chuyên đề luyện thi đại học lượng giác

chuyen de luyen thi dai hoc luong giac

TRAN VAN HAO

enooktoan.com

NGUYEN CAM - NGUYEN MONG HY - TRAN ĐỨC HUYỆN

CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYEN - NGUYEN VU THANH

CHUYEN DE LUYEN THI VAG BAI HOC

LUONG GIAC

BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HIEV HANH

(Tái bản lần thứ năm có chỉnh li va bé sung)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Nội dung bộ sách bám sát theo chương trình bộ môn Toán THPT

nâng cao hiện hành và Hướng dẫn ôn tập thi tuyển sinh vào các trường Đại

học và Cao đăng môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo Bộ sách gôm 7 tập, tương ứng với 7 chuyên đề :

Phân I : Kiến thức cơ bản — Ví dụ áp dụng : có 6 chương thuộc phần

Lượng giác Mỗi chương gồm nhiều đơn vị kiến thức (§), được biên soạn

thông nhât pgôm các mục :

A Kiến thức cơ bản : Tóm tắt, hệ thông kiến thức trọng tâm

B Ví dụ áp dụng : gồm nhiều ví dụ, có hướng dẫn giải Mỗi ví dụ là

một dạng bài tập cơ bản, thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đăng

Trong mỗi (§) có phần Luyện tập : gồm nhiều bài tập, giúp học sinh

tự rèn luyện kĩ năng giải toán.

Phan II : Hướng dẫn giải —- Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập : Phân này gồm hướng dẫn giải bài tập hoặc cho đáp số của phần luyện tập ở mỗi (§) và câu hỏi trắc nghiệm ôn tập, có trả lời ; giúp học sinh tự kiểm tra, đánh giá kết

quả giải bài tập của mình

Cuối sách có phân phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyến sinh

Đại học (2005 — 2008) Đây là phần trích giới thiệu một số đề thi tuyển

sinh Đại học đã ra từ 2005 đến 2008 — môn Toán, có liên quan đến phan

Lượng giác, có hướng dẫn giải ; giúp học sinh làm quen với các dạng câu hỏi của để thi tuyến sinh Đại học

Tập thể tác giả trân trọng giới thiệu với các em học sinh 12, bộ sách Chuyên để luyện thi vào Đại học Chúng tôi tin tưởng bộ sách này, sẽ góp phần giúp các em học sinh 12, nâng cao chất lượng học tập và đạt được kết quả mĩ mãn trong kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng

Chủ biên

PGS, TS TRAN VAN HAO

enooktoan.com

CAU TRUC DE THI TUYỂN SINH DAI HOC

CAO BANG 2009, MON TOAN

!

II PHÂN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 DIEM)

Câu I (3 điểm) :

— Khảo sát, vẽ đỗ thi của hàm số

~ Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm SỐ : chiều biến thiên của hàm số Cực trị Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đỗ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đỏ thị (một trong hai để thị là đường thang) ;

Câu II (2 điểm) :

— Phương trình, bất phương trình ; hệ phương trình đại số ;

— Công thức lượng giác, phương trình lượng giác

Câu III (1 điểm) :

tròn xoay ; tính điện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Câu V (1 điểm) :

Bài toán tông hợp

II PHAN RIENG (3 ĐIỂM) :

Thí sinh chỉ được làm một trong 2 phần (phần I hoặc 2)

1 Theo chương trình chuẩn :

Câu VLa (2 điểm) :

Nội dung kiến thức ; Phương pháp toạ độ trong mặt phăng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ

— Đường tròn, elip, mặt cầu

— Viết phương trình mặt phẳng, đường thang

— Tính góc ; tính khoảng cách từ diém đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phăng và mặt cầu

Câu VII a (1 điểm) :

Nội dung kiến thức :

- Số phức

~ Tổ hợp, xác suất, thông kê

— Bắt đăng thức Cực trị của biéu thức đại SỐ

2 Theo chương trình nâng cao :

Câu VI.b (2 điểm) :

Nội dung kiến thức :

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ

~ Đường tròn, ba đường cônic, mặt câu

— Viết phương trình mặt phẳng, đường thăng

— Tính góc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng

cách giữa hai đường thăng, Vị trí tương đôi của đường thắng, mặt phãng và mặt câu

