Sử dụng Maple trong thống kê

Tuynhiên MAPLE khác SPPS, S-PLUS và với nhiều phần mền khác ở chỗ nó còn Chương 2 : Cơ sở thống kê Trong chương này, trình bày về lý thuyết mẫu, về các bài toán ước lượngtham số, một số

Khoá luận tốt nghiệp

- 1 - Nguyễn Thị Thu Huyền

MỤC LỤC

Lời nói đầu……… 1

Chương 1 PHẦN MỀM MAPLE……… 5

1.1 Giới thiệu chung về Maple ……… 5

1.2 Giao diện và môi trường làm việc của Maple……… 5

1.2.1 Giao diện và các menu lệnh của Maple………5

1.2.2 Môi trường tính toán và các đối tượng trong trang làm việc…… 6

1.3 Thực hiện các phép tính số học ……… 7

1.3.1 Phép tính số nguyên ……… 7

1.3.2 Tính toán với các số thập phân……… 8

1.4 Vẽ đồ thị và các vấn đề liên quan ……… 8

1.4.1 Vẽ đồ thị trong mặt phẳng……… 8

1.4.2 Vận động của đồ thị ……….9

1.5 Các khái niệm và các hàm cơ bản trong lập trình Maple………… 10

1.5.1 Các khái niệm cơ bản ………10

1.6 Các hàm thường dùng trong Maple ……….13 1.6.1 Ước lượng giá trị ……….13

1.6.2 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất ……….14

1.6.3 Thay thế trong biểu thức: lệnh subs ……….14

1.6.4 Chuyển đổi dạng cấu trúc dữ liệu (lệnh convert) ………15

1.7 Cách tạo lập hàm trong Maple ……….16

1.8 Lập trình trên Maple ………17

1.9 Thiết lập một chu trình (procedure) ………18

Chương 2 CƠ SỞ THỐNG KÊ ………

20 2.1 Mẫu ngẫu nhiên ………20

2.2 Hàm phân phối thực nghiệm ………21

2.3 Đa giác tần suất và tổ chức đồ……… 21

2.3.1 Đa giác tần suất ……….21

2.3.2 Tổ chức đồ……… 22

2.4 Các đặc trưng của mẫu ……… 23

2.4.1 Trung bình mẫu ………23

2.4.2 Phương sai mẫu ………24

2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thường dùng trong thống kê 24 2.6 Ước lượng các tham số của mẫu ngẫu nhiên ………

26 2.6.1 Ước lượng điểm……… 26 2.6.2 Ước lượng khoảng ……….26

2.6.3 Khoảng tin cậy của giá trị trung bình……… 26

2.6.4 Khoảng tin cậy của phương sai khi lấy mẫu từ phân phối chuẩn có phương sai chưa biết ………28

Khoá luận tốt nghiệp

- 2 - Nguyễn Thị Thu Huyền

2.7 Kiểm định giả thuyết thống kê ……… 28

2.7.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình……… 28

2.8 Hồi quy ……….32

2.8.1 Mô hình hồi quy với một biến dự báo ……… 32

2.8.2 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn……… 32

2.8.3 Ước lượng các tham số hồi quy bằng phương pháp bình phương bé nhất ……… 33

Chương 3: SỬ DỤNG MAPLE TRONG THỐNG KÊ 34 3.1 Các đặc trưng của mẫu……… 34

3.1.1 Tính kỳ vọng ( EX ) và phương sai ( DX ) của biến ngẫu nhiên X ………34

3.1.2 Trung bình mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh 35 3.2 Ước lượng khoảng……… 36 3.3 Tổ chức đồ ……….38 3.4 Kiểm định giả thuyết ………40 3.5 Hồi quy ……….42

