DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN

DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HỌC NĂM 2012

Trường ĐHGTVT Tp HCM

Môn thi: Toán cao cấp B

(Dành cho chuyên ngành 7ổ chức và quản lý vận tải)

Đề số 2 (Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1: Tìm các cực trị của hàm số: z = ƒ(,y) = xŸ — (y + 1) + 12xy + 12x

Câu 2: Giải phương trình vi phân sau: y” — 8y' + 16y = e"#(25x + 15) + 16x” — 8

Câu 3:

a/ Tìm hạng của ma trận sau:

1 2 3 1 2 A= 2 3 4 2 3

3 4 5 3 4

1 2 3 4 5 b/ Giải hệ phương trình tuyến tính:

xty+z—3u-v=0 x-y-ztu-3v=2 2x-ytz+2v=5

y-2z-2utv=—4

(x,y,z, u,v la cac an sé)

Câu 4: Từ những thanh vật liệu có độ dài 4m , cần cắt ra: 300 đoạn, mỗi đoạn có độ dài 1,5m;

750 đoạn, mỗi đoạn có độ dài 1,1m; 900 đoạn, mỗi đoạn có độ đài 0,9m Hãy thiết lập mô hình cho bài toán cắt vật liệu này sao cho tổng số vật liệu dư thừa từ những thanh được cắt là nhỏ nhất

Câu 5: Giải bài toán vận tải sau với yêu cầu hàng được vận chuyển đi hết và chỉ phí vận chuyên là thâp nhât

a X

MÔN TOÁN B- ĐÁP ÁN ĐỀSỐ2 - 20¡/

Câu 1 có: z„ = 3x” + 12(y + 1); zy = —3(y + 1)” + 12x;

A = 24 = 6x,B = Zyy = 12, = 22 = —6(y + 1); HE: lý =o = l =4 >- _s:

Tai M(0;—1)c6 AC — B? = -144 < OnénM khong phai la diém cực trị

Tai N(4;—5)c6 A = 24 > 0 va AC — B? = 242 — 122 > 0 nénz dat cwe tiéu vazy = —64

Câu 2 Xét phương trình thuần nhất tương ứng: y” — 8y' + 16y = 0 (1a)

có phương trình đặc trưng: k2 — 8k + 16 = 0 với nghiệm kép: k = 4

Do đó (1a)có 2 nghiệm độc lập tuyến tính là: yị = e“*,y; = x d!*,

Xét các phương trình:

y'—8y'+16y=e *(@x+1) (1b) y"—8y'+16y=16x?-8 (1c)

Tìm được một nghiệm riêng của (1b) là: y7 = e"*(% + 1)

Tìm được một nghiệm riêng của (1c) là: yš = x? +

Do đó phương trình đã cho nhận y” = yj + yš = e"*“(x+ 1)+x?+#x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

V = Ciyi + caya +y` = cị6'# + cạxe?#Z + e~*(x + 1) +x”?+x

b/ Cac nghiệm cần tìm: z=v4+1

utuyy tùy ý

Bảng 1 cho thấy PA đang xét không phải là PATƯ Từ chu trình được đánh dấu (+), (-) luân phiên, ta xác định được lượng hàng điều chỉnh q = 50 Từ đó PACB mới được thiết lập và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu trong bảng 2 sau đây:

Bang 2 cho thấy PA đang xét là PATƯ, với tổng chỉ phí thấp nhất là fm;„ = 9580

x-y-zZ-ut3ve=l 2x+y—z—3u+ 20 = 1

A =2 = 6(x —1),B = 2, = 12,0 = z2 = —6y; Hệt [2 = 0 =Zy2 — (x ), = Zyy = 14,0 = Zy2 = —oy, eo @lpasy=—4

Tại M(1; 0)có AC — B? = —144 < 0 nên M không phải là điểm cực trị

Tại NŒ; —4)có A = 24 > 0 và AC — B2 = 242 — 122 > 0 nên z đạt cực tiểu uà z¿y¿ = 192

