Một số ứng dụng của hành trình ngẫu nhiên

Phân bố xác suất trên các đỉnh có xu hướng dừng khi nào?Khi nghiên cứu hành trình ngẫu nhiên trên đồ thị, người ta phát hiện ra nhiều tính chất cơ bản của một hành trình ngẫu nhiên thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức cơ sở 3

1.1 Một số khái niệm về đồ thị 3

1.2 Hành trình ngẫu nhiên trên đồ thị 7

1.3 Phân phối dừng 11

Chương 2 Một số tham số cơ bản của hành trình ngẫu nhiên 15 2.1 Định nghĩa và ví dụ 15

2.2 Một số kết quả chính 19

2.2.1 Tính đối xứng và thời gian truy cập 19

2.2.2 Thời gian truy cập và thời gian phủ 21

2.2.3 Tính đơn điệu 22

2.2.4 Ứng dụng của thời gian phủ và thời gian đi lại 24

Chương 3 Mối liên hệ giữa giá trị riêng và hành trình ngẫu nhiên 27

3.1 Một số khái niệm 27

3.2 Phổ và thời gian truy cập 32

3.3 Phổ và hàm sinh 36

3.4 Liên hệ với mạch điện 37

Chương 4 Tốc độ hội tụ 43

4.1 Tốc độ hội tụ và ghép nối 43

4.2 Tốc độ hội tụ và khoảng giá trị riêng 45

4.3 Khoảng giá trị riêng và độ dẫn điện 47

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Trần Vĩnh Đức

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Vĩnh Đức Thầy

đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tácgiả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đạihọc, các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạylớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy, trang bịcho tác giả nhiều kiến thức cơ sở và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồngnghiệp đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi chotác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Vân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Vĩnh Đức, luận vănthạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài "Một số ứng dụng củahành trình ngẫu nhiên" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức củabản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Vân

MỞ ĐẦU

Hành trình ngẫu nhiên phát sinh trong nhiều mô hình toán học và vật

lý Đây cũng là một trong những khái niệm gặp nhiều nơi trong thực tế

Lý thuyết hành trình ngẫu nhiên cổ điển xem xét các hành trình ngẫunhiên trên đồ thị lưới vô hạn, và nghiên cứu định tính trên đó Các câuhỏi cơ bản là: Hành trình ngẫu nhiên quay trở lại điểm bắt đầu của nóvới xác suất bao nhiêu? Liệu nó có quay lại điểm bắt đầu vô hạn lần haykhông?

Gần đây, hành trình ngẫu nhiên trên đồ thị hữu hạn đã nhận đượcnhiều sự quan tâm Các câu hỏi định tính được nghiên cứu là: Chúng taphải đi bao lâu trước khi ta trở về đỉnh bắt đầu? Mất bao lâu chúng tamới đi tới một đỉnh cho trước? Mất bao lâu để chúng ta đi qua tất cảcác đỉnh? Phân bố xác suất trên các đỉnh có xu hướng dừng khi nào?Khi nghiên cứu hành trình ngẫu nhiên trên đồ thị, người ta phát hiện

ra nhiều tính chất cơ bản của một hành trình ngẫu nhiên thông qua phổcủa đồ thị cũng như qua góc nhìn mạch điện Những kết nối này đemlại công cụ hiệu quả để nghiên cứu các ứng dụng của hành trình ngẫunhiên trên đồ thị đặc biệt là tính tốc độ hội tụ, nó cho phép tính tốc độhội tụ trong thời gian đa thức

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về “Các hành trình ngẫu nhiêntrên đồ thị” Tài liệu tham khảo chính của luận văn là bài báo tổngquan [1]: Random walks on graphs: A survey của L Lovász

Đây là một bài báo không dễ đọc Để có thể hiểu nó, người đọc cầnnắm vững nhiều kiến thức nền tảng từ nhiều lĩnh vực khác nhau nhưxác suất, tổ hợp, đồ thị, đại số, và khoa học máy tính Hơn nữa, nhiềuchứng minh được viết rất ngắn gọn và nhiều lập luận không được giảithích chi tiết Đóng góp chính của tác giả trong luận văn này là làm chitiết hơn các chứng minh và thêm nhiều ví dụ giúp bài báo dễ đọc hơncho người mới bắt đầu Nhiều ví dụ trong luận văn được tính toán vàthực nghiệm trên máy tính.

Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luậnvăn được chia thành bốn chương:

1 Kiến thức cơ sở Chương này trình bày một số khái niệm về đồ thị

và các khái niệm về hành trình ngẫu nhiên

2 Một số tham số cơ bản của hành trình ngẫu nhiên Chương này trìnhbày một số tham số và kết quả chính của hành trình ngẫu nhiên

3 Mối liên hệ giữa giá trị riêng và hành trình ngẫu nhiên Chương nàynhằm tìm hiểu cách tính thời gian đi lại và thời gian truy cập thôngqua giá trị riêng và véc tơ riêng; kết nối độ dẫn điện với hành trìnhngẫu nhiên

4 Tốc độ hội tụ Chương này nhằm tìm hiểu các phương pháp tính tốc

độ hội tụ trong thời gian đa thức

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chương này nhằm trình bày một số khái niệm cơ sở về đồ thị, về hànhtrình ngẫu nhiên cùng với một số tính chất của nó

Ta cũng thường kí hiệu cạnh {u, v} ngắn gọn là uv Cạnh với hai đầumút trùng nhau cũng được gọi là khuyên

Số các cạnh của đồ thị G liên thuộc với đỉnh u trong đó khuyên tạimột đỉnh được tính hai lần được gọi là bậc của đỉnh u ∈ V , kí hiệu làdeg(u)

Đồ thị hai phần là đồ thị trong đó các tập đỉnh có thể chia thành haitập không giao nhau thỏa mãn điều kiện không có cạnh nối hai đỉnh bất

Hình 1.1: Đồ thị có khuyên.

kì thuộc cùng một tập

Một đồ thị chính quy là một đồ thị trong đó mọi đỉnh đều có bậcbằng nhau Đồ thị chính quy với các đỉnh có bậc bằng d được gọi là đồthị d-chính quy

Ví dụ 1.1 Xét đồ thị G = (V, E) như trong Hình 1.1 Đồ thị này có

Một hành trình độ dài k trong G là một dãy v0v1v2 vk thỏa mãn

vi ∈ V và {vi, vi+1} ∈ E với mọi i = 0, , k − 1 Khi đó, v0 được gọi làđỉnh đầu, v được gọi là đỉnh cuối của hành trình này Một hành trình

được gọi là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau Mộthành trình được gọi là đường đi nếu các đỉnh của hành trình đó đềukhác nhau Một hành trình được gọi là vết nếu các cạnh của hành trình

đó đều khác nhau Một hành trình khép kín được gọi là chu trình nếu

nó có độ dài ít nhất là 3 và khi xóa đi đỉnh cuối thì trở thành đường

đi Một hành trình khép kín được gọi là mạch nếu mọi cạnh của nó đềukhác nhau

Một đồ thị liên thông và không có chu trình được gọi là cây Các đỉnhbậc một của cây được gọi là đỉnh lá hay đỉnh cuối, còn các đỉnh bậc lớnhơn một được gọi là đỉnh trong Cây bao trùm của đồ thị G là một đồthị con bao trùm của G sao cho nó là một cây

Ví dụ 1.3 Trong Hình 1.2, đồ thị hình bên trái liên thông bên trái cómột cây bao trùm là hình bên phải

Xét G = (V, E) là đồ thị với n đỉnh Ma trận kề AG = (aij)i,j∈V của

Hình 1.2: Ví dụ đồ thị G và một cây bao trùm của nó.

