SKKN: Phương pháp giải bài toán về đa thức

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thứcI.. Xác định đa thức... Dựa vào một điều kiện mà chúng ta cha sử dụng đó là f3 = 1 để tìm hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của fx.. SKKN-Phương

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

I Một số kiến thức cơ bản

Xét đa thức ẩn x với các hệ số : a0 , a1, a2,…., a., an

f(x) = a0xn + a1xn-1 +…., a+ an-1x + a n (a0# 0)

f(c) = a0cn + a1cn-1 +…., a+ an -1c + an là giá trị của đa thức tại c

Nếu f(c) = 0 thì c là một nghiệm của đa thức f(x)

Đị

nh lý B ơ du :

Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a bằng giá trị của đa

thức tại x= a tức l : f(x)=(x-a).g(x)+f(a) à: f(x)=(x-a).g(x)+f(a)

Ch ứ ng minh :

Gọi g(x) l à đa thức thương v r l sà à ố dư thì : f(x)=(x-a).g(x)+r (*)

khi x = a thì (*) f(a)=(a-a).g(a)+r hay r = f(a) (đpcm)

+ Hệ quả 1: Nếu x=a là nghiệm của đa thức thì f(x)(x-a)

Thật vậy nếu a là một nghiệm của f(x) thì f(a) = 0 hay r=0

 f(x) = g(x) (x-a) hay f(x)(x-a)

+ Hệ quả 2: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức ax+b bằng giá

trị của đa thức tại x= a b Tức là f(x) = (ax+b)h(x) + f(a b )

Phơng pháp hệ số bất định :

Giả sử: f(x) = a0xn + a1xn-1 +…., a+ an-1x + a n (a0# 0) và

g(x) = b0xn + b1xn-1 +…., a+ bn-1x + b n

Nếu f(x) = g(x) với ít nhất n+1 giá trị phân biệt của x thì: an = bn ; an-1 = bn-1 ,…., a,

a1 = b1 ; a0 = b0

Chú ý : Bậc của đa thức d nhỏ hơn bậc của đa thức chia

Công thức truy hồi horner

Khi chia đa thức bậc n f(x)=a0xn + a1xn-1 +…., a+ an-1x + a n (a0# 0) cho x-c ta sẽ đợc một thơng là một đa thức bậc (n-1)

q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 +…., a+ bn-2x + b n-1 (b0# 0) và số d là r

Ta có :

a0xn + a1xn-1 +…., a+ an-1x + a n= (x-c) (b0xn-1 + b1xn-2 +…., a+ bn-2x + b n-1)+r

 a0xn + a1xn-1 +…., a+ an-1x + a n= b0xn + b1xn-1 +…., a+ bn-2x2 + b n-1x - cb0xn-1

-cb1xn-2 -…., a- cbn-2x - cb n-1+r

= b0xn + (b1 -b0c) xn-1 +…., a+(bn-2 –bn-3c) x2 +(bn-1 –bn-2c) x+(r – bn-1c)

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta tìm đợc các hệ số của đa thức thơng g(x)

là :

b0 = a0 , b1= b0c+a1, b2= b1c+a2,…., a,bk= bk-1c+ak với k=1 ,n

II một số dạng toán thờng gặp

1.1 Dạng 1: Xác định đa thứcbậc n ( n= 2,3, …) khi biết (n+1) các giá trị của ) khi biết (n+1) các giá trị của

đa thức :

Ph ơng pháp giải :

a) Phơng pháp 1 : Lập và giải hệ phơng trình

Gọi đa thức bậc n cần tìm là f(x) = a0xn + a1xn-1 +…., a+ an-1x

+ a n với f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x , f(x n+1 ) là các giá trị của f(x) tại x 1 , x 2 , …, f(x , x n+1 Khi đó

lập và giải hệ sau ta sẽ tìm đợc các hệ số a0, a1, …., a., an Thay vào ta đợc đa thức f(x) cần tìm :

Ví dụ 1:Tìm đa thức f(x) biết rằng khi chia cho x-2 thì d 5,chia cho x-3 thì d 7

còn khi chia cho(x-2)(x-3) thì đợc thơng là x2-1 và còn d

Giải:Gọi thơng của phép chia đa thức f(x) cho x-2;x-3 lần lợt là đa thức A(x) và

B(x),ta có:

f(x)=(x-2).A(x)+5 (1); f(x)=(x-3).B(x)+7 (2) Gọi thơng của phép chia đa thức f(x) cho (x-2)(x-3) là đa thức C(x),phần d là đa thức R(x).Vì (x-2)(x-3) là đa thức bậc hai nên đa thức đa thức d là đa thức bậc nhất do đó:

R(x)=ax+b,ta có:

f(x)=(x-2)(x-3).(1-x2)+ax+b đúng với mọi giá trị x (3)

Vì (1);(2);(3) đúng với mọi giá trị của x nên f(2)=5 hay 2a+b=5;f(3)=7 hay 3a+b=7 ta có hệ phơng trình

2 5







Từ đây ta tìm đợc a=2;b=1.Do đó đa thức phải tìm là:

f(x)=(x-2)(x-3)(1-x2)+2x+1=-x4+5x3-5x2-5x+6

1 Xác định đa thức

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

Ví dụ 2: Tìm đa thức bậc 3 biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1

Gi ả i:

Gọi đa thức cần tìm l : à f(x) = ax3 + bx3 + cx +d Theo b i ra ta có:à

f(0) = 10  d = 10

f(1) = 12  a + b + c = 2 (1)

f(2) = 4  4a + 2b + c = -3 (2)

f(3) = 1  9a + 3b + c = -3 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:































3 3

9

3 2

4

2

c b a

c b a

c b a

Giải ra ta được: a = 25 ; b = 225 ; c = 12

Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = 3

2

5

2

25 2



 x x

Trường hợp chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số nếu nh không cho thêm một điều kiện nào khác

b) Ph ơng pháp 2 : Dùng đa thức phụ

Xin đợc lấy bài toán ở ví dụ 2 làm minh họa : Giả sử đa thức cần tìm là f(x)

B ướ c 1:

Đặt g(x) = f(x) + h(x)

ở đây g(x) là một đa thức có bậc bằng bậc của đa thức f(x) còn h(x) l mà ột

đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn hoặc

bằng số giá trị đã biết của f(x) Đây là là chú ý rất quan trọng khi ta chọn

h(x)

Nh vậy chúng ta tìm f(x) thông qua việc tìm đa thức g(x) và h(x)

Trong đề bài trên bậc của f(x) là 3 nên h(x) = ax2+bx+c ta có : g(x) = f(x) +

ax2+bx+c

B ướ c 2

Tìm a,b,c để g(x1)=g(x2)=g(x3)= 0 hay g(0)=g(1)=g(2)= 0

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

Tức là : a, b, c l nghià ệm của hệ

































2 2 4 4 0

12 0

10 0

b a

c b a c

Giải hệ ta được: a = 5, b = -7, c = -10

Theo phơng pháp hệ số bất định ta có h(x) = 5x2 – 7x – 10

Hay g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10, với g(0) = g(1) = g(2) = 0

B ướ c 3 Xác định f(x)

Dựa vào một điều kiện mà chúng ta cha sử dụng đó là f(3) = 1 để tìm hệ số

của hạng tử có bậc cao nhất của f(x) (cũng chính là của g(x))

Do bậc f(x) bằng 3 nên bậc g(x) cũng bằng 3

Mặt khác g(0) = g(1) = g(2) = 0 nên theo hệ quả 1 nên g(x) chia hết cho

(x-0), (x – 1) và (x – 2)

Gọi k l hà ệ số của hạng tử x3 của đa thức f(x) khi đó :

g(x) = k.x(x – 1)(x – 2)

( ) ( 1 )( 2 ) 5 2 7 10













Mặt khác f(3) = 1  k 3 2 1  5 9  7 3  10  1

 6k = 15 k=

2 5

Vậy đa thức cần tìm l : à ( 1 )( 2 ) 5 7 10

2

5 )













hay f(x) = 3

2

5

2

25 2



 x x

Vậy ta có thể giải bài toán trên một cách ngắn gọn sau :

Đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10

Theo bài ra ta có : g(0) = g(1) = g(2) = 0 nên theo hệ quả 1 nên g(x) chia hết

cho (x-0), (x – 1) và(x – 2)

Do bậc f(x) bằng 3 nên bậc g(x) cũng bằng 3

Gọi k l hà ệ số của hạng tử x3 của đa thức f(x)

khi đó g(x) = k.x(x – 1)(x – 2)

( ) ( 1 )( 2 ) 5 2 7 10













Mặt khác f(3) = 1

1 10 3 7 9 5 1

.