KẾT LUẬN……… 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……….46

Lời nói đầu

Trong thời đại thông tin hiện nay, việc giảng dạy và học tập toán học nóichung cũng như thống kê nói riêng thường được gắn với việc thực hành cácphần mềm trên máy tính Hiện nay, theo thống kê chưa đầy đủ, có trên 300 phầnmềm về xác suất - thống kê và toán học Việc lựa chọn phần mềm nào để thựchành là một vấn đề không đơn giản vì nó phụ thuộc vào nhiều nhân tố như khảnăng mua phần mềm đó để học và thực hành, thời gian thực hành

Dựa vào điều kiện thực tế ở nước ta thì 4 phần mềm thường được sử dụngtrong thống kê là MAPLE, MATLAB, SPPS, S-PLUS Một đặc điểm chungcủa 4 phần mềm trên là chúng có một quá trình phát triển trên 30 năm Trong đóMAPLE, MATLAB là phần mềm chuyên về tính toán kí hiệu Còn SPPS, S-PLUS là các phần mền chuyên về xác suất- thống kê trong đó phải xử lí việcnhập và quản lý các số liệu ở quy mô hàng trăm biến, hàng nghìn quan sát.Trong trường hợp như thế MAPLE, MATLAB tỏ ra không thích hợp Tuynhiên MAPLE khác SPPS, S-PLUS và với nhiều phần mền khác ở chỗ nó còn

Chương 2 : Cơ sở thống kê

Trong chương này, trình bày về lý thuyết mẫu, về các bài toán ước lượngtham số, một số bài toán về kiểm định giả thiết và hồi qui

Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple vào trong thống kê

Trong chương này, xây dựng các thủ tục để tính các đặc trưng của mẫu,tìm khoảng tin cậy, kiểm định giả thuyết

Mặc dù đã cố gắng hết sức, do thời gian và kiến thức về lĩnh vực tìm hiểucòn nhiều hạn chế nên khoá luận còn nhiều thiếu xót Vì vậy, tôi rất mong được

sự bổ sung góp ý của các thầy giáo, các bạn để hoàn thiện những thiếu xót củakhoá luận

Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của ban chủ nhiệm khoa, các thầy

cô trong khoa Toán đã tạo mọi điều kiện cho tôi thực hiện khoá luận này Đặcbiệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy Nguyễn Trung Dũng đãgiúp đỡ và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2008.Nguyễn Thị Thu Huyền

Chương 1 PHẦN MỀM MAPLE

1.1 Giới thiệu chung về Maple

Maple là một phần mềm của công ty Maplesoft - một bộ phận của công tyMaple Waterloo có địa chỉ trang Web là: http:// www.maplsoft.com/ Ban đầu,Maple chỉ là một hệ thống tính toán ký hiệu (Symbolic Computation Sytem) hay

hệ thống đại số máy tính (Computer Algebra System) Phiên bản của Mapleđược giới thiệu ở đây là phiên bản lần thứ 9.5, gọi tắt là Maple 9.5 Maple 9.5 làmôi trường toàn diện để nghiên cứu, giảng dạy và ứng dụng toán học

Maple còn gọi là một ngôn ngữ lập trình, nó được thiết kế đặc biệt để viếtcác chương trình mẫu về toán học và ứng dụng một cách nhanh chóng

1.2 Giao diện và môi trường làm việc của Maple

1.2.1 Giao diện và các menu lệnh của Maple

File: Chứa các lệnh liên quan tới làm việc với một file cụ thể.

New: Tạo một file mới

Open: Mở một file đã có

Save: Ghi các file đang soạn thảo

Save as: Ghi file đang mở sang một file mới và đặt tên cho file mới này Close: Đóng file đang làm việc

Exit: Thoát khỏi Maple

Edit: Menu này chứa các lệnh liên quan tới copy, cắt dán, xoá bỏ…các đoạn khi

đang làm việc với một file

View: Menu này chứa một tập hợp lệnh liên quan tới giao diện làm việc của

Windows: Chứa các lệnh về xếp tầng các trang làm việc hoặc đóng các trang

làm việc đã được mở

Chú ý: Các lệnh làm việc của Maple được đưa vào trang làm việc tại dấu

nhắc lệnh thường được biểu thị bằng font chữ màu đỏ Sau mỗi lệnh phải kếtthúc bằng dấu chấm phảy “ ; ” thì sau khi thực hiện lệnh kết quả sẽ hiện ra mànhinh, còn nếu thay bằng dấu hai chấm “ : ” thì không hiện kết quả ra màn hình

