Công thức, bài tập khối đa diện và thể tích khối đa diện

Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S ABC.. tăng lên bao nhiêu lần?[r]

Chọn gĩc nhọn là 

cạnh ối i cạnh uyề ïc

đ o n

đ h

h

cạnh ề hông cạnh uyền ư

cạnh ối oàn cạnh

t k

ề e

 cot  ; 

đ

cạnh ề ết cạnh ối đ oàn

A

a

2

2

2

bc

ac

ab

Chọn gĩc nhọn là 

cạnh ối i cạnh uyề ïc

đ o n

đ h

h

cạnh ề hông cạnh uyền ư

cạnh ối oàn cạnh

t k

ề e

 cot  ; 

đ

cạnh ề ết cạnh ối đ oàn



Cạnh đối

Cạnh kề Cạnh huyền

CHUYÊN ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN CHỦ ĐỀ 7.4 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

I HÌNH HỌC PHẲNG

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuơng:

Cho tam giác ABC vuơng tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta cĩ:

2 Các tỉ số lượng giác của gĩc nhọn trong tam giác vuơng:

3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

a Định lý cosin:

b Định lý sin:

A

 BC2 =AB2 +AC2

 AH BC =AB AC.

 AB2=BH BC AC , 2=CH CB.

 2AM =BC

c Công thức tính diện tích tam giác:

d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

4 Định lý Thales:

A

c

a

b

- nửa chu vi

- bán kính đường tròn nội tiếp

p r

SD = ah = bh = ch



1 sin 1 sin 1 sin

ABC

SD = ab C = bc A= ac B

4

abc

R

 p p p a p b p c        

2

AB AC BC

2

2

-A

N K

M

A

N M

2 2

/ /

AMN ABC

AB AC BC

k

D D

æ ö÷

* =çç ÷÷=

çè ø (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

A

a R

5 Diện tợch đa giõc:

a Diện tợch tam giõc vuừng:

Diợ̉n tợch tam giõc vuừng bằng ½ tợch 2 cạnh

gục vuừng

b Diện tợch tam giõc đở̀u:

Diợ̉n tợch tam giõc đều:

3 4

SD =

Chiều cao tam giõc đều:

3 2

hD =

c Diện tợch hình vuừng vỏ hình chữ nhọ́t:

Diợ̉n tợch hình vuừng bằng cạnh bình phương

Đường chéo hình vuừng bằng cạnh nhón 2.

Diợ̉n tợch hình chữ nhọ́t bằng dỏi nhón rộng

d Diện tợch hình thang:

SHình Thang 1

2

= (đõy lớn + đõy bé) x chiều cao

e Diện tợch tứ giõc có hai đường chéo vuừng

góc:

Diợ̉n tợch tứ giõc cụ hai đường chéo vuừng gục

nhau bằng ½ tợch hai đường chéo

Hình thoi cụ hai đường chéo vuừng gục nhau

tại trung điở̉m của mừ̃i đường

II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HèNH HỌC

1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :



( )

( ) ( )

d

d

a

a a

ý ủ

ậ ủủủ

đ ýÞ ủủ

đè ủủþ

P P (Định lý 1, trang 61, SKG HH11)

 ( ) ( )

( )

d

a b

ý ủủủ Þ ý ủ

P

P (Hợ̉ quả 1, trang 66, SKG HH11)

A

D

2

AD BC AH

B

1 2

ABC

SD AB AC

A

B

C

a

h

2 3 4 3 2

ABC

a S

a h

D

ủủủ

Þ ợ

ủủ = ủủ ủù

C D

2

2

HV

ủủủ

Þ ợủ

ủủù

A

B

D

2

H Thoi

(cạnh)2

đều

(cạnh)

đều

'

( )

d

a

ü ï

^ ïïï

^ ýÞ

ïï

Ë ïïþ

P

d

d

(Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)

2 Chứng minh hai mặt phẳng song song:



a a

bb

a b O

ü ï

ïï

P

P P (Định lý 1, trang 64, SKG HH11)

 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Q Q

a

b

ü

ïï Þ ý ïïþ

P

P



( ) ( )

( )

d

d

b

ü ï

¹ ïïï

ïï

^ ïïþ

P (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)

3 Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

Hai mặt phẳng ( ),a ( )b có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì giao

tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.

( ) ( ) ( ) (

( )

S

a b

ü ï

ïï ïïþ

P P P

(Hệ quả trang 57, SKG HH11)

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )a Nếu mặt phẳng ( )b chứa a và cắt ( )a theo

giao tuyến b thì b song song với a

( ) ( )

( ),

( )

a

b b

ü ï

Ì ïï Þý ï

P

P

a

a (Định lý 2, trang 61, SKG HH11)

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )P d P

b a

ü

ý ï

P

P

=d ,d d (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

( )

( )

d

d

a

a

ü ï

¢

¹ ïïï

¢

ïï

¢^ ïïþ

d d (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)

Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …

4 Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:

Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

( ) {

( ) ( ) }

a

ü ï

^ Ì ïïï

ïï

Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông

góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia

( )

ü

¢ ïïýÞ ^

¢^ ïïþ

P

d d

Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông

góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

( ) ( )

( ) d ( )

d

a b

ü ïïï Þ ^ ý

ï

P

Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

P

d

a

b

ü ï

^ ïïïï

ïï ï

Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào

nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kiA.