2

.

3

 k

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

 6k = 15 k=

2 5

10 7 5 ) 2 )(

1 ( 2

5 )

Vậy đa thức cần tìm l :à f(x) = 3

2

5

x - 252 x2 12x10

Nhận xét : - ở cách thứ 2 có nhiều tài liệu viết nhng không giải thích một cách rõ ràng nên nhiều bạn đọc còn có phần lúng túng và khó hiểu ở chỗ

đặt g(x) = f(x) + 5x 2 – 7x – 10 Hy vọng qua bài viết này bạn đọc sẽ khắc phục đợc tồn tại đó

Ví dụ 3 :

Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi chia đa thức f(x) cho x – 1, x – 2,x –3

đều cùng dư 6 v à f(-1) =-18.

Gi

ả i:

Theo bài ra chia đa thức f(x) cho x – 1, x – 2,x –3 đều cùng dư 6

Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) =6

Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c

Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0

c

b

a, ,

 l nghià ệm của hệ



































c b a

c b a

c b a

3 9

6

0

2 4

6

0

6

0





































6 3

9

6 2

4

6

c b a

c b a

c b a

Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6

nên ta đặt g(x) = f(x) – 6 với g(1) = g(2) = g(3) = 0

Gọi n l hà ệ số của hạng tử x3 trong đa thức f(x)

Do bậc f(x) = 3 nên bậc g(x) = 3 v à g(x) chia hết cho(x–1), (x–2) và (x–3)

) 3 )(

2 )(

1 ( )

 g x n x x x

6 ) 3 )(

2 )(

1 ( )

 f x n x x x

Mặt khác f(-1) = -18  -18 = n.(-2).(-3).(-4) +6 n = 1

 f(x) = 1 (x 1 )(x 2 )(x 3 ) +6

Vậy f(x) = x3 – 6x2 + 11x

* B i t ài t ậ p áp d ụ ng:

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

1 Tỡm đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d biết P(1945) =1945; P(1954) = 1954; P(1975) = 1975

2 Tỡm đa thức f(x), có bậc 2 biết f(0) = 7, f(1) = 15; f(2) = 2008

3 Tỡm đa thức f (x), có bậc 3 bi ết f(0) =12; f(1)=54; f(2) =119; f(3) =2009

4 Tìm đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.Biết P(1) = -15; P(2) = -12; P(3) = -9 5.( Thi HSG Hải Phòng năm 2004)

Tìm đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = 25; P(2) = 21; P(3) = 41

1.2 D ạ ng 2 : Xác định đa thức khi biết điều kiện của hệ số

Ph ơng pháp : Dựa vào điều kiện đề bài cho về các hệ số để xác định đa thức.

Ví dụ 4:

Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số l sà ố nguyên không âm nhỏ hơn 8 và

thoả mãn: f(8) = 2009

Chú ý: Giả sử A gồm n +1 (nN *) chữ số an, an-1, …., a,a0

Ta biết rằng một số A trong hệ ghi cơ số x đợc đổi sang trong hệ thập phân theo công thức:

A =( a n a n1 a0 )X= anxn + an –1xn-1 + + a1x + a0

Ví dụ: Ta xét số 1234 trong hệ thập phân đợc viết dới dạng tờng minh là:

123410 = 1.103+2.102+3.10+4 = 1234

trong hệ bát phân 12348=1.83+2.82+3.8+4=668

Và cách đổi 668 sang hệ bát phân đợc thực hiện nh sau :

Lấy 668 chia cho 8 đợc thơng là 83 và d là 4 (ghi chữ số 4 ở hàng đơn vị ) Tiếp tục lấy 83 chia cho 8 ta đợc thơng là 10 và d 3 (ghi chữ số 3 ở hàng chục) Tiếp tục lấy 10 chia cho 8 ta đợc thơng là 1 và d 2 (ghi chữ số 2 ở hàng trăm)

ta đợc thơng cuối cùng là 1 không chia hết cho 8 (ghi chữ số 1 ở hàng ngàn) Với chú ý đó ta giải bài toán này nh sau :

Gi

ả i:

Xét đa thức

f(x) = anxn + an –1xn-1 + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an đều l các sà ố nguyên không âm v nhà ỏ hơn 8

