Dạng Jordan phức và ứng dụng

Nhung kien thúc cơbán cna Đai so tuyen tính như ánh xa tuyen tính, cau trúc cna tnđong cau là nhung kien thúc quan trong, không the thieu.. Hơn nua,vi¾c tìm cho moi tn đong cau trong trư

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Chuyên ngành: Hình hoc

Ngưòi hưóng dan khoa hoc

Pham Thanh Tâm

Hà N®i - 2013

LèI Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Đai so tuyen tính là m®t môn hoc cơ bán cna Toán cao cap,đưoc úng dung vào hàng loat các lĩnh vnc khác nhau, tù Giái tích tóiHình hoc vi phân, tù Cơ hoc, V¾t lý tói Ky thu¾t Nhung kien thúc cơbán cna Đai so tuyen tính như ánh xa tuyen tính, cau trúc cna tnđong cau là nhung kien thúc quan trong, không the thieu Hơn nua,vi¾c tìm cho moi tn đong cau (trong trưòng hop có the) m®t cơ só cnakhông gian sao cho trong cơ só đó tn đong cau có ma tr¾n đơn gián,

cu the là càng gan ma tr¾n chéo càng tot chính là tìm dang Jordancna ma tr¾n là m®t bưóc cơ bán trong các bài toán Thay đưoc tamquan trong cna nó nên khi ta nghiên cúu các van đe này ta khôngdùng lai nghiên cúu trên trưòng so thnc mà còn mó r®ng trên trưòng

so phúc thông qua vi¾c phúc hóa không gian vectơ và tìm hieu úngdung cna nó

Thay đưoc tam quan trong cna van đe, cùng vói sn hưóng

dan nhi¾t tình cna thay Pham Thanh Tâm tôi đã chon đe tài ” Dang Jordan phNc và Nng dnng ”

2 Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài.

Nghiên cúu ve dang Jordan phúc và úng dung

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu cúa đe tài.

Dang Jordan phúc và nhung úng dung quan trong cna nó

4 Giái han và pham vi nghiên cNu cúa đe tài.

Nghiên cúu ve dang Jordan phúc và úng dung cna nó trong pham vi cna môn đai so tuyen tính

5 Nhi¾m vn nghiên cNu cúa đe tài.

2

Nghiên cúu m®t so kien thúc chuan b% liên quan đen dang Jordan phúc

6 Phương pháp nghiên cNu.

Nghiên cúu tài li¾u tham kháo theo phương pháp : h¾ thong lai các kien thúc có liên quan, phân tích, tong hop

7 Ket cau cúa khóa lu¾n

Ngoài phan mó đau, ket lu¾n và danh muc tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n gom 2 chương:

Chương 1: Kien thúc cơ só

Chương 2: Dang Jordan phúc và úng dung

Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n không nhieu, kien thúc còn hanche nên khi làm khóa lu¾n không tránh khói nhung han che và sai sót.Tác giá mong nh¾n đưoc sn góp ý và nhung ý kien phán bi¾n cna quýthay cô và ban đoc Xin chân thành cám ơn!

2013

Hà N®i, ngày 15 tháng 5 năm

Sinh viênTr%nh Th% Hong Nhung

Chương 1

Kien thNc cơ sá.

1.1 Ánh xa tuyen tính.

1.1.1 Đ%nh nghĩa, tính chat cúa ánh xa tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho V, W là hai không gian vectơ trên trưòng K

Ánh xa f : V → W đưoc goi là m®t ánh xa tuyen tính neu:

đong cau tuyen tính, hay m®t cách van tat là đong cau.

Kí hi¾u: Hom (V, W) là t¾p các ánh xa tuyen tính tù V vào W.

Tính chat 1.1 Ánh xa tuyen tính có m®t so tính chat cơ bán:

Giá sú f : V → W là ánh xa tuyen tính.Khi đó:

1) f ( →−0 ) = →−0

2) f (−→−α ) = −f (→−α ), ∀→−α ∈ V

3) f (λ1−α→1) + λ2−α→2 + · · · + λ m −α→ m ) = λ1f (−α→1) +

λ2f (−α→2) + · · · + λ m f (−α→ m)

Ví dn 1.1 1) Ánh xa đao hàm d : R [x] → R [x]; trong đó R[x] là không

gian các đa thúc m®t an x cho bói:

d

(a n x n + · · · + a1x +

a0) = na n x n−1 + · · · + a1

ánh xa tuyen tính 2) Coi C là m®t R - không gian vectơ Phép lay liên hop:

ϕ : C → C

z ›→ z

là ánh xa tuyen tính.

