Luận văn sư phạm Các tiên đề tách và một số ứng dụng

Một số ứng dụng của tiên đề tách trong không gian compact ..... Lý do chọn đề tài Trong giải tích hiện đại một nội dung có vai trò quan trọng và cũng khá hấp dẫn với chúng ta là nghiên c

MỞ ĐẦU   2 

1. Lý do chọn đề tài   2 

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài   2 

3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài   3 

4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài   3 

5. Giả thuyết khoa học   3 

6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài   3 

7. Phương pháp nghiên cứu   3 

8. Nội dung công trình nghiên cứu   4 

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   5 

1.1  Không gian metric   5 

1.2  Tập mở và tập đóng   9 

1.3  Không gian topo   15 

1.4  Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương   18 

1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi   21 

CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG    23 

2.1  Các tiên đề tách T    23 i 2.2. Một số định lý và hệ quả   27 

2.3.    Một  số  ứng  dụng  của  tiên  đề  tách  trong  không  gian  compact   36 

2.4. Các phản ví dụ   40 

KẾT LUẬN   58 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   59   

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 

Trong  giải  tích  hiện  đại  một  nội  dung  có  vai  trò  quan trọng  và  cũng  khá  hấp  dẫn  với  chúng  ta  là  nghiên  cứu  về không  gian  topo.  Nhưng  bản  thân  không  gian  topo  lại  quá rộng  làm  ta  không  thể  tìm  hiểu  sâu về  nhiều  vấn  đề  hay  cùng một  lúc.  Không  gian  topo  cụ  thể  thì  càng  có  nhiều  vấn  đề  để bàn. Với mong muốn được tìm hiểu và nắm vứng kiến thức cơ bản  của  môn  học  đồng  thời  là  bước  đầu  tiếp  cận  với  việc nghiên  cứu  khoa  học  cùng  với  sự  giúp  đỡ  của  thầy  giáo Nguyễn  Năng  Tâm  em  chọn  đề  tài  “Các  tiên  đề  tách  và  ứng dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp.  

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Bước  đầu  liên  quan  với  việc  nghiên  tài  cứu  khoa  học  và tìm  hiểu  sâu  hơn  về  hình  học  đặc  biệt  là  các  tiên  đề  tách  và một  số  ứng  dụng  của  nó.  Các  tiên  đề  tách  đề  cập  tới  việc  tách điểm,  tách  điểm  và  tập  hợp  đóng  hoặc  tách  các  tập  hợp  đóng thông qua khái niệm T - không gian, 0 T - không gian, 1 T - không 2gian, T - không gian, 3 1

2

T - không gian, T - không gian; các định 4

lý  đặc  trưng,  hệ  quả  và  các  nhận  xét;  các  phản  ví  dụ  chứng  tỏ tồn  tại  những  không  gian  tách  “nhỏ  hơn”  nhưng  không  là không gian tách “lớn hơn” và một số ứng dụng của các tiên đề tách. 

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Nghiên  cứu  về  các  tiên  đề  tách  và  một  số  vấn  đề  có  liên quan đến các tiên đề tách và một số ứng dụng. 

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Giới  hạn  nội  dung:  nghiên  cứu  các  tiên  đề  tách  và  một  số vấn đề liên quan. 

Giới hạn đối tượng: các tiên đề tách. 

Giới hạn thời gian: 5 tháng. 

5 Giả thuyết khoa học

Hệ  thống  lý  thuyết  về  các  tiên  đề  tách  làm  thành  tài  liệu chuyên  sâu  giúp  các  bản  thân  em  có  thể  tìm  hiểu  sâu  hơn  về vấn đề này. 

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên  cứu  một  số  phần  kiến  thức  nhỏ  là  chuẩn  bị  cơ  bản liên quan đến toán học. 

7 Phương pháp nghiên cứu

Để  thực  hiện  bài  này  tác  giả  khóa  luận  đã  sử  dụng  các phương pháp nghiên cứu sau đây: 

8 Nội dung công trình nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: 

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian metric 

1.2  Tập hợp mở và tập hợp đóng 

1.3  Không gian topo 

1.4  Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương 1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi 

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về không gian  metric,  không  gian  topo,  tập  đóng  tập  mở,  không  gian con,  tích  Descartes,  không  gian  thương,  ánh  xạ  liên  tục  và phép đồng phôi. 

1.1 Không gian metric

Định  nghĩa  1.1.1.  Không  gian  metric  là  một  cặp  X d  ,   ,

trong  đó  X   là  một  tập  hợp,  :        d X  X  ฀   là  một  hàm  xác định trên     X  X  thỏa mãn các tiên đề sau: 

d   gọi  là  metric  trong  X   và  d x y   là  khoảng  cách  giữa  ,   

hai  điểm  ,  x y X  Mỗi  phần  tử  trong  X   được gọi  là  một  điểm của  X  

Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số thực ℝ và tập hợp các số  

phức  ℂ  là  những  không  gian  metric,  với  metric 

 ,       |   , ,  |

d x y  x  y x y ฀  (hoặc ℂ). 

Ví  dụ  1.1.2.  Không  gian  ơclit  (Euclide)  ℝk  là  không  gian metric với metric d  xác định như sau: 

Nếu  x  1, ,k  và  y  1, ,k    là  hai  phần  tử  của  ℝk thì         

1 2 2 1

Giả  sử  M   là  một  tập  hợp  con  của  không  gian  metric 

X d   Dễ  thấy  rằng  hàm  số   ,  dM d MM   là  một  metric  trên  tập hợp  M   Không gian metric M d  gọi là không gian con của , M 

không  gian  metric  X d,   ;     d   gọi  là  metric  cảm  sinh  bởi Mmetric d  trên  M   

Định  nghĩa  1.1.2.  Dãy  { }x   những  phần  tử  của  không  gian nmetric X d   được  gọi  là  hội  tụ  đến  phần  tử  a X,     ,  với  mọi  0,

Định nghĩa 1.1.3 Dãy  x  trong không gian metric n X d  ,   





Do  đó  x   là  điểm  trong  của  S a r   Suy  ra  ,  S a r   là  tập  , 

(iii)  Giả  sử  G ii 1, ,n  là  các  tập  hợp  mở,  với 

1

n i i



  thì      x G i  i 1, ,n. 

Vì  G   là  tập  hợp  mở  nên  x   là  điểm  trong  của i G   Suy  ra itồn tại i  0 sao cho S x ,i  Gi  i 1, ,n.  

G



   là  một  tập hợp mở.□ 

1

n

i i

F



  là một tập hợp đóng. □ 

Định nghĩa 1.2.3. Cho  X  là không gian metric, với x X   Tập hợp mở U  chứa  x  được gọi là một lân cận mở chứa  x  Lân  cận  của  x   là  một  tập  hợp   V   chứa  một  lân  cận  mở của  x   

Hình cầu mở S x ,   còn được gọi là một lân cận của  x    

Ký hiệu:      Vx   S x ,. 

Họ  x tập hợp các lân cận của  x  được gọi là một cơ sở lân cận của  x  nếu với mọi lân cận  V  của  x  thì tồn tại  U   x sao cho x U V. 

Nếu  x  là  họ  đếm  được  thì  x   được  gọi  là  điểm  có  cơ  sở lân cận điểm đếm được. 

Định  lý  1.2.4.  Mọi  điểm  của  không  gian  metric  đều  có  cơ 

sở lân cận đếm được. 

Chứng minh

Giả sử x X  là không gian metric. Khi đó họ  

1, , 1, 2,

A là tập hợp con của  X  Ta định nghĩa phần trong của  A là tập hợp tất cả các điểm của A  Ký hiệu:  A   hoặc IntA   

Phần  trong  của  một  tập  hợp  có  thể  là  tập  hợp  rỗng.  Hiển nhiên ta có: 

 Phần  trong  của  một  tập  hợp  là  một  tập  hợp  mở,  và  đó  là tập hợp mở lớn nhất chứa trong  A   

Tập hợp  A là tập hợp mở khi và chỉ khi IntA    A. 

Nếu  A B thì IntA  IntB. 

Định  nghĩa  1.2.5 Cho  không  gian  metric  ,X  tập hợp  A là tập  hợp  con  của  X   Điểm  x X    được  gọi  là  điểm  dính  của  A nếu mọi lân cận V  của  x  thì V  A  . 

Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  dính  của  A  được  gọi  là  bao  đóng của A  Ký hiệu:  A hoặc  clA   

Chú  ý:  Vì  X   là  một  tập  hợp  đóng  chứa  A  nên  bao  đóng của tập hợp  A luôn tồn tại. 

Hiển nhiên ta có: 

(i)  Nếu x A  thì x A  nên suy ra  A  A. 

(ii)  A là một tập hợp đóng và đó là một tập hợp đóng nhỏ nhất chứa  A. 

(iii) Tập hợp  A là tập hợp đóng khi và chỉ khi  A A  

(iv)  Nếu  A B thì      

Định lý 1.2.5. Giả sử  A là một tập hợp con của không gian metric  X  và x X  Khi đó x A  khi và chỉ khi mỗi lân cận V  của x  đều có điểm chung với  A  

Chứng minh

Nếu  x    thì V  X \   là  một lân cận của  x  không chứa điểm  chung  với  A   Đảo  lại,  nếu  tồn  tại  một  lân  cận  V   của  x  sao cho V  A   thì X V  là một tập hợp đóng chứa  \ A  

Tập  hợp  X   gọi  là  không  gian,  các  phần  tử  của  X   gọi  là các điểm của không gian, mỗi phần tử của    gọi là một tập hợp 

mở của không gian  X  Họ    gọi là một topo trên tập hợp  X    Định nghĩa 1.3.4. Cho X   là một không gian topo.  Tập , 

Ví  dụ  1.3.1.  Cặp  X    trong  đó  X   là  một  không  gian , 

metric và    là họ tất cả các tập hợp mở trong  X  là một không gian  topo.  Vì  họ  các  tập  hợp  mở  trong  một  không  gian  metric thỏa mãn các điều kiện của một topo. 

Ví  dụ  1.3.2.  Nếu     là  họ  các  tập  hợp  con  của  tập  hợp  số thực mở rộng  ฀  sao cho với mọi A  ฀,A  khi và chỉ khi  A 

là  hợp  của  một  họ  nào  đó  những  tập  hợp  có  dạng 

a b, ,,c , d,, , , ,a b c d ฀,a b   thì  cặp   ฀,    là  một không gian topo.  

Định  nghĩa  1.3.3.  Cho  A  X   và V  X.  V   được  gọi  là một lân cận của tập hợp  A nếu tồn tại  G    sao cho 

A  G V  

Nếu  A  x   thì V   được  gọi  là  một  lân  cận  của  điểm  x Nếu V  là tập mở thì V  là lân cận mở của  A      

Định nghĩa 1.3.4. Cho họ Bx Vx là một cơ sở lân cận của điểm  x   (hay  cơ  sở  địa  phương  của  không  gian  X   tại  điểm  x ) nếu với mọi V V x, tồn tại B  B  sao cho x x B V      

Định  nghĩa  1.3.5.  Cho   1, 2  là  hai  không  gian  topo  trên 

X  Ta nói 1 mạnh hơn 2 (2 yếu hơn 1) nếu   1 2 tức là mỗi  tập  hợp  mở  đối  với  topo 2  cũng  là  một  tập  hợp  mở  đối với topo 1. Ký hiệu:   1 2. 

 Hiển  nhiên,  topo  rời  rạc  trên  một  tập  hợp  X   là  mạnh nhất  và  topo  phản  rời  rạc  trên  X   là  yếu  nhất  trong  tất  cả  các topo trên X    

Không  phải  hai  topo  bất  kì  trên  cùng  một  tập  hợp  X   bao giờ cũng so sánh được. Giả sử  A và  B  là hai tập hợp con thực 

sự  không  rỗng  khác  nhau  của  một  tập  hợp  X  Trên  X  ta trang 

bị  hai  topo   A X, , A; B X, , B.  Dễ  thấy  A  và  B 

là  không  so  sánh  được:  A  không  mạnh  hơn  B,  B  không mạnh hơn A.  

Định  nghĩa  1.3.6.  Giả  sử  X    là  một  không  gian  topo, , 

A  X   Điểm  x   được  gọi  là  điểm  biên  của  tập  hợp  A  khi  và chỉ  khi  x A A  c.  Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  biên  của  A  được gọi là biên của tập hợp  A, ký hiệu: A. 

Định  nghĩa  1.3.7.  Giả  sử  A  là  một  tập  hợp  con  của  không gian  topo  X   Điểm  x X   gọi  là  một  điểm  tụ  của  tập  hợp  A nếu  x A \  x   Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  tụ  của  A  gọi  là  tập hợp dẫn xuất của  A, ký hiệu: A  d

Các điểm của tập hợp  \A A  gọi là các điểm cô lập của tập  d

hợp  A. Điểm x  của không gian topo  X  là một điểm cô lập của 

X   khi  và  chỉ  khi  x   là  một  tập  hợp  mở.  Thật  vậy,  x   là  một điểm  cô  lập  của  X   khi  và  chỉ  khi  x X \ x ,  điều  này  tương đương  với  X \ x  X \ x ,  tức  là  X \ x   là  một  tập  hợp đóng. 

1.4 Không gian con Tích Descartes Không gian thương Khái  niệm:  Giả  sử  X    là  một  không  gian  topo,  M   là , 

một tập hợp con của X  Đặt   M V  M V:  M U U ,  .  

Dễ dàng thấy rằng M là một không gian topo trên  M  Cặp 

M   gọi là không gian con của không gian topo , M  X   , 

Đảo  lại,  nếu  A M  F,  trong  đó  F   là  một  tập  hợp  đóng 

và F  A.  

  Từ đó suy ra 

       cl A MM   A.  □       

Ví  dụ  1.4.1.  Không  gian  I     0,  1     với  topo  tự  nhiên  là không  gian  con  đóng  của  không  gian  các  số  thực  với  tôpô  tự nhiên. Nếu  A là một tập hợp con của ℝ thì tôpô tự nhiên trong 

A được hiểu là tôpô cảm sinh vào  A bởi tôpô tự nhiên trên ℝ. Khi  nói  tới  các  khoảng  hoặc  các  tập  hợp  những  số  thực  mà không  có  giải  thích  gì  thêm  thì  ta  hiểu  các  tập  hợp  đó  được trang  bị  topo  tự  nhiên.  Dễ  dàng  chứng  minh  được  rằng  hai khoảng mở bất kì, hai khoảng đóng bất kì không suy biến thành một  điểm,  hai  khoảng  nửa  đóng    bất  kì  là  đồng  phôi  với  nhau. Đường  thẳng  ℝ  được  nhúng  đồng  phôi  vào  khoảng  đóng 

 1,1 

J    Phép nhúng đồng phôi  :f ฀  J được xác định bởi công thức   

   còn được gọi là topo Tykhonoff  (được định nghĩa ở chương sau).  

Nếu  Xs s S   là  một  họ  không  gian  topo  thì  ký  hiệu  s

Đó  là  topo  mạnh  nhất  trong  các  topo  trang  bị  trên  X R  /sao  cho  ánh  xạ  i   liên  tục.  Tập  hợp  X R   với  topo  thương  gọi /

là không gian thương. 

1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi

Định  nghĩa  1.5.1.  Cho  hai  không  gian  topo  X    và , X 

Y    Ánh  xạ  :, Y  f X  Y  gọi  là  liên  tục  tại  điểm  xo  X   nếu mỗi lân cận V  của điểm  f x o   tồn tại lân cận U  của Y x  sao ocho  f U   V  

f   gọi  là  liên  tục  (trên  X )  nếu  f   liên  tục  tại  mọi  điểm  x  của  X  

Ví dụ 1.5.1. Nếu  X  là một không gian topo rời rạc và  Y  là một  không  gian  topo  tùy  ý  thì  mọi  ánh  xạ  :f X  Y  đều  liên tục. 

Ví  dụ  1.5.2.  Trên  tập  hợp  X   trang  bị  hai  topo  1  và  2. Ánh  xạ  I :X, 1 X,2  xác  định  bởi  I x   x  là  liên  tục khi và chỉ khi 1 mạnh hơn 2. 

Định  nghĩa  1.5.3.  Giả  sử  f X:  Y  là  một  ánh  xạ  từ không gian topo  X  vào không gian topo  Y   

f  gọi là một ánh xạ mở nếu ảnh  f A  của mỗi tập hợp  A  

mở trong  X  là một tập hợp mở trong Y  

f  gọi là một ánh xạ đóng nếu ảnh f B  của một tập hợp  B   

đóng trong  X  là một tập hợp đóng trong  Y   

Giả  sử  :f X  Y   là  một  song  ánh  từ  không  gian  topo  X  vào không gian topo  Y   

f   gọi  là  một  phép  đồng  phôi  nếu  f   và  ánh  xạ  ngược  f 1 của nó đều liên tục. 

Ví  dụ  1.5.1.  Nếu  X   là  một  không  gian  topo  thì  ánh  xạ đồng  nhất  trên  X   (tức  là  ánh  xạ  1 :X X  X   xác  định  bởi 

 

1X x  x x X,  ) là một phép đồng phôi. 

Chương  này,  em  đã  trình  bày  một  số  kiến  thức  cơ  bản  về không  gian  metric,  không  gian  topo,  tập  đóng  tập  mở,  không gian con, tích Descartes, không gian thương, ánh xạ liên tục và phép đồng phôi chuẩn bị cho chương sau. 

CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT

SỐ ỨNG DỤNG

Chương này đề cập tới nội dung các tiên đề tách và một số ứng dụng  tách điểm,  tách tập  thông  qua các  định  lý, hệ quả  và một số phản ví dụ. 

Nhận  xét:  Không  gian  topo  phản  rời  rạc 

X,,   , X, nếu  X   không là 2 T - không gian. 0

Giả  sử  X,  Ilà  họ  các  T -  không  gian.  Xét 1  x I 

Do  x y   thuộc 1, 1 T -  không  gian 1 X    nên  tồn  tại  lân  cận 1, 1

mở U  của  x , 1 V  của  y  sao cho 1 x1V y, 1U  Thế thì ta có lân cận 

2

T - không gian. 

Ví dụ 2.1.4. Mọi không gian metric đều là T - không gian. 2Định nghĩa 2.1.4. Không gian topo X  được gọi là , 

Tồn tại một không gian    trên  X  sao cho B x  x X  là một 

hệ  thống  đầy  đủ  các  lân  cận trong  không  gian X,,Y   là  một hợp đóng trong  X  và O Y  



Không  gian  hoàn  toàn  chính  quy  được  gọi  là  không  gian Tykhonoff 

x U F V   và  U V     nên  không  gian  topo  là  T -không 3gian. 

Định nghĩa 2.1.6. Không gian topo X   gọi là ,  T - không 4gian  hay  không  gian  chuẩn  tắc  nếu  X   là T -không  gian  thỏa 4mãn tiên đề tách T : 4

4

T : Với mọi tập hợp đóng  ,E F  X E F,   , tồn tại một lân cận U  của  E  và một lân cận V  của  F  sao cho U V     

Ví  dụ  2.1.7.  Gọi  P   là  nửa  mặt  phẳng  trên,  tức  là 

i

    Với  mỗi  z P 2 và  mỗi 

số  thực  dương  ,r   gọi  U z r là  tập  hợp  các  điểm  của  P   nằm  ,trong hình tròn tâm  z  bán kính  r  

Hệ  quả  2.2.1.  Cho    là T -  không  gian,  ( X   là  tập  hợp  vô 1hạn)  p X  và  A  X  Các mệnh đề sau là tương đương: 

(i)  Mọi lân cận của x  chứa vô số điểm  A. 

(ii)  Mọi  lân  cận  của  x   chứa  ít  nhất  một  điểm  khác  của  A khác x  

Chứng minh

 i   ii  là hiển nhiên. 

 ii   i   ta  có  mọi  lân  cận  của  x   chứa  ít  nhất  một  điểm của  A khác p và giả sử có lân cận  N  của p chứa hữu hạn điểm của  A   Khi  đó  tập  hợp  H  X \ N  A   x   là  lân  cận  mở của  x   Do  đó,  N  H  là  lân  cận  của  x   không  chứa  điểm  nào của A ngoại trừ  x  Mâu thuẫn giả thiết. 

Vậy mọi lân cận của x  chứa vô số điểm của  A  □ 

Định  lý  2.2.2.  T -  không  gian 1 X    là  một  không  gian , 

chính  quy  khi  và  chỉ  khi  với  mọi  x X   và  mọi  tập  hợp  mở G  chứa x , tồn tại tập hợp mở U  chứa  x  sao cho 

x U  clU  G. Chứng minh

Giả sử  X  là không gian chính quy, x X  và G  là tập hợp 

mở chứa x  Thế thì F  X G\  là một tập hợp đóng và  x F  

Vì  X  là chính quy nên tồn tại các tập hợp mở U  chứa  ,x V  chứa  F   sao cho U  W  .  Khi  đó  X \ W  là tập hợp  đóng  và 

\ W

U  X , do đó U  clU  X \ W  X F G\   

Ngược  lại,  giả  sử  X   là T -  không  gian  và 1 x X F ,   là  tập hợp  đóng  với  x F   Thế  thì  G  X F\   là  tập  hợp  mở,  x G  Theo giả thiết, tồn tại tập hợp U  mở sao cho  x U  clU  G. 

Do đó F  X G\  X clU V\   với V  là tập hợp mở và 

U V     Vậy  X  là không gian chính quy. □ 

Định  lý  2.2.3. T -  không  gian  X   là  không  gian  Tykhonoff 1nếu và chỉ nếu mọi x X  và mọi lân cận mở V  của  x  trong cơ 

sở  con  P   nào  đó,  tồn  tại  hàm  số  :f X  I  sao  cho  f x     0

Ngược  lại,  lấy  x X   và  F   đóng  x F   Từ  định  nghĩa  cơ 

sở  con  tồn  tại  V V1, , ,2 Vk  P  thỏa  mãn 

1

\

k i i

Định  lý  2.2.4.  Mọi  không  gian  metric  đều  là  không  gian chuẩn tắc. 

Chứng minh

Theo ví dụ 2.1.4 ta chỉ cần kiểm tra tiên đề chuẩn tắc. Giả 

sử E F  là các tập hợp đóng trong  T - không gian  1 X E F     Xét hàm số  f : X  ฀,x  f x   d x E ,   d x ,F.