Câu 2 Xét phương trình thuần nhất tương ứng: y” — 6y' + 9y = 0 (1a)

có phương trình đặc trưng: k” — 6k + 9 = 0 uới nghiệm kép: k = 3

Do đó (1a)có 2 nghiệm độc lập tuyến tính là: y, = e3*,y; = x.eŸ*,

Xét các phương trình:

y" —6y'+9y =e*(4x-8) (1b); y”—6y'+ 9y = 9x2 + 6x — 10

Tìm được một nghiệm riêng của (1b) là: yƒ = e*(x — 1)

Tìm được một nghiệm riêng của (1c) là: yŸ = x? + 2x

Do đó phương trình đã cho nhận y* = yƒ + y¿ = e*(x — 1) +x? +2x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = CIyi + cay; + y` = cị¡e3# + cạxe3# + e#(x — 1) +x2 + 2x

Suy ra hạng A = hạng A =3

b/ Bài toán tương đương với việc giải hệ phương trình tuyến tính:

2x+y—z—3u+20 =1 (x,y,z, tu, 0 là các ẩm số) Hệ có nghiệm: 4 Z HH,

Da 2042 (2 )

Bảng 1 cho thấy PA đang xét không phải là PATƯ Từ chu trình được đánh dấu (+), (-) luân phiên, ta xác

định được lượng hàng điều chỉnh q = 50 Từ đó PACB mới được thiết lập và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu

trong bảng 2 sau đây:

Py - 204 b

)

BO GIAO THONG VANTAI ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HOC NAM 2016

TRƯỜNG ĐH.GTVT TP.HCM MON: TOAN CAO CAP B

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I: Tìm cực trị của ham hai bién f(x, y) = x‘ +2y? + 2xy’ +x? +1 voi (x,y) e R?

Câu 2: Giải phương trình vi phân: y”—5y' +4y=(2x+1)e"

Câu 4: Áp dụng thuật toán thế vị giải bài toán vận tải không cân bằng thu phát, với yêu cầu

các trạm phát phân phối hết hàng và tổng cước phí vận chuyển là thấp nhất:

th Phat) p-150 | B,:240| B;: 100 | B,:210 4:140 | 12 15 16 17 4,:160 | 17 14 18 13 4:150 | 14 18 13 18

Câu 5: Một công ty bán lẻ máy ảnh muốn tìm hiểu mức độ hài lòng của khách hàng đối với

hai dòng sản phẩm máy chụp ảnh chuyên nghiệp Nikon và Canon; khách hàng sẽ cho điểm với thang điểm 10 đối với sản phâm của họ Kết quả khảo sát của sản phẩm Canon như sau:

b) Theo công ty trên, nếu một người cho điểm sản phẩm của mình từ § điểm trở lên tức

là họ yêu thích sản phẩm đó Hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ người dùng yêu thích sản phẩm máy chụp ảnh chuyên nhiệp Canon với độ tin cậy 95% e) Kết quả khảo sát 200 khách hàng dùng máy ảnh Nikon như sau: điểm trung bình Xxuø„ = 6.5; phương sai mẫu hiệu chỉnh s”„„ „ = 5; dựa vào kết quả này, có thé cho rằng mức độ hài lòng của khách hàng đối với hai dòng sản phẩm máy chụp ảnh chuyên nghiệp Canon và Nikon là như nhau không, mức ý nghĩa 5%?

tự và DA J ( ~?/2

Cho gia tri ham Laplace g p Q(x) Tox @(x) = e “dt

x 1,645 | 1,751 | 1,881 | 1,960 | 2,054 | 2,170 | 2,326 | 2,576 p(x) | 0,45 | 0,46 | 0,47 | 0,475 | 0,48 | 0,485] 0,49 | 0,495

