thì nhân tử (x − ω) xuất hiện đúng một lầntrên tử số của Qρ(x) (trong thừa số xn0 − 1) và không xuất hiện lần nào

ở mẫu số của Qρ(x) Từ đó ta có khẳng định thứ nhất của định lý

Định nghĩa 2.1.4 Một đa thức Qρ như trên được gọi là một đa thức

bù trừ

Ta định nghĩa các hệ số aρ(k) của đa thức này bởi Qρ(x) = P

k≥0

aρ(k) xk.Chú ý rằng Qρ(x) là tự thuận nghịch; nghĩa là aρ(k) = aρ(d − k), cũng

có nghĩa là

Qρ(x) = xdQρ

 1x



(Ở chương sau, ta sẽ kiểm tra tính tự thuận nghịch của đa thức Qρ trongtrường hợp ρ = {p, q}.)

Nếu tất cả những phần tử của ρ là nguyên tố, thì ta có

Qρ(x) = Φr1r2···rs(x) Cho n là một số nguyên tùy ý và gọi γ(n) = p1· · · ps là tích của các ướcnguyên tố phân biệt của n Khi đó, ta có Q{p1,··· ,ps}(xn/γ(n)) = Φn(x) Nhưvậy đa thức bù trừ là tổng quát hóa của đa thức chia đường tròn Đa thức

bù trừ có thể biểu diễn như là tích của các đa thức chia đường tròn, theonhư kết quả sau cũng của Bachman [1]

Xét ω là một nghiệm bất kỳ của Qρ và gọi d là số nguyên dương nhỏnhất sao cho ωd = 1 Khi đó ω là một nghiệm của Φd(x) Hơn nữa theoĐịnh lý 2.1.3, ta có d ∈ D vì d | n0 và (d, ri) > 1 với mọi i.

Đối với chiều ngược lại, ta cố định một d ∈ D và gọi ω là một nghiệmbất kỳ của Φd Khi đó ωn0 = 1 Hơn nữa vì (d, ri) > 1 nên d - ni Ta suy ra

ωni 6= 1 Do vậy theo Định lý 2.1.3, ω là một nghiệm của Qρ

Ta sẽ đưa ra hai chứng minh cho định lý này Chứng minh đầu tiên sẽ

sử dụng một trong những công cụ đa năng nhất trong lý thuyết nửa nhóm

số, đó là sử dụng tập Apéry trình bày ở Chương 1, Mục 1.2