hình học giải tích

hình học giải tích

; TRAN VĂN HẠO (Chủ biên)

NGUYEN CAM - NGUYEN MONG HY - TRAN ĐỨC HUYỆN CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYEN - NGUYEN VU THANH

CHUYEN BE LUYEN THI VAO DAI HOC

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HIEN HANH

(Tái bàn lẫn thứ năm có chỉnh lí và bỗ sung)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

32-2009/CXB/115-16/GD Mã số : PTK25t9 - LKT

Lời nói đầu

Bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học được biên soạn nhằm mục

đích giúp các em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tham khảo, nắm vững phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản, thường gặp trong các kì thị

tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đăng hàng năm

Nội dung bộ sách bám sát theo chương trình bộ môn Toán THPT nâng cao hiện hành và Hướng dẫn ôn tập thi tuyển sinh vào các trường Đại

học và Cao dang môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo Bộ sách gồm 7

tập tương ứng với 7 chuyên đề :

Phan I : Kiến thức cơ bản — Ví dụ áp dụng : có 10 chương thuộc

phần Hinh học giải tích Mỗi chương gồm nhiều đơn vị kiến thức (§) Mỗi (§)

được biên soạn thông nhật gôm các mục :

A Kiến thức cơ bản : Tóm tắt, hệ thông kiến thức trọng tâm

B Ví dụ áp dụng : gồm nhiêu ví dụ, có hướng dẫn giải Mỗi ví dụ là một dạng bài tập cơ bản, thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đăng

C Luyện tập : gồm nhiều bài tập, giúp học sinh tự rèn luyện kĩ năng

giải toán

Phần II : Ôn tập tổng hợp : Gồm bài tập tự luận và bài tập trắc

nghiệm, có hướng dẫn giải và đáp số : giúp học sinh tự kiểm tra, đánh giá kết

quả giải bài tập của mình

Cuối sách có phần phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyến sinh Đại học (2005 — 2008) Đây là phần trích giới thiệu một số đề thi tuyên sinh Đại học đã ra từ 2005 đến 2008 - môn Toán, có liên quan đến phần

Hình học giải tích, có hướng dẫn giải ; giúp học sinh làm quen với các đạng câu hỏi của đề thi tuyên sinh Đại học

Tập thể tác giả trân trọng giới thiệu với các em học sinh 12, bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học Chúng tôi tin tưởng bộ sách này, sẽ góp

phần gIúp các em học sinh 12, nâng cao chất lượng học tập và đạt được kết

quả mĩ mãn trong kì thi tuyến sinh vào Đại học, Cao đăng

Chủ biên PGS, TS TRAN VAN HAO

CẤU TRÚC ĐỀ THỊ TUYỂN SINH BẠI HỌC CAO DANG 2009, MON TOAN

II PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7 ĐIỂM)

Cau I (3 diém) :

- Khảo sát, vẽ đỗ thị của hàm số

— Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thi cua ham SỐ :

chiều biến thiên của hàm số, Cực trị, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tiếp

tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị những điểm có

tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đỗ thị là đường

thang) ; 1

Câu II (2 điểm) :

~ Phương trình, bất phương trình ; hệ phương trình đại số :

~ Công thức lượng giác, phương trình lượng giác

Câu III (1 điểm) :

Câu V (1 điểm) :

Bài toán tổng hợp

II PHÁN RIÊNG (3 ĐIỂM) :

Thi sinh chi được làm một trong 2 phân (phần I hoặc 2)

1 Theo chương trình chuẩn :

Câu VI.a (2 điểm) :

Nội dung kiến thức : Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ

— Đường tròn elip, mặt cầu

¬ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

— Tính góc ; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đôi của đường thăng mặt phăng và mặt cầu

Câu VII a (1 điểm) :

Nội dung kiến thức :

- Số phức

— Tổ hợp, xác suất, thong kê

- Bat dang thức, Cực trị của biểu thức đại sé

2 Theo chương trình nâng cao :

Câu VIb (2 điểm) :

Nội dung kiến thức :

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian :

- Xác định toạ độ của điểm vectơ

~ Đường tròn ba đường cônic, mặt cầu

~ Viết phương trình mặt phẳng, đường thăng

~ Tỉnh góc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phăng, khoảng cách giữa hai đường thắng Vị trí tương đối của đường thăng, mặt phang va mat cau

Câu VII.b (1 điểm) :

Nội dung kiến thức :

Phần I

KIEN THUC CO BAN — Vi DU AP DUNG

Chuong 1

TOA DO VECTO TRONG MAT PHANG

§ 1 PHÉP TOÁN VECTƠ - BIÊU DIỄN VECTƠ

a=a,€ +a;e; thì toạ độ của vectơ a là a =(a, ; ä;)

* Với A(XA:YA)B(xg;yg) thi toa độ cia vecto AB là AB=(Xg ~ X4 ¡ Yp — YA)-

b) u+a=b với a=(1;—4),b=(—6; 15)

c) 2u—a=b+u voi a=(5; 6), b=(-3;-1)

b) Cho lục giác đều ABCDEF Hay biểu diễn các vectơ AC, AD, AF, EF qua

Các vecto u = AB; v=AE.

a) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Tìm toạ độ giao điểm l hai đường chéo hình bình hành

Hướng dẫn giải a) ABCD là hình bình hành AB = DC

-2-]=4- =7

© 6-2=4-y, ~ lyp=0 XD a XO TE

b) Ta có I là trung điểm AC, nên :

Ví dự 5 : Cho hai điểm A(-2 ; —2) và B(5 ; —4)

a) Tim toa d6 trong tam tam giac OAB

b) Tim toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(2 ; 0)

Hướng dân giải

a) Toa độ trọng tâm Ï của OAB định bởi :

Vi du 6 : Cho ba điểm A(—1 ; 1), B(1 ; 3), C(—2 ; 0)

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thăng hàng

b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thăng hàng

Vĩ dụ 7 : Cho A(4; 6), B(1 : 4), c{7 : \ 3), D(-2 ; 2) :

a) Chứng mình rằng A B, C không thăng hàng : A, B D thăng hàng

b) Tìm điểm E đối xúng của A qua B

* ¬ = > => AB cùng phương với AD => A,B, D thang hang

b) E là điểm đối xứng của A qua B khi và chỉ khi B là trung điểm EA Do đó :

Ví dụ 8 : a) Cho A(-1 ; 2), B(3 ; 4), C(0 ; 2) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

2MA -3MB =0

b) Cho A(3u ; 0), B(O ; 2v) vai u? +? =1 Tim quỹ tích các điểm M sao cho

2MA + SMB=O `

Hướng dẫn giải Gọi M(x ; y) là điểm bất kì trong mặt phẳng toa dé

y=8

Cho hai diém A(-2 ; 1) và B(4 ; 5) Tìm toạ độ trung diém I cha AB va toa

độ diém C néu OACB là hình bình hành

Cho AQ ; —3), B(3 : 4) Tìm điểm M trên trục hoành để A, B, M thăng hàng

Cho A(1 ; -1), B(4 : 0), C(6 ; 4) Tìm điểm D trên trục tung sao cho tử giác

ABCD là hình thang

Cho a=(4:—2),b=(3:5),c=(1:—7) Hãy biểu diễn c theo hai vecto a

và b

Cho A(2; 1), B(I ; -3), CG ; 0)

a) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Tìm toa độ giao điểm | hai đường chéo hình bình hành ABCD

Cho A(1 ; —2), B(3 ; —2), C(Š ; 6), D(—-2 : m)

a) Chứng mình rằng A, B, C không thăng hàng , Tìm toạ độ trọng tâm tam

b) Xác định m để A, B, C thắng hàng

§ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ,

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIÊM

A KIEN THUC CO BAN

e a.b=lal.|b| cosœ, với œ là góc giữa hai vectơ a và b

© a.b=a)b, +a,b,, voi a=(a, 5a), b=(b, ; by)

e Cho hai điểm A(x, :y„ ) và B(xạ : Yg

AB= (xe —x,) +(¥p -yA}

Hướng dẫn giải

Goi (x „+y) là toạ độ cửa vectơ u Theo để bài ta CÓ :