1.2.2 Môi trường tính toán và các đối tượng trong trang làm

việc Cụm xử lý(Execution Group)

Cụm xử lý là thành phần tính toán cơ bản trong trang làm việc.Có thể dễdàng nhận biết một cụm xử lý bằng ngoăc vuông bên trái của dấu nhắc lệnh

Kí hiệu: [>

Cụm xử lý là nơi dưa lệnh vào để tính toán và nhận lại kết quả do máyđưa ra

Lệnh và kết quả tính toán của Maple

Lệnh của Maple (Maple Input) được đưa vào trang làm việc tại dấu nhắclệnh Tuỳ theo tên và cú pháp của các câu lệnh Lưu ý lệnh phải được kết thúcbằng dấu chấn phẩy “ ; ”

Ví dụ 1.1 : Lệnh giải phương trình

[> solve(3*x^2-2*x=1,{x});

Muốn cho thực hiện lệnh thì đưa con trỏ về dòng lệnh và nhấn phím

“Enter”

Kết quả của Maple (Maple Output) là: Sau khi thực hiện lệnh trong mộtcụm xử lý (nhấn phím “enter”khi con trỏ đang ở dòng lệnh ) thì kết quả tínhtoán sẽ đươc hiện ra

Ví dụ 1.2 : [> solve(3*x^2-2*x=1,{x});

{x 1},{x 1}

3

Đồ thị(Graph)

Maple cho phép vẽ đồ thị ngay trong trang làm việc, đặc tính này đượcgọi là “đồ hoạ trực tiếp” Dưới đây là một ví dụ về một bản vẽ trực tiếp đồ thịcủa đường cong

Khởi động chương trình bằng lệnh [> restart;

Sau dấu nhắc lệnh ta đưa các phép toán cần thực hiện với các số nguyên

Ví dụ 1.3 : Tìm ước chung lớn nhất

Lệnh tổng quát gcd(a,b,ha,hb)

Các tham số a,b:là các số nguyên, da thức nhièu biến trên một trường số,hàmđại số

ha,hb: tuỳ chọn tên của các đại lượng chưa xác định

Tìm ước chung lớn nhất của hai số 9585 và 426852

[> gcd(9585,426852);

639

Ví dụ 1.4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Lệnh tổng quát isolve(pt,bien)

Các tham số pt: phương trình hoặc hệ phương trình cấn giải

bien: tên các biến sử dụng để biểu diễn nghiệm

Trong trường hợp phương trình hay hệ phương trình không có nghiệm nguyên(hoặc máy không giải được) thì máy sẽ báo null hay không trả lời

Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình 2x+3y-7z=5

x+y=1

[> isolve({2*x+3*y-7*z=5,x+y=1},{t,u,v});

{x = -2 - 7 t, y = 3 + 7 t, z = t}

1.3.2 Tính toán với các số thập phân

Tính giá trị của biểu thức số học

Ta có thể cho nó chuyển động liên tục bằng cách chọn chức năngAnimation/Continuous.Muốn dừng lại ta sử dụng Animation/Stop.