3) C h o A

=

(

a

i j

)

m

d x

d x

×n ∈ Math(m × n, K)

Ánh xa f : K → K

cho bói:

là hai ánh xa tuyen tính Ta goi

tong cúa f và g là m®t ánh xa,

kí hi¾u là f + g, xác đ%nh bói:

f + g : V → W

→−α ›→

(f + g) (→−α ) = f (→−α ) +

g (→−α ).

Vói λ ∈ K và f : V → W là ánh xa tuyen tính, ta goi là tích cúa ánh xa

f vói vô hưóng λ là m®t ánh xa, ký hi¾u là λ.f, xác đ%nh bói:

λ.f : V → W

→−α ›→

(λ.f ) (→−α )

= λ.f (→−α )

Nh¾n xét 1.1 Các ánh xa f + g và λ.f là nhung ánh xa tuyen tính

tù

V vào W

Đ%nh lý 1.1 Giá sú V là m®t không gian vectơ n - chieu Khi đó, moi

ánh xa tuyen tính tù V đen W đưoc hoàn toàn xác đ%nh bói ánh cúa nó

trên m®t cơ só Túc là, neu (ε) = {→−ε1 , →−ε2 , , →−ε n } là m®t cơ só cúa V

β → là n vectơ nào đó cúa W Khi đó có m®t và chs m®t

ánh xa tuyen tính f : V → W sao cho f (→−ε i

= x i g (→−ε i ) = g( x i →−ε i ) =

g (→−α ).

⇒ g = f V¾y ton tai cna f là duy nhat. Q

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho f : V → W là ánh xa tuyen tính trên trưòng K.

Khi đó:

a) f là m®t đơn cau neu f đơn ánh.

b) f là m®t toàn cau neu f toàn ánh.

c) f là m®t đang cau neu f song ánh.

Neu có m®t đang cau f : V → W thì ta nói rang V đang cau vói

W và viet V ∼= W.

Nh¾n xét 1.2 Quan h¾ đang cau giua nhung không gian vectơ là m®t

quan h¾ tương đương

Đ%nh lý 1.2 Cho V và W là hai không gian vectơ huu han chieu trên

trưòng K Khi đó V đang cau vói W khi và chs khi dim V =dim W

Chúng minh:

Đieu ki¾n can: Giá sú V đang cau vói W, khi đó có m®t đang cau

f : V → W Túc là, neu {→−ε1 , →−ε2 , , →−ε n } là m®t cơ só cna

Vì (−α→1, , −α→ n ) là m®t cơ só cna V cho nên a1 = b1, ,

a n = b n Như v¾y moi vectơ →−

β bieu th% tuyen tính duy nhat

qua h¾ {f (→−ε1 ),

∈

n

f (→−ε2 ), , f (→−ε n )} nên h¾ này là m®t cơ só cna W Nói cách khác dimV =

cau tuyen tính

Th¾t v¾y, ngh%ch đáo cna ϕ là ánh xa tuyen tính ψ : W → V

Đ%nh nghĩa 1.4 Giá sú V, W là nhung K - Không gian vectơ huu han

chieu, (e) = {→−e1 , , →−e n } là m®t cơ só cúa V, (ε) = {→−ε1 , , −ε→ m } là m®t cơ

só cúa W Theo đ%nh lý (1.1), moi ánh xa tuyen tính f : V → W đưoc xác

đ%nh duy nhat bói h¾ vectơ (f (e)) = {f (→−e1 ), , f (→−e n } Các vectơ f (→−e j ) lai bieu th% tuyen tính m®t cách duy nhat qua cơ

f (→−α ) ∈ W trong cơ só ε là (y1, , y n), viet dưói dang c®t:

Ta goi công thúc trên là bieu thúc toa đ® cna ánh xa tuyen tính f đoi

vói c¾p cơ só (e) và (ε) đã cho

Chúng minh Th¾t v¾y, vói ∀→−α , →− β ∈ W; ∀λ, β ∈ K ta có:

(g ◦ f )(λ→−α + µ →− β ) = g(λf (→−α ) + µf ( →− β ))

= λg(f (→−α )) + µg(f ( →− β ))

= λ(g ◦ f )(→−α ) + µ(g ◦ f )( →− β )

1.1.3 Hat nhân, ánh cúa ánh xa tuyen tính.

Đ%nh lý 1.4 Giá sú f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính Khi đó:

a) Neu T là m®t không gian vectơ con cúa V thì ánh f (T) cúa nó qua f

là m®t không gian vectơ con cúa W.

b) Neu U là m®t không gian vectơ con cúa W thì ngh%ch ánh f −1 (U) cúa

U là m®t không gian vectơ con cúa V.

Chúng minh a) Vì f (→−0 ) = →−0 nên →− 0 ∈ f (T) Hơn nua, neu →−α r , →−

trong đó →−α , →− β ∈ T Lúc đó, vói vô hưóng λ bat kì thu®c K,

do T là không gian vectơ con cna V, →−α + →− β ∈ T và λ→−α

f (→−α + →− β ) = f (→−α ) + f ( →− β ) ∈ U

f (λ→−α ) = λf (→−α ) ∈ U, ∀λ ∈ K.

Vì the →−α + →− β và λ→−α đeu thu®c f −1(U)

V¾y f −1(U) là m®t không gian con cna V

(vi) Rank(f ) = dimV.

c) Giá sú f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính Khi đó ánh

xa

f : V/Ker(f ) → W cho bói f ([→−α ]) = f (→−α )

là m®t đơn cau, lúc này nó

gây nên m®t đang cau tù V/Ker(f ) lên Im(f ).

d) Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính cna không gian vectơ huu

han chieu V Khi đó:

dim V = dimKer(f ) + dimIm(f ).

e) Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính Khi đó, vói moi không

gian vectơ con U cna V ta có:

dimf (U) ≤ dimf (U) f) Giá sú f : V → W là m®t tn đong cau cna không gian vectơ huu han

chieu V Khi đó m¾nh đe sau tương đương:

(i) f là m®t đang cau.

(ii) f là m®t đơn cau.

(iii) f là m®t toàn cau.

Đ%nh nghĩa 1.6 Ta goi moi ánh xa tuyen tính tù không gian vectơ V

vào chính nó là m®t tn đong cau cúa V M®t tn đong cau cúa V đong

thòi là m®t đang cau đưoc goi là m®t tn đang cau cúa V Không

gian vectơ tat cá các tn đong cau cúa V đưoc ký hi¾u là End(V).

T¾p hop tat cá các tn đang cau cúa V đưoc ký hi¾u là GL(V).

Khi f ∈ End(V), ta se goi ma tr¾n cúa f trong c¾p cơ só

(e) = {→−e1 , , →−e n }, {→−e1 , , →−e n } là ma tr¾n cúa f trong cơ só (e).

M¾nh đe 1.1 Giá sú (e) = {→−e1 , , →−e n } và (ε) = {→−ε1 , , →−ε n } là hai cơ só cúa không gian vectơ V, C là ma tr¾n chuyen

tù cơ só (e) sang cơ só (ε) và f : V → W là m®t tn đong cau cúa V.

Khi đó, neu f có ma tr¾n là A trong cơ só (e), có ma tr¾n là B trong

cơ só (ε) thì ma tr¾n A đong dang vói ma tr¾n B Cn the là ta có B =

C −1 AC.

H¾ quá 1.1 a) Hai ma tr¾n đong dang vói nhau khi và chs khi chúng

là ma tr¾n cúa cùng m®t tn đong cau, cúa m®t không gian vectơ trong

cơ só tương úng nào đó cúa không gian này.

b) Đ%nh thúc cúa ma tr¾n cúa m®t tn đong cau tuyen tính trong nhung

cơ só khác nhau cúa không gian là như nhau.

Đ%nh nghĩa 1.7 Cho f ∈ End(V) Goi A = (a ij )m×n là ma tr¾n cúa f trong m®t cơ só nào đó cúa V Ta goi:

a) det A là đ%nh thúc cúa tn đong cau f và ký hi¾u là det f.

b) Tong các phan tú nam trên đưòng chéo chính cúa ma tr¾n A là vet cúa f, ký hi¾u là tr(f ): n

c) Vet cúa ma tr¾n liên hop Cho A là ma tr¾n vuông cap n bat kì, cho P là

ma tr¾n vuông cap n và khá ngh%ch Liên hop cna A theo P là

P AP −1, khi đó:

tr (A) = tr(P AP −1 ).

Như v¾y khi lay liên hop thì vet cna nó không thay đoi

d) Vet cúa ma tr¾n chuyen v% Cho A là ma tr¾n vuông cap n bat kì, A t

là ma tr¾n chuyen v% cna nó Ta có:

tr (A) = tr(A t ).

1.2 Cau trúc cúa tN đong cau tuyen tính thNc.

1.2.1 Giá tr% riêng và vectơ riêng, đa thNc đ¾c trưng.

Co đ%nh m®t không gian vectơ thnc V có chieu ít nhat bang 1 và

m®t tn đong cau tuyen tính f : V → V.

Đ%nh nghĩa 1.8 So thnc λ đưoc goi là giá tr% riêng cúa f neu ton

Đ%nh nghĩa 1.9 So thnc λ đưoc goi là giá tr% riêng cúa ma tr¾n vuông

A cap n neu ton tai m®t

vectơ →−v ƒ= →−0 sao cho:

b) Neu f là phép quay trên m¾t phang quanh goc toa đ® m®t góc

0 ≤ α ≤ 2π, thì phép quay này không có giá tr% riêng neu α ƒ= π

Neu

α = π thì nó có giá tr% riêng là -1 và moi vectơ

khác riêng.

→−

0 đeu là

vectơ

Đ%nh nghĩa 1.10 Đa thúc đ¾c trưng cúa f, ký hi¾u là P f (t), đưoc đ

%nh nghĩa là đ%nh thúc cúa ánh xa f − t.id, trong đó id là ánh xa tuyen tính

đong nhat.

là

λ.

Đe đơn gián ký hi¾u, tù nay tró đi phép v% tn λ.id se đưoc ký

hi¾u

Đ%nh lý 1.5 So thnc λ là giá tr% riêng cúa f khi và chs khi nó là

nghi¾m cúa đa thúc đ¾c trưng P f (t).

Chúng minh Giá thiet P f (t) = 0 Co đ%nh m®t cơ só (e) = {→−e1 , , →−e n } cna V và ký hi¾u A là ma tr¾n cna

có nghi¾m không tam thưòng Nghi¾m cna h¾ này chính là

vectơ riêng cna f úng vói giá tr% riêng λ.

Ngưoc lai, giá sú →−

v ƒ= →−0 là nghi¾m cna h¾

(A− λI n ) [x] = 0 ta có:

(A − λI n ) [v] = 0 ↔ A[v] − λ[v] = 0 ↔ A[v] = λ[v]

Suy ra λ chính là giá tr% riêng cna f

Q Đe đơn gián bài toán, ta chí xét tn đong cau f mà đa thúc đ¾c trưng cna f có đn các nghi¾m thnc Khó khăn duy nhat

mà chúng taphái đoi m¾t là đa thúc này có the có nghi¾m b®i

Đ%nh lý 1.6 Giá thiet P f (t) có đú n nghi¾m thnc khác nhau λ i Khi đó ton tai m®t cơ só mà ma tr¾n cúa f là ma tr¾n đưòng chéo vói các phan tú trên đưòng chéo là các so λ i

Chúng minh Ta chí can chúng minh các

vectơ

Đ%nh nghĩa 1.11 Ánh xa f đưoc goi là chéo hóa đưoc,

neu ton tai m®t cơ só mà úng vói nó ma tr¾n bieu dien cúa ánh xa là ma tr¾n đưòng chéo, nói cách khác f chéo hóa đưoc neu có m®t cơ só cúa V gom

toàn nhung vectơ riêng cúa f.

Đa so các ánh xa là chéo hóa đưoc

Đ%nh nghĩa 1.12 Bi¾t thúc ∆(P ) cúa m®t đa thúc

P đưoc xác đ%nh như sau:

M¾nh đe 1.2 Đa thúc P có nghi¾m b®i khi và chs khi đa thúc ∆(P )

tri¾t tiêu.

Đ%nh nghĩa 1.13 Ma tr¾n A = Math(n × n, K) đong dang vói m®t

ma tr¾n chéo đưoc goi là ma tr¾n chéo hóa đưoc(trên K).

Như v¾y, neu A chéo hóa đưoc thì moi ma tr¾n đong dang vói

nó cũng chéo hóa đưoc.Vi¾c tìm m®t ma tr¾n khá ngh%ch C(neu có)

sao cho C −1 AC đưoc goi là vi¾c chéo hóa ma tr¾n A.

Đ%nh lý 1.7 Tn đong cau f chéo hóa đưoc khi và chs khi hai đieu ki¾n

sau đây đưoc thóa mãn:

(i) Đa thúc P f (t) có đú các nghi¾m thnc Túc là đa thúc đ¾c P f (t) phân

tích đưoc thành:

P f (t) = (−1) n (t − λ1)s1 (t − λ n)s n

Trong đó λ1, , λ n là các so đôi m®t khác nhau.

(ii) Moi λ i là nghi¾m vói b®i s i thì h¾ phương trình (f − λ i )(x) = 0 có s i

nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính Túc là không gian vectơ (f − λ i )(x) = 0

có so chieu là s i

Chúng minh Giá sú f chéo hóa đưoc Cu the hơn, giá sú ma tr¾n

cna f trong m®t cơ só nào đó cna V là m®t ma tr¾n chéo D vói s1

phan tú trên đưòng chéo bang λ1, , s m phan tú trên đưòng chéo

bang λ m , trong đó λ1, , λ m đôi m®t khác nhau và n = s1 + , s m.Khi đó:

P f (t) = P D (t) = (λ1 − t) s1 (λ n − t) s n

= (−1) n (t − λ1)s1 (t − λ n)s n

Ta thay ma tr¾n (D − λ i E n ) là ma tr¾n chéo, vói s i phan tú

trên đưòng chéo bang λ i − λ i = 0, các phan tú còn lai bang λ j − λ i

ƒ= 0 (vói

j ƒ= i nào đó) Vì the không gian vectơ (f − λ i )(x) = 0 có so chieu

là s i

vói i = 1, m.

Ngưoc lai, giá sú các đieu ki¾n (i), (ii) đưoc thóa mãn Xét các

không gian con riêng úng vói giá tr% riêng λ i : V = Ker(f − λ i idV)

(i = 1, m) Ta có :

dimVi = dimKer(f − λ i idV) = n − rank(f − λ i idV) = s i

Mà ta luôn có tong V1 + · · · + V m là m®t tong trnc tiep, vói

so chieu bang s1 + · · · + s m = n V¾y tong đó bang toàn b® không

gian V:

V = M Vλ

i

Lay m®t cơ só bat kì {→−e i1 , , →−e is i } cna V i (vói i = 1, m).

Khi đó {→−e 11, , →−e 1s i , , →−e m1 , , →−e ms m } là cơ

só cna V gom

toàn b® nhung vectơ riêng cna f

Không gian nghi¾m cna (f − λi )(x) = 0 đưoc goi là không gian riêng cna f úng vói giá tr% riêng λ i, ký hi¾u là Vλ i Như v¾y, neu ánh xa f

chéo hóa đưoc thì V đưoc khai trien m®t cách duy nhat thành tong

trnc tiep:

V = M V λ

i

i

sao cho khi han che lên moi không gian Vλ i , f là m®t phép v% tn. Q

H¾ quá 1.2 Cho f là m®t tn đong cau cúa không gian vectơ V chieu

n Khi đó:

i

(i) f chéo hóa đưoc khi và chs khi V có cơ só gom các vectơ riêng (ii) Neu f có n giá tr% riêng khác nhau thì f chéo hóa đưoc.

1.2.2 Không gian con bat bien.

Đ%nh nghĩa 1.14 Không gian con U ⊂ V đưoc goi là bat bien đoi vói

f (ho¾c on đ%nh đoi vói f) neu f (U) ⊂ U.

Ví dn 1.4 a) Không gian 0 và toàn b® V là các không gian con bat

bien tam thưòng.

b) Giá sú λ là m®t giá tr% riêng cúa f Khi đó không gian riêng úng vói giá tr% riêng λ là m®t không gian con bat bien đoi vói f c) Ta xét m®t đa thúc theo f:

A (f ) := a0f k +

a1f

k−

1 + · · · + a k idU

a i là các h¾ so thnc A (f ) đưoc goi là m®t ánh xa đa thúc theo f

Hach và ánh cúa A (f ) là các không gian con bat bien đoi vói f.

M¾nh đe 1.3 Giá thiet U là không gian con bat bien đoi vói ánh xa f.

Khi đó ta có các m¾nh đe sau:

(i) Ton tai m®t cơ só cúa V đe ma tr¾n cúa ánh xa f có dang đưòng chéo khoi :  

A B

 0 D

vói A, B, D là các ma tr¾n khoi trong đó A, D là các ma tr¾n vuông

và A có kích thưóc bang so chieu cúa U.

(ii) Ký hi¾u W là không gian thương cúa V theo U Khi đó f cám sinh m®t ánh xa fW trên W bói công thúc:

fW(v¯) := f (v)

ó

đây v ¯ ký hi¾u lóp ghép v + U trong W.