Luận văn một số phương trình nguyên liên quan đến đa thức chia đường tròn

Luận văn toán học phương pháp toán sơ cấp một số phương trình nguyên liên quan đến đa thức chia đường tròn của học viên Phan Thị Luyện do Tiến sĩ Nguyễn Trọng Hòa hướng dẫn khoa học. Tài liệu gồm 66 trang pdf, được soạn qua chương trình latex, trình bày đẹp. Luận văn gồm ba chương và một số phần khác.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN TRỌNG HÒA

Bình Định - 2012

Danh mục các ký hiệu iv

1.1 Tính chia hết và số nguyên tố 1

1.1.1 Tính chia hết 1

1.1.2 Số nguyên tố 2

1.1.3 Ước chung lớn nhất 3

1.1.4 Định lý cơ bản của Số học 4

1.2 Lý thuyết đồng dư 6

1.2.1 Khái niệm cơ bản 6

1.2.2 Đồng dư tuyến tính 10

1.2.3 Định lý Fermat bé và Định lý Wilson 11

1.3 Các hàm số học 12

1.3.1 Các hàm có tính chất nhân 12

1.3.2 Phi hàm Euler 12

1.3.3 Hàm số các ước số 14

1.3.4 Bậc của một số nguyên 15

1.4 Đồng dư bậc hai 16

ii

1.5 Mở rộng trường Bậc của mở rộng trường 17

1.5.1 Mở rộng trường 17

1.5.2 Bậc của mở rộng trường 18

1.6 Thừa số trong trường bậc hai 19

1.6.1 Sự liên hợp 20

1.6.2 Số nguyên trong trường bậc hai 21

Kết luận 25

Chương 2 Phương trình q q−1 n−1 = y và x x−1 m−1 = y y−1 n−1 26 2.1 Phương trình q q−1 n−1 = y 26

2.2 Phương trình x x−1 m−1 = y y−1 n−1 34

Kết luận 53

max(X) : Số lớn nhất trong tập số hữu hạn X.

min(X) : Số bé nhất trong tập số hữu hạn X.

p r ||n : Nếu p r là lũy thừa lớn nhất của p chia hết số nguyên n (a1, a2, , a k ) : Ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, , a k

[a1, a2, , a k] : Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên a1, a2, , a k

v p (n) : Số mũ của lũy thừa cao nhất của p chia hết n.

ϕ(n) : Phi hàm Euler

π(n) : Tập các ước nguyên tố của số nguyên n.

log(n) : Logarit tự nhiên của n.

exp(x) : e x

ordm (a) : Bậc của a modulo m.

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Các số nguyên trong trường bậc hai 21Bảng 2.1: Các nghiệm của phương trình (1) 30

Mở đầu

Lý thuyết nhóm hữu hạn có rất nhiều ứng dụng trong giải phương trình đại

số nói chung và phương trình nguyên, nói riêng Chẳng hạn, nghiệm nguyên của

phương trình Pell x2− 2y2 = 1, về thực chất, đó là các ước của đơn vị trong trườngQ(

√

2), do vậy, từ việc nghiên cứu ước đơn vị trong Q(√2), ta có thể suy ra nghiệm

của phương trình x2− 2y2 = 1 Từ lâu, người ta đã tìm được mối liên hệ giữa lýthuyết nhóm hữu hạn và lớp phương trình nguyên có tập xác định là các số nguyên

tố hoặc lũy thừa của số nguyên tố, mà phương trình

q n− 1

m(∗)

là một ví dụ Khi nghiên cứu phương trình nguyên q q−1 n−1 = y m , trong đó q, n, m, y

là các số nguyên, q > 1, y > 1, n > 2, m ≥ 2, người ta đã chỉ ra có 3 bộ số nguyên (q, n, y, m) nghiệm đúng, cụ thể là

tuy nhiên cho đến nay vẫn chưa có lời giải cho trường hợp tổng quát Ljunggren

([24]) đã giải quyết trọn vẹn bài toán (*) trường hợp m = 2; Ljunggren và Nagell [24], [30] giải bài toán (*) khi 3 | n, 4 | n Các tác giả đã chứng minh, trong các

trường hợp này, phương trình không có nghiệm nào khác ngoài 3 nghiệm được chỉ

ra ở trên Ở [9], [11], [31], M Bennet, Y Bugeaud và N Saradha, T.N Shorey đã

giải quyết hoàn toàn bài toán khi q là chính phương hoặc là lũy thừa của một số tự nhiên nào đó trong khoảng {2, , 10}, và trong các trường hợp này, phương trình

chỉ có hai nghiệm Trong [10], [12], M Mignotte và Y Bugeaud đã giải quyết bài

toán khi m ≥ 2, q là lũy thừa của một số nguyên tố p nào đó sao cho p | y − 1, hoặc khi m là số nguyên tố và mỗi ước nguyên tố của q là ước của y − 1.

Trong bài báo của Amir Khosravi, Behrooz Khosravi năm 2003, các tác giả

công bố kết quả về phương trình (*) khi m = 1; q là lũy thừa của số nguyên tố p;

n là số nguyên lẻ và số các ước nguyên tố của y − 1 không vượt quá 3 trên cơ sở

ứng dụng của lý thuyết Nhóm hữu hạn, cho dù ở trường hợp m = 1, phương trình

(*) luôn có nghiệm nguyên

{(q, y) | q ∈ Z, y = q n−1 + q n−2 + + q + 1}.