Ví dụ 1.7 Hãy vẽ đồ thị hàm số y=tsin(tx) khi x nhận giá trị trong khoảng

 và quan sát sự thay đổi của đồ thị khi t thay đổi trong khoảng

1.5 Các khái niệm và các hàm cơ bản trong lập trình Maple

1.5.1 Các khái niệm cơ bản

Tên (name) và xâu kí tự : Tên là một sâu hình tự (string of letters) được dùng

như một chỉ mục hay một nhãn để đại diện cho các đối tượng trong maple có thểthay đổi được (như biến, kí hiệu toán học, các biểu thức nói chung, …) mà ta có thể gán cho nó

Tên là một trong các thành phần không thể thiếu được của maple trongviệc tạo ra các biểu thức

Một xâu ký tự bất kỳ (string of letters) có thể không phải là xâu hình tự

và do đó không thể là một tên hợp lệ Maple cho phép tạo ra một tên từ một xâu

ký tự bất kỳ bằng cách cho nó vào trong cặp dấu nháy đơn Ví dụ như xâu ký tự

̀̀a variable! ̀ là một tên biến hợp lệ, và người ta có thể gắn cho nó giá trị 10 bằng lệnh ̀a variable! ̀ =10

Biến trong Maple: Biến trong Maple là những tên được dùng để thay thế

cho một đối tượng nào đó, thông thường là các giá trị cần thay đổi, hoặc các biểu thức tính toán cần cho giá trị ,… có hai loại biến trong maple: Biến lập trình và biến toán học

Biến lập trình là biến có thể gán bởi một giá trị nào đó và giá trị đó đượclưu trữ cho đến tận lúc nó thực sự bị thay đổi

Một biến toán học thể hiện cho ẩn số trong toán học, không thể được gángiá trị Trong Maple thì bạn có thể nghĩ rằng biến toán học trong Maple là biếnđược gán mà giá trị luôn bằng tên biến

Ta xem xét chi tiết bằng cách phân tích một ví dụ cụ thể

tất nhiên x không chứa giá trị nào (hay nói đúng hơn là giá trị của x chính là kíhiệu x)

Sau các phép gán, giá trị của z, y, t đều tham chiếu đến biểu thức x2 +5x -12chúng được xem như là biến có thể lập trình

Chú ý : Một lỗi mà nhiều người sử dụng Maple thường mắc phải là:

Dùng biến i làm biến chương trình, rồi sau đó thì lại dùng i như chỉ số của tổng

trong lệnh tính toán tổng sum.

Expression: Biểu thức cần ước lượng.

[Digits]: Là tham số tuỳ chọn, nhận giá trị là số tự nhiên (số lượng các số

sau dấu chấm thập phân)

Hàm evalf (expression) ước lượng các số với số các chữ số thập phân mặc định

trong biến Digits:

[>evalf(bt1);

2.425197989

Để biết số chữ số thập phân mặc định là bao nhiêu ta dùng lệnh

[>Digits;10

Max− xác định phần tử lớn nhất của một dãy các biểu thức.

Min – xác định phần tử nhỏ nhất của một dãy các biểu thức.

Max (x 1 , x 2 , …) Min (x 1 , x 2 , …)

x 1 , x 2 , …− các biểu thức.

Hàm max cho lại số lớn nhất

[> max(3/2,1.49,-34,1.49999);

3 2

var,var1,var2,…,varn: các kí hiệu cần được thay thế trong biểu thức

repl,repl1,…,repln: các biểu thức sẽ thay thế chỗ của var, var1, …,varn trong

biểu thức expr

expression: biểu thức cần được chuyển đổi.

resulttype: dạng dữ liệu biểu thức của ta cần chuyển sang.

Khai báo một danh sách các số nguyên:

7Đếm số phần tử của danh sách

[> nops(ds);

10

1.7 Cách tạo lập hàm trong Maple

Dùng chu trình proc()…end để tạo hàm

Mô tả

Cấu trúc proc()…end được dùng để định nghĩa hàm bao gồm các lệnhđược xử lý theo bó (batch processing), tức là thực hiện một dãy các lệnh liêntiếp nhau mà không có sự can thiệp trực tiếp của người dùng