( ) ( )

( ) ( )

( ), ( )

P

a

a

a

ü ï

ïï ï

5 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Dùng định nghĩa: a^ Ûb ( )a b¶, =90 0

Hay a^ Ûb ar ^ Ûbr abr.r = Û0 a b cos a br r ( )r,r =0

Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải

vuông góc với đường kia

b//c

ü

ïï Þ ^

ý

ï

Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường

thẳng nằm trong mặt phẳng đó

( )

( ) .

a

b

a

a

ü ï

^ ïï Þ ^ý

ï

Ì ïïþ

Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( )P

và a là đường thẳng không thuộc ( )P đồng thời không vuông góc với ( )P Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên ( )P Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’

( )

'

a üï

ï

 Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được).

6 Chứng minh mp( )a ^mp( )b :

Cách 1: Theo định nghĩa: ( ) ( )a ^ b Û (·( ) ( )a , b ) =90 0 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°

Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):

B

III HÌNH CHÓP ĐỀU

1 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng

nhau

2 Hai hình chóp đều thường gặp:

a Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi

đó:

 ĐáyABC là tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tại S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO· =SBO· =SCO· .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

AB

Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.

 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.

 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

b Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

 ĐáyABCDlà hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tại S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO· =SBO· =SCO· =SDO· .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

IV THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích khối chóp: 1

3

V = B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

C D S

O

B

A

C

D S

O I

B

S

O

2 Thể tích khối lăng trụ: V =B h.

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

cạnh bên

3 Thể tích hình hộp chữ nhật: V =abc

Þ Thể tích khối lập phương: V =a3

4 Tỉ số thể tích: .

.

S A B C

S ABC

=

5 Hình chóp cụt ABC A B C   

( )

3

h

V = B +B¢+ BB¢ Với B B h, ,¢ là diện tích hai đáy và chiều cao.

2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài

đường cao không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2.

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Câu 3. Cho khối đa diện đều  p q;  , chỉ số p là

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số đỉnh của đa diện.

Câu 4. Cho khối đa diện đều  p q;  , chỉ số q là

A Số đỉnh của đa diện B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

A 3 2

12

a

4

a

3 6

a



Câu 6. Cho S ABCD là hình chóp đều Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB a , SA a

C A

B

B’

A B

C

A’

B’

C’

a

b

c

a

S

A

’

B

’ C

’

C

A a3 B

3 2 2

a

C

3 2 6

a

3 3

a

Câu 7. Cho hình chópS ABC có SAABC , đáyABC là tam giác đều Tính thể tích khối chóp

S ABC biết AB a , SA a

A

3 3 12

3 4

3 3

a

Câu 8. Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật Tính thể tích

S ABCD biết AB a , AD2a, SA3a

3 3

a



Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O ABC vuông tại O có OA a OB OC ,  2a là

A.

3 2

3

a

3 2

a

3 6

a

Câu 10.Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giácABCvuông tạiA SA, 2cm,

4 , 3

AB cm AC cm Tính thể tích khối chóp

A 12 3

3 24

3 cm D 24cm3

Câu 11.Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB a AD , 2a Góc giữa

SB và đáy bằng 450 Thể tích khối chóp là

A

3 2 3

a

3 2 3

a

3 3

a

3 2 6

a



Câu 12.Hình chóp S ABCD đáy hình vuông, SAvuông góc với đáy, SAa 3,A C a 2 Khi đó thể

tích khối chóp S ABCD là

A 3 2

2

a

3

a

2

a

3

a



Còn nữa ………

3 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN 7.4

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài

đường cao không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2.

Hướng dẫn giải:

Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần

 Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Hướng dẫn giải:

Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối

20 mặt đều

Câu 3. Cho khối đa diện đều  p q;  , chỉ số p là

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số đỉnh của đa diện.

Câu 4. Cho khối đa diện đều  p q;  , chỉ số q là

A Số đỉnh của đa diện B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

A 3 2

12

a

4

a

3 6

a

 Hướng dẫn giải:

Gọi tứ diện ABCD đều cạnha

Gọi H là hình chiếu của A lên BCD.

3

a

BH 

3

a

2 3 4

BCD

a

S 

3 2 12

ABCD

a V

Câu 6. Cho S ABCD là hình chóp đều Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB a , SA a

2

6

3

a

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của S lên ABCD

2

a

AH 

2

a

2

ABCD

S a

3

2 6

S ABCD

a V

B

S

O

B

A

C

D S

H

Câu 7. Cho hình chópS ABC có SAABC , đáyABC là tam giác đều Tính thể tích khối chóp

S ABC biết AB a , SA a

A

3 3 12

3 4

3 3

a

Hướng dẫn giải:

2 3 4

ABC

a

S 

3

3 12

S ABC

a V

Câu 8. Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật Tính thể tích

S ABCD biết AB a , AD2a, SA3a

3 3

a

 Hướng dẫn giải:

2

2 2

ABCD

S  a a a  V S ABC. 2a3

A

B

C S

B

A

C D S