Một số ứng dụng của hàm số

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình phổ thông. Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất. Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số). Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản. Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến. Thực tế trong bài tập thi bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất yêu cầu cao đa dạng đòi hỏi học sinh có nhiều kĩ năng. Hơn nữa số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ. Vì vậy để góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ đó vận dụng để giải tốt bài tập về GTLN GTNN, đạt được kết quả cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia, tôi đã quyết định chọn đề tài “Một số ứng dụng của hàm số”

Cơ sở lí luận và thực tiễn 4

A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 5

B Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN

1 GTLN – GTNN của hàm số

2 GTLN – GTNN của biểu thức chứa nhiều biến

669

9 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến của tác giả

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của mộtbiểu thức là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó

ở chương trình phổ thông Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, nộidung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất Trong Sách giáo khoa Giải tích

12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biếnsố) Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa mộtbiến trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyếtđược cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến Thực tế trong bài tập thi bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất yêucầu cao đa dạng đòi hỏi học sinh có nhiều kĩ năng Hơn nữa số lượng bài tậptham khảo không đầy đủ Vì vậy để góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắcsâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ đó vận dụng để giải tốt bài tập vềGTLN - GTNN, đạt được kết quả cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi, thi

THPT Quốc Gia, tôi đã quyết định chọn đề tài “Một số ứng dụng của hàm số”

Giảng dạy và bồi dưỡng kỹ năng giải bài tập giải tích cho học sinh THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng thử: Từ tháng 10 năm 2016.

7 Mô tả bản chất sáng kiến

Cơ sở lí luận và thực tiễn

Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số)

Các em học sinh còn lúng túng thậm chí bỏ qua bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến và trong các kì thi chọn học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, những bài toán này thường ở dạng khó ở mức vận dụng cao phải sử dụng kết hợp các phương pháp

Từ thực tế trên mục đích của đề tài là xây dựng được phương pháp tìm tòi có căn cứ để giải bài toán: dựa vào các bất đẳng thức, các hàm trung gian sau

đó kết hợp với phương pháp hàm số để tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức.

7 1 Nội dung của sáng kiến.

A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Định nghĩa:

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x= ( )

2 Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

a Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn

đó.

b Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

• Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng ( )a b;

tại đó f x'( )

bằng 0 hoặc không xác định.

• Sắp xếp các điểm x x1, , ,2 x n theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

• Từ bảng biến thiên kết luận về GTLN, GTNN của hàm số trên ( )a b;

3

y=

Nhận xét: Đây là bài toán không khó, học sinh hoàn toàn làm được

Ngoài cách làm tự luận tìm ra đáp án bài toán, nếu học sinh gặp bài toán nàydạng trắc nghiệm học sinh có thể sử dụng máy tính casio để giải như sau:

Sử dụng mod 7 nhập hàm

2

2 3 3 ( )

Start 0 end 2 step 0.5

Từ bảng hiện trên máy tính suy ra giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

29 17

x=

Nhận xét: Sử dụng đạo hàm đối với bài này là không khó Tuy nhiên học sinh

lại khá lúng túng trong việc giải phương trình f x′( ) = 0

Thế nhưng khi chuyểnthành bài toán trắc nghiệm thì học sinh dễ dàng tìm ra được đáp án Cách sửdụng máy tính casio để tìm GTLN, GTNN của hàm số giống với bài 1

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2 2

khi hàm số( ) 9 2 1

( ) 92 1 ( ) ( 0) 1

f x x

x x

x y x

+

= +

1.2 Sử dụng phương pháp đổi biến tìm GTLN – GTNN của hàm số

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tập xác định: D= ¡

Nhận xét: Bài toán sau khi đặt ẩn phụ trở thành bài toán quen thuộc học sinh

làm dễ dàng Với bài toán trắc nghiệm thì việc tìm GTLN, GTNN của hàm số là

dễ với cách sử dụng máy tính bỏ túi

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= x+ +4 4− −x 4 (x+4)(4− +x) 5

