Luận văn sư phạm Liên hợp của không gian C [a,b]

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết về định lý của không gian liên hợp C a b , và một số ứng dụng để thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn... Đối tượng và nhiệm vụ n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI- 2013

em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

MẠC ANH VĂN

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

MẠC ANH VĂN

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3

1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 3

1.2.Không gian C a b , 9

1.3.Hàm có biến phân bị chặn 10

1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes 11

CHƯƠNG 2: LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C a b 15  ,

2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[a,b] 16

2.2.Quan hệ tương đương giữa các hàm có biến phân bị chặn 20

2.3.Chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn 24

2.4 Liên hợp của không gian C a b 26  ,

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Liên hợp của không gian C a b ” làm  ,

đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy được định lý cần và đủ của không gian liên hợp C a b Thông qua đó  ,thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết về định lý của không gian liên hợp C a b , và một số ứng dụng để thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn

đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung

3 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian C a b , , hàm có biến phân bị chặn, tích phân Riemann-Stieljes

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh…

Nội dung khoá luận gồm hai chương:

Chương 1: Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

Chương 2: Liên hợp của không gian C a b ,

Kết luận

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu là thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau đây:

1)( x X), x 0, x   0 x 0;

2)( x X), (  P), x   x ;

3)( ,x y X ), x y  x  y

Số x gọi là chuẩn của véc tơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn l X

Ví dụ 1.1 Cho không gian véctơ l2 Đối với véctơ bất kỳ x x( )n l2 ta

đặt:

2

1 nn

Chú ý:

Trong một không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đương nhau Các chuẩn tương đương cùng sinh một tôpô Điều này không còn đúng trong không gian vô hạn chiều

Định nghĩa 1.3: Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn

Hai chuẩn 1và 2là tương đương  ánh xạ

d

i X  X là một đẳng cấu (id liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục)

Ví dụ 1.2

Mỗi không gian Hilbert tách được (tức tồn tại một cơ sở Hilbert đếm được) đều đẳng cấu với l2

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.4: Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đó của không gian ấy)

Ví dụ 1.2

a) Không gian Hilbert là không gian Banach

b) L X dP( , ),1 p   là không gian Banach

Định nghĩa 1.5: (Toán tử tuyến tính bị chặn)

Một ánh xạ tuyến tính bị chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn( , )X1 1 và (X2, )2 là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn c 0 sao cho:

Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:

2 1

sup

1

Tx T

tính chất tuyến tính thì  x X Tx1, 2 0 Nhưng do 2 là một chuẩn nên Tx 0,  x X1 Do đó T 0

Định lý 1.1: Nếu Y là một không gian Banach thì ( , )L X Y cũng là một không gian Banach

1.1.3 Định lý Hahn-Banach

Định lý 1.2: Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên một không gian con M của một không gian véctơ thực X Nếu có một hàm dưới tuyến tính  xác định trong X sao cho ( x M) f x( )( )x thì phải có một phiếm hàm tuyến tính ( )F x xác định trong toàn thể X sao cho: 1) F là khuếch của f , nghĩa là:( x M)F x( ) f x( )

2)( x X)F x( )( )x

Hệ quả 1.1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X , mà có

1.1.4 Không gian liên hợp

Định nghĩa 1.6 : Cho X là một không gian định chuẩn Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu X* là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Định lý 1.3 : (Định lý Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực Khi

đó, với mọi F H  thì tồn tại duy nhất hàm f H sao cho ( )F x  f x, ,  x H Hơn nữa f  F

Trường hợp đặc biệt ta coi H* là H Ví dụ:

a) ( )L2  L2

b)  *

2 2

Sau đây ta sẽ mở rộng sang không gian Lp: Ta có ( )Lp   Lp ,1  p với 1 1 1

'

p p  nói cách khác, ta có định lý sau: Định lý 1.4: Cho 1 p   Khi đó, với mọi F( )Lp  thì tồn tại duy nhất hàm f L p với 1 1 1

Không gian Hilbert là một không gian phản xạ

Không gian L1 không phản xạ vì ( )L1   L mà ( )L  L1như đã thấy trước đó

1.2.Không gian C a b  ,

Kí hiệu C a b là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn  ,  a b cùng ,với phép cộng và phép nhân tạo thành không gian vécto thực

Định nghĩa 1.8: Tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên một đoạn

 a b với khoảng cách giữa hai phần tử , x t và ( )( ) y t là

Định lý 1.5: Không gian C a b là không gian Banach với chuẩn (1.1)  ,Chứng minh:

Giả sử x tn  n1 là dãy cơ bản bất kỳ trong C a b , ,nghĩa là với

Đặt x t limnx tn , cho t thay đổi trên  a b, thì ta có hàm số

Hay ax n   

a t b

   