Câu VII.b (1 điểm) :

Nội dung kiến thức :

— Tế hợp, xác suất, thông kê

- Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số

¡ Dâu của các giá trị lượng giác

2 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

3 Các hệ thức lượng giác cơ bản

4 Tính chất tuần hoàn và chu kì của các hàm số lượng giác

5 Sy biến thiên của các hàm số lượng giác

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

* Cung đối nhau

cos(—x)= cosx sin(—x})= —sỉn x

tan (—x) = - tan x cot(—x)=—cotx

* Cung bù nhau

sin(—x}=sinx _ cos(n— x) =—cosx

tan(n—x)=—tanx cotÍ£~—x)=—cotx

* Cung hơn kém Hhqw 7£

sin{x + x) =—sinx cos(x +) =-—cosx

tan(x + 7) = tan x cotÍx + %4) = cot x

* Cung phụ nhau

sinl —T—x |=cosx cos} ——x |=sinx

l— tan atanb Ì+ tanatanb

Công thức nhân đôi

Công thức biến đỗi tích thành tông

2cosacos b = cos(a ~ b} + cos(a + b)

2sinasinb = cos(a - b)— cos(a + b)

enooktoan.com

`, Œ+B., a- cosa —cosf = —2sin P sin B

2 2 ~ at œ—

sin œ + sin B = 2sin P cọc PB

2 2 a+B a-

sina -sinB = 2cos 27 P gin 2B

2 2 sin (a + sin(a —

tano: + tanp = St(@+B) tanơ — tang = ŠIP(œ =B)

cos œ cos cos œcos Công thức rút gọn asinx + bcosx, acosx + bsinx

* Giả sử a > 0 Đặt tan =— với ec “535 Tacd:

a asinx + beosx = Va’ +b’ sin(x +9)

acos x + bsinx = Va? +b” cos(x—@)

Muốn chứng minh một đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác

để biến đôi biêu thức lượng giác ở một về thành biểu thức lượng giác ở về

Il

* sin? 2x = il —cos4x} (công thức hạ bậc)

* sinˆ2x =4sin? xcos” x (Công thức nhân đôi)

Tuỳ theo mỗi bài toán, ta chọn công thức thích hợp đề biến đối

1) cos3a = cos(2a + a) = cos2acosa — sin 2a sin a

=(2cos?a ~l}cosa — 2cosa(1 —€co0s” a) =ÁcosÌa —3cosa 2) Chứng minh tương tự

t +

3) tan3a = tan(2a +a) = an 2a + tan a 1 — tan 2a tan a

2tan a

_]I-inla CA 3tana-tana tana(3-tan°a)

ˆ ¡— 2fan a- — l-3tana I1-3tana

sinx sin2x sin 2x

_1l+cos2x—cos2x |

sin 2x sin 2x

I) sin’ x + cos x =(sin xX + COS x) —2s51n* XCos” x

=1~ Lgin 2x =] ~ cos 4x) = bcos 4x +3

_ 2 ‹ _ 4 4

=(1—2sin? xcos’x) —2sin‘ xcos x

=}—4sin* xcos* x + 2sin’ xcos* x

1) sin(a + b)sin(a — b) = cos” b— cos” a ;

2) cos(a + b)cos(a — b) =cos? a + cos? b— l

2) cosa + b)eos(a — b) = 5 (£08 2a + cos 2b)

= 5 (2cos? a ~1+2cos”b ~ 1) =cos’a+cos’ b-|

Vĩ dụ $ : Chứng minh :

3 3 3

1) cos3xsin x +sin3xcos x = 7sin 4x ;

2) cos3xcos’ x +sin3xsin? x =cos? 2x

Hướng dẫn giải

1) Ta có : 4cos” x =cos3x +3cos x,

4sin” x = 3sin x — sin3x,

Do đó, ta tính 4 lần về trái (VT)

4(VT) = cos3x (3sin x ~ sin 3x) + sín 3x(eos3x + 3cos x)

= 3(cos3xsin x + sin3xcosx) =3sin 4x

Suy ra công thức phải chứng minh

2) 4(VT) =cos3x(cos3x + 3cosx) + sin 3x (3sin x — sin 3x)