Cấu trúc này được sử dụng tiện lợi khi mà ta cần thực hiện những tínhtoán trong đó không thể thực hiện được bằng cách gọi các hàm lồng nhau hoặcbằng cách dùng toán tử định nghĩa hàm như ở trên, nhất là khi phép tính cầnkết hợp kết quả của nhiều hàm để thực hiện một công việc Khi thực hiện mộtchu trình của Maple, ta chỉ cần lấy (có thể chỉ một phần) kết quả của hàm trướctruyền cho hàm tiếp theo, và do đó không thể dùng hàm gọi các hàm lồng nhauhay định nghĩa bằng toán tử định nghĩa hàm đơn giản được

Cấu trúc này là thành phần cơ bản cho lập trình trên Maple Trong phầnnày, ta chỉ đề cập đến những chu trình đơn giản nhất

Sau đây là một chu trình về việc xây dựng một hàm tính giá trị lớn nhất

của ba số thông qua việc sử dụng lệnh điều kiện if then else fi:

[> max3:proc(a,b,c)

print(`Gia tri lon nhat trong ba so la:`);

if a<b then

if b<c then c else b fi;

elif a<c then c else a fi;

end:

[> max3(10,100,-2.34);

Gia tri lon nhat trong ba so la:

condition sau từ khoá elif sẽ được kiểm tra, nếu nó đúng thì chuỗi lệnh tương

ứng sau then được thực hiện, cứ tiếp tục cho đến khi các điều kiện condition đều không thoả mãn, thì các biểu thức sau lệnh else sẽ được thực hiện.

Lưu ý: Cấu trúc lệnh (tuỳ chọn) elif … then…được lập lại với số lần tuỳ ý Từ

khoá elif là dạng viết tắt của else if.

Các biểu thức điều kiện (condition) được sử dụng trong câu lệnh if phải

được tạo thầnh từ các bất đẳng thức, các đẳng thức (các phép toán quan hệ), các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trị logic Nếu trái lại thì sẽ gây ra lỗi

Ví dụ 1.12 Chu trình giải phương trình bậc hai

[> gpt:=proc(a,b,c)

local delta,x1,x2;

delta:=b^2-4*a*c;

x 2 2x 1

if delta<0 then

print(`phuong trinh vo nghiem`);

elif delta=0 then x1:=-b/(2*a);

print(`pt co nghiem kep`,x1);

x2:=(-b-sqrt(delta))/(2*a); print(`phuong trinh co 2 nghiem phan biet

-1.9 Thiết lập một chu trình (procedure)

Các khái niệm cơ bản cần phải nắm vững để tạo ra một chu trình (procedure) là:

-Cấu trúc proc()…end; cùng với các khai báo trong cấu trúc này (global,

- Các hàm gỡ lỗi và cách bẫy lỗi

Khai báo chu trình

Lời gọi khai báo một chu trình:

Parameter_name: là một dãy các kí hiệu, ngăn cách nhau bởi các dấu chấm

phẩy, chứa tên các tham biến truyền cho chu trình

Local_sequence: Là một dãy các tên được khai báo là biến cục bộ trong chu

trình, nó chỉ có giá trị sử dụng trong phạm vi chu trình đang xét (local được sửdụng để khai báo cho các biến chỉ sử dụng bên trong một chu trình)

Global_sequence: Dãy các tên biến toàn cục có giá trị sử dụng ngay cả bên

ngoài chu trình

Option_sequence: Dãy các tuỳ chọn cho một chu trình

Statements_sequence: Dãy các câu lệnh do người lập trình đưa vào

Chương 2 CƠ SỞ THỐNG KÊ

Thống kê toán là bộ môn toán học nghiên cứu quy luật của các hiện tượngngẫu nhiên có tính chất số lớn trên cơ sở thu thập và xử lý các số liệu thống kêcác kết quả quan sát Như vậy, nội dung chủ yếu của thống kê toán là xây dựngcác phương pháp thu thập và xử lý số liệu thống kê nhằm rút ra các kết luậnkhoa học và thực tiễn

Các phương pháp thống kê toán là công cụ để giải quyết nhiều vấn đềkhoa học và thực tiễn nảy sinh trong các lĩnh vực khác nhau của tự nhiên vàkinh tế xã hội

