Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

Chương 2: PHéP quay quanh điểm trong mặt phẳng vớibài tập hình học Bài 1: Dùng phép quay để giải toán hình họcCũng như phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệu để giảitoán

trường đại học sư phạm hà nội 2

khoa toán

*************

phạm thị thủy

phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

Bùi văn bình

Hà Nội – 2008 1

Lời cảm ơnTrong thời gian nghiên cứu, cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt em được sự hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình.

Để hoàn thành khoá luận này, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình

và các thầy cô trong tổ hình học khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2.

Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khoẻ tới các thầy cô.

Hà Nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên

Phạm Thị Thuỷ

Lời cam đoan

Em xin cam đoan bản khoá luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Văn Bình cũng như các thầy cô trong tổ hình học trường ĐHSP Hà Nội 2.

Bản khoá luận này không trùng kết quả của các tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên

Phạm Thị Thuỷ

L í

d o

c h ọ n

đ ề

t à i

…

…

…

Chương 1: Cơ sở c ủ a phé p quay quanh điể m trong m ặ t ph ẳ ng

ầ n 3: K ế t

40

Tài

li

ệ u tham kh

1 Lí do chọn đề tài

Phần 1: mở đầu

Trong nhà trường phổ thông, hình họcluôn là một môn học khó đối với học sinh Bởihình học có tính chất chặt chẽ, tính lôgic và tínhtrừu tượng cao hơn các môn học khác của toánhọc

Trong chương trình toán ở bậc trung họcphổ thông hiện nay có đưa ra cho học sinh mộtcông cụ mới để giải toán hình học đó là sửdụng phép biến hình trong mặt phẳng Bởi phépbiến hình nói chung và phép quay nói riêng thểhiện tính ưu việt rõ rệt trong giải toán

Là một giáo viên phải tuỳ vào trình độhọc sinh của mình mà đưa ra bài toán phù hợpnên mỗi giáo viên cần biết cách xây dựng mộtbài toán Sử dụng phép biến hình nói chung vàphép quay nói riêng ta có thể xây dựng và sángtạo các bài toán

Chính vì vậy ở khoá luận này em xintrình bày về “Phép quay quanh một điểm trongmặt phẳng”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng và đưa ra cơ sở lí thuyết về phépquay quanh điểm trong mặt phẳng

- Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phép quay

để giải

- Xây dựng, sáng tạo bài toán bằng cách sử dụng phép quay

3 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở

thuyết của phépquay quanh điểmtrong mặt phẳngđưa ra hệ thống bàitập phù hợp

Phần 2: Nội dung Chương 1: cơ sở của phép quay quanh

điểm trong mặt phẳng

Bài 1: Định hướng

1 Định hướng trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu

ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm thì ta nóirằng đã định hướng được mặt phẳng Thông thường, ta chọn chiều quay xungquanh O ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương còn chiều ngược lại làmchiều âm

2 Góc định hướng giữa hai tia

2.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy Gócđịnh hướng có tia đầu là Ox, tia cuối là oy, kí hiệu ( Ox,Oy ) là góc thuđược khi ta quay tia đầu Ox tới trùng tia cuối Oy

* Nhận xét: Giá trị của góc định hướng trên không phải là duy nhất, ta qui

ước giá trị đó là âm hay dương tuỳ theo chiều quay là chiều âm hay chiều dương của mặt phẳng

Ta gọi ỏ là giá trị đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu được khi quay

(Ox,Oy) + (Oy,Oz) = (Ox,Oz)

1 Định nghĩa

Bài 2: PHép quay quanh điểm trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng đã được định hướng, cho một điểm O cố định và một

góc quay

* Chú ý:

hoặc Q(O; α )

Theo định nghĩa phép quay Q(O;ỏ) với ỏ = 0 là phép đồng nhất, còn nếu

α = π hoặc α = -π thì đó là phép đối xứng tâm O

(OM,ON)

Theo định nghĩa ta có O là điểm bất động của Q(O; α ).

tia OO’ và chính nó bằng α , nghĩa là α = 0 (mâu thuẫn giả thiết) Điều đóchứng tỏ Q(O; α ) có điểm O là điểm bất động duy nhất

Nêú M1 và M 2 có cùng một ảnh là điểm M’ thì

Khi đó :

Q(O; - α ):

* Hệ quả: Phép quay Q(O; α ) biến:

i)Một đường thẳng d thành đường thẳng d’và góc định hướng tạo bởi

iv)Biến góc ∠xSy

thành góc

∠x' S' y'

và hai góc đó bằng nhau

v)Biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R)

2.4 Tích của hai phép quay hoặc

là một phép tịnh tiến hoặc một phép quay

CM:

Xét haiphép quay

Qα

vàQ

β

Đặt

Q

= Q

α

○ Qβ

*TH1:

=OM''QM'M''thì



OM'')

=(OM,OM')(OM',OM'')βVậy Q

=

Q

2 ( a , a ' )

CM:thì theo tính chất của phép

O

a' a I

Vậy I là điểm bất động của Q = Đ a'  Đ a .

