PHÂN TÍCH CÔNG THỨC THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Đáy là tam giác ABC.  Đường cao SA.  Cạnh bên , , SB SC SA.  , SAB SAC   là các tam giác vuông tại A.  Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc  SBA.  Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc  SCA. HÌNH 2 Hình chóp tam giác đều S.ABC  Đáy là tam giác đều ABC.  Đường cao SG, với G là trọng tâm tam giác ABC.  Cạnh bên , , SA SB SC hợp với đáy một góc bằng nhau.  Góc giữa cạnh bên với đáy bằng  SAG (hoặc   , SCG SBG).  Mặt bên , , SAB SBC SCA hợp với đáy một góc bằng nhau.  Góc giữa mặt bên với đáy là góc  SMG. HÌNH 3 Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy  Đáy là hình chữ nhật (hình vuông) ABCD.  Đường cao SA.  Cạnh bên , , , SB SC SD SA.  , , SAB SAC SAD    là các tam giác vuông tại A.  Góc giữa cạnh SB với đáy ABCD là góc  SBA.  Góc giữa cạnh SC với đáy ABCD là góc  SCA.  Góc giữa cạnh SD với đáy ABCD là góc  SDA. HÌNH 4 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD  Đáy là hình vuôngABCD.  Đường cao SO, với O là giao điểm của AC và BD.  Cạnh bên , , , SA SB SC SD hợp với đáy một góc bằng nhau.  Góc giữa cạnh bên với đáy bằng  SBO (hoặc    , , SAO SCO SDO)  Mặt bên , , SAB SBC SCA hợp với đáy một góc bằng nhau.  Góc giữa mặt bên với đáy là góc 

BÀI TẬP LUYỆN THI MƠN TỐN 12 - NĂM 2018 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

Gọi B là diện tích đáy; h là đường cao tương ứng

Suy ra : 1

3

V  Bh

hay đơn giản: V chóp 1.S đáy.đường cao

3 Chĩp tam giác đều

 cạnh đáy a, cạnh bên b:

;

h b  V  

 cạnh đáy a, gĩc cạnh bên với đáy là  :

3

tan 12

a

 cạnh đáy a, gĩc mặt bên với đáy là  :

3

tan 24

a

 tất cả các cạnh bằng a (tứ diện đều):

3

;

Chĩp tứ giác đều

 cạnh đáy a, cạnh bên b:

;

h b  V  

 cạnh đáy a, gĩc cạnh bên với đáy là  :

3

2 tan 6

a

 cạnh đáy a, gĩc mặt bên với đáy là  :

3

tan 6

a

 tất cả các cạnh bằng a:

3

;



lăng trụ đáy

V S đường cao

 Gọi B là diện tích đáy; h là đường cao tương ứng

 Suy ra : V Bh

bằng tích của ba kích thước

 Gọi a b c, , lần lượt là ba kích thước tương ứng

 Suy ra: V abc

B

h S

B h

c

D'

C' A'

D

A B'

h α

β

G

B

S





a

I O

B

D

A

C S

bằng độ dài cạnh lũy thừa

3 (mũ ba)

 Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương

 Suy ra: V a3.

 Tam giác vuơng

 Diện tích tam giác vuơng bằng 1

2 tích hai cạnh gĩc vuơng

2

S  AB AC

2

AM  BC

 Tam giác đều

 Diện tích tam giác  

2

3 4

đều

cạnh

 Đường cao tam giác đều  

2

cạnh



2

3 4

a

2

a

 Hình vuơng

 Diện tích hình vuơng Scạnh2

 Độ dài đường chéo hình vuơng bằng cạnh 2

 Sa2.

 ACa 2

 Hình chữ nhật

 Diện tích hình chữ nhật Sdài rộng  S AB AD ab

 Hình thang

 Diện tích  

2

đáy lớn đáy bé

2

AB CD

S   AH

a

D'

C' A'

D

A B'

M

A

a

A

B

a

C

B A

D

a b

C

D

D

BÀI TẬP LUYỆN THI MÔN TOÁN 12 - NĂM 2018 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