=cos” 3x —sinˆ 3x + 3(ecos3xeos X + sin 3x sin x}

= cos6x + 3cos2x

= 4cos? 2x (Do cos6x =4cos” 2x - 3cos 2x)

Suy ra công thức phải chimg minh

= — cos 2 x cos2x ~—cosx =—(cos3x + cosx}——cosx =—cos3x 4 4 4 4

3) Từ kết qua bai | va bài 2, suy ra kết qua bai 3

Sau đây là cách giải trực tiếp bài 3

I) VT = sin 5x — 2sm xcos 4x — 2 sin xeos 2x

=sinSx— (sin 5x —sin 3x) - (sin 3x - sin x} = sin x

- : atb bie cta

1) sina+sinb+sinc —sin(a+b+c)= 4sin sin——sin—_ 5

a+b b+c c+a 2) cosa + cosb + cosc + cos(a +b+c}= 4cos cos cos

Hướng dẫn giải Các bài toán nảy thuộc dạng biến đôi tổng số thành tích số

1)sỉn a + sin b + sine — sin (a + b + c) =(sín a + sin b} + [sin e — sin (a + b + €)]

a—b a+b+2c _ a+b

— 2?cos———— Si

a+b

= 2s!'n cos

13

a+b atc —b-c a+b_ b+e., c+a

= —4sin sin sin — Asin sin sin

2) cosa + cosb + cosc + cos(a + b+c)

a+b a—b a+b+2c a+b

=2cos cos +2€0§—————cos 2

a+b a—b a+b+2c a+b b+c c+a

= 2cos cos + COS —————_ | = 4cos cos 5 cos 2

sin —

2 na (n+l)a

sin — cos >

2} cosa +cos2a + coS 3a + + c0s na =

a sin —

2

Hướng dẫn giải

Đặt : Š = sin a + sin 2a + sin 3a + + sinnia Ta có :

[2sin2 |s = sin sina + 2sin Ê sin 2a+ at 2sin sin na =

2) Đặt : t=cosa + cos2a + cos3a + + cosna Ta có :

[2sinŠ ]T =2sin5 eosa + 2sin 2 eos2a + + 2sin5 cosna =

3a 3 [ sa, a) ( Ja, ‘a

=| sin — —sin— |+| sin— — sin — |+| sin — — sin— |+

sin—

2

LUYEN TAP

Chứng minh :

1) cos(x +n) =(-1)" cosx (ne N);

2) sin(x tnx) =(-1)" sinx (ne N)

Chứng minh :

1) cos? (a — b)— cos” (a + b) = sin 2sin 2b ;

2) cos? (a —b) -sin? (a + b) = cos 2acos 2b

Chứng minh :

1L) sin” x(I+ cotx)+ cos” x(I+ tan x}= sỈn x + coS x ;

2) sin3x — 2sin” 3x + cos2xsin x = cos 5xsin 4x ;

3) sin”x +cosf [x ra] =2- Y? sin{ 2x +] 4) 4 2 4

Chứng minh :

1) cos4a = 8cos‘ a —8cosˆa + Ï ;

2) cos” xcos3x —sin? xsin 3x = eo 4x+ -

cà Tt tT

Chimg minh: tanx + tan x rã] + tan| x = = 3tan 3x

15

1.6

1.7

18

sin(a+ b+c)

Chứng minh : tana + tan b + tan c = tan a lan bfan€ +——————————

€os acos beos c Chứng minh :

1-cos°a—cosˆ b— cosˆ°c + 2cosacosbcose

a+tb+c a+b-c b+c-a., ce+a-b

= 4sm sin sin sin

2 2

- sin -

* Muốn rút gọn một biếu thức lượng giác, ta dùng các công thức lượng giác

để biến đổi biểu thức đã cho

* Muốn tính giá trị của một biểu thức lượng giác, nói chung ta tìm cách rút

gọn biếu thức này Ngoài việc sử dụng các công thức lượng giác, nên xét xem biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó có thể chọn cách giải

thích hợp

= cosx + 2cosxcos =cosx —cosx =0 (Do cos F< 1),

Ghi cha + Goi M, N, P lan lượt là điểm ngọn của các cung có số đo X,X+ ` X =o trên đường tròn lượng giác Thế thì MNP là một tam giác