Theo bài ra f(8) = 2009 nên an.8n + an-1.8n-1 + +a1.8 + a0 = 2009 cho nên ở

đây a0, a1, , an-1, an l các chà ữ số của 2009 được viết trong hệ ghi số cơ số 8

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

Thực hiện việc chia 2009 cho 8 được 251 dư 1 ta có a0 = 1

lại lấy 251 chia cho 8 được 31 dư 3 ta có a1 = 3

lại lấy 31 chia cho 8 được 3 dư 7 ta có a2 = 7

Ta đợc thơng cuối cùng là 3 không chia hết cho 8 ta có a3=3

Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3

Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau :

Tìm đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều l sà ố nguyên không âm nhỏ hơn a v bià ết f(a) = b Trong đó a ,b l các sà ố đã cho

Vấn đề mấu chốt của bài toán này là các hệ số đều l số nguyên không âmà nhỏ hơn a

Ph ơng pháp chung :

Gọi đa thức cần tìm là :

f(x) = anxn + an –1xn-1 + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an đều l các sốà nguyên không âm v nhỏ hơn a.à

Ta đa bài toán về việc tìm a0, a1, , an-1, an là các chữ số của b đợc viết trong hệ ghi số cơ số a

B i tập vận dụng : ài tập vận dụng :

1 Tìm đa thức f(x) các hệ số đều l số nguyên không âm nhỏ hơn 6 v f(6) =à à 503

2 Tìm đa thức f(x) các hệ số đều l số nguyên không âm nhỏ hơn 15 v à à f(15) =

200809

1.3 Dạng 3 : Xác định đa thức f(x) thoả mãn một hệ thức đối với f(x)

Ví dụ 5: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thoả mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị

của x đó là : 3.f(x) – f(1-x) = x2+1

Giải

Gọi đa thức cần tìm là : f(x) = a3x3+ a2x2+ a1x+a0

Theo bài ra ta có :

3 (a3x3+ a2x2+ a1x+a0)-  1 0

2 2

3

3 (1 - x) a (1 - x) a (1 - x) a

a    = x2+1

 3.a3x3+3.a2x2+3.a1x+3.a0-a3(1-3.x+3.x2-x3)-a2(1-2.x+x2)-a1+a1x-a0= x2+1

 4.a3x3+(-3a3+2a2)x2+(3a3+2a2+4a1)x+(-a3-a2-a1+2a0)= x2

áp dụng phơng pháp hệ số bất định ta có :

Giải hệ trên ta có : a3= 0 ;

2

1

2 

a ;

4

1

1  

8

5

0 

a

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) =

8

5 4

1 2

1 2



 x x

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

B i tập vận dụng : ài t

Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 v thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4à giá trị phân biệt của x :

x.P(x – 3) = (x – 1).P(x)

1 4 Dạng 4 : Xác định đa thức f(x) khi biết đa thức thơng khi chia nó cho một

đa thức khác và một số điều kiện khác

Ví dụ 6: Tỡm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x – 2) dư

5 Chia cho (x + 2)(x – 2) thỡ được thương 3x và cũn dư

Giải :

Gọi đa thức d của phép chia đa thức P(x) cho (x + 2)(x – 2) là r(x)

Ta có : P(x) = (x + 2)(x – 2) 3x+r(x) Do bậc của đa thức thơng (x + 2)(x –

2) là 2 nên r(x) có dạng ax+b hay P (x) = (x + 2)(x – 2) 4x + ax + b (*)

Ta lại có P(x) chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x – 2) dư 5 nên theo định lí Bơdu

ta có :

P(-2)= 1; P(2)=5 thay vào (*) ta có hệ 













5 2

1 2

b a

b a











3 1

b

a

Vậy ta có P (x) = (x + 2)(x – 2) 4x+ x + 3

Hay P(x) = 4x3- 15x +3

Bài tập vận dụng :

1 Tỡm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x2-3x+2 thỡ được thương là x - 4 và cũn dư Và khi chia f(x) cho (x-1) d 5, chia cho x-2 thì d 7

2. Tìm đa thức f(x) biết khi chia f(x) cho x3-2x2+2x-1 thì đợc thơng là 2x và còn d Và chia f(x) cho x-1 d , f(2)=7, f(3) = 9

Ph ơng pháp 1 Thực hiện phép chia trực tiếp.

Ph

ơng pháp 2 : Sử dụng công truy hồi horner

Ví dụ 7: Tìm thơng của phép chia đa thức x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5

Cách 1: Thực hiện phép chia trực tiếp ta đợc thơng là:

x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751

Cách 2:

2 Xác định đa thức thơng khi chia đa thức cho đa thức

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

Gọi đa thức thơng của phép chia x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5

q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 +…., a+ bn-2x + b n-1 (b0# 0)

Ta có : c = - 5; a0 =1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1;

Dùng công thức truy hồ horner

Ta có b0 = a0= 1,b1= b0c+a1, b2= b1c+a2,…., a,bk= bk-1c+ak với k=1 ,n và cùng với

sự hộ trợ của máy tính điện tử ta tính đợc các hệ số của đa thức thơng là 1; -5;

23; -118; 590; -2590; 14751

x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751

Bài tập vận dụng:

1.Tìm thơng của phép chia đa thức 3x5-x4-2x3+x2+4x+5 cho đa thức x2-2x+2

2 Tìm thơng của phép chia đa thức x55 +x5+1 cho đa thức x10+x5+1

Chú ý 1 : Để tìm d của phép chia đa thức f(x) cho một nhị thức ta có thể dùng

lợc đồ Horner hoặc dùng định lí Bedu để giải

Ví dụ 8: Tìm thơng và d của phép chia đa thức

2x4-3x2 +4x -5 cho x+2

Với bài này ta có thể chia trực tiếp để tìm ra kết quả hoặc có thể dùng sơ đồ Horner để tìm

Kết quả:Thơng là:2x3-4x2+5x-6 và d là 7

Ví dụ 8: Tìm d của phép chia đa thức

x2004+x9+x2 cho x-1

Ta có phần d của phép chia đa thức trên cho x-1 chính là f(1)=12+19+12004=3

Chú ý 2: Khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta đợc đa thức thơng q(x) và

đa thức d r(x) hay f(x) = q(x) g(x) +r(x)

Với chú ý bậc của đa thức d r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức chia g(x) Đây là chú ý rất quan trọng để giải dạng toán này

Ví dụ 9 : Tìm đa thức của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3) Biết rằng nếu chia đa thức f(x) cho x –1 đợc số d bằng 4, nếu chia cho x-3 đợc số d bằng 14.

Giải:

Cách 1 :

Gọi thơng của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) l à q(x) v dà l à r(x).Vì bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên bậc của nó nhỏ hơn 2 nên r(x)

có dạng ax + b

3 Xác định đa thức d

SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức

Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).q(x) +ax + b với mọi x

Theo bài ra chia đa thức f(x) cho x –1 đợc số d bằng 4, chia cho x-3 đợc số

d bằng 14

áp dụng định lí Bơzu ta có f(1)=4 , f(3)=14

Hay





























1

5 14

3

4

b

a b

a

b a

Vậy đa thức d của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) l r(x) = 5x – 1à

Cách 2:

f(x) chia cho (x-1) d 4 nên f(x) = (x – 1).A(x) + 4

Nhân 2 vế của đẳng thức trên với (x-3) ta có :

(x– 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1)

f(x) chia cho (x-3) d 14 nên f(x) = (x – 3).B(x) + 14

Nhân 2 vế của đẳng thức trên với (x-1) ta có :

(x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2)

Lấy (2) – (1) ta đợc :

[(x – 1) – (x – 3) ].f(x) = (x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) –

4(x – 3)

Nên 2.f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – 2

 f(x) = (x – 1)(x – 3). 5 1

2

) ( ) (





x A

Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc của đa thức chia Vậy đa thức d cần tìm là 5x – 1

Ví dụ 10: Tìm đa thức d của phép chia đa thức f(x) cho

(x +1).(x2 + 1) Biết rằng khi chia đa thức f(x) cho x+1 đợc số d là 4, khi chia f(x)

cho x2 + 1 đợc đa thức d là 2x+3

Giải :

Do bậc của đa thức chia (x + 1)(x2 +1) l 3à

Nên đa thức d có dạng ax2 + bx + c gọi q(x) là đa thức thơng của phép chia f(x) cho (x + 1)(x2 +1) ta có :

 f(x)=(x+1)(x2 + 1).q(x)+ax2+bx+c (*)

= (x+1).q(x) (x2+1)+a(x2+1)+ bx + c – a

=[(x +1) q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a

m à f(x) chia cho x2 + 1 d 2x + 3  bx + c – a=2x+3

theo phơng pháp hệ số bất định ta có : b = 2 (1);

c – a = 3 (2)