Nghiên cứu về phương trình nguyên

x, y, hoặc x và n hoặc m và n cố định thì trong [8] phương trình (1) đã được chứng

minh là có nhiều nghiệm hữu hạn Trường hợp x, y, hoặc x và n cố định, nhờ lý

thuyết của Baker về dạng tuyến tính theo logarith, chúng ta có thể tính toán cụthể chặn trên đối với độ lớn của nghiệm Trong [35], Shorey đã chứng minh được

rằng: Nếu y > x, phương trình nguyên:

x m− 1

y n − 1

có nhiều nhất 17 nghiệm Người ta đã cải thiện được đánh giá này, đó là chỉ ra (2)

có nhiều nhất một nghiệm khi y đủ lớn, trái lại thì (2) có nhiều nhất hai nghiệm Trường hợp khi m và n cố định, trong [18], Davenport, Lewis và Schinzel đã chứng

minh (1) có nhiều nghiệm hữu hạn:

Định lý 0.0.1 (Định lý DLS) Với (m − 1, n − 1) > 1, nếu (x, y) là nghiệm

của phương trình (1) thì max(x, y) bị chặn bởi một số có thể tính toán được chỉ phụ thuộc m và n.

Gần đây, định lí này đã được cải thiện bởi Nesterenko và Shorey trong [29] nhưsau

Định lý 0.0.2 (Định lý NS) Cho d ≥ 2, r ≥ 1 và s ≥ 1 là các số nguyên với

(r, s) = 1 Giả sử, m − 1 = dr và n − 1 = ds Nếu (x, y, m, n) là nghiệm của

phương trình (1) thì max(x, y, m, n) bị chặn bởi một số có thể tính toán được chỉ phụ thuộc r và s.

Đây là kết quả đầu tiên về phương trình này mà ở đó không có sự hạn chế đối

với x và y, và m, n mở rộng trên tập vô hạn.

Nghiên cứu về các phương trình nguyên hiện đang được các nhà Toán họctrên thế giới quan tâm, đặc biệt là các phương trình nguyên liên quan đến Lýthuyết nhóm hữu hạn, cụ thể là các phương trình nguyên liên quan đến đa thứcchia đường tròn mà (*), (1) là hai trường hợp cụ thể Do vậy, chúng tôi lựa chọn

nghiên cứu: "Về một số phương trình nguyên liên quan đến đa thức chia

đường tròn" làm đề tài Luận văn Thạc sĩ của mình Luận văn trình bày các kết

quả trong bài báo của Amir Khosravi, Behrooz Khosravi (2003) về phương trình

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến nội dung chính

của luận văn được trình bày ở chương 2

Chương 2: Trình bày các kết quả về các phương trình nguyên q q−1 n−1 = y và

x m−1

x−1 = y y−1 n−1 Trong đó chúng tôi trình bày một số khái niệm mà chương 1 chưanêu, và nêu các bổ đề bổ trợ; cuối cùng là trình bày các kết quả và chứng minhchi tiết các kết quả được nêu

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của

TS Nguyễn Trọng Hòa, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chếnên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được góp

ý của quý thầy, cô, đồng nghiệp và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với

TS Nguyễn Trọng Hòa, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trìnhnghiên cứu để luận văn được hoàn thành

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, PhòngSau đại học, cùng các thầy, cô giáo trong và ngoài Khoa Toán học đã tận tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn các anh, chị học viên lớp cao học Toán khóa 13cùng những người thân trong gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ, tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a, b là các số nguyên Ta nói b chia hết a (hay a chia

hết cho b) nếu tồn tại số nguyên c sao cho a = bc.

Nếu b chia hết a, ta thường dùng ký hiệu b | a hoặc a b, nếu b không chia hết

a, ta viết b - a hoặc a 6 b Khi b | a, ta nói b là ước của a.

Mệnh đề 1.1.1 ([1], tr 10) Giả sử a, b, c là các số nguyên Nếu a | b, b | c thì

a | c.

Mệnh đề 1.1.2 ([1], tr 10) Giả sử a, b, c, m và n là các số nguyên Nếu c | a

và c | b thì c | (ma + nb).

• Thuật toán chia ([1], tr 10) Giả sử a, b là các số nguyên và b > 0 Khi đó tồn

tại duy nhất các số nguyên q và r sao cho

a = bq + r, 0 ≤ r < b

ta gọi q là thương và r là phần dư Như vậy, a chia hết cho b nếu và chỉ nếu phần

dư trong phép chia bằng 0

1

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x là một số thực Phần nguyên của x, kí hiệu qua [x],

là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

Ví dụ 1.1 [2, 5] = 2; [−2, 3] = −3; [16] = 16.

Mệnh đề 1.1.3 ([1], tr 10) Với mọi số thực x,

x − 1 < [x] ≤ x.

Mệnh đề này được suy ra từ định nghĩa trên

Định nghĩa 1.1.3 ([28]) Giả sử x là một số thực Độ cao tối đa của x, kí hiệu

qua dxe là số nguyên bé nhất lớn hơn hoặc bằng x.

Ví dụ 1.2 d1, 5e = 2 , d2e = 2 , d−1, 2e = −1.

Số 1 chỉ có đúng một ước dương Mỗi số nguyên dương khác đều có ít nhất haiước dương (chẳng hạn 1 và chính nó) Các số nguyên dương chỉ có đúng hai ước

dương là các số quan trọng nhất trong số học, chúng được gọi là số nguyên tố.