Ma trận kề của đồ thị là một biểu diễn hiệu quả của đồ thị trong máytính Ngoài ra, biểu diễn này còn cho phép áp dụng các tính toán trên

ma trận (như tích ma trận, giá trị riêng, vector riêng) cho đồ thị Định

lý sau đây chỉ ra cách sử dụng tích ma trận để đếm số hành trình trên

đồ thị

Định lí 1.1 Xét G = (V, E) là đồ thị với n đỉnh V = {v1, v2, , vn},

và A = (aij)i,j∈V là ma trận kề của G Đặt p(k)ij là số hành trình độ dài

k từ vi tới vj Khi đó Ak = (p(k)ij )i,j∈V

1.2 Hành trình ngẫu nhiên trên đồ thị

Cho đồ thị và một đỉnh v0 ban đầu, ta chọn ngẫu nhiên một đỉnh v1 kềvới v0 và di chuyển tới đỉnh này, sau đó ta chọn một đỉnh v2 kề với đỉnh

v1 một cách ngẫu nhiên và di chuyển tới đó Thứ tự các đỉnh được lựachọn theo cách này là một hành trình ngẫu nhiên trên đồ thị

Xét đồ thị liên thông G = (V, E) với n đỉnh và m cạnh Ta xét mộthành trình ngẫu nhiên trên G: bắt đầu từ đỉnh v0; nếu tại bước thứ t ta

ở đỉnh vt, ta di chuyển tới hàng xóm của vt với xác suất 1/ deg(vt) Rõràng, dãy các đỉnh ngẫu nhiên

(vt : t = 0, 1, )

là một chuỗi Markov Đỉnh v0 có thể cố định, nhưng nó lại được lấy theophân bố ban đầu P0 nào đó Ta ký hiệu Pt là phân bố của đỉnh vt:

Pt(i) = P rob(vt = i)

Ta ký hiệu M = (pij)i,j∈V là ma trận xác suất chuyển của chuỗi Markov

M = DAG.Nếu G là d chính quy thì

M =  1

d



AG.Các quy luật của hành trình ngẫu nhiên có thể được thể hiện bằngphương trình đơn giản

Pt+1 = MTPt

Ví dụ 1.5 Cho đồ thị G = (V, E) có hình vẽ như Hình 1.3 Đồ thị này

có ma trân kề và ma trận đường chéo:

Ta có ma trận xác suất chuyển của hành trình ngẫu nhiên trên G:

1 4

Giả sử ta có phân phối ban đầu P0 = (0, 1, 0, 0, 0, 0)T, tức làtại bước đầutiên ta đang ở đỉnh thứ hai Khi đó

1 3

0

1 3 1 3

Nghĩa là tại bước thứ nhất, nếu ta đang ở đỉnh thứ hai thì xác suất ta

sẽ chuyển sang đỉnh thứ nhất bằng với xác suất chuyển sang đỉnh ba vàđỉnh bốn và đều bằng 13; xác suất chuyển sang đỉnh năm và ở tại đỉnhmột đều bằng 0 Tiếp theo,

1 3

0

1 3 1 3

Nghĩa là xác suất sau hai bước từ đỉnh ban đầu là đỉnh hai đến đỉnhmột là 1/12

Hình 1.3: Đồ thị với 5 đỉnh.

Nếu G là đồ thị chính quy thì chuỗi Markov tương ứng là đối xứng:xác suất đi từ đỉnh v đến đỉnh u bằng xác suất đi từ đỉnh u đến đỉnh v.Đối với một đồ thị không chính quy, tính chất này được thay thế bằngtính chất thời gian khả nghịch: đảo ngược hành trình ngẫu nhiên cũng

là một hành trình ngẫu nhiên

Tính chất thời gian khả nghịch được mô tả một cách chi tiết như sau.Xét tất cả hành trình ngẫu nhiên (v0, , vt) trong đó v0 xác định bởiphân phối ban đầu P0, và từ đó ta có phân phối xác suất Pt trên vt Ta

có phân phối xác suất Q trên chuỗi (v0, , vt) Nếu chúng ta đảo ngượcdãy này ta cũng có được phân phối xác suất Q0 Bây giờ ta có thời giankhả nghịch nghĩa là phân phối Q0 có được bằng cách xét hành trình ngẫunhiên bắt đầu từ phân phối Pt Nếu G là đồ thị chính quy bậc d ta có

M là ma trận đối xứng, khi đó Pij= Pji, nghĩa là xác suất di chuyển từ

i tới j cũng bằng xác suất di chuyển từ j tới i

3 0 13

1 3

1 3

Phân phối xác suất P0, P1, nhìn chung là khác nhau Ta nói rằng P0

là phân phối dừng của đồ thị G nếu P0 = P1 Trong trường hợp này, rõràng Pt = P0 với mọi t > 0; ta gọi hành trình này là hành trình dừng.Bằng một số tính toán đơn giản, ta có thể chỉ ra rằng, với mọi đồ thị

G, phân phối dừng của hành trình ngẫu nhiên trên G là

π (v) = d (v)

2m .

Ví dụ, hành trình ngẫu nhiên trên đồ thị G trong Hình 1.3 có phânphối dừng là

.Đặc biệt phân phối đều trên V là phân phối dừng nếu đồ thị là chínhquy Hơn nữa, không khó để chỉ ra rằng phân phối dừng là duy nhất.Trong đồ thị Hình 1.4, ta có phân phối dừng



Một trong những tính chất quan trọng nhất của phân phối dừng là, nếu

G không phải là đồ thị hai phần thì phân phối của vt hội tụ đến phânphối dừng khi t → ∞ Điều này không đúng với đồ thị hai phần nếu

n > 1, vì vậy mỗi bước phân phối Pt tập trung vào một lớp màu nàyhoặc lớp khác, nó phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của t

Ví dụ 1.7 Cho đồ thị hai phần K3,2 như Hình 1.5 Ta có:

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

1 3

1

3 0 0

1 3

1 3

Vì vậy, ta thấy rằng, ta di chuyển dọc theo tất cả các cạnh, theo mộthướng nhất định, với một tần suất như nhau Nếu chúng ta đang ở trên

một cạnh và hành trình ngẫu nhiên phải đi qua nó, thì số các bước dựkiến trước nó khi đi qua nó và quay trở lại là 2m Điều này tương tự chocác đỉnh, nếu ta đang ở đỉnh i và hành trình ngẫu nhiên được qua đỉnhnày, thì số lượng các bước dự kiến quay lại nó là

1π(i) =

2md(i)Nếu G là đồ thị chính quy thì số cạnh của G là m = dn/2, và khi đó

1π(i) =

2dn/2

Vậy với đồ thị chính quy G, thời gian quay lại là n với n là số đỉnh

Ví dụ 1.8 Xét đồ thị G trong Hình 1.3 Ta có phân phối dừng là



Ma trận xác suất chuyển cho G là

1 4

π (4) p41 = 4

14 × 1

4 =

114

π (1) p14 = π (4) p41

Chương 2 Một số tham số cơ bản của hành

Ngoài ra còn có một cách biểu thị thời gian truy cập theo thời gian

đi lại như sau:

Thời gian bao phủ (bắt đầu từ một phân phối đưa ra) là số bướctrung bình để đi qua tất cả các đỉnh Nếu không xác định đỉnh bắt đầu,

Hình 2.1: Một đường đi độ dài n.

ta giả sử là trường hợp xấu nhất, tức là chọn đỉnh bắt đầu có thời gianphủ lớn nhất

Tốc độ hội tụ nhằm ước lượng tốc độ hành trình ngẫu nhiên hội tụđến phân phối giới hạn Đại lượng này được định nghĩa như sau, nếu Gkhông là đồ thị hai phần thì p(t)ij → dj

2m khi t → ∞, và khi đó tốc độ hội

p(t)ij − dj

2m

1/t

Ví dụ 2.1 Cho đồ thị như Hình 2.1 Đây là một đường đi trên các đỉnh

0, 1, , n Ta sẽ tính thời gian truy cập cho hai đỉnh bất kỳ trên đường

đi này

Đầu tiên, ta thấy rằng thời gian truy cập H(k − 1, k) là nhỏ hơn sovới thời gian trung bình để quay lại của hành trình ngẫu nhiên trên mộtđường đi với k + 1 đỉnh, bắt đầu từ đỉnh cuối của đường đi Như phântích trong chương trước, thời gian quay lại này là 2k, vì vậy H(k −1, k) =2k − 1

Tiếp theo, xem xét thời gian truy cập H(i, k) khi 0 6 i < k 6 n

Để đến được k, ta phải đến được đỉnh k − 1, điều này trung bình mấtH(1, k − 1) bước Từ đây, ta mất trung bình 2k − 1 bước Điều này cho

ta biểu thức truy hồi

H(i, k) = H(i, k − 1) + 2k − 1

ta đang ở đỉnh cuối của nó Để đến được một đỉnh mới có nghĩa là đếnđược một trong những đỉnh cuối cùng của một đường dẫn với

n + 1 đỉnh từ một lân cận của đỉnh cuối cùng

Rõ ràng, điều này cũng giống như thời gian truy cập giữa hai đỉnh liêntiếp của một mạch có độ dài n Điều này dẫn đến biểu thức truy hồi,

Ví dụ 2.2 Trong ví dụ này, ta hãy xác định thời gian truy cập và thờigian bao phủ cho một đồ thị đầy đủ với tập đỉnh {0, , n − 1} Ở đây

ta có thể giả thiết rằng ta bắt đầu từ đỉnh 0, và để tìm ra thời gian truycập, ta chỉ cần xác định H(0, 1) Xác suất mà chúng ta đạt được đỉnh

1 đầu tiên trong bước thứ t là n−2n−1
t−1 n−11 , và do đó thời gian dự kiếnđiều này xảy ra là

τ1 = 0 < τ2 = 1 < τ3 < · · · < τn.Bây giờ τi+1− τi là số bước trong khi ta chờ đợi một đỉnh mới xuất hiện–sự kiện xảy ra với xác suất (n − i)/(n − 1), độc lập với các bước trước

đó Vậy thì

E (τi+1 − τi) = n − 1

n − i.Khi đó thời gian phủ là

2mr < n3.Tức là ta có

E(ij) = E(ji) = 2m

Định lí 2.1 (a) Thời gian truy cập giữa hai đỉnh bất kì của đồ thị trên

n đỉnh nhiều nhất là

(4/27) n3 − (1/9) n2 + (2/3) n − 1 nếu n ≡ 0 (mod 3),(4/27) n3 − (1/9) n2 + (2/3) n − 29/27 nếu n ≡ 1 (mod 3),(4/27) n3 − (1/9) n2 + (4/9) n − 13/27 nếu n ≡ 2 (mod 3)

(b) Thời gian phủ bắt đầu từ một đỉnh bất kỳ trong một đồ thị n đỉnh ítnhất là (1 − O (1)) n log n và nhiều nhất là (4/27 + O (1)) n3

(c) Thời gian phủ của một đồ thị chính quy n đỉnh nhiều nhất là 2n2.2.2.1 Tính đối xứng và thời gian truy cập

Mệnh đề 2.1 Nếu u và v có cùng bậc thì xác suất để một hành trìnhngẫu nhiên bắt đầu từ u thăm v trước khi trở về u bằng xác suất để một

hành trình ngẫu nhiên bắt đầu từ v thăm u trước khi trở về v.

Nếu bậc của u và v khác nhau thì tỉ số xác suất là

π (v) /π (u) = deg (v) / deg (u)

Xác suất trong mệnh đề 2.1 có liên quan đến thời gian đi lại k(u, v)một cách đặc biệt

Mệnh đề 2.2 Xác suất mà một hành trình ngẫu nhiên bắt đầu từ uthăm v trước khi trở về u là

k(u, v)π(u).Chứng minh Gọi τ là thời gian đầu tiên khi hành trình ngẫu nhiênbắt đầu từ u trở lại u và gọi σ thời gian lần đầu tiên nó trở lại u saukhi thăm v Ta biết rằng

