Liên hợp của không gian C [a,b]

ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnhvực khoa học khác.Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho cácngành toán học nói trên, mặt khác n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI- 2013

-em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

MẠC ANH VĂN

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cốgắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sựtrân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân,không có sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

MẠC ANH VĂN

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3

1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 3

1.2.Không gian C a,b 9

1.3.Hàm có biến phân bị chặn 10

1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes 11

CHƯƠNG 2: LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  a , b  15

2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[a,b] 16

2.2.Quan hệ tương đương giữa các hàm có biến phân bị chặn 20

2.3.Chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn 24

2.4.Liên hợp của không gian C  a , b  .26

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnhvực khoa học khác.

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho cácngành toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàmphải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trongchừng mực nào đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng.Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn

đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy

thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứngdụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoahọc khác nói chung

2 Mục đích nghiên cứu

một số ứng dụng để thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn

6

đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng vàcác lĩnh vực khoa học khác nói chung.

3 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric,không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian

biến phân bị chặn, tích phân Riemann-Stieljes

4 Phương pháp nghiên cứu

C a,b , hàm có

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh…

5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến định lý của không gian

6 Bố cục luận văn

Phần mở đầu

Nội dung khoá luận gồm hai chương:

Chương 1: Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

Kết luận

 2

 x n n1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

sau đây:

1)(x  X ), x  0, x  0  x  0;

2)(x  X ), (  P),  x   x ;

3)(x, y  X ), x  y  x  y

Ví dụ 1.1 Cho không gian véctơ

Định nghĩa 1.2: Ta nói chuẩn . và

Chú ý:

Trong một không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đươngnhau Các chuẩn tương đương cùng sinh một tôpô Điều này không cònđúng trong không gian vô hạn chiều

Định nghĩa 1.3: Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định

chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn

Mỗi không gian Hilbert tách được (tức tồn tại một cơ sở Hilbert

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.4: Một không gian Banach là một không gian tuyến tính

định chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đócủa không gian ấy)

Ví dụ 1.2

a) Không gian Hilbert là không gian Banach

b) L P ( X , d  ) ,1  p   là không gian Banach

Định nghĩa 1.5: (Toán tử tuyến tính bị chặn)

Một ánh xạ tuyến tính bị chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai

1

)

và ( X 2 , 2)

Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:

T  sup Tx 2

x 1 1

Bổ đề 1.1: Chuẩn của toán tử cũng là một chuẩn trên không gian

L( X ,Y ) tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y

tính chất tuyến tính thì x  X , Tx  0 Nhưng do . là một chuẩn

nên Tx  0 , x X1 Do đó T  0

Định lý 1.1: Nếu Y là một không gian Banach thì

không gian Banach.

giả sử là A(x) Khi đó ánh xạ x  A( x) tuyến tính là điều rõ ràng Bây

1.1.3 Định lý Hahn-Banach

Định lý 1.2: Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên một không

gian con M của một không gian véctơ thực X Nếu có một hàm dưới

một phiếm hàm tuyến

2) (x  X ) F (x)  (x)

f (x)

Hệ quả 1.1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một

F  f .

Hệ quả 1.2: Cho không gian định chuẩn X Với mỗi phần tử khác không

x0 

và

f  1 .

1.1.4 Không gian liên hợp

Định nghĩa 1.6 : Cho X là một không gian định chuẩn Không gian liên

Định lý 1.3 : (Định lý Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực Khi

2 2

Sau đây ta sẽ mở rộng sang không gian Lp : Ta có

- Nếu

J ( x)  X  thì ta nói rằng X là phản xạ

1.2 Không gian C a,b

với phép cộng và phép nhân tạo thành không gian vécto thực

Định nghĩa 1.8: Tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên một đoạn

Định lý 1.5: Không gian C a,b là không gian Banach với chuẩn (1.1)

Định nghĩa 1.8: Cho hàm số F(x) xác định trên đoạn a,b Ta gọi biến

n là số tự nhiên tùy ý) Hàm số biến phân bị chặn (giới

nội) nếu V b (F )  

F(x) gọi là có

Ví dụ: Cho F (

có biến phân bị chặn, vì tổng (1.3) đối với nó luôn bằng

Một hàm

của hai hàm số đơn điệu không giảm.

18

a

a

Thật vậy, giả sử F(x) có biến phân bị chặn Cho V (x)  V x (F ) và

là một điểm bất kỳ của đoạn x i , x x1  Nếu khi

max(x i1  x i )  0 , tổng S dần tới một giới hạn hữu hạn không phụ

Riemann-Stieltjes của f (x) theo g(x) và được kí hiệu

a

0 1

a

Định nghĩa 1.10: Cho g là độ đo L.S cảm sinh bởi một hàm số không

phân

A f (x)dg tồn tại thì nó cũng được gọi là tích phân

(L.S) A

f (x)dg(x).