Tức là dãy x t hội tụ đều tới n  x t  

Vậy x t liên tục trên   C a b và  , x t C a b , và x tn  n1 hội

tụ tới x t trong   C a b Nói cách khác, , C a b là không gian Banach  ,với chuẩn (1.1)

n

i i i

Ví dụ: Cho ( )F x là hàm số đơn điệu không giảm thì bao giờ cũng

có biến phân bị chặn, vì tổng (1.3) đối với nó luôn bằng ( )F b F a ( ), bất

kể chia đoạn  a b như thế nào ,

Một hàm số ( )F x có biến phân bị chặn khi và chỉ khi nó là hiệu của hai hàm số đơn điệu không giảm

Thật vậy, giả sử ( )F x có biến phân bị chặn Cho ( ) x( )

1

1 0

n

i i i i

( ) b ( ) ( )

a

R S  f x dg x

Định nghĩa 1.10: Cho g là độ đo L S cảm sinh bởi một hàm số không giảm ( ), ( )g x f x là một hàm số g - đo được trên một tập A Nếu tích phân A f x d( ) g tồn tại thì nó cũng được gọi là tích phân Lebesgue-Stieljes ( )L S của ( )f x theo ( )g x trên A và cũng được kí hiệu:

( )L S A f x dg x( ) ( )

Định lý 1.6: Nếu ( )f x liên tục và ( )g x có biến phân bị chặn và liên tục bên phải trên  a b, thì các tích phân Lebesgue-Stieltjes và Riemann-Stieltjes tồn tại và bằng nhau:

( ) b ( ) ( ) ( ) b ( ) ( )

L S  f x dg x  R S  f x dg xChứng minh: Cho  m là một dãy những cách chia đoạn  a b bởi các ,điểm

,0 1 , m

m m m n

a x  x  x bSao cho ax( m i, 1 m i,) 0 ( )

Vì ( )f x liên tục nên nó bị chặn: ( )f x  K và f xm( ) K với mọi

m Vả lại f xm( ) f x m( ) (  ) Vậy theo định lí hội tụ bị chặn ta có:

 

( )L S a b f x dg xm( ) ( ) ( ) L S a b f x dg x( ) ( )Thành thử

1

! 0

 

1

1 0

( ) ( ) ( )

i

i

x n

Bổ đề 1.2: Nếu ( )x t là liên tục trên C a b và  , g t có biến phân bị ( )

chặn trên C a b , khi đó tích phân ( ) ( )b

CHƯƠNG 2 LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C a b ,

Kết quả rất quan trọng trong giải tích hàm là định lý biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên l Ở đây, chúng ta sẽ đạt được kết pquả tương tự cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian Banach

x V x ( ) (2.3) Trong chương này ta sẽ kí hiệụ C a b ,

là không gian liên hợp của

 ,

C a b  C a b Ngoài ra thêm B a b , là tập hợp tất cả các hàm giá trị phức xác định và bị chặn trên  a b ,

2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[a,b] Theo định lí sau, là một phát biểu về sự tồn tại của hàm có biến phân bị chặn đối với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C a b  ,Định lí 2.1 Giả sử f C a b  , khi đó tồn tại hàm g t( )BV a b , sao cho, với mọi x C a b  ,

Chứng minh: Nhờ định lí Hahn – Banach nếu ta coi C a b là không  ,gian con của B a b thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính bị chặn F được xác  ,định trên B a b , mở rộng f sao cho F ,  f Bây giờ với a s b  , xét hàm đặc trưng của  a s, , kí hiệu là k a s, ( )t :

cũng lưu ý là, việc xác định như trên là hợp lí vì F xác định trên

i 0 hoặc 1 ( 1,2, , )i n (2.7) ( )

y t không chỉ bị chặn mà còn:

1

y  (2.8) Tiếp theo chúng ta có:

1 1

i i i

lim ( ) lim ( )F z z xF z F x( )

   Bằng định nghĩa của tích phân Riemann-Stieltjes suy ra

Áp dụng bổ đê (1.3) với (2.15) suy ra:

( )f x  max ( ) ( )x t V g  x V g( ) (2.16) với mọi x C a b  , Do đó:

Do hai hàm ( )g t và (g t c ) có cùng tính chất biên phân bị chặn và biến phân toàn phần bằng nhau nên để xác lập được ánh xạ từ C a b ,

nên BV a b , thì tương tự như lí thuyết tích phân Lebesgue ta cần xác định lớp tương đương các hàm có biến phân bị chặn

