tính chất của toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

LỜI MỞ ĐẦUKhông gian Hilbert là một không gian quan trọng trong lí thuyết giải tích hàm, trong đó nghiên cứu về: tích vô hướng và không gian Hilbert, tính chất trực giao, phiến hàm tuyến

LỜI MỞ ĐẦU

Không gian Hilbert là một không gian quan trọng trong lí thuyết giải tích hàm, trong đó nghiên cứu về: tích vô hướng và không gian Hilbert, tính chất trực giao, phiến hàm tuyến tính và song tuyến tính trên không gian Hilbert, toán tử liên hợp trong không gian Hilbert,… Mục đích của bài tiểu luận này là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất của toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert Với mục đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo chúng tôi tìm hiểu các khái niệm và tính chất cơ bản, đưa ra các ví dụ mình họa và bài tập cụ thể, chúng minh chi tiết một số mệnh đề có trong tài liệu Ngoài ra chúng tôi đã chứng minh một số mệnh đề có trong các tài liệu tham khảo mà ở đây chúng tôi đưa ra dưới dạng bài tập để bạn đọc tham khảo

Tiểu luận được chia thành hai phần chính

 Thứ nhất: trình bày về những kiến thức cơ bản của tiểu luận

 Thứ hai: đưa ra các ví dụ, các dạng bài tập cụ thể

Chúng tôi xin cảm ơn TS Bùi Thế Hùng đã hướng dẫn, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành tiểu luận này

Do thời gian và năng lực hạn chế, nên bài tiểu luận không tránh khỏi những thiếu sót, mong thầy cô và bạn đọc đóng góp và cho ý kiến để bài tiểu luận hoàn thiện hơn

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ:

Trong mục này, ta nhắc lại một số kiến thức sau:

1.1 Định nghĩa : Cho là một - không gian vec tơ Một chuẩn trên là một hàm từ

thỏa mãn các điều kiện sau với mọi , mọi

1. nếu và chỉ nếu

2

3

Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó

Nếu là không gian định chuẩn thì công thức

với mọi

xác định một Metric trên , ta gọi metric này là metric sinh bởi chuẩn

1.2 Định nghĩa : Giả sử là các không gian định chuẩn trên cùng một trường Kí

hiệu L là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ L là không gian vec tơ con củakhông gian vec tơ L tất cả các ánh xạ tuyến tính từ Với mỗi L , đặt:

1.3.Định lý: Với mọi L

Hàm là một chuẩn trong L

1.4 Định lý: Nếu F là không gian Banach thì không gian L (E,F) là không gian

Banach

1.5 Định lý: (Định lý Hahn – Banach): Giả sử E là một không gian vectơ phức, p

là một nửa chuẩn trên E Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con F

của E sao cho f(x) ≤ p(x) với mọi x thuộc F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính g xác định trên E sao cho

= f và g(x) ≤ p(x) với mọi x thuộc E

1.6 Hệ quả: ( Hệ quả Định lý Hahn – Banach ) Giả sử F là là một không gian

vectơ con của không gian định chuẩn E và vectơ v thuộc E\F sao cho

d(v, F) = inf x –v = δ > 0

Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyển tính liên tục f : E → K sao cho

= 0 và f(x) = δ

1.7 Hệ quả: (Hệ quả Định lý Hahn – Banach ) Với mọi vectơ v trong không gian

định chuẩn E, v ≠ 0, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho f =

1 và f(x) = v

1.8 Định lý: ( Định lý ánh xạ mở ) Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ một không

gian Banach E lên không gian Banach F là mở, tức là với mợi tập mở U trong E, f(U) là tập mở trong F

1.9 Hệ quả: ( Định lý Banach ) Nếu f là song ánh tuyến tính từ không gian

Banach E lên không gian Banach F và F liên tục thì F là đồng phôi

1.10 Định nghĩa: Cặp (E,), trong đó E là một không gian tuyến tính, là tích vô

hướng trên E, đuọc gọi là không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ thì E được gọi là không gian Hilbert.