2mdeg(u)k(u, v) =

1π(u)k(u, v)

Tính chất đối xứng của thời gian truy cập được chỉ ra bởi định lý dướiđây Kết quả này có được kiểm tra bằng việc xem xét tính chất cơ bảncủa hành trình ngẫu nhiên thăm ba đỉnh u, v, w và sau đó đảo chiều nó.Định lí 2.2 Cho 3 đỉnh bất kì u, v và w, ta có

H(u, v) + H(v, w) + H(w, u) = H(u, w) + H(w, v) + H(v, u)

Từ đó ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.1 Các đỉnh trong đồ thị có thể có thứ tự sau cho nếu u đứngtrước v thì H(u, v) 6 H(v, u) Một thứ tự như vậy có thể thu được bằngcách cố định đỉnh t bất kỳ, và đánh thứ tự các đỉnh theo giá trị củaH(u, t) − H(t, u)

Chứng minh Giả sử rằng u đứng trước v trong thứ tự mô tả, khi đóH(u, t)−H(t, u) 6 H(v, t)−H(t, v) Do đó H(u, v)+H(t, v) 6 H(v, t)+H(t, u) Bởi Định lý 2.5, điều này tương đương với H(u, v) 6 H(v, u).2.2.2 Thời gian truy cập và thời gian phủ

Thời gian truy cập và thời gian đi lại của một hành trình ngẫu nhiên

có nhiều tính chất đẹp và dễ tính toán Thời gian phủ thì khó nắm bắthơn, nhưng có một mối quan hệ chặt chẽ giữa thời gian truy cập và thờigian phủ thông qua định lí sau

Định lí 2.3 Thời gian phủ từ một đỉnh bất kì của đồ thị với n đỉnhnhiều nhất là (1 +12+ · · · +n1) lần thời gian truy cập tối đa giữa hai đỉnhbất kì, và ít nhất bằng (1 + 12 + · · · + 1n) lần thời gian truy cập tối thiểugiữa hai đỉnh

Ta phác thảo một chứng minh đơn giản cho một chặn yếu hơn: 2log2nlần thời gian truy cập tối đa.

Bổ đề 2.1 Giả sử b là số bước trung bình trước khi một hành trình ngẫunhiên thăm nhiều hơn một nửa số đỉnh, và h là thời gian truy cập tối đagiữa hai đỉnh bất kì Khi đó b 6 2h

Từ bổ đề này ta thấy trong 2h bước ta đã gặp nhiều hơn một nửa sốđỉnh, bằng một lập luận tương tự, trong 2h bước tiếp theo chúng ta gặphơn một nửa các đỉnh còn lại v.v

Chứng minh Không mất tính tổng quát, xét với trường hợp n là số

lẻ, cụ thể n = 2k + 1 Giả sử αv là thời gian khi đỉnh v được truy cậpđầu tiên Do đó thời gian β khi chúng ta đạt được hơn một nửa các đỉnhlớn nhất bằng k + 1 lần của αv Ta có

Giả sử G0 là đồ thị thu được từ đồ thị G bằng cách thêm một cạnh ab

Do đồ thị mới này dày hơn, ta hi vọng rằng hành trình ngẫu nhiên trên

Mệnh đề 2.2 Xác suất mà hành trình ngẫu nhiên uthăm v trước trở u

k(u, v)π(u).Chứng minh Gọi τ thời gian hành trình ngẫu nhiênbắt đầu từ u trở lại u gọi σ thời... phác thảo chứng minh đơn giản cho chặn yếu hơn: 2log2nlần thời gian truy cập tối đa.

Bổ đề 2.1 Giả sử b số bước trung bình trước hành trình ngẫunhiên thăm nhiều nửa số đỉnh, h... class="page_container" data-page="27">

Tính chất đối xứng thời gian truy cập định lý dướiđây Kết có kiểm tra việc xem xét tính chất bảncủa hành trình ngẫu nhiên thăm ba đỉnh u, v, w sau đảo chiều nó.Định