Câu 2: Phương trình đặc trưng: z?—5z+4=0 © (z—1 —4) =0

Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt r =1vr = 4

Nghiệm tông quát của phương trình thuần nhất tuong ting c6 dang: y, =Ce*+C,e™

Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: Y =(Ax? + Bx)e*

=> Y'=e*[Ax? +(2A+B)x+B]

Y" =e*[Ax’? +(44+ B)x+2A+2B]

Thế vào đề bài: Y"—5Y'+-4Y =(2x+1)e' ©

e[ Ax?+ (4A+B)x+2A+2B]

+e*[-S Ax’ + (-104—5B)x-5B]

+e*[ 44x? + — 4Bx] =(2x+le*

À Apia Ari: Ấ -64=2 A=-\,

Đông nhật hệ sô hai về ta được: c-

*“ l3 -3 0 10 0 10

Đây là bài toán vận tải không cân bằng thu phát vì , a,= 450 < > b, = 700

Do tổng thu > tổng phát => thêm một trạm phát giả có trữ lượng là: Sib , - iq, = 250, cudc phi

Dùng phương pháp cực tiêu hóa cước phí đề tìm phương án cực biên ban đâu

3 - 9OAG

Aith3 hl h2+h3—h2

“~~

Dy ~2DAG (4)

00 -5 -2 Lượng kiểm tra : (A,) = 7-1-9 0 ,A„,<0,Vi, 7 nên phương án trên đã tối ưu

Sai số ước lượng c= Z„,„ |“ —/2 = 0.0663 n

Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ người dùng yêu thích dòng máy chụp ảnh chuyên nghiệp

Canon: [#—e; +] =[0.1984;0.331]

e) Đối với sản phẩm Nikon: mu = 2003 Xyipon = 9295 Sp = 5

Cần kiểm định cặp giả thiết và đối thiết sau:

H

| 0 * Hanon = nikon strong 46 Leanon> Hxikon lần lượt là (điểm số) trung bình tổng thể của

H: Hcanon z nikon

dòng máy chụp ảnh chuyên nghiệp Canon và Nikon

Trường hợp cỡ mẫu lớn, phương sai tổng thể chưa biết;

Thống kê sử dụng: _ĂỒỚố 2 .Ắ = 0.7117

Ss

’Canon_ 4 Nikon ” Nikon,

Neanon — “Nikon

Giá trị tới han xAp xi: Z,) = Zo 5 =1,96

Do |£|< Z4„;: với mẫu điều tra trên, chưa đủ chứng cứ để bác bỏ ạ, vậy có thể cho rằng

mức độ hài lòng của người dùng với dòng sản phẩm chụp ảnh chuyên nghiệp của Canon và Nikon

là như nhau

Đi - 2046

ĐẺ THỊ TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2016

MÔN: TOÁN CAO CÁP B

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG ĐH.GTVT TP.HCM

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: Tìm cực trị của hàm số : ƒ(x, y)= 6x) +9x?y—4y°+3y+1 với (x, y) R7

Câu 2: Giải phương trình vi phân : y“—4y+4y=e?“(10—6x) , thỏa mãn các điều kiện

a) Tim tat cả các giá trị của tham số thực m dé cho det(A)=-11

b) Với z=-3, hãy tìm ma trận nghịch đảo 4" Áp dụng kết quả tìm được, hãy tìm

Câu 5: Để khảo sát đường kính của chỉ tiết máy, người ta kiểm tra một số sản phẩm của hai nhà máy Trong kết quả sau, X, Y tương ứng là đường kính của chỉ tiết máy do nhà máy 1, nhà máy 2 sản xuất

a) Dựa vào kết quả quan sát, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho đường kính trung

bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 2 sản xuất với độ tin cậy 99%

b) Có thể cho rằng đường kính trung bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 1 sản xuất lớn hơn đường kính trung bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 2 sản xuất hay không với mức ý nghĩa 3%?