đều, do đó : OM +ON +OP =0

Chiếu đăng thức vectơ này trên trục cosin và trục sm, ta được :

cos X + cos| x +— |+ cos| x -— |=0

- 2T 21 sinx +sin xt + sin xe =0

Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức :

A =sin? x+shn'[x=5 Ì—sinxsin| x5

Hướng dẫn giải Cách ! :

Taco: cos{ 2x — B = -eod|2x + =|

Suy ra: A= 2-1) cosdx + cos{ 2-2) reos{ 24422 c3

sin 10° sinl0° sin I0°

yy pet V3 cosl0° -43sin10°

sinl0° cosl0° sinlO° cost 0°

2) sinxcosxc0s2xcos 4xcosÑx = na sin 16x

Ap dụng : Tính giá trị các biểu thức sau :

l

Suy ra: cos6°.B =sin 6° cos6° cos12° cos 24° cos 48° = va 96° = 1 vos 6°

Vậy : B=-L ay - l6

Mĩ dụ 5 : Tính giá trị các biéu thức sau ;

1) A=sin20° sin 40° sin 80° ; 2) B=sin10° sin 50° sin 70°

Hướng dẫn giải 1) A =sin20” sin 40” sin 802 = ssn 20° (cos 40° ~cos120°)

= Lin 20° cos 40° + 1 sin 20° = Ì (gìn 60° — sin 20°) + | Sin 20°

Cach I : Tuong ty cau J, ta tinh duge B “em 30” =

Cach 2: Taco B=sin10° cos 20° cos 40°

Suy ra: cos10°B =sin10° cost0° cos 20° cos 40° = sin 80° = costo?

Ì Vay: B=- ay 8

Vỉ dụ 6 : Tính giá trị các biểu thức sau :

1) A= cost + cos + cos; 2) B= cos + cos + cos

3)C = cos ~ cos + cos

2) B= cosa + cost ÿ vọy ỐT

7 2 Nhận xéi : B có dạng cosa + cos 2a + cos3a với: a = >

Ta tinh 2sin>.B (xem ví đụ 6 Vấn đề 1) Ta có :

2sin1,B=2sin eos” ¿ 2sin Zcos “ ¿ 2sia Zcọs 5

4 3) C= cos” — cng" + cos=™ = ~ cose — cos 2™ ~ cos =-B= 1

Ví dụ 7 : Chứng minh các biêu thức sau đây không phụ thuộc x :

l) A=cos”x—2eosacosxeos(x + a) + cos” (x+a);

2) B=cos” x —2sinaecos xsin(x +a}+sinˆ(x+a)

Hướng dẫn giải

1} A =cos” x+cos? (x+a) ~cosa[2cos xcos(x +a)|

1

=l+ 29s 2x +cos(2x+2a)|~ cosa[cos(2x +a}+ cos a]

=†+cos(2x +a)cosa — cosacos(2x + ä)— cos?a =!—cos’a=sin’a 2) B=cos? x+sin?(x +a)—sina[2sin(x +a)cos xÌ

=1+ = [cosdx —cos(2x + 2a)]-sina[sin (2x +a)+sing]

=1 —sin(2x +a)sin(—a}~— sin a sin (2x + a}— sin”a =1 —sin? a =cos?a

21

Ví dụ 8 : Với giả tri nào của œ thì biểu thức

E =cos’ x + cos" (x +a) —-cosxcos(x + a)

không phụ thuộc x 2?

Hướng dẫn giải

2E=2cos” x+ 2cos”x + œ}—~ 2cos(x + œ})cos x

=1+cos2x +1+cos(2x + 2a) -cos(2x + a) - cosa

=2~cosa +[cos2x + cos(2x + 2a) ~ cos(2x + œ)]

=2-cosa+[2cos(2x + œ)cosơ —cos(2x + œ)]

= 2-cosa+2cos(2x +a)[ cose -*)

Biểu thức E không phụ thuộc x khi và chỉ khi

cosg =2 co g— +5 + k?n, keZ Khi đó : E=cos xr c0s"| x | ~cosneos| x2 )= 2

m phải thoả mãn điều kiện gì ?

Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc x :

E =simx —sin| X+— |+sm| x +— |- sin| x +— |+sin| x +— ];

enooktoan.com

§ 3 HỆ THỨC GIỮA CÁC CUNG, CÁC GIÁ TRỊ

LƯỢNG GIÁC THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

I, PHUONG PHAP

* Nói chung, ta dùng công thức lượng giác để biến đổi các điều kiện cho

trước thành hệ thức phải chứng minh

* Cần phải xét điều kiện xác định, nếu có, của hệ thức phải chứng minh

II VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ † : Cho x + y + z= nx,n e N Chứng minh rằng :

| cos’ x + cos’ y +cos* 2-1 =(-1)" 2cos xcos ycosz (1)

Hướng dẫn giải

Gọi biểu thức ở về trái của (1) là A Ta cổ

A = cos” x + +€c0s2y +1+cos2zZ} — Í

2

= Cos’ x +2 (eos2y +cos2z) =cos” x + cos(y + z)cos(y — z}

Từ giả thiết x + y + z = nữ, suy ra :

cos x =cos(nt - y —z)=cos{y +z—nn) =(-1)" cos(y +z)

cos(y +z) =cos(nn~ x) = cos(x — nx) =(-1)” cos x

Do đó : A = cosx| (-1)" cos(y + z)|+(-1)" coxcos(y —z)

=(-1)" cosx| cos(y +z) +cos(y —z) | =(-1)" 2cos x cosy cos z,

Ghỉ chứ : Với ncN,tà có :

can sina cos(a + nr) =(—l)” eosa

Vĩ dụ 2 : Cho hai góc nhọn a và b thoả mãn điều kiện :

3sin2a—2sin2b=0 (0

Me b=l (2) Chứng minh : a+2b=

2|

Hướng dẫn giải

Ta có : (1) <= sin 2b= sin 2a, (2) & cos2b= 3sin? a

Do đó : cos(a + 2b) = cosa cos 2b — sin a sin 2b

=cosa(3sin? a)~sina| 3sin 2a]

= 3sin? acosa ~ 3sin asinacosa = 0

Vi a va b là hai góc nhọn nên ta có : O<a+2b<2%

Do do, tir (3) suy rak = 0 =>a+2b= 2

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng nếu -

xtye > tke keZ (2)

thi : tan(x +y)=——— (3)

coS y — 2

(Trích đê thì Đại học Thương mại, năm 1998) Hướng dẫn giải

# Do giá thiết x + y z 5 + km, keZ và do cos y — 2 +40, nén (3) duoc xác định

* Ta có : sin x = sin(X +-y — y) = sin(x + y)cos y ~ cos(x + y)sin y

Do đó, từ (1) > (cosy — 2)sin(x + y) =cos(x + y)siny

Stan(x+y)=2 —2

Chỉ chiz : Néu hai géc x va y thoa man gia thiét (1) thi x+y + 5 +kn Thai

vay néu Kty= > tkn thì sin(x+y)=+l, suy ra sinx=+2 (V6 li) Do vậy, có thê bỏ bớt giả thiết (2).

Ta có : 2cosacosb =cos(a + b}+ cos(a — b)

| =(m+1)cos(a—b) #0 (do gia thiét (2))

Vay tana và tan b đều được xác định

(1) coSa cos b — sỉn asin b = m(eosacosb + sin asin b)

—> (1+m)sinasinb=(1—m)cosacosb

l—m

= tan a tan b —

l+m

Ví dụ 5 : Cho atb+c=2 (1) Chứng minh :

sin”a +sin b + sin? c = | — 2sin asin bsin c (2)

Đảo lại, tìm mối liên hệ giữa a, b, c biết răng chúng thoả mãn hệ thức (2)

Hướng dẫn giải

a+b+c=——> i sina = cos(b+c)

cosa =sin(b+c) Dat E=sin°a+sin?b+sin2c—l Ta có :

E=sin°a+ “(i ~cos 2b +1-cos2c)—-l =sin7a —2 (eos2b +cos 2c)

2

=sin?a ~ecos(b + e})cos(b — c) = sin” a — sina cos(b — c)

= sinalcos(b +c}—cos(b—c)] =-2sinasinbsine (dpcm)

Đảo lại, giả sứ a, b, c thoả mãn điều kiện (2), ta có :

(2) © 1 —sin” a — sìn” b — sin” e— 2sin asin bsin c = Ũ

> (i ~sin?a)(1—sin? b) —(sin? asin? b + sin’? c + 2sinasin bsin c) =0

25

<>(cosacosb) —(sinasinb+sinc) =0

<> (cosa cosb + sin asin b + sinc})(eosacos b — sin a sin b — sinc) = Ô

©> [eos(a —b)+ sin e |[eos(a + b) — sỉn c|= 0

1) cos(a — b}= —sinc = cos{ t]

Cho (1+ tana)(I + tan b) =2 Chứng mình : a+b =7t ka (ke Z)

Cho cota + cot b + cotc = cota cot b cofc

enooktoan.com

Chuong 2

PHUONG TRINH LUONG GIAC

A KIEN THUC CO BAN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Ộ Xx=a+k2n

sinx =sina & (ke Z) °

X=n-a+k2n COSX = CoSŒœ €> x = tơ + k2z (k € Z)

tanx =tana @ x=a+kn (k € Z)

cotx =cota @x=a+knx (ke Z)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DUA VE DANG CO BAN

Phương trình bậc nhất đối với sinx va cosx

Phương trình bậc nhất đổi với sinx và cosx là phương trình có dạng :

asin x + bcosx =c œ Va” + b sin(x +@)=c

acos x + bsinx =c ©@ Va” + bỈ cos(x —@)=e

Cách 2 : Ding an phụ

Xét phương trình khi x = m+k2n, ke Z

Với xzm+k2m,ke7Z, dat t= tan ta được phương trình bậc hai theo t:

(c+b)t” ~2at+c—b=0

hoặc (c+a)t -2bt+c-a=0

Ghỉ chú : Điều kiện đề phương trình (1) hoặc (2) có nghiệm là : a’ +b? >c?

27

HII

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng :

f [u(x)] =0

voi u(x) =sinx hodc u(x)=cosx hodc u(x) = tanx

Dat t= u(x), ta duoc phvong trinh f(t) =0

Phương trinh cé dang f(sinx + cosx, sinxcosx = 0)

Đặt : t= sin x + cosx = |tl< 2 Ta dugc phuyong trinh đại số theo t

Phuong trinh dang cap theo sinx va cosx

* Phương trình đăng cấp bậc hai :

Phương trình đăng cấp bậc hai cỏ dạng

sin Xcos xX = —sin 2x,

ta dugc phuong trinh bac nhat doi véi sin2x va cos2x

c) Giải phương trình cuỗi cùng :

đ} So với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm.

H

enooktoan.com

Phương pháp dùng an phụ : Khi sử dụng phương pháp dùng ân phụ, các

bước thực hiện như sau :

Giải phương trình f[u(x)]=0 (1)

a) Dat t= u(x)

b) (1) > f()=0 (2)

c)(2) cteT

đ)(1) œu(x)eT

Ta còn gặp một số phương trình lượng giác mà ta không thể biến đỗi về đạng

cơ bản Các phương trình này sẽ được xét trong Vẫn đề 5 dưới đây

Chẳng hạn, với phương trình sin ax + cosbx = 2, (a có cách giải như sau :

sin ax =1 Sinax + cosbx = 2 ©

* Dùng công thức lượng giac, biến đổi phương trình đã cho về đạng cơ bản

Trong quá trình bien đôi, nêu phát hiện thừa số chưng thì đưa phương trình

ave

* Dang án phụ nêu phương trình có dạng quen thuộc

Vi DU AP DUNG

Vi da I: Cho phương trình

sin” 4x — cos” 6x = sin(10,5r + 10x) (1)

Tìm các nghiệm thuộc khoảng [0 : :]

(Trích đê thì Đại học Dược Hà Nội, năm 1999)

Hướng dẫn giải

29

* Các giá trị này phải thoả mãn điều kiện 0< x <> nghĩa là :

O< (I+ 2k) <> ©œ0<I+2k<10=0<k <4

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện ban đầu, nên được chập nhận

Vi dụ 3 : Giải phương trình : $oos)| x+ =) =cos3n (1)

(Trích đề thì Đại học Quốc gia Hà Nội, Khỗi 4, năm 1999)

Hwéng dan giai

Dat t= xi x = t= cos 3x = cos(3t— m) = —cos3t

Phương trình (]) trở thành ;

8§cos” t + cos3t = 0 8cos? t +(4cos” t— 3cost) =0

| (công thức nhân ba}

Tóm lại, nghiệm của phương trình ( [) là :

x=kX;x= +kR;x=—+kz (k € Z)

Vỉ dụ 4 : Giải phương trình

cos? 2x + 2(Ssin x + cosx)” —3sin 2x — 3 =0 (1)

(Trích da thi Dai hoc Quốc gia Tp HCM, Khối A, năm 1999)

a) sinx + cosx = Ũ €è tấn X = —Ï Cọ XE =2 + kữ, (k € Z)

b) (cosx —sinx) +2(sinx +cosx)—-3=0

<> 1~2sinxcosx + 2(sinx +cosx)-3=0 |

> 14 sinxcosx -sin x —cosx =0 < (I— sỉn x)(1 —~cos x) = 0

TL

x=—+k2n

c 2 {k € Z) x=k2n `

enooktoan.com

a) (= 0.49 sinx +cosx = N=—7 tke (k € Z)

b) t=] sinx +cosx =] c>ý2eos| x~ Ì=l

T T x= +k2n c> eosl x2] - cos => 2 (ke Z)

* Điều kiện : cosx #0 © Keo tke (k € Z)

* (1) & cosx(3sinx + 2cosx) = 3sin x + 3cos x — 1

© cos x(3sin x + 2c0s x — l} = 3sin x + 2c0s x — Ì

© (cosx —1)(3sin x + 2cosx — l} =0

a) cosx=l©©x=k2mr (ke Z)

Nhận xét :

x=z#+k2r (k e Z) không phải là nghiệm của phương trình (2)

Dat t= tgs Tu (2) suy ra:

Gọi œ va fi la hai gdc thudc [- ; =) sao cho

ce Z2)

Xx fans = tanB Tóm lại, nghiệm của phương trình (1) là :

x=k2mr;x = 2œ +k2x;x=2B+k2x (ke Z) V† dự ố ; Giải phương trình

4(sin3x — cos2x) = 5(sinx —1) (1)

(Trích đề thì Đại học Luật Hà Nội, năm 1999)

Hướng dẫn giải (1) © 4(3sinx— 4sinŸ x)}—~ 4ÍI— 2sin? x}~ 5(sin x — 1) =0

Đặt †= sinx => T—I <t<l, Từ (]) suy ra :

Ví dụ 7 : Giải phương trình

sin? x(tanx +1) =3sinx (cos x —sinx) +3 (1)

(Trích để thí Đại học Nông nghiép I, Khoi B, nam 1999)

enooktoan.com

Hướng dẫn giải

* Điều kiện : cosx #Ũ © x “2 +kn (k € Z)

* Chia hai về của phương trình cho cos” x, ta được :

tan” x(tan x +1) = 3 tan x(I tan x) + 3ÍI+ tan? x)

Đặt t = tan x, ta được phương trình :

5+ cos2x = 2(2 — cos x)(sin x — cos x) (1)

(Trích đề thi Đại học Hàng hải Tp HCM, năm 1999)

Hướng dẫn giải

(1) ©5+2cos”x— = 2(2sin x — 2cos x —sÌn xcos x + cos” x)

© 4= 4(sin x — cos x)— 2sỉn Xeos x

& 2sin xcosx — 4(sin x —cosx)+ 4= 0 (2)

Dat t=sinx —cosx >itl< J? va t? =1—2sinxcosx

Vi du 9: Giai phuong trinh

sinx - 4sin’ x + cos x = Ô (1)

(Trích đề thi Đại học Y Hà Nội, năm 1999)

“Hướng dẫn giải

Có thể xem (I) là phương trình đăng cấp bậc ba

Nhận xét : cosx =0 không thoả mãn phương trình ( Í),

Chia hai về của phương trinh (1) cho cos’ x, ta dugc:

tanx (tan? x +1) —4tan? x + tan? x + 1=0

Đặt t = tan x, ta được phương trình :

Vi du 10: Giai phuong trinh

2sin” x — eos 2x + cosX = 0 (1)

(Trich dé thi Dai hoc Nông nghiệp I, Khoi A, ndém 1999)

