Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Mụcđíchnghiêncứu: Quátrìnhnghiêncứuthựchiệnđềtàiđẵgiúpembướcđầulàmquenvớiviệcnghiêncứukhoahọcvàcócơ hộitìmhiểusâuhơnvềđạisố,đăcbiệtl à vềnửanhómthôngquabiểudiễncủanó.. Cấu trúckhoáluận:

Khoáluậncủae m đ ư ợ c hoànthanhdướis ựhướngdẫncủacôgiáo,ThạcsĩHà ThiThuHiềncùngvớisựcốgắngcủabảnthân.Trongquátrìnhnghiêncứuvàthựchiệ

nkhoáluận,emcóthamkhảo,kếthừamộtsốkếtquảc ủacáctácgiảtrongmộtsốtàiliệu(cónêutrongmụctàiliệuthamkhảo)

Emx i n c a m đoann h ữ ngk ếtquảtrongkhoáluậnn à y l à thànhq u ảnghiêncứunỗl ựccủabảnthân,khôngtrùngv ớikếtq u ảcủat á c g i ảkhác.Nếusaiemxinchịuhoàntoàntráchnhiệm

HàNội,tháng05năm2009.

Sinhviên

NguyễnThịThu

1 Lýdochọnđềtài:

ĐạisốlàmộtnghànhchiếmvịtríquantrọngtrongkhoahọcToánhọc.Nógópphầnthúcđẩysựpháttriểncủatoánhọchiệnđại.NgàynaynhucầuhọchỏicủasinhviênkhoaToán,cácthầycôdạyToánvànhữngngườiquant â m tớiToánhọcnóichungvàmônĐạisốnóiriêng,ngàycànggiatăng.Vớimongmuốntìmhiểusâuhơnvềbộmônnày,dướigócđộmộtsinhviênsưphạmToánvàtrongphạmvicủamộtkhoáluậntốtng

hiệpcùngvớisựgiúpđỡ củacôgiáo,ThạcsĩHàThịThuHiền,emxintrìnhbàynhữn ghiểubiếtc ủamìnhvềđềtài:”Nhậpmônlýthuyếtbiểudiễnnửanhóm”.

2 Mụcđíchnghiêncứu:

Quátrìnhnghiêncứuthựchiệnđềtàiđẵgiúpembướcđầulàmquenvớiviệcnghiêncứukhoahọcvàcócơ

hộitìmhiểusâuhơnvềđạisố,đăcbiệtl à vềnửanhómthôngquabiểudiễncủanó

3 Nhiệmvụnghiêncứu:

Đềtàinàyđượcnghiêncứunhằmđisâukhaitháclàmnổibậtcácđặctrưngcủamộtnửanhómgiaohoán,cácbiểudiễnbấtkhảquichínhcủamộtn ửanhóm

4 Phươngphápnghiêncứu:

Đềtàiđượchoànthànhdựatrênsựkếthợpcácphươngpháp:Nghiêncứulíluận,phântích,tổnghợpđánhgiá

5 Cấu trúckhoáluận:

Ngoàiphầnmởđầu,kếtluận,danhmụctàiliệuthamkhảo,khoáluậng ồm3chương:Chương1:Nhữngkiếnthứcchuẩnbị

Chương2:Lýthuyếtbiểudiễn

Chương3:Lýthuyếtbiểudiễnnửanhóm

Trongsuốtquátrìnhnghiêncứu,đượcsựgiúpđỡtậntìnhcủacôgiáo,ThạcsĩH àThịThuHiền,emđãhoànthànhkhoáluậnnày.Mộtlầnnữachoemgửilờicảmơnsâu

sắctớicô

Emrấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủacácthầy,côgiáovàcácbạntrongkhoa,đểđềtàinàyđượchoànthiệnhơn

HàNội,tháng05năm2009.

Sinhviên

NguyễnThịThu

đểchỉphéptoánhaingôivàảnhcủaphầntử( ,� � ∈�ì�đượckíhiệu� ,) � �tươngứnglà � �,�+�.

Mộtnửanhómgọilàgiaohoánnếuphéptoáncủanólàgiaohoán

VD:

1,Tậphợpcácánhxạtừ�đến�cùngvớiphéphợpthànhcácánhxạlàmộtnửanhóm.

Định nghĩa1.1.5

Nửanhóm�vớiphầntửkhôngđượcgọilànửanhómvớiphépnhânkhôngnếu

+�⊆�,giaotấtcảcáciđêantráicủa�,chứa�làmộtiđêantráic ủ a�chứa�vàđượcchứatrongmọiiđêantráikháccótínhchấtđó.Tagọinólàiđêantráicủa�sinhbởi�,kíhiệu<�>�.Dễthấy<�>�=�∪��=�1�.