Chủ đề 1

HÌNH 1 Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy

 Đáy là tam giác ABC

 Đường cao SA

 Cạnh bên SB SC SA, ,

 SAB, SAC là các tam giác vuông tại A

 Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc  SBA

 Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc  SCA

HÌNH 2 Hình chóp tam giác đều S.ABC

 Đáy là tam giác đều ABC

 Đường cao SG , với G là trọng tâm tam giác ABC

 Cạnh bên SA SB SC, , hợp với đáy một góc bằng nhau

 Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SAG (hoặc   SCG SBG ) ,

 Mặt bên SAB SBC SCA, , hợp với đáy một góc bằng nhau

 Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG

HÌNH 3 Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA

vuông góc với đáy

 Đáy là hình chữ nhật (hình vuông) ABCD

 Đường cao SA

 Cạnh bên SB SC SD SA, , ,

 SAB, SAC, SAD là các tam giác vuông tại A

 Góc giữa cạnh SB với đáy ABCD là góc  SBA

 Góc giữa cạnh SC với đáy ABCD là góc  SCA

 Góc giữa cạnh SD với đáy ABCD là góc  SDA

HÌNH 4 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

 Đáy là hình vuông ABCD

 Đường cao SO , với O là giao điểm của AC và BD

 Cạnh bên SA SB SC SD, , , hợp với đáy một góc bằng nhau

 Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SBO (hoặc    SAO SCO SDO ) , ,

 Mặt bên SAB SBC SCA, , hợp với đáy một góc bằng nhau

 Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG

B

S

B

S

B

D

A

C S

M O

B D

A

C S

HÌNH 5 Hình chóp S.ABC (hoặc S.ABCD) có một mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

 Đáy là tam giác ABC (hoặc ABCD )

 Đường cao SH , với H là trung điểm của AB

HÌNH 6 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

 Hình lăng trụ đứng tam giác

 Đường cao là cạnh bên AA

hoặc BB, CC

 Hình hộp chữ nhật

 Thể tích: V AB AD AA

abc



 Hình lập phương

 Thể tích: V  AB3a3

 Đường chéo: AC a 3

Phần 1 Tính thể tích các mô hình khối chóp thường gặp

Câu 1 Cho khối chóp có diện tích đáy bằng S; chiều cao bằng h và thể tích bằng V Trong các đẳng thức

dưới đây, hãy tìm đẳng thức đúng

A S 3V

h

3

h

 D S V h

Câu 2 Cho hình tứ diện OABC có OA OB OC, , vuông góc nhau đôi một Gọi V là thể tích khối tứ

diện OABC Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

2

6

V  OA OB OC

C V OA OB OC D 1

3

V  OA OB OC

Câu 3 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC, và AD đôi một vuông góc với nhau; AB3a,

5

AC a và AD8a Tính thể tích V của tứ diện ABCD theo a

H

D B

A

C

S

H B

S

B

C

C'

A'

B'

A

a

D'

C' A'

D

A

B'

c

D'

C' A'

D

A B'

BÀI TẬP LUYỆN THI MÔN TOÁN 12 - NĂM 2018 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

A V 40 a3 B V 120a3 C V 60 a3 D V 20 a3

Câu 4 Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P) có AB  cm, 3 BC  cm và 4 AC  cm Trên 5

đường thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA  cm Thể tích khối tứ diện 6

ABCD là

12 cm

Câu 5 Khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng ABC

, SA2a Thể tích khối chóp S ABC bằng

A

3

3 6

a

B

3

3

a

C

3

3 3

a

D

3

3 12

a

Câu 6 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A , ABa 2, AC a, cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng 60 Thể tích của khối chóp o

S ABC bằng

A

3

6 3

a

B

3

3 3

a

C a3 6 D a3 3

Câu 7 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , SA AC2a Biết cạnh bên

SA nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S ABC bằng

A

3

2 9

a

B

3

2 3

a

C

3

3

a

D

3

3 3

a

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy, SCa 5 Thể tích khối chóp S ABCD bằng

A

3

3 3

a

B

3

2 5 3

a

3

4 3

a

D

3

2 3

a

Câu 9 Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn

AB a ADCDa SAa Tính thể tích khối chóp S BCD bằng

A

3

3

a

B

3

2 3

a

C

3

2 2

a

D

3

2 6

a

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên SAB và  SAC cùng 

vuông với mặt phẳng ABC Biết cạnh bên  SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 Thể tích o khối chóp S ABC bằng

A

3

3

a

B

3

2

a

C

3

4

a

D

3

6

a

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC 60o, SA vuông góc

với mặt phẳng ABCD  SD tạo với mặt phẳng ABCD một góc  60 Thể tích khối chóp o

S ABCD bằng

A

3

2

a

B

3

3

a

C

3

3 2

a

D 2a3

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB và AD Biết SAa 3 và SA vuông góc với đáy Tính thể tích V của khối chóp S.CDNM

A 3 3

3

24

24

9

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng

vuông góc với đáy Góc giữa SC và đáy là 45 Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, AD Thể tích khối chóp S MCDN là