2.1 Mẫu ngẫu nhiên

Tập hợp tất cả các phần tử cần nghiên cứu được gọi là một tổng thể Tậphợp các phần tử lấy ra từ một tổng thể được gọi là mẫu Số phần tử của mẫuđược gọi là số lượng của mẫu hay cỡ mẫu

Mẫu ngẫu nhiên là mẫu mà các phần tử được chọn ra một cách ngẫunhiên Có hai cách lấy mẫu ngẫu nhiên: lấy có lặp và lấy không lặp lại Với cáchlấy mẫu không lặp lại, phần tử lấy ra sau khi xác định các đặc trưng được trả lạitập ban đầu Với cách lấy mẫu không lặp lại, phần tử lấy ra sau khi xácđịnh cácđặc trưng không được trả lại tập ban đầu

Muốn cho mẫu phản ánh tương đối chính xác tổng thể thì mẫu phải đượcchọn một cách khách quan

Tiến hành n quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X nào đó Ta gọi X i làviệc quan sát lần thứ i về biến ngẫu nhiên X Khi đó ( X

2.2 Hàm phân phối thực nghiệm

Giả sử ta có một mẫu số liệu (x1 , x2

2.3 Đa giác tần suất và tổ chức đồ

2.3.1 Đa giác tần suất

Cho mẫu số liệu ( x1 , x2 , x n ) quan sát về biến ngẫu nhiên X Khi đó,

Bảng sau gọi là bảng phân bố tần số các giá trị của mẫu:

n3n

 n3

n  n k 1

n

Từ bảng phân bố này ta xây dựng biểu đồ tần suất như sau:

-Vẽ hệ trục toạ độ Oxy,trục Ox để biểu diễn các giá trị của x i Tại mỗi

a i

 a i

1 và chiều cao

nc .

Ví dụ 2.1 : Trọng lượng tính bằng kg của 33 học sinh nam lứa tuổi 13 được cho

trong bảng sau: 39 42 45 45 48 42 45 48 45 48 45

Giá trị nhỏ nhất : 39 kg , giá trị lớn nhất : 48 kg Ta ghép các số liệu trên thành 4 lớp với tần số ghép lớp như trong bảng sau:

Trọng lượng cân được Trọng lượng để tính

đầu (cuối)

a0 (a n ) một nửa chiều dài của lớp

Tổ chức đồ và đa giác tần suất cho ta hình ảnh của hàm mật độ xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

2.4 Các đặc trƣng của mẫu

2.4.1 Trung bình mẫu

Trung bình mẫu

Cho mẫu ngẫu nhiên ( X1 , X 2 , , X

n )

quan sát về biến ngẫu nhiên X

Trung bình mẫu kí hiệu X là trung bình số học của các giá trị mẫu

Trong lý thuyết ước lượng thì

S 2 là một ước lượng chệch của 2 chính vì

vậy trong thực hành người ta dùng đại lượng S

S *2

1 n

n ( X X )2

Định nghĩa 2.2 (Quy luật phân phối chuẩn)

Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị (−,+ ) gọi là phânphối

theo quy luật chuẩn với các tham số

nếu hàm mật độ xác suất của nó

luật chuẩn N (,2 ) Khi đó trung bình mẫu X là một tổ hợp tuyến tính

của

có phân phối ( n ) .

Định nghĩa 2.4 (Quy luật phân phối Student)

Cho Z ~ N (0,1) và biến ngẫu nhiên U là biến ngẫu nhiên có phân phối khibình phương với n bậc tự do độc lập với Z Khi đó, biến ngẫu nhiên T được xácđịnh như sau:

T  được gọi là có phân phối Student với n bậc tự do Kí hiệu T (n)

Định lý 2.3 (Sự độc lập của X và

S *2

)Giả sử ( X1 , X 2 , , X n ) là một mẫu quan sát biến ngẫu nhiên X , X ~