Hơnnữa��= ,� ��=�.

2,Nếu�∈�,�làphầntửchínhquithì��1=��và�1�= ��.Thậtvậy:Tacó��1=�∪��và�=��∈��.Dođó��1=��

Tươngtự�Định nghĩa1.1.151�=�∪��và�=��∈��.Dođó�1�=��

Cho�l à mộtnửanhóm, ,� �∈�đ ư ợ cgọilàngượcnhaun ếu

NguyễnThịThu 11 K31G–SPToán

�ℒ�⇔ ��= ( )� � Tức ,� �cùngsinhraiđêanchínhtráic ủ a�.Dễthấyℒlàmộtquanhệtươngđương

Nếu�ℒ�thìtanói�và�ℒ−tươngđương

��=�∈� ℒ� �đượcgọilàℒ−lớpchứa�

2 Quanhệℛ:

�ℛ�⇔��1=��1;Tức ,� �cùngsinhraiđêanchínhphảicủa�.Tươngtựℛlàquanhệtươngđương

��=� ∈�:� �:đượcgọilàℛ−lớpchứa�.ℛ

3 Quanhệ𝒥:

�𝒥�⇔�1��1=�1��1,tức ,� �cùngsinhraiđêanchínhcủaS𝒥cũnglàquanhệtươngđương

gọilàchuỗichínhcủa�nếugiữacác��,��+1khôngcóiđêannàocủa�n ữa

+C á c thươngc ủ achuỗi(1)l à cácn ửanhómthươngRixơ ��

�+1

(�=1,�)

Định nghĩa1.1.20Nửanhómnửađơn.

Mộtnửanhóm�đượcgọilànửađơnnếumỗithươngchínhcủanól à đơnhoặc0−đơn

+�là�ì�matrậntrên�0,�=(���)

�là�ì�matrậntrên�0,�=(���)

Nếu(�,�)∈�ì�,tổng���=�∈�������x ácđịnhthìtađịnhnghĩamatrậntíchlà�ì�matrậntrên�0,�=(���)

+Giảsử�làtập ì� �matrậntrên�0saocho∀�,�∈�t h ì � �∈

�.Vậy�làmộtnửanhóm

+�l à mộttrên�0đ ư ợcgọilàmatrậnđơnthứctheodòng,nếumỗidòng của� chứanhiềunhấtmộtphầntửkhác0 thuộc�0

Tậptấtcảcácmatrận ì� �matrậnđơnthứctheodòngtrên�0làmột

nửanhóm

+ẫìậmatrậnRixơtrên�0làmatrậntrên�0cókhôngquámộtphần

tửkháckhông

Kíhiệulà�0( ;� �,ậ; )�

Bổđề1.2.2

NửanhómmatrậnRixơ�0( ;� �,ậ; )� l à nửanhómchínhquikhiv à chỉkhimỗidòngvàmỗicộtcủa�chứamộtphầntửkháckhông

Lýthuyếtbiểudiễnnửanhóm

Đểtìmhiểulýthuyếtbiểudiễncủanửanhóm�t r ê n trườngệtatìmhiểuthôngquađạisốệ[ ]� của�trênệ

(ỏ, )� ⟼ỏ�

i, 𝒜,+,∙l à mộtvành

ii, (𝒜,+,phépnhânvôhướng)làmộtkhônggianvectơiii,∀ỏ∈ệ ,� �

∈𝒜ỏ�� =�ỏ�=ỏ (��)Sốchiềucủa𝒜chínhlàsốchiềucủakhônggianvectơ𝒜t r ê n ệ.Kíhiệulàdimệ𝒜

Tậpℬ ⊆𝒜 đ ư ợ cgọilà iđêanc ủ a đạis ố𝒜 nếunóv ừalàiđêanc ủ avành𝒜v

ừa làkhônggianvectơconcủa𝒜.Định nghĩa2.1.4

Luỹthừa�c ủamộtiđêanℬc ủa𝒜 l à mộtkhônggiancontuyếntínhcủasinhbởitậptấtcảcáctích�1.�2…

TheoĐịnhlíthứnhấtcủaVécđécbớcthì𝒜l à tổngtrựctiếpcủac á c đạisốđơ

n𝒜ọ

ℬ=𝒜1⨁𝒜2⨁…⨁𝒜� (1≤�≤ )� ,𝒜ℬ≅𝒜�+1⨁𝒜�+2⨁∙∙∙⨁𝒜�.Vậyℬ,𝒜ℬ đềulàcácnửađơn

ChoÃ,Ã′là2biểudiễncủa𝒜v à giảsử�,�′làcáckhônggianb i ểuchoÃ,Ã

′tươngứng.TanóiÃ,Ã′tươngđươngnếutồntạimộtphépbiến

�= �1⨁�2⨁∙∙∙⨁��

NếuÃọtươngứngvới𝒜ọthìÃọbiểutrungthànhcủa𝒜v à Ãọ�ụ=0∀ụ≠ọ.