A

3

6

a

B

3

12

a

C

3

24

a

D

3

8

a

Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa AD, a 2,SAa và

SA ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và SC , I là giao điểm của BM và

AC Tính thể tích V của khối tứ diện ANIB

A

3

3 12

a

3

2 36

a

3

3 16

a

3

3

a

V 

Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB , a BCa 3 Mặt

bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC Tính theo 

a thể tích của khối chóp S ABC

A

3

6 12

a

3

6 4

a

3

12

a

3

6 6

a

Câu 16 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD

A

3

15 12

a

3

15 6

a

V  C V 2a3 D

3

2 3

a

V 

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng đáyABCD Biết  SD2a 3và góc tạo bởi đường thẳng SC

và mặt phẳng ABCD bằng  300 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

A

3

3

a

3

7

a

3

3 13

a

3

3 4

a

V 

Câu 18 Cho hình chóp S ABC có các mặt bên SAB , SBC , SCA đôi một vuông góc với nhau và có 

diện tích lần lượt là 8cm2,9cm và 2 25 cm Thể tích của khối chóp là 2

A 30cm 3 B 20cm 3 C 40cm 3 D 60cm 3

Câu 19 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Thể tích khối chóp

S ABC bằng

3

3 12

a

3

11 12

a

Câu 20 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 45o

Thể tích khối chóp được tính theo a là

3

8

a

C

3

3 12

a

D

3

24

a

Câu 21 Kim tự tháp Kêốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự

tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m Thế tích của nó

là

BÀI TẬP LUYỆN THI MÔN TOÁN 12 - NĂM 2018 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

A 7776300 m3. B 3888150 m3. C 2592100 m2. D 2592100 m3

Câu 22 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA5a,

gọi M là trung điểm của SB Thể tích khối chóp S AMC là

A

3

74 24

a

B

3

74 12

a

C

3

74 6

a

D a3 74

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau Tính thể tích khối chóp nếu diện tích

toàn phần của hình chóp bằng   2

4 1 3 cm

A 4 2 3

9 cm B

3

4 2

3 cm C

3

6 2cm D 4 2cm3

Câu 24 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8 Ở bốn đỉnh tứ diện, người ta cắt đi các tứ diện đều bằng

nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng 3

4 thể tích tứ diện

ABCD Giá trị của x là

A 3

Câu 25 Cho hình chóp S ABC đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc S lên đáy trùng với

trung điểm BC và góc SA và đáy bằng o

60 Thể tích khối chóp S ABC bằng

A

3

3

a

B

3

3 4

a

C

3

4

a

D

3

3 8

a

Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng ABCD là trung điểm  H của cạnh AB Biết SH a 15 và góc giữa SC và mặt đáy

bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A 15 3

3

V  a B V  15a3 C 2 15 3

3

3

Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , ACB 600 Hình chiếu của S lên

ABC là trọng tâm tam giác ABC ,  SAa 43 , góc giữa SB và đáy là bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp

A

3

27 13 2

a

B

3

9 43 2

a

3

9 13 2

a

3

27 43 2

a

Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu

vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC 

Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng ABCD góc  300 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo

a

A

3

3 3

a

3

3

a

V  C

3

3 9

a

3

9

a

Câu 29 Cho tứ diện ABCD có ABD, ACD là các tam giác đều cạnh a Biết góc giữa ABD và 

ACD bằng  60 0 Tính thể tích của tứ diện ABCD ?

16

a

3

16

a

16

a

D Không xác định

Câu 30 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A AB, a 2; SASBSC

Góc giữa SA với đáy bằng 60o Tính thể tích V của khối chóp S ABC

A 3 3

3

12

4

3

ASB BSC CSA Tính thể tích

V của khối chóp S ABC theo a

3

12

2

12

Câu 32 Cho tứ diện ABCD có AC 2,ABBCCDDADB1 Tính thể tích V của khối tứ

diện ABCD

A 2

3

6

6

12

V 

Phần 2 Phân chia khối chóp, tỉ số thể tích

Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A O, trên cạnh OB chọn B O Khi đó OA B

OAB

 





 

Chứng minh Gọi H H , lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A lên OB

2

OA B

S    A H OB   và 1

2

OAB

S  AH OB

OAB

Cho hình chóp S.ABC Gọi A B C, ,   lần lượt là ba điểm nằm trên đoạn SA,

SB, SC

.

S A B C

S ABC



Chứng minh Theo hình vẽ, ta có:

.

1 3

3

Suy ra: .

.