Định lý 1.6:

Riemann-Stieltjes tồn tại và bằng nhau:

m,i1  x m,i )  0 (m  ) Ta hãy lấy trong mỗi

Định nghĩa 1.11: Một hàm số F ( x) được gọi là tuyệt đối liên tục trên

x i 1

 x i

g (x)d ( x) , và ta có:

chặn trên C a,b khi đó tích

CHƯƠNG 2

Kết quả rất quan trọng trong giải tích hàm là định lý biểu diễn chophiếm hàm tuyến tính bị chặn trên

quả tương tự cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian Banach

C a,b - không gian hàm có giá trị phức, xác định và liên tục trên a,b;không gian với chuẩn của

x a,b được xác định là:

x  max x(t)

Chúng ta sẽ chứng minh rằng, để mỗi phiếm hàm tuyến tính f bị

cho bởi tích phân Riemann – Stieltjes

b

f (x)  x(t)dg(t).

a

(2.2)

Bằng cách này, chúng ta sẽ đạt được một con đường để biểu diễn

C a,b tức C a,b  C a,b * Ngoài ra thêm B a, b là tập hợp tất cả

2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[a,b]

Theo định lí sau, là một phát biểu về sự tồn tại của hàm có biến

Định lí 2.1 Giả

sử f  C a, b  khi đó tồn tại

hàm g (t)  BV a,bsao cho, với

Chứng minh: Nhờ định lí Hahn – Banach nếu ta coi C a,blà không

cũng lưu ý là, việc xác định như trên là hợp lí vì F xác định trên



(  0)

(i  1, 2, , n) (2.10)

i  ti

y0  0

0  t  t1

vế phải của (2.9) với t0  t  t1 là:

x(t)  C a,blà hàm liên tục đều (hàm liên tục

trên C a,b ta có thể viết:



2.2 Quan hệ tương đương giữa các hàm có biến phân bị chặn

Do hai hàm g(t) và g(t  c) có cùng tính chất biên phân bị chặn và

định lớp tương đương các hàm có biến phân bị chặn

Hình 2.1 Hàm x(t) thỏa mãn điều kiện (2.19)

Chứng minh (Điều kiện cần) Giả sử

Bây giờ với x(t) ở trên, chúng ta xét

0   a y(t)dx(t)   a dx(t)   c y(t)dx(t)  x(c  a)  x(a)   c y(t)dx(t) (2.25)

Từ công thức tích phân từng phần đối với tích phân Riemann- Stieltjes và từ (2.24) suy ra:

Theo cách tương tự ta có thể chứng minh

điều kiện cần đã được chứng minh

x(b)  x(c  0)

(2.29)như vậy

Chứng minh (Điều kiện đủ) Giả sử bây giờ cho x(t) thỏa mãn điều kiên

mọi

t a,b, khi đó

x (b)  x(b)

và x (t) điểm  x(t) với mọi

 C a,b ta được:



 y(t)dx(t)   y(t)d x (t).

(2.30)

Do đó với mọi y  C a, b, vì x (t) là hằng số và như vậy ta có

biếnphân toàn phần bằng 0:

2.3.Chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn

Định nghĩa 2.1 Cho hàm g (t)  BV a,bđược gọi là chuẩn hóa nếu

g (a)  0 và g là liên tục phải Khi đó với mọi t a,b  , g(t  0)  g(t)

Tập hợp chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn sẽ gọi là

NBV a,b

Bây giờ ta chứng minh bổ đề sau:

Hay

Khi đó bổ đề (2.2) được chứng minh.

2.4 Liên hợp của không gian C a,b

Định lí 2.2: Cho các hông gian C□ a,b

(Lưu ý rằng, từ

V (g) )

g  NBV a,b , g  g (a)  V (g ) là đúng trên

Hơn nữa, với

f , g và h như trên, theo định lí (2.1) ta có thể viết là

KẾT LUẬN

riêng có vai trò quan trọng trong giải tích Trong khóa luận này đã tập

Khóa luận này của em được hoàn thành trong một thời gian ngắn

và sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế nên chắc chắn không tránh khỏithiếu sót Em rất mong nhận được sự góp ý và cảm thông sâu sắc từ phíacác thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn.Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi KiênCường, lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, cũngnhư các thầy cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điềukiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật

HN

2 Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB GD.

3 Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB ĐHQG HN.

4 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm và giải tích hàm (tập 1), NXB GD.

5 A.N.Conmogogrop.X.V.Fomin (1971), Cơ sở líthuyết hàm và giải tích hàm(tập 1), NXB GD.

6 Sylvia Serfaty (2006), Functional Analysis Notes, New York

University

Analysis, Brooklyn,New York.