/ Py ~ ZOMG oO

DAP AN Cau: f/ =18x"° +18xy; f) =9x? -12y? +3

A= fi =36x+18y; B= ‘ =18x5;C =f =-24y Lập bảng:

A |B [C B’-AC | Ham f(x,y) M(0,-1/2) | -9 0 12 108>0 1 không phải là điểm cực trị

N(0,1/2) 9 0 -12 | 108>0 N khéng phai 1a diém cực trị

P(-1,1) -18 | -18 | -24 | -108<0 | P ladiém cue dai, f= f(-1,) =3

O(1,—-1) 18 | 18 | 24 | -108<0 | Q ladiém cuc tiéu, f= f(,-1) =-1

Câu2: y! —4y'+4y =e? (10-6x) (1)

Phương trình thuần nhất tương ứng: y” —4y'+4y =0 Phương trình đặc trưng: &”—4k+4=0 © k =k, =2

Nghiệm tổng quát của (2): ÿ = (Œ +C;x)e?

Tìm nghiệm riêng y, cua (1):

wm=l; œ=2 là nghiệm kép phương trình đặc trưng nên y, có dạng:

y, =x" (ax+b)e™* =(ax)+bx”)e?

Thế y,,y⁄, yˆ vào (1) và đồng nhất, thu được: y„=(5x -x)e”

Nghiệm tổng quát của (1): „=+ y, =(C,+C,x)e** + (Sx? —x* Je"

b) Với m=-3,tacd: A=

-4 3 0

Câu 4: Ta có: 3g, = 800 >2, = 640 Thêm trạm phát giả Ö, với b, =160

Phân phối hàng theo phương pháp cước phí nhỏ nhất, các ô giả có cước phí bằng 0 và được

phân phối sau cùng

b) Can kiém dinh cap gia thiét thong ké:

Ay: Ly > My

Tinh théng ké: T = A = 3,8842

5s Sy

mon Muc y nghia a =3%; g(z,)=0,5-a@ =0,47 > 2, =1,881

Do 7>z„ nên bác bd Ay, chấp nhận H, Vậy Có thể coi rằng đường kính trung bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 1 sản xuất lớn hơn đường kính trung bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 2 sản xuât

D, - 2046

BO GIAO THONG VAN TAI ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HỌC NĂM 2016

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: Tìm cực trị tự do của hàm sô

z(x,y)= 2x) +11x? +14x+2x(Ï -2y)+§y-4yˆ, (x,y)eRR

a) Tính định thức det(A) va tìm các giá trị của tham sé m dé cho det(A)=—58

b) Với m=2, chứng minh rằng ma trận 44 khả nghịch và tìm ma trận X sao cho AX=5

Câu 3: Giải phương trình vi phân: y” +5y' +6y=e”*(2x+3)+6x”~20x—I11

Câu 4: Giải bài toán vận tải có sô liệu được cho trong bảng sau với yêu câu các trạm thu nhận đủ hàng và có tông chi phí vận chuyên là thâp nhât

sO phế phẩm có trong lô hàng với độ tin cậy 98%

b) Để so sánh trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở hai nhóm bà mẹ (nhóm 1 va nhóm 2 tương ứng gồm các bà mẹ nghiện hút thuốc lá và không nghiện hút thuốc lá), người ta cân ngẫu nhiên một số trẻ ở hai nhóm này và có kết quả như sau:

(1) Dy ~ 2OAG

ĐÁP ÁN

Câu l: z(x,y)=2x°+11x?+14x+2x(y°~2y)+§y—4y?

z, =6x”°+22x+14+2(y?—2y) z,=2x(2y~2)+8—§y

b ch

y (4x-8)(y-1) =0

x=-3

x=-2/3 + _x=2=2y”~4y+86 =0 (pt vô nghiệm) Vậy hàm z(z, y) có hai điểm dừng: Ä⁄Z(-3,1) và N(-2/3,1)