1.11.Định lý : ( định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên không gian Hilbert ) Giả sử E là không gian Hilbert Khi đó :

(i) Với tương ứng ↦ xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E với

chuẩn là a

(ii) Ngược lại nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E, thì tồn tại duy

nhất để

f (x) =

II.Toán tử liên hợp:

Ta biết rằng, không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng vì vậy ta có thể xem xét toán tử liên hợp theo định nghĩa thông thường trên không gian định chuẩn tuy nhiên nhờ định lý 3.21 ( Riesz) ta có cách

tiếp cận khác với toán tử liên hợp trên không gian hirbert một cách thuận lợi hơn Trong phần này chúng ta đề cập tới một số kết quả về toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính từ một không gian Hilbert vào chính nó

Định nghĩa: Giả sử là một không gian Hilbert, Với mỗi phần tử cố định xét

hàm số

Xác định bởi với mọi Dễ dàng chứng minh được là một phiến hàm tuyến tính Ngoài ra

,

Với mọi Kéo theo là một phiến hàm tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert

và

(1)

Theo định lý 3.21 ( Riesz), tồn tại duy nhất một phần tử sao cho

(2)

Đặt ta được một ánh xạ Dễ dàng chứng minh được là một ánh xạ tuyến tính Từ định lý 3.21 ( Riesz), kết hợp với bất đẳng thức (1) ta có

Với mọi Vậy là một toán tử tuyến tính giới nội và

Toán tử xác định như trên được gọi là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục Toán tử liên hợp của toán tử gọi là toán tử liên hợp thứ hai của Kí hiệu

Từ định nghĩa toán tử , suy ra rằng được xác định bởi đẳng thức

Định lý 3.25 Giả sử X là không gian Hilbert và Khi đó

và

Chứng minh

Theo định nghĩa về toán tử liên hợp,ta có:

Với mọi Do đó , kéo theo Như ta biết,

suy ra Định lý được chứng minh

Ví dụ: Giả sử là một toán tử tuyến tính Ta biết rằng liên tục và được xác định bởi

ma trận ),

Giả sử toán tử liên hợp của được xác định bởi ma trận Khi đó với mỗi ),

Ta biết

Và

Từ kết hợp với (3) và (4) ta có

Như vậy toán tử liên hợp được xác định bởi ma trận ( ,

Định lý 3.26: Cho A, B B (X) là các toán tử liên tục từ không gian Hilbert X vào

chính nó và λ K Khi đó, ta có

1, = +

2,

3,

4,

Chứng minh.

Việc chứng minh định lý là đơn giản, dựa theo định nghĩa Chẳng hạn, ta chứng minh khẳng định (3)

Với mọi , ta có:

= =

Suy ra với mọi kéo theo

Các khẳng định sau chứng minh tương tự

Định lý 3.27 : Cho không gian Hilbert và B (X) Khi đó là đồng phôi khi và chỉ

khi là đồng phôi

Chứng minh.

Giả sử là đồng phôi, khi đó:

Theo định lý 3.26 ta có

Nên là một phép đồng phôi và

Ngược lại, nếu là một phép đồng phôi thì theo chứng minh trên là một phép đồng phôi Do nên cúng là một phép đồng phôi

Định lý 3.28: Nếu là một hkông gian Hilbert và B (X) thì

Trong đó, ⊗ là ký hiệu của tổng trực giao

Chứng minh.

Chú ý rằng là hai không gian con đóng của nên để chứng minh ta chỉ cần chứng minh Thâtk vậy, với mỗi thì Điiiều naý kéo theo với mọi Do

Nên với mọi tức là Từ tính chất liên tục của tích vô hướng ta suy ra Tức là Ngược lại, nếu thì , suy ra , kéo theo với mọi Do nên với mọi Điều này chỉ xảy ra khi , tức là

Như vậy, , nên ta có đẳng thức thứ nhất Đẳng thức còn lại trong định lý nhận được

từ đẳng thức đã chứng minh bằng cách thay bởi với chú ý

III Toán tử tự liên hợp:

Chỉ Còn phần của liên

Định lí 3.32 Giả sử X

là một không gian Hilbert, là một dạng song tuyến tính giới nội Hermite Khi đó tồn tại duy nhất một toán tử tự liên hợp sao cho:

với

Chứng minh:

Với mỗi phần tử cố định , đặt

Khi đó là một phiếm hàm tuyến tính Ngoài ra,

với mọi , nên là một phiếm hàm giới nội và y

Theo định lí Riesz, tồn tại một phần tử duy nhất sao cho

với mọi và

Xét toán tử , xác định bởi với mỗi , trong đó z xác định bởi Hiển nhiên với mọi

Dễ dàng chứng minh được A là toán tử tuyến tính Ngoài ra, do

với mọi nên A giới nội Tiếp theo ta chứng minh A là toán tử tự liên hợp Với mọi ,

Vậy và A thỏa mãn đẳng thức , với mọi Và cũng từ đẳng thức này suy ra tính duy nhất của A Định lý được chứng minh

Nhận xét: Cho là dạng song tuyến tính giới nội Hermite Khi đó phiếm hàm k xác định trên không gian Hilbert X

xác định bởi công thức với Chỉ nhận các giá trị thực, gọi là dạng toàn phương Hermite ứng với dạng song tuyến tính gới nội Hermite h Ngoài ra

với mọi

IV Bài tập liên quan:

Bài 1: Giả sử là một ma trận vô hạn, là những số phức thỏa mãn điều kiện

Với mỗi phần tử của , đặt : ,với

1) Chứng minh rằng là toán tử tuyến tính liên tục từ vào

2) Xác định toán tử liên hợp của Với điều kiện nào là toán tử liên hợp

Giải:

1) Từ :

đưa đến:

.Vậy là toán tử tuyến tính liên tục từ vào

2) Theo câu (1) toán tử được xác định bởi ma trận vô hạn Nhờ tác động vào các vectơ cơ sở ), với 1 ở vị trí thứ , theo công thức … sẽ thấy được xác định bởi ma trận nhận được từ ma trận bằng phép chuyển vị và lấy liên hợp

Để là tự liên hợp, nghĩa là , cần và đủ là ()

Bài 2 : Chứng minh rằng toán tử Xác định bởi

là tuyến tính liên tục và tìm toán tử tự liên hợp của

Chứng minh :

+) Chứng minh là tuyến tính, liên tục :

Dễ thấy là tuyến tính vì :

(1)

liên tục, vì :

Từ :

(2)

Từ (1) và (2) là tuyến tính , liên tục

+) Toán tử liên hợp của là :

Từ đẳng thức và bằng phương pháp tích phân từng phần ta có thể thấy:

Bài 3: Giả sử u,v là hai phần tử cố định của không gian Hilbert X A: X → X là

một toán tử xác định bởi: Ax = , với

Tím toán tử liên hợp của A.

Giải:

Giả sử A*: X → X

 Ta có , là toán tử tuyến tính liên tục vì :

ta có :

 Tính A*: Giả sử A* là toán tử liên hợp của A Khi đó ta có:

⟹ A*: X → X

y ↦ A*y =

Bài 4 : Giả sử là toán tử xác định bởi Chứng minh rằng là toán tử tự liên hợp.

Chứng minh Xét

Vậy Do đó

Vậy tự liên hợp

Bài 5: Giả sử là không gian Hilbert và là toán tử liên hợp Chứng minh rằng

Chứng minh

Với mọi toán tử tuyến tính liên tụ, ta có: (1)

Ngược lại, với , , ta có

Từ đó : (2)

Từ (1) và (2) , ta có:

Bài 6: Cholà toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert Chứng minh

rằng là tự liên hợp khi và chỉ khi

Chứng minh +) Vì là liên hợp nên Suy ra

, với mọi , tức là

Do đó :

+) Ngược lại, nếu thì

Do đó, Vậy tự liên hợp