�= ℓ(𝒜)� thì{Ã1,

…,Ã�}làtậphợpcácbiểudiễnbấtkhảquikhôngtươngđươngtừngđôimộtc ủa𝒜

Đặcbiệtkhi𝒜 l à đạisốđơnhữuhạnchiềutrênệthìcóduynhấtmộtbiểudiễnbấtkhảquisaikhác

mộtphéptươngđươngcủa𝒜,vàmỗibiểudiễncủa𝒜làmộtbộicủabiểudiễnbấtkhảquiđó

Định nghĩa2.1.14

��n h ư sau:Ã����=( à (���)).NhưvậyÃ�l àmộtbiểudiễncủa(𝒜)�.���tr

Khiđó∀ � ∈�,� l à khônggianconb ấtb i ếnthựcs ực ủa� thì

Ã1,doÃ1:𝒜ọ→0vớiọ≠1,màÃ1l àbiểudiễntrungthànhcủa

𝒜nênsuyrarằngkhôngtồntạiÃọnàonhưvậy

Giảsử𝒜l à mộtđạisốhữuhạnchiềutrêntrườngệkhôngphảilàư ớ cbênphảivàướcbêntráicủa0thì𝒜c h ứamộtphầntửđơnvị�và� làmộtphầntửkhảnghịch,tứclà∃�∈𝒜∶��=��=�.Hệquả2.1.20

Giảs ử𝒜 làmộtđ ạ is ốhữuhạnchiềutrêntrườngệ ,� làmộtsốnguyêndương.P∈(𝒜)�.Nếu�khôngphảilàướcbênphảivàbêntráicủakhôngtrong(𝒜)�.Thì𝒜cómộtphầntửđơnvịvà�khôngsuybiến.Định lí2.1.2

Giảs ử�1l àướcbênphảicủakhôngtrong(𝒜)�,t ức∃�1∈

(𝒜)�:�1�1=0.

Với�=(�10 )làmatrậncấp�ì�

�1Khiđótacó��=�0

�2=�1.�1=0Vậytagiảsử�1khôngphảilàướcbênphảicủakhôngtrong(𝒜)�.

TheoBổđ ề 2.1.18(𝒜)�chứamộtphầnt ửđơnvịphải𝐸,v à �1có

nghịchđảo2phía�1trong(𝒜)�.Tức�1.�1=�1.�1=𝐸

VD:1,ệ�ệ �làđạisốcorútvới�=�+ệ[ ]� � ∈ \� �

2,� lànửanhómcác�ì�matrậnđơnvị,tức

�=����,�=1,�∪�

���nếuk=jVớiphép(∙)xácđịnh:���∙���

=�nếuk≠j.

Suyraệ0[�]≅(ệ)�.

Bổđề2.2.3

Giảsử�làmộtiđêancủa�,thếthìệ[ ]� ệ[ ]� đẳngcấuvớiđạisốc o rútệ0[ /�]

� của�� trênệ.Chứngminh:

đơn

Chứngminh:

Giảsử����+1 làmộtthươngchínhcủa�khiđóệ0[����+1]làn ửa

Tabiếtrằngmỗithươngchínhc ủ amộtnửanhóm�hoặclà 0−đơn

hoặclàmộtnửanhómvớiphépnhânkhông

Nếu����+1lànửanhómvớiphéptoánnhânkhôngthìệ0[����+1]l àđạisốvớiphépnhânkhông,khiđónókhôngthểlànửađơn

� �=0mâuthuẫnvới𝐸��=�.

Vậy�khôngcóướcbênphảivàbêntráicủakhôngtrong(𝒜)�.Theo

địnhlí2.1.20,𝒜làđơnvịvà�không suybiến.

Ngượclạigiảsử𝒜 c ó đơnvịvà�khôngsuybiến.Theođịnhnghĩacủamatrậnkhôngsuybiếnsuyra�=�

Giảsử�−1lànghịchđảocủa�trong(𝒜)�.Suyra𝐸=�−1làđơnvịcủaℬ

Chứngminh:

Giảsử�=(���)∈(𝒜)�.