Hướng dẫn giải

(1) © 2sin? x—ÍI~ 2sin2 x}+cosx =0

© 2sin” x(I + sỉn x}— (I— cos x)= 0

© 2(—cosx)(I +eos x)( + sin x)~ (I~ cos x) = 0

© (1-cosx)[2(1 + cosx){t+sinx)-1]=0

a) cosx=l ©x=k2x (ke Z)

b) 2(+cos x)(I +sin x)—I=0 © 2Á +sin x + cos x + sin xcosx)— Ì = 0 1+ 2sin xeosx + 2(sin x + cos x) = 0 (*)

© (sin x + cos x)” + 2(sìn x + cos x) = 0

&> (sinx + cos x)Ísin x +cosx + 2)= 0

<> sinx + cosx =0 (do |sin x +eosx|< V2)

<> tan x = —Ï xsi tke {k € Z)

Tém lai, phuong trinh (1) cé nghiém là :

x=k2n va xe kn (ke 7) Ghi chu (*):

Co thé giai bang cach dat : 1 =sinxcosx, |tl < V2

Ta được phương trình ; tÝt+2)=0e>t=0

LUYỆN TẬP

Giai phuong trinh : sin® x + cos® x = 2(sin® x + cos® x)

"(Trích đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 1999)

Giải phương trình : sin” x +eos° x =——

(Trích để thi Đại học Huế, năm 1999)

Giải phương trình : sin” xcos3x + cos” xsin 3x = sin” 4x

(Trích dê thì Đại học Ngoại thương, Khối A, nam 1999) Cho phương trình : eos2x - tan” x = CO5 x~-ens x-I

COS” x a) Giat phuong trinh trén

b) Tỉnh tông tất cả các nghiệm của phương trình trên thoả mãn 0 < x < 99,

(Trích dé thi Dai hoc Thai Nguyên, Khái A & B, năm 1999)

Giải phương trình : cos 2x — J3sin 2x— 43 sinx —cosx+4=0

(Trích đề thi Học viện Kĩ thuật quân sự, năm 1998)

Giải phương trinh ; 2+cosx = 2 tan —

(Trích đề thì Học viện Ngân hàng, năm 1998)

{ on Giai phuong trinh : tan’ | x -2) = tan x~Ï

(Trích để thì Học viện Công nghệ BCVT Tp.HCM, năm: 1999)

37

4.8 Giải phương trình : cos` x + cos’ x +2sinx-2=0

(Trích đề thì Học viện Ngân hàng, năm 1999) 4.9 Giải phương trình : 3tan” x— tan x ,30 -SinX) g2 k -Š] =

cos” X

(Trích đề thì Đại học Kiến trúc Hà Nội, năm 1999)

4.10 Giải phương trình : cos” x + sin x— 3cos xsin” x = 0

(Trích để thì Đại học Huế, Khối A & B, nam 1998)

_§5, PHƯƠNG TRÌNH LUONG GIAC

CHỨA ẢN Ở MẪU

I PHƯƠNG PHÁP

1 Cách giải phương trình chứa ân ở mẫu gồm ba bước :

a) Đặt điều kiện xác định ;

b) Rut gon phương trình đã cho rồi giải phương trình cuối cùng ;

e) Đối chiếu điều kiện xác định để chọn nghiệm

2 Đối với phương trình lượng giác, việc chọn nghiệm (nhận nghiệm nảo, loại

nghiệm nảo) đôi khi rât phức tạp Tuy theo từng bài toán, ta dùng phương

pháp đại sô hoặc phương pháp hình học

Ngọn cung nảo thuộc L thì bị loại, trái lại thì được nhận

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 : Giải phương trình 1+cot2x =1—Ê992X (1)

sin’ 2x (Trích đề thi Đại học Sư phạm Vinh, năm 1998) Hướng dẫn giải

(dbo sin? 2x + cos 2x.sin 2x = 1 —cos 2x Hình I

© cos” 2x — eos 2x.sin 2x — cos2x = 0 < cos2x€os 2x — sin 2x — 1)=0

a) cos2x =0 œ 2x =7 + kn (ke 2œx= + (nhận)

b) cos2x — sin 2x = | © Vicos{ 2x "-

39