ĩ =—Ì

ím= 7/13 b) Với =2, ta có: det(4) =—1 s0 Vậy ma trận A khả nghịch

Câu 3: y“+5y' +6y=e ”*(2x+3)+6x?=20x—11 (1)

— Phương trình thuần nhất tương ứng : y”+5y +6y=0 (2)

k=-2 Phương trình đặc trưng: &” +5k+6= 0 © |, k=— 3

Nghiệm tổng quát của (2) là: ÿ = Ce +C,e**

— Tìm nghiệm riêng y„ của phương trình vi phân y’ +5y'+6y=e7*(2x+3) (3)

Về phải của (3) có dạng e"*P.(x) với n=1,œ =~2

œ =~2 là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên

Vy = xO", (x) = xe” (ax+b) = e ?*(ax? + by)

Áp dụng các công thức đạo hàm: ae = uly +!

(uv)" =ul"v+2u'v! +uv!

Yi, = —2e* (ax? + bx) +e (2ax +b) xã

yh =4e* (ax? + bx) — 4e* (ax +b) +e" 2a | x1

— Tìm nghiệm riêng y,; của phương trình vi phân y” +5y' +6y= 6x? —20x—11 (4)

Về phải của (4) có dạng e“P (x) với n=2,œ =0

œ =0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên

1; =£”Q,(x)= A4” + Bx+C, y„ =2Ax+B, y}h =2A Thay y,;,;;,y,„ vào (4), ta được: 24+5(24x+ B)+6(4x? + Bx+Œ)=6x?—20x—11

( Dy - 201

Chu trình điều chỉnh đi qua các ô: (1,2); (1,1); (3,1) và (3,2)

Lượng điêu chỉnh g = min{50;20} = 20

Điều kiện |7 | <z„„„ là sai nên chap nhn gia thiét H,, bác bỏ H)

Vậy với mức ý nghĩa 3%, có thể coi trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở hai nhóm bà mẹ là như nhau

Dy ~ 2044 TRUONG DAI HOC GIAO THONG VAN TAI TP HCM

DE THI CAO HOC NAM 2014

Mén: TOAN CAO CAP B Thời gian: 180 phút

(Dành cho chuyên ngành Tổ chức và Quản lý Vận tải)

Câu I: Tìm cực trị của hàm hai biến z(x, y)=(3— 3xy+2y?)e*”?

Câu 2: Giải phương trình vi phân: y” - y —-6y=e*(6x+5)+2(3x°+7x+3)

Thỏa điều kiện: y(0)=9, y/'(0)= 4

Câu 3: Cho các ma trận 4=|0 1 -2),B=|0 -2 -1 1 1

Tim gia tri cua tham sé m sao cho det(47) =1 Ứng với =2, hãy tìm ma trận

X sao cho thỏa mãn phương trình 4X = B

Câu 4: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau

I(x) = 4x, — x, +x, > min

3x, + 2x, + 2x, $10

—2x, + x, +3x, =—6 2x, —X,—-3x, 2-2

x, 20,x, >0,x; >0 Cau 5: Mot hang hang không giá rẻ A khang định rằng “thời gian khởi hành bị trễ X (phút) so với lịch bay trung bình mỗi chuyến là không quá 30 phút” Theo dõi 200 chuyến bay của hãng A, có kết quả cho trong bảng sau:

Xx | [0-20) | [20-30) | [30-40) | [40-50) | [50-60) [60-90]

a) Với mức ý nghĩa 52%, dựa vào kết quả quan sát, hãy cho biết khẳng định của hãng

A có phù hợp với thực tế hay không?

b) Với độ tin cậy 98⁄2, dựa vào kết quả quan sát, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho

tỷ lệ các chuyến bay của hãng A có thời gian khởi hành trễ chưa tới 40 phút

Ghỉ chú : Cán bộ coi thị không giải thích gì thêm