Giải

Điều kiện − ≤ ≤4 x 4

Nhận xét: Hàm số f x( )

liên tục trên đoạn [− 4; 4]

Đặt t= x+ + −4 4 x ⇒ = + + − +t2 x 4 4 x 2 (x+ 4)(4 −x)

2 8 ( 4)(4 )

Nhận xét: Sau khi đổi biến thì việc tìm tập giá trị của biến mới luôn là phần khó

và quan trọng, nếu không tìm đúng tập giá trị của biến mới sẽ dẫn đến đáp sốsai Khi tìm được tập giá trị của biến mới rồi thì bài toán trở nên dễ dàng khi đưa

x y

2 GTLN – GTNN của biểu thức chứa nhiều biến

2.1 Đưa trực tiếp biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa 1 biến

Bài 1 Cho x y, >0

và

5 4

Nhận xét: Bài toán trên có thể cho học sinh lớp 10 làm được bằng cách sử dụng

bất đẳng thức Cosi thế nhưng cái khó của bài toán là tìm điều kiện ẩn x, y để P đạt GTNN Nhưng khi thế y theo x vào biểu thức thì biểu thức thành

5 0

Xem đây là hàm theo biến ; còn là hằng số

−

0 +( )1

2 ( )

1 4

f(t) 12

25 2

191 16

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng

191 16 khi

1 2

Từ bảng biến thiên ta có 1≤ f t( ) 4≤ ⇒ ≤ ≤1 A 16

Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 khi

1 2

a b

f(t) 6

+∞

Bài toán cần làm có chứa 3 ẩn là a, b, c và chúng thỏa mãn a b c+ + =3

Ta suy nghĩ biến đổi

2

a b c+ > ⇒ ≤ ≤c

.Khi đó :

Khi đó từ bảng biến thiên suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 13 khi a=b=c=1.

Bài 2 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

Nhận xét:

Do a b c+ + =1nên ta biểu diễn a+ = -b 1 c

Như vậy ta có thể biểu diễn P theo c không?

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

3 3 2 27 ( )

) ( 4

3 5 ) ( 5 ) (

2 2

2 2

2

b a ca a

c

b bc

c b

a

+ +

+ + +

1 9

−

Từ (1) và (2) suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt khi

1 3

a b c= = =

Bài 3 (Đề thi Đại học khối B năm 2012)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x+ + =y z 0

f c ≥ − c∈(0; 1).

1 , 9

3

a b c= = =

1 , 9

−

Suy ra

5 6 36

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

5 6 36

Bài 4 Cho các số thực

, ,

a b c thỏa mãn a b c+ + =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= 6(y z x+ − +) 27xyz

2.2.2 Đưa biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa 1 biến là biến mới.

2.2.2.1 Đánh giá qua hàm trung gian

Bài 1: (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018)

Cho a b, là các số thực dương thoả mãn

t ≥ Ta được :

−

+∞

Đẳng thức xảy ra ⇔ =a 4b=16c

P f a b c f a b c

1 21

4 16

1 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −12

Bài 3 Cho a b c, , là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( ) ( 2 )( 2 )4

t 0 6 +¥

( )'

- ¥

0

Từ BBT ta có

5( ) (6)

8

T ≤ f t ≤ f =

; Vậy

5ax

( )5

Bài 5 (Đề thi HSG 12 – Tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2015-2016)

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [ ]1;9

1 10

t

t t

-( )

f x 216

326716

(t− 2)(t3 − 24t− 50) = ⇔ = 0 t 2

do t3 − 24t− 50 0 < ∀ ∈t [ ]1;3

.BBT

Suy ra

min

12

P =

khi và chỉ khi

4

4 2 1

( )

f t

1118

12

54

Đặt

2 2 2

( 0) 3

t 0 1 +¥

( )'

khi x= = =y z 1.