Định nghĩa 1.1.4 Số nguyên tố là số nguyên dương lớn hơn 1 và chỉ chia hết

Trong nhiều vấn đề ứng dụng, người ta cần tìm những số nguyên tố rất lớn.

Định lý sau đây chỉ ra rằng, bằng cách chia n cho các số nguyên tố không vượt

quá √

n, ta xác định được n có là số nguyên tố hay không.

Định lý 1.1.6 ([1], tr 14) Nếu n là một hợp số, thì n có ước nguyên tố không

Định nghĩa 1.1.6 Ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b không đồng thời

bằng 0 là số nguyên lớn nhất chia hết cả a và b Ta dùng ký hiệu (a, b) để chỉ ước chung lớn nhất của a và b.

Ta đặc biệt quan tâm đến trường hợp hai số nguyên không có ước chung nàolớn hơn 1

Định nghĩa 1.1.7 Các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu

(a, b) = 1.

Chú ý rằng, (a, b) = (|a|, |b|), nên ta chỉ cần quan tâm đến ước chung lớn nhất

của các số nguyên dương Sau đây là một số tính chất của ước chung lớn nhất

Mệnh đề 1.1.7 ([1], tr 16) Giả sử a, b, c là các số nguyên, (a, b) = d Khi đó

Định lý 1.1.8 ([1], tr 16-17) Ước chung lớn nhất của các số nguyên a và b không

đồng thời bằng 0 là số nguyên dương nhỏ nhất biểu diễn được bởi một tổ hợp tuyến tính của a và b.

Hệ quả 1.1.9 ([1], tr 17) Hai số nguyên a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ

khi tồn tại các số nguyên m và n sao cho

ma + nb = 1.

Ta cũng có thể xét ước chung lớn nhất của nhiều số nguyên

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử a1, a2, , a n là các số nguyên không đồng thời bằng

0 Ước chung lớn nhất của các số đó là số nguyên lớn nhất mà là ước chung của các số nguyên đã cho Ta kí hiệu ước chung lớn nhất qua (a1, a2, , a n)

Định lý 1.1.10 ([1], tr 17) Giả sử a1, a2, , a n là các số nguyên không đồng thời bằng 0 Khi đó

(a1, a2, , a n ) = (a1, a2, , (a n−1 , a n )).

Định nghĩa 1.1.10 Ta nói rằng các số nguyên a1, a2, , a n là nguyên tố cùng

nhau đồng thời nếu (a1, a2, , a n ) = 1 Các số nguyên đó là nguyên tố cùng nhau

từng đôi một nếu với mọi cặp a i , a j trong tập hợp, ta có (a i , a j) = 1

Rõ ràng tập hợp nào đó các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một sẽ là nguyên

tố cùng nhau đồng thời Ngược lại không đúng Ví dụ: (5, 3, 2, 4) = 1, tuy nhiên (5, 3) = 1, (2, 4) = 2.

Định lý sau đây là một trong những định lý quan trọng nhất của Số học (vàcủa Toán học), nó cho thấy các số nguyên tố là nền tảng để xây dựng nên các sốnguyên

Định lý 1.1.11 (Định lý cơ bản của Số học) ([1], tr 19) Mọi số nguyên

dương đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số nguyên tố được viết theo thứ tự không giảm.

Ví dụ 1.4 Ta có: 100 = 2.2.5.5 = 22.52.

Để thuận tiện người ta thường nhóm các thừa số nguyên tố bằng nhau thànhmột lũy thừa của nó Cách biểu diễn số nguyên như vậy được gọi là phân tíchthành lũy thừa nguyên tố

Mệnh đề 1.1.12 ([1], tr 19) Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, đồng thời

(a, b) = 1, a | bc Khi đó a | c.

Hệ quả 1.1.13 ([1], tr 19) Nếu p | a1a2 a n , trong đó p là số nguyên tố và

a1, a2, , a n là các số nguyên dương, thì tồn tại i, 1 ≤ i ≤ n sao cho p | a i

Bây giờ, ta chỉ ra cách dùng Định lý cơ bản để tìm ước chung lớn nhất Giả sử

các số a và b có phân tích thành thừa số nguyên tố như sau:

trong đó mỗi số mũ là số nguyên không âm, và mỗi số nguyên tố xuất hiện ở ít

nhất một trong hai phân tích của a và b đều được đưa vào cả hai tích, có thể với

vì với mỗi số nguyên tố p i , a và b cùng chia hết cho lũy thừa min(a i , b i ) của p i, và

đó là lũy thừa cao nhất có thể

Phân tích ra thừa số nguyên tố cũng được dùng để tìm bội chung nhỏ nhất củacác số nguyên dương

Định nghĩa 1.1.11 Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương a và b là số

nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho a và b.

Ta thường dùng kí hiệu [a, b] để chỉ bội chung nhỏ nhất của a và b.

trong đó p1, p2, , p n là các số nguyên tố xuất hiện trong phân tích của a và b Khi

đó, nếu một số nguyên chia hết cho cả a và b thì trong phân tích của nó, mỗi số

p j phải xuất hiện với số mũ ít nhất là max(a j , b j) Như vậy, bội chung nhỏ nhất

Trên đây là một cách tìm bội chung nhỏ nhất của hai số Tuy nhiên, phân tíchmột số nguyên ra thừa số là việc làm rất khó khăn (đối với các số lớn), nên thường

để tìm bội chung nhỏ nhất, người ta thường dùng một số phương pháp thuận tiệnhơn

Định lý 1.1.14 ([1], tr 21-22) Giả sử a, b là các số nguyên dương Khi đó

[a, b] = ab

(a, b) ,

trong đó [a, b] là bội chung nhỏ nhất, (a, b) là ước chung lớn nhất của hai số.