Vi du 2: Cho tam giác có các đỉnh ACI ; 2), B(-2 ; 6), C(4 ; 2)

Vay : u =(6 ; 4)

a) Tìm toạ độ chân đường cao A“ xuất phát từ đính A của tam giác ABC b) Tim toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

CA =v(~5)”+(I+П =

Ta có: AB? +CA” =25 = BC? © AABC vuông ở A

b) Ta cé EG là đường chéo hình vuông EFGH, độ dài EG là :

EG = (5-2) +(243) = 34 = V1?7.2 = EFA2

Suy ra cạnh hình vuông là EF = X17 và diện tích hỉnh vuông Tả S = EFˆ = I7

Ví dụ 4 : Cho A(I ; 3), B(~2 ; 5), C4; 4)

a) Xác định toạ độ tâm | va ban kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Xác định toa độ trọng tâm G, trực tâm H Suy ra G, H, ! thing hang

Hướng dẫn giải a) Goi I(x ; y) la tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì :

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :

b) Toa độ trọng tam G cua tam giác ABC là :

a) Tính góc BAC : độ dài AB, AC và suy ra diện tích tam giác ABC

b) Tính bản kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC:

3—Yp =-2(I- yr)

Vậy: t(Sễ: 7) Suy ra: AE= 726,

Goi (¥) là quỹ tích các điểm cần tìm

a) M(x ; y)e tế) MA.MB + MB.MC + MC.MA =0

<> 3x" + By? -2(x, +x, +X;)x -2(y, †Y› +Yy)Y + XIX¿ + X;Xs + X4X,

+y¡Y; +Y;Y¿ +Y:Y, =0

©x +y” -2ax~2by+c=0

oo (x-a)’ +(y—b)’ =a? +b? —c

voi a=3(x +Xy +X3) b= =(y +¥r+ys),

|

c = 70% +X¿:X¿ + XX, t+ Yo + ¥2y3 + Y3y,)- Néu a? +b? —c<0:(¥ )=@

Néu a? +b? —-c=0:(@) la tap hop chi mot diém

Néu a? +6? -c>0:(¥ ) 1a dudng tron

Vidu 9: Cho tam giác vuông cân ABC đỉnh A Từ B, C ké cdc trung tuyén BI, CJ

Tỉnh góc nhon gitta BI va CJ

_Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, đơn vị của

hai trục bằng một nửa độ đài cạnh góc vuông

của tam giác ABC Khi do ta có

2.2 Cho tam giác ABC có các đỉnh A(I ; 2); B(3 ; ~2), C( ; 6)

a) Tim toa độ chân đường cao Á” xuất phát từ đỉnh Á của tam giác ABC

b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

19

Cho A(-2; 3) B(—I ; 5) C(3 ; -2)

a) Tính AB BC, CA Suy ra cos A

b) Tính điện tích hình bình hành ABCD

Cho A(-I ; 3), BCT; 1), C(2 5 4)

a) Xác định toạ độ tâm | va tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Xác định toạ độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC Suy ra ba

điểm G H, | thang hang

Tinh góc giữa các vectơ

Cho A(3;—5) B(-3 ; 3) C(—1; -2) Gọi E, F lần lượt là chân đường

phân giác trong, phân giác ngoài của góc A Tính độ dai AE, AF

Cho A(1:1) Tim điểm trên B trên đường thẳng y = 3 và điểm C trên

trục hoành sao cho tam giác ABC đều

Chương 2

- ĐƯỜNG THẰNG TRONG MAT PHANG

§ 3 PHƯƠNG TRÌNH THAM SÓ, PHƯƠNG TRÌNH

CHÍNH TÁC CỦA ĐƯỜNG THẰNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

® Vectơ u(z0) là veectơ chỉ phương (VTCP) của

đường thăng d nêu giá của nó song song hoặc trùng

với d

© Vectơ n(z 0) là vectơ pháp tuyến (VTPT) của

đường thăng d nếu giá của nó vuông góc với d MuGv + Yo)

« Một đường thăng có vô số vectơ chỉ phương và có

vô sô vectơ pháp tuyển

e Đường thăng d qua M o(% 5 Yo) nhận u =0; ; u;) làm vectơ chỉ phương

Từ phương trình tong quát ta có ngay một vectơ chỉ phương của đường thắng

là u=(—B ; A) và một vectơ pháp tuyến là n =(A ; B)

e Đường thăng d qua Mạ (xạ : yạ) nhận mm ;n;) làm vectơ pháp tuyến

sẽ có phương trình tông quát là :

n.(x- Xy) +0) (y - Yo) “0

21

B VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ I : Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc, rồi suy ra phương trình tông quát của đường thẳng trong các trường hợp sau :

a) Qua M(2; —5) và nhận u =(4; — 3) làm vectơ chỉ phương

b) Qua hai điểm A(I; -4) và B(-3; 5)

Hướng dẫn giải a) Phương trình tham số của đường thăng cân tìm là :

Đây là phương trình tông quát của đường thẳng cần tìm

b) Đường thăng cần tìm nhận AB = (-4 9) lam vecto chi phuong va di qua

A{1; ~ 4) nên có phương trình tham số là :

x=1-4t y=4+%

-l_y+4

-4 0 ˆ

và phương trình chính tắc là :

AB= (~4; 9) là vectơ chỉ phương của đường thang can tìm suy ra vectơ pháp

tuyến của đường thang này là n =(9; 4)

Phương trình tông quát của đường thắng cần tìm là :

9(x—1)+4(y+4)=0 ©9x+4y+ 7 =0

Chủ ý : Ta cũng có thể tìm được phương trình tổng quát của đường thăng

bằng cách biến đôi tương đương phương trình chính tắc như đã làm ở cau a)

Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng có

Ví

phương trinh tổng quát là :

3x-5y+1I=0

Hướng dẫn giải

Ta tìm một điểm bất kì thuộc đường thẳng da cho bang cach chon va thay

x=-~2 vào phương trình tông quát ta được y =Í Vậy đường thăng đã cho đi qua điểm A(-2; 1)

Từ phương trình tổng quát ta có ngay một vectơ chỉ phương của đường thắng

la AB= (5 ; 3) Do dé phuong trinh tham số và phương trình chính tắc là :

* Đường thắng BC qua N, nhận vectơ MP =(2;4) M P

làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là

n=(4:-2) Vậy phương trình tổng quát của 4 N C

đường thăng BC là :

4(x+l)~2(y-!)=0©2x-y+3=0

Tương tự, ta có phương trình của : | )

* Duong thang CA : 3x + 4y-19=0

_* Duong thang AB: x - 6y -15=0

`

Ví dụ 4 : Viết phương trình đường trung trực của các cạnh một tam giác, biết trung

điểm của các cạnh là : M(~2 ; I), N(3 ; - 4), P(5; 2)

Hướng dẫn giải

Goi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB

23

Tương tự, ta có :

* Trung trực của cạnh CA : ?x+y—l17=0

* Trung trực của cạnh ÁB : x—y—3=0

C LUYEN TAP

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc, rồi suy ra phương trình tông quát của đường thăng trong các trường hợp sau :

a) Qua M(-3;—2) và nhận u =(I; — 2) làm vectơ chỉ phương

b) Qua hai điểm A(4 ; -1) và B(-2; 7)

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thăng có phương trình tổng quát là :

3x -2y+5=0

Cho trung điểm ba cạnh của một tam giác là M(2 ; tL), N(S ; 3), PG ; -4)

a) Hay lap phương trình ba cạnh của tam giác

b) Lập phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác

§ 4 ĐƯỜNG THẢNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẰNG VUÔNG GÓC

A KIEN THUC CO BAN

Cho đường thăng d có phương trình dạng :

Hướng dẫn giải a) Đường thắng song song với đường thăng đã cho có phương trình dạng :

a) Viết phương trình các cạnh của tam giác

b) Viết phương trình đường thăng qua Á và vuông góc với AC

Nướng dân giai

a) Đường thăng CA vuông góc với đường cao kẻ từ B, nên có phương trình dạng :

3x+9y+M=0

Đường thăng CA đi qua A nên :

34.2+92+M=0>M=-24

Vậy phương trình đường thắng CA là :

3x+9y—-24=0 hay x+3y-8=0

Đường thăng AB vuông góc với đường cao kẻ từ C nên có phuong trinh dang :

Phương trình của đường thắng BC là :

X1! _Y “Í L 1Ix~5y+26=0 2, 2

+] +3

Ví dụ 3 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh B(2; 5) và hai

đường cao có phương trình :

2x+3y+7=0 và x-lly+3=0

Hướng dẫn giải

Dé ý rằng toạ độ điểm B không thoả mãn cà hai phương trình đã cho, nên

chúng là phương trình của các đường cao kẻ từ Á C Ta cỏ thể coi phương trình đường cao kẻ từ A là 2x + 3y + 7=0 và phương trình đường cao kẻ từ C

Vậy phương trình đường thắng BC là : 3x— y +4 =0

* Cạnh AB vuông góc với đường cao kế từ C nên có phương trình đạng :

31 Toa d6 dinh C cha tam giác là nghiệm của hệ phương trình

x= 10 3x -2y+4=0 yt c —n 7

xr

10 ] Vậy : C| -—; |

» 7 |

2?

thắng x+4y— 2= 0

b) Viết phương trình đường thăng qua giao điểm hai đường thang 3x—5y+2=0 và 5x-2y+4=0, đồng thời song song với đường thẳng 2x-y+4=0

Viết phương trình đường trung trực của các cạnh một tam giác, biết trung

điểm của các cạnh là : M(—1: -I), N(I; 9), P(9; 1)

Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4;—5) và hai đường cao có phương trình :

5x+3y-4=0 va 3x +8y+13=0

Tam giác ABC có cạnh AB: 5x—3y+2=0 và các đường cao xuất phát từ

A và B lần lượt có phương trình : 4x —3y+1=0 va 7x+2y-—22=0 Lap phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba

§ 5 HÌNH CHIẾU CUA MOT DIEM TRÊN MỘT ĐƯỜNG THẰNG

A KIEN THUC CO BAN

e Cách xác định hình chiếu H của điểm M trên đường ]

e Cách xác định điểm N đối xứng của M qửã đường thăng d :

1 Dùng phương pháp trên đây để tìm hình chiếu H của M trên d

2 Toạ độ của N định bởi (H trung điểm MN) :

Vậy phương trình đường thăng ? là : 5x + 4v +14=0

Hình chiếu H của M trên d là giao điểm của d và / suy ra toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình sau :

Ví dụ 2 : Cho hai điểm A(1; 6), B(-3 ; - 4) Hãy tìm điểm M trên đường thắng d :

2x- y—]=0 sao cho MA + MB bé nhất

29

Mướng dẫn giải

Ta cỏ A, B ở cùng phía đối với d (xem hình)

Gợi C là điểm đối xứng-của A qua D Với mọi

Phương trình đường thăng BC là : x— y—1= 0

Toạ độ điểm M phái tim là nghiệm của hệ phương trình :

=>

2x-—y-1=0 y=-Ì

Vậy điểm M cần tìm là : M(0; 1)

Ví dụ 3 : Cho hai điểm A(4; 1), B(0; 4) Tìm trên đường thẳng d: 3x— y~I=0

một điểm M sao cho :

(MA -MB|Í lớn nhất

Hướng dẫn giải

Ta có A B ở khác phía đối với d và AB không cùng phương với d Gọi C là

điểm đối xứng của A qua d Với mọi điểm M trên d ta có :

|MA - MB| = ÌMC - MB| < BC

30

nghiệm của hệ :

c 34x-y-l=0 y=2

2x -3y-3=0

b) Suy ra toạ độ điểm N đổi xứng của M qua d

Cho hai điểm A(I; 2), B(3; 4) Hãy tìm trên trục hoành điểm M sao cho

MA +MB bé nhất

Cho hai điểm A(-7;1), B(-5;5) Hay tim trên đường thing d :

2x-—y+5=0 điểm M sao cho MA + MB bé nhất

Cho hai điểm A(-3; 2) B(2 : 5) Tìm trên trục tung một điểm M sao cho

IMA - MB| lớn nhất

31

§ 6 ĐƯỜNG THẰNG ĐÓI XỨNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Cách viết phương trình đường thắng d' đối

xứng của đường thăng d qua đường thăng í :

a) Trường hợp d cắt l tại Ï :

e Xác định giao điểm l của đ và ¿,

e Lấy một điểm A trên d, xác định điểm B đối

ximg cua A qua d

e Viết phương trình đường thẳng IB, đó là đường

thang phải tim

e Thay x, y trên vào phương trình d được phương trình theo x'”, y’

e Thay x’, y’ bai x,y ta được phương trình đường thắng đ' phải tìm

B VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 : Cho đường thắng d: x -2y+2 =0

a) Viết phương trình đường thẳng đ, đối xứng của d qua !: x—y+1=0 b) Viết phương trình đường thăng d, đối xứng của d qua /': x—2y+4=0

32

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ hai phương trình của 7 và d ta được giao điểm I của chúng là

1(0; 1)

Lay điểm A(4; 3) trên d

Đường thẳng qua A và vuông góc với / có phương trình :

x+y+k=0 Vind quaA nén: 44+3+k =0>5k=-7

Vậy, phương trình đường thắng qua A và vuông góc với / là : x + y - 7 =Ũ

Hình chiếu H của A lên ? có toạ độ là nghiệm của hệ :

b) Ta viết lại phương trình của hai đường thắng đã cho dưới đạng :

Vậy, phương trình của đường thẳng cần tìm là :

Xét một điểm M(x ; y) bất kì trên đ, điểm đối xứng của nó qua Í có toạ độ

M'(x’; y’) sao cho :

Cho duong thing d: 2x +3y-—6=0

a) Viết phương trỉnh đường thing d, ddi ximg cia d qua / :

§ 7 KHOANG CACH TU MOT DIEM

DEN MOT DUONG THANG

A KIEN THUC CO BAN

Khoảng cách từ điểm Mạ(xạ; yạ) đến đường thắng d có phương trình :

Ví dụ 2 : Cho P(2; 5), Q(5 ;1) Lập phương trình đường thẳng qua điểm P sao

cho khoảng cách từ điểm Q đến đường thẳng đó bằng 3

Hướng dẫn giải

Trước hết, trên hệ trục toạ độ ta có ngay đường

thang x =5 thoả mãn điều kiện dé bài

Bây giờ ta xét đường thắng qua P, có hệ số

góc k;

y=k(x—2)}+5 ©kx-y—2k+5§ =0

Khoảng cách từ điểm Q đến đường thăng này

bằng 3 nên ta có :

Ví dụ 4 : Tam giác ABC có diện tích S -5 hai dinh A(3 ; —2), B(2 ; -3)

Trọng tâm của tam giác ở trên đường thẳng 3x — y — 8 = 0 Tìm toạ độ đình C

Hướng dẫn giải Gọi G(a ; 3a —8) là trọng tâm của tam giác ở trên C

Phượng trình đường thăng AB là :

Độ đài cạnh AB là : AB =2

* Tương tự, với G(L: - 5} ta được C(~2; ~10)

Vậy có hai điểm C thoả mãn điều kiện bải toán là C{(I;-l) và C(-2; -10)

Tỉnh diện tích tam giác có các đỉnh A(2 ; -3) B(3 ; 2), C(—2; 5)

Tam giác có diện tích S=3, hai đỉnh A(3; I), B(I; —3) Trọng tâm tam

giÁc ở trên trục Ox Tim toa 46 dinh C ,

37

§ 8 GÓC GIU'A HAI DUONG THANG,

PHUONG TRINH DUONG PHAN GIAC

A KIEN THUC CO BAN

ø Công thuc cosin:

sả

2

3 1-5-2

Cạnh CD đi qua C và song song với AB nên có

hệ số góc là , do đó phương trinh của CD là :