V

Câu 33 Cho một khối chóp có thể tích bằng V Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống còn 1

3 diện tích

đa giác đáy ban đầu thì thể tích khối chóp lúc đó bằng

A

9

V

B

6

V

C

3

V

D

2

V

H H'

A

A'

H' S

C

B

A A'

C'

B'

H

BÀI TẬP LUYỆN THI MÔN TOÁN 12 - NĂM 2018 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD Gọi A B C, ,  , D lần lượt là trung điểm của SA, SB SC, SD Khi đó,

tỉ số thể tích giữa hai khối S A BC D    và S.ABCD bằng

A 1

1

1

1 8

Câu 35 (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc

với nhau; AB6a,AC7a và AD4a Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,

CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

2

V  a B.V 14 a3 C 28 3

3

V  a D.V 7 a3

Câu 36 Cho khối chóp S ABC có thể tích là V Gọi G H K, , lần lượt là trọng tâm của ba mặt bên của

khối chóp Tính thể tích khối chóp S GHK

A 2

27

V

27

V

9

V

6

V

Câu 37 Cho hình chóp S ABC có thể tích là V Gọi M là trung điểm của SA Tính thể tích khối chóp

S MBC theo V

A

2

V

3

V

6

V

4

V

Câu 38 Cho hình chóp S ABC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB, và P là điểm trên

cạnh SC sao cho PC2SP Ký hiệu V V lần lượt là thể tích của hai khối chóp 1, 2 S MNP và

S ABC Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

4 3

V

1

2

1 8

V

1

2

1 6

V

1

2

1 12

V

V 

Câu 39 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt đáy ABC, biết ABa SA; a 3 Gọi

H là hình chiếu vuông góc của A trên SB và M là trung điểm của SC Ký hiệu V V1, 2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S AHM và S ABC Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

3 8

V

V  B

1

2

5 8

V

V  C

1

2

5 12

V

V  D

1

2

4 9

V

V 

Câu 40 Cho tứ diện đều ABCD Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho CN2ND

Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng

1

4 3

Câu 41 Xét khối chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C của

cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính tỉ số SC

SC



A 5 1

2



2



4

5

Câu 42 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB SD, Mặt phẳng

AMN cắt SC tại  E Gọi V là thể tích của khối chóp 2 S AMEN và V là thể tích khối chóp 1

S ABCD Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

3

V  V B 2 1 1

4

V  V C 2 1 1

8

V  V D 2 1 1

6

V  V

Phần 3 Max, Min

Câu 43 Hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SAx x, 0, 3, tất cả các cạnh còn lại có độ dài 1 Xác

định x để hình chóp có thể tích lớn nhất

A 3

3

3

3 5

Câu 44 (THPT Quốc Gia 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB và các cạnh còn lại đều bằng x

2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

A x 3 2 B x  6 C x 2 3 D x  14

Câu 45 Trên nửa đường tròn đường kính AB2R, lấy điểm C tùy ý Kẻ CH AB (H thuộc AB) Gọi

I là điểm giữa của CH Trên một nửa đường thẳng It vuông góc tại I với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho góc ASB 90 Đặt AH  Với giá trị nào của x thì x V SABC đạt giá trị lớn nhất

A

2

R

2

R

x  C x2R D xR

Câu 46 Thể tích khối chóp có diện tích đáy 3B và chiều cao h là

3

V  Bh B V Bh C 1

2

V  Bh D V 3Bh

Câu 47 Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể

tích của nó

A Không thay đổi B Tăng lên n lần C Tăng lên n  lần D Giảm đi 1 n lần

Câu 48 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A AB, 2cm và có thể tích là

3

8cm Tính chiều cao xuất phát từ đỉnh Scủa hình chóp đã cho

A h3cm B h6cm C h10cm D h12cm

Câu 49 Một hình chóp tam giác có đường cao là 100cm và các cạnh đáy bằng 20cm , 21cm và 29cm

Thể tích của khối chóp đó là

A 6000cm3 B 700 2cm 3 C 6213cm3 D 7000cm3

Câu 50 Khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng ABC

, SA2a Thể tích khối chóp S ABC bằng

A

3

3 6

a

B

3

3

a

C

3

3 3

a

D

3

3 12

a

Câu 51 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại B , ABa 2, AC a 3, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SBa 3 Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3

3 6

a

B

3

3 8

a

C

3

2 6

a

D

3

2 12

a

Câu 52 Khối chóp S ABC có các cạnh SA SB SC đôi một vuông góc với nhau, , ,

2 , 3 , 4

SA a SB a SC a Thể tích khối chóp S ABC bằng

A 32 a 3 B 4a 3 C 12 a 3 D 8 a 3