Định lý 1.1.15 ([1], tr 22-23) Giả sử m, n là các số nguyên dương nguyên tố

cùng nhau Khi đó, nếu d là ước của m.n thì tồn tại cặp duy nhất các ước dương

d1 của m, d2 của n sao cho d = d1d2 Ngược lại, nếu d1 và d2 là các ước dương tương ứng của m và n, thì d = d1d2 là ước dương của mn.

Đồng dư là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Số học và Đại số.Trong mục này ta sẽ tìm hiểu những khái niệm và tính chất đơn giản nhất

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử a, b là các số nguyên Ta nói rằng a đồng dư b modulo

Mệnh đề 1.2.1 ([1], tr 31) Nếu a, b là các số nguyên thì a ≡ b (mod m) khi và

chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho a = b + km.

Mệnh đề sau đây cho thấy quan hệ "a đồng dư b" là một "quan hệ tương đương".

Mệnh đề 1.2.2 ([1], tr 31-32) Giả sử m là một số nguyên dương Quan hệ đồng

dư modulo m thỏa mãn các tính chất sau đây:

1) (Tính chất phản xạ) Nếu a là một số nguyên thì a ≡ a (mod m).

2) (Tính chất đối xứng) Giả sử a, b là các số nguyên Khi đó, nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m).

3) (Tính chất bắc cầu) Giả sử a, b, c là các số nguyên Khi đó, nếu a ≡ b (mod m),

b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m).

Nhờ tính chất trên, với mỗi số nguyên dương m, ta có thể chia tập hợp các số nguyên thành các lớp đồng dư modulo m Hai số nguyên cùng thuộc vào một lớp đồng dư modulo m khi và chỉ khi chúng đồng dư với nhau modulo m.

Ví dụ 2.1 1 và 21 cùng thuộc một lớp đồng dư modulo 5:

1 ≡ 21 (mod 5).

Số nguyên tùy ý đều thuộc cùng một lớp đồng dư modulo 5 với một trong các

số : 0, 1, 2, 3, 4.

Giả sử a là một số nguyên Với số nguyên m > 1 cho trước, bởi thuật toán chia, ta

có a = bm + r, trong đó 0 ≤ r ≤ m − 1 Từ đẳng thức trên, a ≡ r (mod m) Như vậy, mỗi số nguyên đồng dư modulo m với một trong các số nguyên của tập hợp

0, 1, , m − 1, cụ thể là đồng dư với phần dư trong phép chia số nguyên đó cho

m Vì không có hai số nào trong các số 0, 1, , m − 1 đồng dư với nhau modulo

m, tập hợp trên đây là tập hợp các số nguyên sao cho mỗi số nguyên đồng dư với

đúng một phần tử thuộc tập hợp Tuy nhiên, 0, 1, , m − 1 không phải là tập hợp

duy nhất có tính chất đó

Định nghĩa 1.2.2 Một hệ thặng dư đầy đủ modulo m là một tập hợp các số

nguyên sao cho mỗi số nguyên tùy ý đều đồng dư modulo m với đúng một số của

là một hệ thặng dư đầy đủ, được gọi là hệ thặng dư tuyệt đối bé nhất modulo m.

Ta sẽ chỉ ra rằng, có thể cộng, trừ, nhân hai vế của một đồng dư với cùng mộtsố

Định lý sau đây là hệ quả của Định lý (1.2.4)

Định lý 1.2.5 ([1], tr 34) Nếu a, b, c, m là các số nguyên sao cho m > 0, (c, m) =

1, và ac ≡ bc (mod m) Khi đó

Định lý (1.2.3) có thể mở rộng thành định lý sau đây, cho ta thấy rằng có thểlàm một số phép tính số học đối với các lớp đồng dư như đối với các số nguyên

cũng là một hệ thặng dư đầy đủ modulo m.

Định lý sau đây cho thấy rằng, các đồng dư được bảo toàn nếu cả hai vế đượcnâng lên cùng một lũy thừa nguyên dương

Định lý 1.2.8 ([1], tr 35) Giả sử a, b, k, m là các số nguyên, đồng thời k >

0, m > 0, a ≡ b (mod m) Khi đó

a k ≡ b k (mod m).

Trong trường hợp các số a, b đồng dư nhau nhiều modulo khác nhau, ta có thể

kết hợp lại theo định lý sau đây

Định lý 1.2.9 ([1], tr 35-36) Giả sử a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2), , a ≡ b (mod m k ), trong đó a, b, m1, m2, , m k là các số nguyên, m1, m2, , m k > 0 Khi đó

a ≡ b (mod [m1, , m k ]),

trong đó [m1, , m k ] là bội chung nhỏ nhất của m1, m2, , m k

Hệ quả 1.2.10 ([1], tr 36) Giả sử a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2), , a ≡ b (mod m k ), trong đó a, b là các số nguyên, m1, m2, , m k là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau từng cặp Khi đó

a ≡ b (mod m1 m k ).

