Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh

Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng”.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh , góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Đối tượng áp dụng: học sinh 12

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Xác định cơ sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác phân ra một số dạng toán thường gặp về số phức

Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Một số dạng toán thường gặp về số phức, ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại

số, lượng giác và hình học trong chương trình toán trung học phổ thông

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu có liên quan về số phức

Thực hiện các tiết dạy tại một số lớp

B – PHẦN NỘI DUNG

I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Khái niệm số phức

Một số phức là một biểu thức dạng a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn

i2=-1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z=a+bi

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z=a+bi

Tập hợp các số phức được ký hiệu là C

Chú ý: Số phức z= a+ 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i =a thuộc R ⊂C

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số Đối với các số phức,

ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z= a+ bi (a,b R∈ ) được biểu diễn bởi điểm M có tọa

độ (a;b) Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn số phức là z= a+ bi Ta còn viết M(a+bi) hay M(z)

Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức

• Tính chất giao hoán: z+ z’=z’+z với mọi z,z’ ∈C

• Cộng với 0: z+ 0 = 0+ z = z với mọi z C∈

• Với mỗi số phức z= a+ bi (a,b R∈ ) nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z+ (-z) = (-z) +z =0

Số -z được gọi là số đối của số phức z

c) Phép trừ hai số phức

Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z-z’=z+(-z’) Nếu z= a+ bi,

z’=a’+b’i (a,b,a’,b’ R∈ ) thì z-z’ = a-a’ + (b-b’)i

4 Phép nhân số phức

• Nhân với 1: 1.z = z.1 với mọi z C∈

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Rõ ràng: z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số

phức liên hợp) Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục Ox

b) Mô đun của số phức

Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z=a+bi (a, b R∈ ) là số thực không âm a2+b2 và được ký

7 Căn bậc hai của số phức

Định nghĩa: Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn z2 =w được gọi là một căn bậc hai của w

8 Phương trình bậc hai.

Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai

( )

Az +Bz C+ = Trong đó A,B,C là những số phức, (A≠0) đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực Cụ thể là:

δ là một căn bậc hai của ∆

- Nếu ∆ =0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2

9 Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa 1: Cho số phức z≠0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z

Định nghĩa 2: Dạng z r c= ( osφ+isin )φ trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0 Còn dạng z=a+ bi ( ,a b R∈ ) được gọi là dạng đại số của số phức z

10 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Định lý: Nếu z r c= ( osφ+isin )φ , 'z =r c'( os ' i sin ')(φ + φ r≥0, ' 0)r ≥ thì

[ ( osr c φ+i sin )]φ n =r c n osφ+i sinφ và khi r=1 ta có: ( osc φ+i sin )φ n =cosnφ+isinnφ

b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Từ công thức Moavro dễ thấy số phức z r c= ( osφ+isin )φ trong đó r>0 có hai căn bậc hai

II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC

1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức

Thí dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho u z 2 3i

2 2

2 2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính 5 trừ điểm (0;1)

Thí dụ 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x+ 8y= 25

2 2

2 2

2 2

2 2

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm nằm trên elio luôn thỏa

mãn điều kiện y≥ −4 Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình 2 2 1

Thí dụ 5: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho số

−+ có acgumen bằng 3

22

Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm nằm trên trục thực

Thí dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R=2

Thí dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

2 Tính mô đun của số phức

Thí dụ 8: Giả sử z 1 ; z 2 là hai số phức thỏa mãn 6 z i− = +2 3iz và 1 2 1

z +z = z +z z +z = z − z + z z +z z =

1 2

13

Thí dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn z2−6z+ =13 0Tính z 6

z i

++

Thí dụ 13: Cho hai số phức z 1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện: 1 1

i z i

++ =

Thí dụ 15: Biết rằng số phức z thỏa mãn u= + −(z 3 i z) ( + +1 3i)là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì

mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất ⇔OM ⊥d Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính R= 10

M là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, z lớn nhất khi và chỉ

3 3 3

3 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước

Thí dụ 19: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện:

z+ − i = + +z i và z 2i

z i

−+ là một số thuần ảo.

2w

Gọi z= a+ bi (a,b R∈ ) Ta có z = a2+b2 và z2 =a2− +b2 2abi

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

4 Giải phương trình trong tập hợp số phức

Thí dụ 29: Giải phương trình z3− −(3 i z) 2− −(2 i z) + − =16 2i 0 biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực.

Tìm được các nghiệm của phương trình là z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i

Thí dụ 30: Giải phương trình z3− −(2 3i z) 2 +3 1 2( − i z) + =9i 0biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

Giải:

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b R∈

Thay vào phương trình ta được:

Các nghiệm của phương trình là z= -3i; z= ±1 2i

Thí dụ 31: Giải phương trình trên tập hợp số phức: z4− +z3 6z2−6z− =16 0

Giải:

Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2

Phương trình đã cho tương đương với (z−2) (z+1) (z2+ =8) 0

Giải ra ta được bốn nghiệm: z= −1; z=2; z= ±2 2i

5 Dạng lượng giác của số phức

Thí dụ 32: Viết dưới dạng lượng giác của số phức z sao cho 1

Khi 0< <z 2 một acgument của z− +(1 i 3) là 4

3

π

Khi z =2thì z− +(1 i 3)=0 nên acgument không xác định.

Thí dụ 36: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết z− = −1 z 3i và i z có một acgument

sin 5 16sin 20sin 5sin 1

os 5 cos sin 10 os sin 10 cos sin 5 cos sin sin

cos 10cos 1 cos 5cos 1 cos

sin 1 sin 10 1 sin sin sin

z c= π + π ⇒z =c π+ π = −

hay z7+ =1 0Mặt khác

Thí dụ 40: Cho a, b, c là các số thực sao cho:

cosa+cosb+cosc=sina+sinb+sinc=0

Chứng minh rằng: cos 2a+cos 2b+cos 2c=sin 2a+sin 2b+sin 2c=0

2cos cos i sin

2sin sin i sin

− ≤+

Ta có: ( )

2 2

vậy ta có điều phải chứng minh.

Thí dụ 45: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện z3 13 2

sin sin 2 sin

cos os2 cos

21sin os

n n

Ta tìm được 3 giá trị của z là :

32 os2 isin2 ; 2 os3 4 isin4 ; 2 os3 8 isin8

Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x, y) là :

3 2 os2 3 2 sin2 ; 2 os3 4 32 sin4 ; os8 32 sin8

u v v

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là 1 ;1

Phương trình này có thể giải bằng cách nhân hai vế với 2sinx (sinx 0≠ )Ngoài ra có thể áp

dụng với số phức z cosx isinx z 1 1 cosx isinx x( 0;2 )

C – KẾT LUẬN

I KẾT QUẢ

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc phân loại các dạng toán về số phức và ứng dụng

nh trên học sinh nắm đợc bài, hiểu đợc sâu kiến thức Từ đó học sinh rèn luyện đợc kỹ năng giải toán, củng cố kỹ năng giải các bài toán về số phức và ứng dụng, số học sinh đam mê và yêu thích môn toán ngày càng tăng, năng lực t duy và kỹ năng giải toán của học sinh đợc nâng cao, nhất là học sinh khá giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức và có kỹ năng giải các bài toán tơng tự, trên cơ sở đó học sinh có thể giải đợc các bài toán tổng hợp Đối với bài kiểm tra các em trình bày chặt chẽ logic, kết quả cao, với kết quả nh sau :

III ĐIỀU KIỆN ĐỂ ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà và khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm đợc phơng pháp giải để vận dụng giải các bài toán đơn giản Học sinh khá, giỏi trên cơ sở nắm vững phơng pháp này áp dụng vào các bài tập phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng t duy và tính sáng tạo của học sinh

IV HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI

Hạn chế của đề tài là cha nghiên cứu sâu các bài tập tổng hợp và ứng dụng số phức vào hình học

V HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIấN CỨU VÀ MỞ RỘNG ĐỀ TÀI

Để nâng cao chất lợng học tập của học sinh tôi sẽ tiếp tục vận dụng mở rộng đề tài cho các bài toán tổng hợp và ứng dụng số phức vào hình học đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh khá, giỏi

Tiên Lữ, ngày 10 tháng 5 năm 2012

Ngời thực hiện

Phạm Thị Bích Ngọc

Môc lôc

A- PHẦN MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

B – PHẦN NỘI DUNG 1

I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1

1 Khái niệm số phức 1

2 Biểu diễn hình học số phức 2

3 Phép cộng và phép trừ số phức 2

4 Phép nhân số phức 2

5 Số phức liên hợp và môđun của số phức 3

6 Phép chia cho số phức khác 0 3

7 Căn bậc hai của số phức 3

8 Phương trình bậc hai 3

9 Dạng lượng giác của số phức 4

Định nghĩa 1: Cho số phức Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z 4

10 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 4

11 Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng 4

II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC 4

1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức 4

2 Tính mô đun của số phức 8

3 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước 12

4 Giải phương trình trong tập hợp số phức 15

5 Dạng lượng giác của số phức 16

III- ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN 18

1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 18

2 Tính tổng 23

3 Số phức trong việc giải hệ phương trình, phương trình 25

C – KẾT LUẬN 29

I KẾT QUẢ 29

II BÀI HỌC TỔNG KẾT 29

III ĐIỀU KIỆN ĐỂ ÁP DỤNG ĐỀ TÀI 29

IV HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI 29

V HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU VÀ MỞ RỘNG ĐỀ TÀI 29