Độc lậptuyến tính-phụ thuộc tuyến tính-Tổ hợp tuyến tính Hạng của họ véc tơ Tập sinh-cơ sở-số chiều Bài tập trắc nghiệm 2 vecto ĐLTT khi và chỉ khi chúng không cùng phương.. Độc lậptuyến
Trang 1tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Không Gian Véc Tơ
ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
Ngày 9 tháng 11 năm 2011
Trang 2Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Nội Dung
1 Độc lập tuyến tính-phụ thuộc tuyến tính- Tổ hợp tuyến tính
2 Hạng của họ véc tơ
3 Tập sinh-cơ sở-số chiều
4 Bài tập trắc nghiệm
Trang 3Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Độc lập tuyến tính
Cho họ M = {x 1 , x 2 , , x m } gọi là ĐLTT nếu
α1x1 + α2x2 + · · · + αmxm = 0(∗) ⇒ α1 = α2 = · · · = αm = 0
hay nói cách khác, phương trình (*) chỉ có nghiệm tầm thường Không có véc tơ không.
Không có véc tơ nào là THTT của các véc tơ khác.
Họ con của họ ĐLTT thì ĐLTT.
(
M ĐLTT
x không là THTT của M.
⇒ {x; M} ĐLTT.
Trang 4Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Phụ thuộc tuyến tính
M = {x 1 , x 2 , , x m } gọi là PTTT nếu
∃(α 1, α2 , · · · , αm) 6= 0 : α1x1 + α2x2 + · · · + αmxm = 0
hay nói cách khác, phương trình (*) có vô số nghiệm.
Một họ có véc tơ 0 thì PTTT.
Trong họ PTTT, có véc tơ biểu diễn được qua các véc tơ khác.
Thêm một véc tơ vào họ PTTT thì PTTT
(
M ĐLTT,
x là THTT của M.
⇒ {x; M} PTTT.
Trang 5Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
2 vecto ĐLTT khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
3 vecto trong R 3 ĐLTT nếu chúng không đồng phẳng Không gian tầm thường:
V = {0} ⇒ dim(V ) = 0.
Không gian này không có cơ sở.
Không gian con 3 chiều trong R 3 là chính nó.
Trang 6Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Không gian con 2 chiều: các mặt phẳng qua gốc tọa độ (các vecto có gốc O và có ngọn trên mặt phẳng.)
Ví dụ:
x − 2y + 3z = 0
Không gian 1 chiều: các đường thẳng qua gốc tọa độ (các vecto có gốc O và có ngọn trên đường thẳng đó.)
Ví dụ:
(
x + y − z = 0 2x − 3y = 0.
Trang 7Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Độc lập và phụ thuộc
Trong KGVT V , cho véc tơ họ M = {x ; y ; z} có {x; y } ĐLTT Xét sự ĐLTT và PTTT của hệ sau:
1 {x}
2 {x; y ; 0}
3 {0}
4 {x; y ; z}
5 {x + y ; 2x − y }
6 {x + y ; y + z; z − x}
7 {2x; 3y ; x + z; 3y − 2z}
8 {x + y ; y + z; z + x}
Trong KGVT V cho {x; y }, {y ; z}, {z; x} ĐLTT Hỏi {x; y ; z} có ĐLTT hay không?
Trang 8Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Hạng của họ véc tơ
Trong không gian véc tơ V , cho họ véc tơ M = {x 1 ; x 2 ; ; x m }
M ĐLTT khi và chỉ khi r (M) = m
Bỏ đi các vectơ là THTT của các véc tơ khác không làm thay đổi hạng
r (M) = r thì trong M có nhiều nhất r véc tơ ĐLTT gọi là
họ con ĐLTT cực đại.
Mọi véc tơ trong M luôn biểu diễn được qua họ con ĐLTT cực đại.
Trang 9Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Hạng của họ véc tơ
Ví dụ: Cho họ
M = {e 1 = (1, 2, 3); e 2 = (2, 1, −1); e 3 = (3, 3, 2); e 4 = (1, 5, 7)}
Lập ma trận
A =
3 −1 2 7
r (A) = 2 ⇒ r (M) = 2
Cách khác, ta có: e 3 = e 1 + e 2 ; e 4 = 3e 1 − 2e 2
⇒ r (M) = r ({e 1; e2 })
Trang 10Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Tập sinh - cơ sở- số chiều
Cho M là tập sinh của không gian V , dim(V ) = n
Mọi cơ sở có đúng n véc tơ.
Mọi tập n véc tơ ĐLTT là cơ sở.
Mọi tập sinh có n véc tơ là cơ sở.
Mọi tập hơn n véc tơ thì PTTT
Trang 11Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 1
Cho M = {x ; y ; z; t} có hạng bằng 3 Khẳng định nào sau đây luông đúng
a {x; y ; z} ĐLTT.
b M sinh ra không gian 3 chiều.
d x là THTT của y , z, t
Trang 12Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 2
Cho M = {x ; y ; z} là tập sinh của KG V Khẳng định nào sau đây luôn đúng:
a {x; y ; x + y + z} sinh ra V
b {x; 2y ; x + y } sinh ra V
c {2x; 3y ; 4z} không sinh ra V
d {x; 2x; z} có hạng bằng 3.
Trang 13Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 3
Trong KG V có số chiều bằng 3 và {x; y ; z}
ĐLTT Khẳng định nào sau đây luôn đúng:
a V = hx + 2y ; y + z; 3x + 5y − zi
b {2x; 3y ; 0} ĐLTT.
c {x; y ; x + y } sinh ra không gian 2 chiều.
d {x; y ; x + 2y } ĐLTT.
Trang 14Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 4
Cho M = {x ; y ; z; t} có hạng bằng 2 Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a M sinh ra không gian 3 chiều.
b 2x không là THTT của x , y
c {x; y } ĐLTT
d {x; y ; x + z} PTTT.
Trang 15Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 5
Cho M = {x ; y ; z} là cơ sở của V Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a {x; y ; 2y } sinh ra V
b {x; 2y ; 3z} PTTT.
c {x; x + y ; x − 2y } có hạng bằng 2.
d {x; y − z; x + y + z} không sinh ra V
Trang 16Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 6
Trong R 3 , cho M = {(1, 1, 1); (2, 3, 5); (3, 4, m)} Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều
b m = 6.
c m 6= 4.
d m 6= 6.
Trang 17Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 7
Cho {x; y ; z; t} là tập sinh của KG V và {x; y ; z}
ĐLTT Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a r ({x ; 2y ; z + t; z − t}) = 4.
b dim(V ) = 3.
c t là THTT của {x; y ; z}
d Các câu khác sai.
Trang 18Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 8
Cho M = {x ; y ; z} là cơ sở của KG V Với giá trị nào của m thì
{mx + y + 3z; mx − 2y + z; x − y + z} cũng là cơ
sở của V
a m 6= − 7 5
b m 6= 7 5
c m = 7 5
d Các câu kia sai.
Trang 19Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 9
Trong R 3 cho họ
M = {(1, 2, −1); (2, 4, −2); (1, −1, m)} Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.
a m 6= 1
b m 6= 3
Trang 20Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến
tính-Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 10
Trong R 3 , cho V = h(1, 1, 1); (2, −1, 3), (1, 0, 1)i Với giá trị nào của m thì x = (2, 1, m) ∈ V ?
a m = 2.
b m 6= 0.