1.2.2 Đồng dư tuyến tính

Một đồng dư dạng

trong đó x là số nguyên chưa biết, được gọi là đồng dư tuyến tính một biến Ta sẽ

thấy rằng, việc nghiên cứu các đồng dư như vậy hoàn toàn tương tự việc nghiêncứu phương trình nguyên hai biến

Trước tiên ta nhận xét rằng nếu x = x0 là một nghiệm của đồng dư ax ≡ b (mod m) và nếu x1 ≡ x0 (mod m) thì ax1 ≡ ax0 ≡ b (mod m), nên x1 cũng là

một nghiệm Như vậy, nếu một phần tử của một lớp đồng dư modulo m nào đó là

một nghiệm, thì mọi phần tử của lớp đó cũng là nghiệm Vì thế có thể đặt câu hỏi:

trong m lớp đồng dư modulo, có bao nhiêu lớp cho nghiệm, hay một cách tương đương, có bao nhiêu nghiệm không đồng dư modulo m.

thấy x = 8 là một nghiệm của đồng dư đang xét Như vậy, ba nghiệm không đồng

dư nhau modulo 15 cần tìm là 8, 13 và 18

Trường hợp đặc biệt của đồng dư tuyến tính là đồng dư

Đặc biệt, có những số là nghịch đảo của chính nó modulo một số nguyên tố p.

Mệnh đề 1.2.12 ([1], tr 39) Giả sử p là một số nguyên tố Số nguyên a là nghịch

đảo modulo p của chính nó khi và chỉ khi

Định lý 1.2.13 (Định lí Wilson) ([1], tr 42-43) Với mọi số nguyên tố p, ta

có

(p − 1)! ≡ −1 (mod p).

Định lý 1.2.14 ([1], tr 43) Giả sử n là số nguyên dương sao cho (n − 1)! ≡ 1

(mod n) Khi đó n là số nguyên tố.

Khi ta xét đồng dư có sự tham gia của các lũy thừa, định lí sau đây là hết sứcquan trọng

Định lý 1.2.15 (Định lí Fermat bé) ([1], tr 43-44) Giả sử p nguyên tố và a

là số nguyên dương với p - a Khi đó a p−1 ≡ 1 (mod p).

Hệ quả 1.2.16 ([1], tr 44) Giả sử p là số nguyên tố và a là số nguyên dương.

Khi đó a p ≡ a (mod p).

Hệ quả 1.2.17 ([1], tr 44) Giả sử p là số nguyên tố và a là số nguyên với p - a.

Khi đó a p−2 là nghịch đảo của a modulo p.

Hệ quả 1.2.18 ([1], tr 44) Giả sử a, b là các số nguyên dương và p là số nguyên

tố, p - a Khi đó nghiệm của đồng dư tuyến tính

là các số nguyên x sao cho x ≡ a p−2 b (mod p).

1.3 Các hàm số học

Định nghĩa 1.3.1 Một hàm xác định trên tập hợp các số nguyên dương gọi là

hàm số học

Định nghĩa 1.3.2 Hàm số học f được gọi là có tính chất nhân nếu f (mn) =

f (m)f (n) khi m, n nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 3.1 Hàm f (n) = 1 với mọi n là một hàm có tính chất nhân Tương tự như vậy, hàm g(n) = n cũng có tính chất nhân Hơn nữa, với mọi m, n (không nhất thiết nguyên tố cùng nhau) ta có: g(mn) = g(m).g(n) Những hàm có tính chất như vậy được gọi là hàm có tính chất nhân đầy đủ.

Đối với những hàm có tính chất nhân, ta có thể tìm công thức đơn giản để tính

f (n) khi biết phân tích n thành thừa số nguyên tố.

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử n là một số nguyên dương Phi hàm Euler được định

nghĩa là số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n.

Kí hiệu là ϕ(n).

Ví dụ 3.2 ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4.

Phi hàm Euler có nhiều ứng dụng trong số học Ở đây, trước tiên ta xét việc

sử dụng Phi hàm Euler để nghiên cứu đồng dư modulo một hợp số (tương tự như

đã sử dụng Định lý Fermat bé để xét đồng dư modulo một số nguyên tố)

Định nghĩa 1.3.4 Một hệ thặng dư thu gọn modulo n là một tập hợp gồm ϕ(n)

số nguyên sao cho mỗi phần tử của tập hợp đều nguyên tố cùng nhau với n, và không có hai phần tử khác nhau nào đồng dư modulo n.

Ví dụ 3.3 Tập hợp 1, 3, 5, 7 là một hệ thặng dư thu gọn modulo 8 Tập hợp

−3, −1, 1, 3 cũng vậy.

Định lý 1.3.2 ([1], tr 58) Giả sử r1, r2, , r ϕ(n) là một hệ thặng dư thu gọn modulo n, a là số nguyên dương và (a, n) = 1 Khi đó, tập hợp

ar1, ar2, , ar ϕ(n)

cũng là một hệ thặng dư thu gọn modulo n.

Ví dụ 3.4 Tập hợp 1, 3, 5, 7 là một hệ thặng dư thu gọn modulo 8 Do (3, 8) = 1 nên 3, 9, 15, 21 cũng là một hệ thặng dư thu gọn modulo 8.

Định lí sau đây là một mở rộng của định lí Fermat

Định lý 1.3.3 (Định lí Euler) ([1], tr 59) Giả sử m là số nguyên dương và a

là số nguyên với (a, m) = 1 Khi đó a ϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Nhận xét Ta có thể tìm nghịch đảo modulo m bằng cách sử dụng Định lý Euler.

Giả sử a, m là các số nguyên tố cùng nhau, khi đó

a.a ϕ(m)−1 = a ϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Vậy a ϕ(m)−1 là một nghịch đảo của a modulo m.

Ví dụ 3.5 2ϕ(9)−1 = 26−1 = 25 = 32 ≡ 5 (mod 9) là một nghịch đảo của 2 modulo9

Cũng có thể giải các đồng dư tuyến tính một ẩn theo nhận xét trên Giả sử cần

giải đồng dư ax ≡ b (mod m), (a, m) = 1 Ta nhân hai vế với a ϕ(m)−1:

a ϕ(m)−1 ax ≡ a ϕ(m)−1 b (mod m).

Như vậy, nghiệm là các số nguyên x sao cho x ≡ a ϕ(m)−1 b (mod m).

Ví dụ 3.6 Giải đồng dư 3x ≡ 7 (mod 10): x = 3 ϕ(10)−1 .7 ≡ 33.7 ≡ 9 (mod 10). Bây giờ ta sẽ cho công thức tính ϕ(n) khi biết phân tích của n ra thừa số

nguyên tố

Định lý 1.3.4 ([1], tr 60) Với số nguyên tố p ta có ϕ(p) = p − 1 Ngược lại, nếu

p là số nguyên dương sao cho ϕ(p) = p − 1, thì p là số nguyên tố.

Định lý 1.3.5 ([1], tr 60) Giả sử p là số nguyên tố và a là số nguyên dương.

Số các ước số của một số nguyên là hàm số học quan trọng

Định nghĩa 1.3.5 Hàm số các ước số, kí hiệu qua τ , được xác định bởi: τ (n)

bằng số các ước số dương của n.

Định lý 1.3.9 ([1], tr 63) Giả sử f là một hàm có tính chất nhân Khi đó hàm

Từ định lí Euler ta có, nếu m là số nguyên dương và nếu a là số nguyên, nguyên

tố cùng nhau với m thì a ϕ(m) ≡ 1 (modm) Do đó, phương trình đồng dư

a x ≡ 1 (modm)

luôn luôn có nghiệm Theo tính chất thứ tự tốt của tập hợp các số nguyên, phải

tồn tại số nguyên dương x bé nhất thỏa mãn đồng dư nói trên.

Định nghĩa 1.3.6 Giả sử a và m là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

Khi đó, số nguyên dương x nhỏ nhất sao cho a x ≡ 1 (modm) được gọi là bậc của

a modulo m, và được kí hiệu bởi ord m (a).

Ví dụ 3.9

1) Ta tìm bậc của 2 modulo 5:

21 ≡ 2 (mod 5); 22 ≡ 4 (mod 5); 23 ≡ 3 (mod 5); 24 ≡ 1 (mod 5)

Vậy bậc của 2 modulo 5 là 4, hay ta kí hiệu ord5(2) = 4

2) Tìm bậc của 4 modulo 5:

41 ≡ 4 (mod 5); 42 ≡ 1 (mod 5) Vậy ord5(4) = 2

Để có thể tìm được tất cả các nghiệm của đồng dư thức a x ≡ 1 (modm), ta

cần đến định lí sau

Định lý 1.3.12 ([1], tr 68) Nếu a và n là các số nguyên nguyên tố cùng nhau,

n > 0, thì số nguyên x là nghiệm của a x ≡ 1 (modn) nếu và chỉ nếu x ord

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử m là số nguyên dương Số a được gọi là một thặng dư

bình phương của m nếu (a, m) = 1 và đồng dư x2 ≡ a (mod m) có nghiệm Nếu ngược lại, ta nói a là không thặng dư bình phương của m.

Ta sẽ chứng tỏ rằng, nếu p là một số nguyên tố lẻ, trong số các số 1, 2, , p − 1

có đúng một nửa là thặng dư bình phương

Bổ đề 1.4.1 ([2], tr 97-98) Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không

chia hết cho p Khi đó đồng dư sau đây không có nghiệm, hoặc có đúng hai nghiệm không đồng dư modulo p:

x2 ≡ a (mod p).

Định lý 1.4.2 ([2], tr 98) Nếu p là một số nguyên tố lẻ, thì trong các số

1, 2, , p − 1 có đúng p−12 thặng dư bình phương.

Định nghĩa 1.4.2 Giả sử p là một số nguyên tố lẻ và a là một số nguyên không

chia hết cho p Ký hiệu Legendre





a p

1 , nếu a là thặng dư bình phương của p

−1 , nếu ngược lại

Ví dụ 4.1 Dễ tính được:



111



=



311



 =



411



=



511



 =



911





 = −1.

Các khái niệm và kết quả trong mục này có trong tài liệu tham khảo [4]

Định nghĩa 1.5.1 Cho trường K và F là một trường con của K Khi đó F ⊂ K

gọi là một mở rộng trường và K được gọi là một mở rộng (trường) của F Một mở rộng trường F ⊂ K còn được kí hiệu là K : F hay K/F

Nhận xét.

(i) Mọi trường đều là mở rộng của trường con nguyên tố của nó

(ii) Cho K : F là một mở rộng trường Khi đó trường con nguyên tố của chúng

trùng nhau

Ví dụ 5.1 Q ⊂ R; Q ⊂ C; R ⊂ C là các mở rộng trường

Ví dụ 5.2 Cho F là một trường và F (x) là trường các phân thức hữu tỉ biến

x siêu việt trên F Đồng nhất F với các phân thức hằng, ta có F ⊂ F (x) là một

mở rộng trường

Định nghĩa 1.5.2 Cho K : F và L : F là các mở rộng trường của F Một đồng cấu

(đẳng cấu) trường ϕ : K −→ L thỏa ϕ(a) = a, ∀a ∈ F gọi là F -đồng cấu (F -đẳng cấu).

Mở rộng K : F được gọi là F -đẳng cấu với mở rộng L : F nếu tồn tại một

F -đẳng cấu từ K vào L, kí hiệu K∼=F L Nếu K = L thì các F -đồng cấu (F -đẳng cấu)

gọi là F -tự đồng cấu (F -tự đẳng cấu).

Tổng quát hơn ta có:

Định nghĩa 1.5.3 Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mở rộng trường, cho g : F −→ E

là một đồng cấu (đẳng cấu) trường Đồng cấu (đẳng cấu) h : K −→ L gọi là một

mở rộng của g nếu h(a) = g(a), ∀a ∈ F

Định nghĩa 1.5.4 Mở rộng F ⊂ K gọi là đẳng cấu với mở rộng E ⊂ L nếu

tồn tại các đẳng cấu i : F −→ E và một mở rộng của nó j : K −→ L nghĩa là

j(a) = i(a), ∀a ∈ F

Nhận xét. Quan hệ đẳng cấu của các mở rộng trường là một quan hệ tươngđương Đặc biệt, quan hệ ∼=F là một quan hệ tương đương

Mệnh đề 1.5.1 ([4], tr 47) Cho K : F và L : F là các mở rộng trường, cho

ψ : K −→ L là một F -đồng cấu Cho α ∈ K là một nghiệm của f ∈ F [x] Khi đó ψ(α) ∈ L là một nghiệm của f

Cho K : F là một mở rộng trường Khi đó K có cấu trúc của một không gian véc tơ trên F với phép nhân vô hướng là phép nhân trên K Một cơ sở của

F -không gian véc tơ K cũng được gọi là cơ sở của mở rộng trường K : F

Định nghĩa 1.5.5 Bậc của mở rộng trường K : F là chiều của F -không gian véc tơ K,

kí hiệu [K : F ] Nếu [K : F ] hữu hạn thì ta gọi K : F là một mở rộng hữu hạn Nếu mở rộng K : F không hữu hạn thì gọi là mở rộng vô hạn.

Ví dụ 5.3 Xét mở rộng trường C : R Ta biết mọi phần tử của C được viết một

cách duy nhất dưới dạng a + bi với a, b ∈ R Do đó, {1; i} là một cơ sở của C : R.

Suy ra [C : R] = 2

Ví dụ 5.4 Các mở rộng trường R/Q; C/Q; K(x)/K là các mở rộng vô hạn.

Nhận xét. Bậc của mở rộng F ⊂ K bằng 1 khi và chỉ khi F = K Nói cách

khác bậc của mở rộng trường bằng 1 khi và chỉ khi mở rộng là tầm thường Thật

vậy, nếu K = F.α thì 1 = a.α, kéo theo α = a−1 ∈ F Do đó, K = F

Định lý 1.5.2 ([4], tr 49) Cho K : F và L : K là các mở rộng trường Khi đó,

Các khái niệm và kết quả trong mục này có trong tài liệu tham khảo [17]

Cho d là số nguyên không chính phương, tập

Ta sẽ định nghĩa khái niệm các số nguyên của K mà nó đóng vai trò như các

số nguyên Z trong Q Các số nguyên của K sẽ chứa Z[√d] nhưng có thể là tập lớn

hơn Thừa số duy nhất trong tập các số nguyên của K không luôn luôn cố định

nhưng chúng ta có thể khắc phục thừa số duy nhất nếu ta mở rộng quan điểm củamình, rằng ta đang phân tích đến thừa số nào

Mỗi α ∈ K là nghiệm của đa thức lồi bậc hai với hệ số hữu tỉ:

(X − α)(X − α) = X2− (α + α)X + αα = X2− T r(α)X + N (α) (1.4)

đa thức này có hai nghiệm α, α và hệ số là vết và chuẩn của α Hệ số của (1.4) có thể không thuộc Z, chẳng hạn, α = 12 thì (1.4) là: X2− X + 1

4

1.6.2 Số nguyên trong trường bậc hai

Chúng ta thu hẹp sự chú ý tới các phần tử trong K mà đa thức (1.4) có hệ số trong Z, ta định nghĩa số nguyên trong K như sau.

Định nghĩa 1.6.2 Phần tử α ∈ K được gọi là số nguyên trong K nếu đa thức

(1.4) có hệ số trong Z Điều này, tương đương với α là nguyên trong K khi vết và chuẩn của α là trong Z.

Bảng sau cho chúng ta một số ví dụ về tập các số nguyên trong trường bậc hai

Bảng 1.1: Các số nguyên trong trường bậc hai

2 ] Z[√

−5] Z[√−14]

Chú ý tập Z[√d] ⊂ O K nhưng khi d ≡ 1 (mod 4) thì tập O K là hoàn toàn lớnhơn

Định lý 1.6.3 ([17], tr 3) Cho phần tử α ∈ K, α ∈ O K khi và chỉ khi α là nghiệm của đa thức lồi X2+ mX + n ∈ Z[X].

Định lý 1.6.4 ([17], tr 3) Cho m ∈ Z và α = a + bω ∈ Z[ω], m | α trong Z[ω]

khi và chỉ khi m | a và m | b trong Z.