Nếu Ã��=0⇒Ã���=0,∀�,�=1,�

�

′

Theođịnhlí2.2.10thìℬl à nửađơnvàánhxạ�⟼��l à mộtđẳngcấutừ

ℬlên(𝒜)�.VậymỗiÃ′ọl àmộtbiểudiễn củaℬ

Cho�l à mộtn ửanhóm,là mộttrườngệ.Mộtb i ểudiễn

Ãcủan ửanhóm�bậc�trêntrườngệ,làmộtánhxạtừ�vào(ệ)�thoảmãn:

Ã1:0⟼0;1⟼1;2⟼�;3⟼−�;4⟼− 1.Ã2:0

⟼0;1⟼1;2⟼−�;3⟼�;4⟼−1

của�l à h ữuhạn.(Tức��tươngđươngvớiđiềukiệnngắtđoạncácchuỗi

giảmđốivớicáciđêanchính)

Vớimỗi𝒥–lớp�của�takíhiệu�(�)=�1��1\

�.Tabiếtrằng�1��1chínhlàiđêancủa�sinhbởi�.Hơnnữatacũngcó�(�)làiđêancủa�vàdođólàiđêancủa�1��1

A,GiảsửÃlàbiểu diễnchínhbấtkhảquibậcncủa�trênệvớiđỉnh�.Thếthì�l à 0−đơnvàbiểudiễnÃ

VìÃ�làbấtkhảqui,suyranólàđạisốđơn.

Giảs ửÃ�ọ, ọ=1,�� làtậptấtcảcác biểud iễnbấtkhảquikhôngtươngđươngcủa��t r ê nệ,triệttiêutại���=1,�

Tađịnhnghĩa:Ã�ọ�= Ã�ọ��� ,∀�∈�(2.4.5)

Với�⟶�làđồngcấutựnhiêntừệ[�1���1]lênệ[��]

ThếthìÃ�ọ,ọ=1,��,�=1,�l à tậptấtcảcácbiểudiễnbấtkhảquikhôngtươngđươngcủa�trênệ.Chứngminh:

Nếuó���=0∀�,�:1≤�≤�≤�,∀�∈�thìà =� 0∀�∈�

Chứngminh:

⟼�l à đồngcấutựnhiêntừ�1���1lên��.

Hơnnữa,Ã′kháckhôngvìÃ�kháckhôngtrên��,vàÃ′chứabiểudiễnÃ

′�của��cảmsinhbởiÃ�.TheogiảthiếtÃ

Ã�(�) 0Ã

� Ã∗(�)

Ã21 22

∗

trongđóÃ11(� cùngbậcvớiÃ) ��

Vớiphầntửđơnvịcủa�∗l àđặctrưngđơnvị1∗x á cđịnhbởi:

1∗�=1∀�∈�

Khônglàmmấttínhtổngquátởđâytachỉxétvớicácnửanhómcóđơn

vị

Đ ị n h n g h ĩ a 2 5 2 I đ ê a n n g u y ê n t ố

Tập⊂�,phầntử�∈�đượcgọilàcận dưới của�nếu�≤�∀�∈

�.

Cậndưới�của�đượcgọilàcậndướilớnnhất(“giao”)nếu�≤�,

vớimỗi�làcậndướicủa�)

Vớiữ∈S∗,xétVữ={aa ∈Sữa=0}

Khiđó�ữl àmộtiđêannguyên tốcủa

Thậtvậy:ữ �= 0⇒ ữ��=0(∀�∈�)⇒� ∈� �ữ

ữ( )� ≠0Nếu�,�∉ �ữ ⇒ữ(�)≠0⇒ ữ��=ữ�ữ�≠0

⇒��∉�ữ.Tagọi�ữl àiđêantriệttiêucủaữ.

Với�làiđêannguyêntốcủa�.Tađịnhnghĩa

ồ�:ồ��=0nếua∈P.

1n ếua∈S\P Dễthấyồ�l àhàmđặctrưngcủa \� �

Tacóồ���=ồ��ồ��∀ ,� �∈ �v ì chúngcùngbằng0hoặc1

Hơnnữaồ�l àmộtluỹđẳngcủa�∗

Tồntạimộtđẳngcấug i ữan ửađàn𝐸∗c á cl u ỹđ ẳ ngc ủa�∗vớinửađàn�∗c á ci

đêannguyêntốcủa�saochonếuồ∈𝐸∗ứngvới�∈�∗thì�làiđêantriệttiêu�ồcủa

nửađàn�∗c á cnhóm�∗(�∈ � ∗)

Tức �∗=

∪�∗�∈� ∗.Giảsử�lànửanhómgiaohoánlàhợpcủanửađàn�cácnhóm�ỏ:

Dothờigiannghiêncứucóhạnvàkhảnăngcủabảnthâncònhạnchếnênđềtàicủaemkhôngtránhkhỏinhữngthiếusótnhấtđịnh.Vìvậyemrất

mongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủacácthầy,côgiáovàcácbạntrongkhoađểđề tàiđượchoànthiệnhơn.

NguyễnThịThu 50 K31G–SPToán