Định nghĩa 2.1: Cho x x1, 2BV a b , ta nói x1 tương với x2 khí hiệu

x1 ฀ x2 (2.18) nếu

Bổ đề 2.1: Quan hệ “ ฀ ” là một quan hệ tương trên BV a b  ,

Thật vậy từ (2.19) ta có thê dễ dàng chỉ ra “ ฀ ” có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Do đó “ ฀ ” là một quan hệ tương đương trên

Khi đó ta đi đến định lí sau:

Định lí 2.2: Cho x BV a b  , , x ฀0 khi và chỉ khi với mọi c bất kì thỏa mãn a c b  thì

x a  x b x c x c (2.20) Lưu ý là (2.20) không yêu cầu ( )x t liên tục ở mỗi điểm trong , ví

dụ hàm như hình (2.1)

Hình 2.1 Hàm ( )x t thỏa mãn điều kiện (2.19) Chứng minh (Điều kiện cần) Giả sử x ฀0 Dùng (2.20) ( ) 1y t  , ta được

vì thế

( ) ( )

x b  x aTrước khi kết thúc chứng minh ta có thể dễ dàng chứng minh hai ý sau bằng định lí giá trị trung bình của tích phân:

Hàm được minh họa trong hình (2.2)

Hình 2.2 Hàm ( )y t được định nghĩa bởi (2.24)

( )

y t

t 1

c

Bây giờ với ( )x t ở trên, chúng ta xét

x b x b và ( )x t x t( )với mọi điểm t a b, , tại các điểm trong của

 a b, mà ( )x t liên tục.Bằng cách tương tự trong chứng minh của (2.16) với mọi y C a b  , ta được:

( ) ( ) ( ) ( )

y t dx t  y t d x t

Do đó với mọi y C a b  , , vì ( )x t là hằng số và như vậy ta có biến phân toàn phần bằng 0:

( ) ( ) 0

b a

2.3.Chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn

Định nghĩa 2.1 Cho hàm g t( )BV a b , được gọi là chuẩn hóa nếu ( ) 0

g a  và glà liên tục phải Khi đó với mọi t a b, , ( 0)g t  g t( ) Tập hợp chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn sẽ gọi là NBV a b  , Nhận xét: Ta có thể dễ dàng được kiểm tra được NBV a b là  ,không gian con của BV a b  ,

Bây giờ ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Giả sử x x1, 2BV a b , trong đó x1 ฀ x2và x x1, 2 là chuẩn hóa khi đó x1  x2

Chứng minh: Theo giả thiết ta có x1฀ x2 suy ra (x x1 2) 0฀ Khi đó áp dụng định lí (2.2) suy ra

(x x a1 2)( ) ( x x b1 2)( ) (2.31) Nhưng từ x x1, 2 là chuẩn hóa nên x a1( ) x a2( ) 0 và từ (2.31) ta được:

Bây giờ cho x BV a b  , ta kí hiệu x NBV a b  , là lớp các hàm

có biến phân bị chặn và chuẩn hóa tương đương với x Khi đó ta đi chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.2: Với mọi x BV a b  , và ( )V x là biến phân toàn phần của x

ta có:

V x V x( ) ( ) (2.33) Chứng minh:

V x V x 

Suy ra

( ) ( )

V x V xKhi đó bổ đề (2.2) được chứng minh

2.4 Liên hợp của không gian C a b ,

Định lí 2.2: Cho các hông gian ฀C a b và  , NBV a b là tương đương  ,Xét ánh xạ sau:

và

( )

(Lưu ý rằng, từ g NBV a b  , , g  g a( ) V g( )là đúng trên ( )

Hơn nữa, với ,f g và h như trên, theo định lí (2.1) ta có thể viết là

Tg  f  g

Do đó T là một phép đẳng cự và là ánh xạ lên vì vậy định lí được chứng minh

KẾT LUẬN

Giải tích hàm nói chung và liên hợp của không gian C a b nói  ,riêng có vai trò quan trọng trong giải tích Trong khóa luận này đã tập trung nghiên liên hợp của không gian C a b và một vài ứng dụng của nó  ,Khóa luận này của em được hoàn thành trong một thời gian ngắn

và sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được sự góp ý và cảm thông sâu sắc từ phía các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, cũng như các thầy cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật

HN

2 Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB GD

3 Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB ĐHQG HN

4 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm và giải tích hàm (tập 1), NXB GD

5 A.N.Conmogogrop.X.V.Fomin (1971), Cơ sở líthuyết hàm và giải tích hàm(tập 1), NXB GD

6 Sylvia Serfaty (2006), Functional Analysis Notes, New York University

7 George Bachman and Lawrence Narich (1972), Functionnal Analysis, Brooklyn,New York