Định lý 1.6.5 ([17], tr 3) Cho trường bậc hai K, khi đó O K ∩ Q = Z và mỗi

phần tử của K là tỉ số của các phần tử trong O K

Định lý (1.6.5) cho ta thấy khái niệm số nguyên trong trường bậc hai khôngnảy sinh ra bất kỳ số nguyên mới nào trong Q Các số hữu tỉ mà là số nguyên

trong K thì rõ ràng là các số nguyên Z.

Định lý 1.6.6 ([17], tr 4) Nếu α ∈ O K thì α ∈ O K

Bây giờ ta nhắc lại các khái niệm về phần tử đơn vị và phần tử tối giản trongcác vành số

Định nghĩa 1.6.3 Cho R là vành số, phần tử α ∈ R là đơn vị trong R nếu tồn

tại β ∈ R sao cho αβ = 1.

Ví dụ 6.3 Các đơn vị trong vành Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} là ±1, ±i.

Đặt O×K biểu thị nhóm đơn vị của OK

Định lý 1.6.7 ([17], tr 4) Cho trường bậc hai K, khi đó

OK× = {α ∈ O K : N (α) = ±1} và O×K ∩ Q = {±1}.

Ví dụ 6.4 Đơn vị trong Z[

√

−14] là ±1: ∀ a + b√−14 có chuẩn là a2+ 14b2, mà

số này không thể bằng −1 và nó chỉ bằng 1 khi a = ±1, b = 0.

Định nghĩa 1.6.4 Cho R là vành số, phần tử α ∈ R, α 6= 0 và không là đơn vị

được gọi là phần tử tối giản trong R nếu α = βγ, với β, γ ∈ R thì β hoặc γ là

đơn vị

Từ định nghĩa trên ta xét R = O K , thì ta nói phần tử khác không α ∈ O K là

tối giản nếu α không là đơn vị và mọi sự phân tích ra thừa số α = βγ trong O K thì β hoặc γ là đơn vị trong O K

Định lý 1.6.8 ([17], tr 4) Nếu α ∈ O K có chuẩn là số nguyên tố trong Z thì α

là tối giản trong O K

Ví dụ 6.5 Trong Z[

√

−14], 3 +√−14 có chuẩn bằng 23, vì vậy 3 +√−14 là tốigiản trong Z[√−14]

Nhận xét Định lý (1.6.8) vẫn đúng khi chuẩn của α là số nguyên tố âm Ví dụ

trong Z[√3] chuẩn của 1 + 2√

3 là −11, vì vậy 1 + 2√

3 là tối giản

Tiêu chuẩn trong Định lý (1.6.8) là điều kiện đủ để chỉ ra một phần tử của OK

là tối giản, nhưng nó không là điều kiện cần

Ví dụ 6.6 Trong Z[

√

−14], N (3) = 9 không là số nguyên tố trong Z nhưng 3 là

tối giản trong Z[√−14] Thật vậy, giả sử 3 = αβ trong Z[√−14], với α, β không

là đơn vị Lấy chuẩn hai vế ta được: 9 = N (α)N (β) trong Z Chuẩn của α và β

có thể là 3 ( chúng là số dương vì chuẩn có dạng a2+ 14b2 và chúng không là 1 do

α, β không là đơn vị) Nhưng phương trình 3 = a2 + 14b2 không có nghiệm trong

Z Vì vậy không có phần tử với chuẩn 3

Tương tự, vì N (5) = 25 và 5 không là chuẩn của phần tử nào trong Z[√−14], 5 làtối giản trong Z[√−14]

Ví dụ 6.7 Chuẩn của 1 +

√

−14 là 15 mà nó có sự phân tích ra thừa số trong Z,nhưng 1 +√

−14 là tối giản trong Z[√−14] Thật vậy, ta giả sử 1 +√−14 = αβ

và lấy chuẩn ta được 15 = N (α)N (β) trong Z, vì 3 và 5 không là chuẩn trong

Z[

√

−14] nên chuẩn của α hoặc β là 1 Suy ra α hoặc β là đơn vị.

Định lý 1.6.9 ([17], tr 5) Mỗi phần tử khác 0, không là đơn vị trong O K là tích của các phần tử tối giản trong O K

Một số trường bậc hai (chẳng hạn Q[i] và Q[√2]) các số nguyên của chúng có

sự phân tích thừa số tối giản duy nhất Nhưng nói chung OK không có sự phântích thừa số duy nhất

Các thừa số này là tối giản (theo ví dụ (6.6), (6.7) ở trên)

Phần tử tối giản 3 là ước của (1 +√

−14)(1 −√−14), nhưng 3 không là ước của

một trong hai thừa số đó Điều này không giống như tính chất của số nguyên tố p trong Z là: p | ab thì suy ra p | a hoặc p | b.

Ví dụ 6.9 Đây là ví dụ thú vị về sự phân tích ra thừa số không duy nhất trongZ[

−14 là tối giản trong Z[√−14], ta giả sử nó

có sự phân tích ra thừa số khác đơn vị, khi đó các thừa số có chuẩn là ước của

N (5 + 2√

−14) = 81, vì vậy chuẩn của các thừa số đó là 3, 9 hoặc 27 Mà không

có phần tử có chuẩn 3 hoặc 27, và phần tử có chuẩn 9 là ±3, cả hai phần tử nàykhông là thừa số của 5 + 2√

−14 Chứng minh tương tự ta chỉ ra 5 − 2√−14 là tốigiản