Chuyên đề luyện thi đại học phần mặt tròn xoay và mặt cầu

Bài tập 10:Tính diện tích thiết diện lớn nhất của hình nón có độ dài đường sinh l , chiều cao h khi cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh hình nón?... Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Trang 1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1

Chủ đề 1: MẶT NÓN TRÒN XOAY

I- LÝ THUYẾT:

1/ Định nghĩa:

Cho đường thẳng ∆ Một đường thẳng l cắt ∆ tại O và tạo

với ∆ một góc α không đổi (00 < <α 900)

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ gọi là

mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón)

Gọi ( )P là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại I

(I ≠O , cắt mặt phẳng theo thiết diện là đường )

tròn (C); ( )P là mặt phẳng vuông góc với ∆ 'tại O

Khi đó phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng( )P và ( )P cùng với đường tròn (C) 'được gọi là hình nón

Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R

* Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần:

Trang 2

II- BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài tập 1: Cho hai điểm A B cố định Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và cách ,

B một đoạn không đổi

Suy ra đường thẳng d là đường sinh của mặt nón với góc ở

đỉnh 2α =1200 (không đổi), trục là đường thẳng AB (cố định)

Nhận xét:

Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm trên

một mặt nón tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các thuộc tính không đổi

Bài tập 2: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h=20cm , bán kính đáy R=25cm Một

mặt phẳng( )P đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12cm Hãy

xác định thiết diện của ( )P với khối nón và tính diện tích thiết diện đó

suy ra (SOI) (⊥ SAB) và (SOI) (∩ SAB)=SI

Dựng OH ⊥SI ⇒OH ⊥(SAB) hay d(O SAB,( ) )=OH

Xét tam giác SOI vuông tại O:

Bài tập 3: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy

sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAOˆ =30 , 0 SABˆ =600 Tính độ dài đường sinh

I

I O

H B

Trang 3

Xét tam giác SAI vuông tại I:

Nhận xét: Thiết diện là tam giác cân SAB với SA SB l= =

Xét tam giác SOA vuông tại O:

2 2

1.31.3

Nhận xét: Khối tròn xoay nhận được khi quay tam giác ABC quanh BC là hợp của hai khối

nón chung đường tròn đáy với bán kính AH

C B

A

C

Trang 4

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc

600 Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích hình nón có đỉnh S và đáy (T)

Bài tập 2:Trong mặt phẳng ( )P cho điểm O cố định Xét những đường thẳng d thay đổi

luôn đi qua O và hợp với ( )P một góc 300 Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón

xác định

Bài tập 3:Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Tính diện tích xung quanh của ' ' ' '

hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông

' ' ' '

A B C D

Bài tập 4:Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc

vuông bằng a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng

c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600 Tính diện tích của thiết diện này

Bài tập 5:Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt

bên và mặt đáy là α Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α

Bài tập 6:Tính thể tích khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a?

Bài tập 7:Xét tam giác vuông OAB, vuông tại O có OA=4, OB= Nếu tam giác vuông 3quay quanh cạnh OA thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu?

Bài tập 8:Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy

bằng α Tính thể tích khối nón

Bài tập 9:Nếu hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích đáy bằng 90 π thì thể tích hình nón bằng bao nhiêu?

Bài tập 10:Tính diện tích thiết diện lớn nhất của hình nón có độ dài đường sinh l , chiều cao

h khi cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh hình nón?

Trang 5

Chủ đề 2: MẶT TRỤ TRỊN XOAY

1) Định nghĩa:

Cho đường thẳng ∆ Một đường thẳng l song song với ∆ và

cách ∆ một khoảng khơng đổi R Mặt trịn xoay sinh bởi đường

thẳng l khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ trịn xoay

(hay đơn giản là mặt trụ)

∆ : trục của mặt trụ

l : đường sinh của mặt trụ

R : bán kính của mặt trụ

2) Hình trụ và khối trụ:

a) Hình trụ: Cho mặt trụ cĩ trục ∆ , đường sinh l và bán kính R

Cắt mặt trụ bởi 2 mặt phẳng ( )P và ( )P cùng vuơng gĩc với ∆ ta được thiết diện là 2 đường 'trịn ( )C và /

Cho hình trụ cĩ chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R

* Diện tích xung quanh và diện tích tồn phần:

S xq =(chu vi đáy đường sinh) ( )=2πRl

+∀ ∈M C O R MN OO( , ): // ': cách xác định 1 đường sinh của hình trụ

Bài tập 1: Cho một đường trịn nằm trên mặt phẳng ( )P Từ một điểm M nằm trên đường

trịn ta kẻ đường thẳng m vuơng gĩc với mặt phẳng ( )P Chứng minh rằng những đường

thẳng m như vậy nằm trên một mặt trụ trịn xoay

Bài giải:

Do đường trịn (O) cĩ bán kính R khơng đổi nên đường thẳng

m song song và cách 1 khoảng R với đường thẳng OO’

P

M m m

l

R O

O'

Trang 6

trục của trụ là đường thẳng OO’ và có h R= (y.c.b.t)

Nhận xét: Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm

trên một mặt trụ tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các

thuộc tính không đổi

Bài tập 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R =53 cm, chiều cao h= 56 cm Một thiết diện song song với trục là hình vuông Tính khoảng cách từ trục của trụ đến mặt phẳng thiết diện

Do OO'//(ABCD)⇒d(OO ABCD',( ) )=d(O ABCD,( ) )=OH

Xét tam giác OAH vuông tại H:

Bài tập 3: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông

Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ theo R

và V = πh R 2 = π (đ.v.t.t) 2 R3

Bài tập 4: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h= 50 cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ được tạo nên

b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn của đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ

Suy ra: ⇒d(OO ABB',( ') )=d(O ABB,( ') )=OH

Xét tam giác ABB’ vuông tại B’: AB'= AB2−BB'2 = AB2−OO'2 =50 3 cm

H

O' O

B

A H O

O'

Trang 7

Xét tam giác OHB’:

Suy ra, đoạn PK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OO’ và AB

Bài tập 5: (Khối A- 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy

bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’

lấy điểm B sao cho AB====2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB

Bài giải:

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’

và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D

Vì AOO’ là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng a nên 2

'

12

Trang 8

Bài tập 1: Cho mặt phẳng( )P , một điểm A nằm trên( )P , một điểm B nằm ngoài ( )P sao

cho hình chiếu H của B lên ( )P không trùng với A Một điểm M di động trong mặt phẳng ( )P

sao cho ta luôn có ˆABM =BMHˆ Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn

xoay có trục là AB

Bài tập 2: Cho khối trụ có bán kính R=5cm , khoảng cách hai đáy bằng 7cm Cắt khối trụ

bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm Tính diện tích của thiết diện

Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a , chiều cao a 3 Tính

diện tích toàn phần mặt trụ nội tiếp, mặt trụ ngoại tiếp lăng trụ

Bài tập 4: Cho khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm Người ta

kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lược trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 30 0

Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối

trụ đó Hãy tính diện tích của thiết diện

Bài tập 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng

c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho

Bài tập 6: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30 0

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ Xác định đoạn vuông góc chung

c) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B

d) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ

Bài tập 7: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’; ABCD là hình vuông nội tiếp

đường tròn tâm O, AA’, BB’ là các đường sinh của hình trụ Biết bán kính đáy của hình trụ là

R và mặt phẳng(A’B’BA) hợp với đáy một góc 600 Tính diện tích tứ giác A’B’CD

Bài tập 8: Cho hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính R (đường tròn đáy của hình trụ ở trên

Trang 9

Chủ đề 3: MẶT CẦU

1/ Định nghĩa:

Cho điểm I cố định và một số thực dương R

Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I

một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R

K/h: S I R ( ; )

2/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu S I R và mặt phẳng ( ; ) ( )P Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( )P

d IH

⇒ = là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P Khi đó:

+ Nếu d > : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung R

+ Nếu d = : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu R

Lúc đó: ( )P đgl mp tiếp diện của mặt cầu H: tiếp điểm

+ Nếu d < : Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là R

đường tròn có tâm H và bán kính r= R2−IH2

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mp(P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc

đó được gọi là đường tròn lớn

3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu S I R và đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ Khi đó: ( ; )

+ IH R> : ∆ không cắt mặt cầu

+ IH R= : ∆ tiếp xúc với mặt cầu ∆ : Tiếp tuyến của (S)

+ IH R< : ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

Trang 10

Dạng 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Bài tập 1: Cho mặt cầu S O R và một điểm A biết ( ; ) OA=2R Qua A kẻ 1 tiếp tuyến với mặt

cầu tại B và kẻ 1 cát tuyến cắt S O R tại C, D Biết ( ; ) CD R= 3

a) Tính độ dài đoạn AB b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD

Bài giải:

a) Tính độ dài đoạn AB:

Xét OAB∆ vuông tại B, ta có:

b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD:

Gọi H là trung điểm CD⇒OH ⊥CD

Xét OHC∆ vuông tại H, ta có:

Bài tập 2: Cho mặt cầu S O R tiếp xúc với mp(P) tại I Gọi M là 1 điểm nằm trên ( ; ) S O R ( ; )

nhưng không phải đối xứng với I qua O Từ M kẻ 2 tiếp tuyến với S O R và hai tiếp tuyến ( ; )

này vuông góc, cắt (P) tại A, B Chứng minh rằng: 2 2 2

Lúc đó, do từ A dựng được 2 tiếp tuyến AM và AI tới S O R ( ; )

với các tiếp điểm M, I nên ta có: AM = AI (2)

Tương tự: BM =BI (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB2 = AI2+BI2 (đ.p.c.m)

Bài tập 3: Cho mặt cầu với S O R Lấy 1 điểm A trên mặt cầu và gọi ( )( ; ) α là mặt phẳng qua

A sao cho góc giữa OA và ( )α bằng 300

a) Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( )α và hình cầu

b) Đường thẳng ∆ qua A và vuông góc với ( )α cắt mặt cầu tại B Tính AB

H

R D

A

R O

Trang 11

Bài giải:

a) Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( )α và hình cầu:

Gọi thiết diện của ( )α và S O R là đường tròn tâm H ( ; )

.2

a

R =

Bài tập 1: Mặt cầu tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC Cho biết ba cạnh của tam giác ABC

lần lượt là: 13 cm, 14 cm, 15 cm và bán kính của mặt cầu là 5 cm Tính khoảng cách từ tâm của (S) đến mp(ABC)

Bài tập 2: Cho mặt cầu với S O R với ( ; ) R = cm Mặt phẳng (P) cắt (S) theo thiết diện là 5một đường tròn có diện tích bằng 9π Tính d(O,mp( )P )

Bài tập 3: Cho mặt cầu với S O R với đường kính AA’ Gọi H là một điểm trên AA’ sao ( ; )

A

Trang 12

Bài tập 4: Cho mặt cầu (S) tâm O với R =13 cm Thiết diện do mặt phẳng (P) cắt (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có các cạnh là 6 cm, 8 cm, 10 cm Tính d(O,mp( )P )

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB, BC, CD vuông góc từng đôi một Gọi I là trung

điểm của BC Nếu có AB a= 2, BC a= thì bán kính mặt cầu tâm I, tiếp xúc với mp(ACD) bằng bao nhiêu?

Bài tập 6: Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng a Gọi O là trọng tâm tam giác ABC Mặt cầu

tâm O tiếp xúc cạnh SA có diện tích bao nhiêu?

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC a BD= , =2a và SA vuông góc với mp(ABCD) Gọi I là trung điểm SA, mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mp(SAB) có bán kính bằng bao nhiêu?

Bài tập 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao

O tiếp xúc cạnh bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu?

Bài tập 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , các cạnh bên hợp với đáy

một góc 600 Mặt cầu tâm O tiếp xúc cạnh bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu?

Bài tập 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , các mặt bên hợp với đáy

một góc 600 Mặt cầu tâm O tiếp xúc các mặt bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu?

-

Dạng toán: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Phương pháp:

1 Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:

Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số

nhận xét quan trọng sau:

- Điểm M thuộc S(O;R) ⇔ OM = R

- Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông

2 Điều kiện cần và đủ:

- Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp

- Để một hình lăng có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng

và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp

3 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:

Cho đoạn thẳng AB Mặt phẳng ( )α được gọi là

mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp( )α

đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB

Dạng toán: CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU

I- PHƯƠNG PHÁP:

Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:

Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số

nhận xét quan trọng sau:

- Điểm M thuộc S(O;R) ⇔ OM = R

- Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông

I

B A

α

Trang 13

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA⊥(ABC)

a) Chứng minh hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu

b) Cho SA BC a= = và AB a= 2 Tính bán kính mặt cầu nói trên

Từ (1), (2) suy ra điểm A và B cùng nhìn đoạn SC dưới 1 góc

vuông Vậy 4 điểm A, B, C, S cùng thuộc ;

Xét ABC∆ vuông tại B, ta có: AC = AB2+BC2 =a 3

Trong SAC∆ vuông tại A, ta có: 2 2

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD)

và SA a= 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC

a) Chứng minh hình chóp S.OAKB nội tiếp trong một mặt cầu

b) Xác đinh tâm và bán kính mặt cầu nói trên

Từ (1), (2), (3) suy ra điểm A, K và O cùng nhìn đoạn SB

dưới 1 góc vuông Vậy 5 điểm A, B, O, K, S cùng thuộc ;

Bài tập 3: Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu

Tính bán kính của mặt cầu ấy, biết hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c

a

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,26 MB