Bài 9 (Đề khảo sát giáo viên tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018)

Cho hai số thực a b, thỏa mãn

t 1 3 +¥

( )'

f t

- 0 +( )

f t +¥

+¥

6

Dựa vào bảng biến thiên ta có f t( )³ 6," >t 1

Suy ra P³ 6, dấu “=” xảy ra khi

3 Cho các số thực dương a b c, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Cho x y z, , là ba số thực thuộc đoạn [ ]1;4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài 1 (THPT Quốc gia 2016- 2017)

Cho các số thực dương thỏa mãn 3

- +

+¥

2 11 3 3 -

Từ bảng biến thiên ta có

2 11 3 min

3

Bài 2 (Đề thi HSG – tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2016-2017)

Cho a,b,c

là các số thực dương thỏa mãn abc=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

−

0

Thay x lần lượt bằng a,b,c

'

g t

0 +

- ¥

Dựa vào bảng biến thiên ta có

P£

dấu “=” xảy ra khi x=3,y= =z 0 hoặc các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của P là

214

2

 

÷

 

( )( ) ( )

17088

−

83 112 7−

1( )

0

0

Dấu “=” xảy ra khi

1 3

a b c= = =

Vậy giá trị lớn nhất của P là

2 3 3

Đẳng thức xảy ra trong hai bất đẳng thức trên khi và chỉ khi x x = 0

Với bài toán sử dụng tính chất tiếp tuyến này thì việc chọn điểm rơi x x = 0

là khó, để tìm được điểm này thường chúng ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi các biến có giá trị bằng nhau

Bài 1 Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(1 +a2 +b2 +a b2 2) (1 + +c2 d2 +c d2 2)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi

1 4

1 0;1 4 '( ) 0

a b c d= = = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

4

17 16

 

 ÷

 

Bài 2 Cho a,b,c

là các số thực dương có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

luôn đúng với mọi x>0

Thay x bởi a,b,c

ta có

54 27 54 27 54 27 3 6

a b c= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

3 5

Bài 1 Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

Suy ra 3< ≤ 5 3( − 2)

Bài 2 (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3 m+ 3 3m+ 3sinx = sinx

có nghiệm thực Giải:

Ta có

3

3 m+ 3 3m+ 3sinx = sinx⇔ +m 3 3 m+ 3sinx = sin x

3 3

3sin 3 3sin sin 3sin (1)

g u( )

2

−2

Vậy để phương trình có nghiệm thì − ≤ ≤2 m 2

Bài 3 Cho phương trình:

sinx 2 cos 2 − x − 2 2cos x m+ + 1 2cos x m+ + = 2 3 2 cos x m+ + 2.

Tìm m để phương trình trên có nghiệm

2 0;

-Xét , có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi − ≤ ≤4 m 1

Bài 4 Tìm các giá trị thực của tham sốm

+ ∞

1 4 -1

-2

- ∞

f(t) f'(t)

Bài 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

sao cho bất phương trình:

 

 

 

4 4

0 1

Hàm số đồng biến trên đoạn [ ]− 1;1

Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị y m y= ; = f t( )

2 Ứng dụng vào bài toán thực tế

2.1 Bài toán liên quan đến quãng đường

Bài 1 (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016 -2017)

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A

cách bờ biển một khoảng AB = 4( ) km

Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B

(hình vẽ bên) Xác định vị trí của M

để người đó đến C nhanh nhất.

30

x h x

khi x=3Vậy khi điểm M cách B một khoảng bằng 3(km)thì người canh hải đang đến kho nhanh nhất

Bài 2 Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=25m

được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30m Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C

(giờ)

2.2 Bài toán liên quan đến diện tích, thể tích hình học

Bài 1 (Đề THPT Quốc Gia 2018)

Ông A dự định sử dụng hết

2

6,5m

kính để làm một bể cá bằng kính có dạng

kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

39 6

13 2

( )'

Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm tìm được thể tích là hàm số theo biến x ta sử

dụng máy tính để tìm GTLN của thể tích mà không cần giải theo tự luận và rútngắn được thời gian làm bài mà vẫn đảm bảo đáp số đúng

Bài 2 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông

bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp Tìm cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất?