Gọi b là đường thẳng qua O và O’

2Dựng đường thẳng a’ qua O’ và

○ Đa α + β =

I

Q

Chương 2: PHéP quay quanh điểm trong mặt phẳng với

bài tập hình học

Bài 1: Dùng phép quay để giải toán hình họcCũng như phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệu để giảitoán hình học

Để giải một bài toán hình học bằng phép quay ta cần chú ý một số điểmsau:

- Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các phépquay riêng biệt dễ quan sát

- Những bài toán hình học mà trong giả thiết xuất hiện các yếu tố góc đặc biệtnhư: góc: 90  , 30  , 60  …và các yếu tố dài bằng nhau như: tam giác cân,tam giác đều, hình thoi, hình vuông, … thường gợi cho ta ý tưởng dùng phépquay để giải

Cụ thể ta sẽ nghiên cứu hệ thống bài tập sau:

1 Bài toán tính toán

1.1 Bài toán tính toán

Trong hình học ta thường gặp một số bài toán tính toán như: tính độ dài,tính số đo góc,…

Để giải bài toán tính toán ta phải thiết lập mối quan hệ giữa những cái đãbiết và cái cần tìm, sau đó tính toán theo yêu cầu bài toán

1.2 Giải bài toán tính toán nhờ phép biến hình

O' O

A M

M' t'

t

Dùng phép biến hình để giải bài toán tính toán là sử dụng các phép biếnhình để di chuyển các yếu tố (các hình) ở những vị trí không thuận lợi choviệc tính toán về các vị trí thuận lợi cho việc tính toán (cùng một tam giác,cùng một đường tròn,…) Đặc biệt phép quay là công cụ ưu việt để giải cácbài toán tính toán vì đã biết số đo góc quay

Ví dụ 1:

Cho hai vòng tròn (O) và (O’) mà vòng tròn này đi qua tâm vòng tròn kia Cáttuyến qua giao điểm A của hai vòng tròn cắt hai vòng tròn trên tại hai giaođiểm thứ hai lần lượt là M và M’ Tìm góc giữa hai tiếp tuyến Mt và M’t’ của(O) và (O’)

N

giác ta lấyđiểm M sao cho

∠BAC = 80 nên:

∠ABC = ∠ACB = 50 (3)

14

Từ (1), (2) và (3) ta có: ∠BCE = 10 .

Vì AB = AE = AC nên B, E, C cùng nằm trên một đường tròn tâm A Do đó:

∠EBC = 1 ∠EAC = 1 ⋅ 60 = 30 .2

2Mặt khác:

ậy

2.2 Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình

Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình tathường chuyển đại lượng cần xác định về đạilượng đã biết nhờ phép biến hình rồi thực hiệnyêu cầu bài toán Với việc sử dụng phép quay ta

thường đưa về bàitoán tính toán trướcrồi giải bài toán cựctrị.

Ví dụ 1:

Cho góc xOy và

điểm M nằm trong góc đó Tìm trên cáccạnh Ox, Oy các

điểm A, B sao cho

QO

C A

+ α, áp dụngđịnh lí hàm số cosin ta được:

+ α)

26

Độ dài đường gấp khúc BMM’A’ ngắn nhất khi M, M’nằm trên BA’ Khi đó

ngoại tiếp tam giác ACA’

Tóm lại, điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng BA’ và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACA’ Khi đó độ dài ngắn nhất cần tìm là:

Hai đường tròn bằng nhau (O;R) và (O’;R) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho

tròn (O’;R) ta lấy điểm M’ sao cho MM’ đi qua B Gọi S là giao điểm cáctiếp tuyến của hai đường tròn tại M và M’ Xác định vị trí của hai điểm M

và M’ để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM’ lớn nhất

Giải

A -120o

nghĩa là M, B ,M’’ thẳng hàng hay M’ trùng M’’

Q

Q

x

Ta gọi x là tiếp tuyến của (O;R) tại M, y là tiếp tuyến của (O’;R) tại M’ thì:

-120o A

: x  y

định lí sin cho tam giác SMM’ ta có:

Q

R' = 2sin60MM' o = MM'

3Với R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM’

Do đó R’ lớn nhất khi MM’ lớn nhất

Gọi H, K lần lượt là trung điểm BM, BM’ Khi đó HK là hình chiếu của OO’ trên MM’ nên ta có:

Vậy MM’ lớn nhất khi MM’ song song với OO’

3 Bài toán quĩ tích

3.1 Bài toán quĩ tích

Bài toán quĩ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm (còn gọi là một hình) có tính chất α cho trước

Quĩ tích điểm M có tính chất α cho trước có thể là tập rỗng, tập hữu hạnhoặc tập vô hạn điểm

Để khẳng định quĩ tích những điểm có tính chất α là hình H nào đó ta phảithực hiện các bước sau:

- Bước 1 (phần thuận): Chứng minh mỗi điểm có tính chất α đều phải thuộc hình H (nói lên tính không thiếu của quĩ tích)

- Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mỗi phần tử (điểm) thuộc hình H đều có tínhchất α (nói lên tính không thừa của quĩ tích)

3.2 Giải bài toán quĩ tích nhờ phép biến hình

Nếu quĩ tích diểm M là hình H thì ta có quĩ tích điểm M’ là

M làƒ − 1 (H’)

29

Để giải bài toán quĩ tích, thông thường ta phải chứng minh cả phần thuận

và phần đảo Phần thuận thường dễ chỉ ra nhưng phần đảo thường khó hơn

30

M

Nhưng khi ta giải bài toán bằng cách sử dụng phép biến hình nói chung, phépquay nói riêng, nhờ vào tính chất 1- 1 mà cả phần thuận và phần đảo đượcgiải quyết cùng lúc Đây là ưu điểm lớn của việc sử dụng phép biến hình vàogiải toán quĩ tích

Do đó, muốn sử dụng phép biến hình vào giải toán tìm tập hợp các điểm Mthoả mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp biếnđiểm M thành điểm M’ sao cho quĩ tích diểm M’ tìm được dễ dàng hơn, từ đósuy ra quĩ tích của điểm M

31

Q-60

Q

biến điểm M thành B

32

Q

Vì tam giác BMM’ đều nên

CMM’ vuông tại M’ Do đó:

là tam giác

MM'2+M'C

Cho đường tròn tâm O và dây cung AB có

độ dài không đổi Gọi M là trung điểm AB

Ta dựng tam giác đều OMN Tìm tập hợpđiểm N khi các đầu mút của dây AB biếnthiên

Giải:

Kí hiệu 2a là

dộ dài dây AB

có độ dài không đổi, R

là bán

không đổi nêntập hợpđiểm M

là đường tròntâm

O, bánkính

với a < R

Nếu a = R thì M trùng với O

Nếu a > R thì dây AB không tồn tại

Thực hiện phép quay:

60o

60oO

2 222

: M  N,O  O,(O; R

-a )Vậy tập hợp các điểm N là đường tròn

Q

QO

O O'

B C

Vì tập hợp điểm B là đường tròn (O) nên

tập hợp điểm C là đường tròn (O’) là ảnh

Bài toán dựng hình thường được giải theo qui trình 4 bước:

- Bước 1 (phân tích): Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối liên hệ giữa yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho để đưa ra cách dựng

- Bước 2 (cách dựng): Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản và bài toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng

- Bứơc 3 (chứng minh): Là việc chỉ ra hình cần dựng ở bước 2 đã thoả mãn yêucầu bài toán

- Bước 4 (biện luận): Khẳng định số nghiệm của bài toán

4.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình

Giải bài toán dựng hình nhờ sử dụng phép biến hình thể hiện ở bước phântích, ta qui việc xác định từng bộ phận của hình cần dựng về ảnh của hình đãcho qua một phép biến hình

Ví dụ 1:

QA

Qα A

α

Q

Dựng một tam giác đều nội tiếp trong một hình vuông, biết một đỉnh tam

Giả sử đã dựng được tam giác đều ABC nội

tiếp hình vuông MNPQ với đỉnh A cho

trước nằm trên cạnh MN, đỉnh B trên cạnh

: 

N N'

Dựng giao điểm B của đoạn N’P’ với cạnh MQ

Dựng C là ảnh của B qua phép quay

: N' N

(B) ⇒ C∈ NP

Vì C = Q-60o

[

Vậy ta được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài toán.

- Bước 4 (biện luận):

Bài toán có một nghiệm hình nếu đoạn N’P’ cắt đoạn MQ

Bài toán vô nghiệm hình nếu đoạn N’P’ không cắt đoạn MQ

Lấy điểm A bất kì trên x

Dựng ảnh z’ của z qua phép quay

B P A

M a

D

Q

C = Q-60o

tam giác đều

Vậy ABC là tam giác đều cần dựng

- Bước 4 (biện luận):

Bài toán có một nghiệm hình nếu z’ cắt y

Bài toán vô nghiệm hình nếu z’ song song với y

Bài toán có vô số nghiệm hình nếu z’ trùng y

*Nhận xét: Trong ví dụ 2, khi ta thay ba đường thẳng bởi ba hình khác, chẳng

hạn: ba đường tròn, ba hình vuông, ba hình bình hành, một đường thẳng vàhai đường tròn, một đường tròn và hai đường thẳng,… thì ta được các bàitoán hoàn toàn tương tự, sử dụng cách giải như trên

Ta có: ABCD và MNPQ có chung tâm đối

Vậy hình vuông ABCD vừa dựng thoả mãn đề bài.

- Bước 4 (biện luận):

Bài toán có một nghiệm hình

5 Bài toán chứng minh

5.1 Bài toán chứng minh

Q

Q

A là giả thiết, bao gồm: những yếu tố đã cho (điểm, đường thẳng, đường tròn,…); những quan hệ đã biết (liên thuộc, song song, vuông góc,…);nhữngyếu tố về lượng (độ dài, góc,…).

B là kết luận cần được khẳng định là đúng

“ ⇒ ” là những suy luận hợp lôgic dựa trên các giả thiết có mặt trong A, các định nghĩa, các định lí, các công cụ,… để khẳng định

B đúng

5.2 Giải toán chứng minh nhờ phép biến hình

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép biến hình đó

ta có thể nhận được các kết quả về:

Tính đồng qui hay tính thẳng hàng

Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc

Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau

giúp suy ra điều cần chứng minh

Phép quay là một công cụ ưu việt trong việc sử dụng để đưa đến các kết quả trên

Ta có thể chuyển đổi bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh

chuyển A thành A’ và B thành B’ qua một phép biến hình Khi mệnh đề thaythế được chứng minh thì nhờ tính chất 1_1 và tính chất của phép biến hình đã

sử dụng để suy ra mệnh đề ban đầu

Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quen gọi

là dựng các hình phụ có thể giúp mang những dữ kiện đã cho đến với những hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được điều cần chứng minh Thông thường việc dựng hình phụ tương đương với việc dựng ảnh của điểm hay đường qua một phép biến hình nào đó

Ví dụ 1:

Cho hai trục x’Ox và y’Oy vuông góc với nhau tại O Giả sử C là điểm trên phân giác góc xOy, vòng tròn tâm I di động qua C và O cắt Ox’, Oy lần lượt tại M, N.

a, Chứng minh rằng : OM + ON = k không đổi.

b, Giả sử vòng tròn tâm I’ qua C và O cắt Ox’, Oy lần lượt tại A, B thì ta

Ví dụ 2:

Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N

Ví dụ 3:

Cho hình vuông ABCD nội tiếp hình bình hành A’B’C’D’ sao cho:

B’, C’, các đường vuông góc d1, d2, d3, d4 lần lượt xuống các cạnh hình vuông: CD, DA, AB, BC Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2,d3, d4 tạo thành một hình vuông

d4 d2

d1



C'' D'

A'

rằng qua phép quay 90  quanh điểm O (O

là tâm hình vuông ABCD) các đường thẳng

d1, d2, d3, d4 đường này biến thành đường

kia như sau:

*Chú ý: Có nhiều bài toán sau khi giải xong ta thu được những kết quả mà

dựa vào đó ta có thể xây dựng và giải nhiều bài toán khác liên quan Điều đó được thể hiện qua một số ví dụ sau đây:

Q) = 90

P

⇔ 

A H

CN ⊥ BQ

K M

B D

C

b,

Ta có:

1

BQ2

nghĩa là tam giác DKH vuông cân tại D

*Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 1 ta có công cụ để

giải một số bài toán sau:

Bài 1:

Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài của tam giác các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF lần lượt có tâm là K, H, G Chứng minh rằng:

a, Gọi S là trung điểm

P S

B C

30

nghĩa là AG, CK, BH là ba đường

cao của tam giác KHG nên chúng

Xét tam giác MBQ ta có BMNA, BCPQ

là các hình vuông dựng ra phía ngoài tam

điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là các đỉnh của một hình vuông.

Giải:

Gọi I, M, K, N lần lượt là trung điểm

BD, HF, AC, EG

Vì K là trung điểm AC nên áp dụng kết

quả của ví dụ 1 đối với các tam giác

32