= Û ê

ê = ë

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật là 8 2

2.3 Bài toán kinh tế

Bài 1 Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa thóc hình trụ tròn với

thể tích là 150m3 (như hình vẽ bên) Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn

và nắp bể làm bằng nhôm Tính chi phí thấp nhất để làm bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn) Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một

r 0 a +¥

( )'

Giá thuê nhân công để xây bể là 600.000đồng/m 2 Xác định chi phí thuê nhân công thấp nhất

Giải

Gọi x m( )

là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x m( )

và( )

1. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ 5km , trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách B một khoảng 7km Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km h/ rồi đi bộ từ M

đến C với vận tốc 6km h/ Xác định độ dài đoạn BM để người đó đi từ A

đến C nhanh nhất.

2.Công ty A chuyên sản xuất một loại sản phẩm và ước tính rằng với q sản phẩm được sản xuất thì tổng chi phí sẽ là C q( ) = 3q2 + 72q− 9789

(đơn vị tiền tệ) Giá mỗi sản phẩm công ty sẽ bán với giá p q( ) = 180 3 − q

Hãy xác định số sản phẩm công ty cần sản xuất sao cho công ty thu được lợi nhuận cao nhất ?

3. Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm

và chiều rộng 6cm Thực hiện thao tác gấp góc

dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên

cạnh chiều dài còn lại Hỏi chiều dài L tối thiểu

của nếp gấp là bao nhiêu?

D Một số câu hỏi trắc nghiệm

8 7 1

x x y

4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:

7 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km Vận tốc

dòng nước là 6 km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun Vận tốc bơi của cá

khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất bằng

8 Cho đều cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh

MN nằm trên BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện

x x

các tông theo mẫu như hình vẽ Hộp có đáy

là một hình vuông cạnh x cm, chiều cao h

12.Cho hai số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất

7 2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

Sáng kiến có thể áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia hoặc học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh

8 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

- Hướng dẫn học sinh sử dụng tài liệu tham khảo và sách hay có liên quan để học sinh tìm đọc

- Chọn lọc biên soạn theo hệ thống bài dạy

- Nghiên cứu các đề thi và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

9 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến của tác giả

- Khi áp dụng đề tài vào thực tế dạy học tôi thu được kết quả:

+ Học sinh được phát triển tư duy và kỹ năng liên hệ các vấn đề toán học Học sinh hình thành lời giải một cách nhanh nhẹn, sáng tạo

+ Qua đây các em không chỉ được rèn luyện củng cố các kiến thức về giải bài toán tìm GTLN – GTNN, mà còn được trang bị thêm phương pháp tiếp cận những bài tập nâng cao, khó trong đề thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh + Giáo viên được nâng cao trình độ chuyên môn, năng lực sư phạm của mình trong quá trình giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi

- Trước và sau khi thực hiện đề tài này tôi đã tiến hành khảo sát khả năng tìm GTLN – GTNN cho học sinh lớp 12A1, 12A5, 12A7 khóa 2016 – 2017 trường THPT Lê Xoay với số học sinh khảo sát là 110 và thu được kết quả như sau:

Ngoài ra đối với học sinh giỏi tôi cũng có thành tích cao hơn trước khi áp dụng sáng kiến đó là đã có 2 học sinh được giải nhì cấp tỉnh

10 Danh sách những tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giải tích 12 – Nhà xuất bản giáo dục

2 Sách bài tập Giải tích 12 – Nhà xuất bản giáo dục

3 Sách Hình học 12 – Nhà xuất bản giáo dục

4 Sách bài tập Hình học 12 – Nhà xuất bản giáo dục

5 www.luyenthithukhoa.vn; www.dethi.volet.vn; www.toanmath.com

6 Đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh

7 Đề thi THPT Quốc Gia

8 Khám phá tư duy kỹ thuật giải bất đẳng thức bài toán min – max - Đặng Thành Nam – Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội