Hoa hay

-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn, các hệ số của phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đầy Đại số phát triển mạnh.. - Ông là

1 Hệ thức vi- ét

Định lí vi- ét

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của

phương trình

ax2 + bx + c= 0(a≠0)













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Hãy tính : x1+x2=

x1 x2=

thì

Cho phương trình bậc hai :

ax2+ bx +c = 0 (a≠0) có nghiệm thì đều

có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

a

b x

, a

b x

2

1

∆

−

−

=

∆ +

−

=

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

?1

Có thể em chưa biết ?

-Phrăng – xoa Vi-ét (sinh 1540- 1603) tại Pháp

-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn, các hệ số của phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đầy Đại số phát triển mạnh

- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của

phương trình

- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã

- Ông là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng

1 Hệ thức vi ét

Định lí vi- ét

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của

phương trình

ax2 + bx + c= 0(a≠0)













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Ví dụ: Biết các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của chúng

a, 2x2- 9x +2 = 0 ; b, -3x2+6x -1 =0

a, Phương trình 2x2- 9x +2 =0 có nghiệm, theo hệ thức Vi-ét ta có:













=

=

=

=

−

= +

1 2 2 2 9

2 1

2 1

a

c x

x

a

b x

x

b, Phương trình - x2 + 6x - 1 = 0 có nghiệm, theo Hệ thức Vi-ét ta có:













=

−

−

=

=

=

−

−

=

−

= +

3

1 3 1

2 3 6

2 1

2 1

a

c x

x

a

b x

x

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

Lời giải

áp dụng

1 Hệ thức vi ét













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì

Cho phương trình 2x2- 5x+3 = 0

a, Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c

b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình

c, Dùng định lý Vi- ét để tìm x2.

?3 Cho phương trình 3x2 +7x+4=0

a, Chỉ rõ các hệ số a,b,c rồi tính a-b+c

b, Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của phư

ơng trình

c, Tìm nghiệm x2

Nhóm 2 và nhóm 4 (Làm ?3)

Hoạt Động nhóm ( Thời gian 3 phỳt)

Tổng quát 2: Nếu phương trình ax2+bx+c=0

(a≠0 ) có a-b+c = 0 thì phương trình có một

nghiệm x1= -1, còn nghiệm kia là x2= - c a

Tổng quát 1 : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0

(a≠ 0 ) có a+b+c=0 thì phương trinh có môt

nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x c

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

Nhóm 1 và nhóm 3 ( Làm ?2 )

áp dụng

1 Hệ thức vi - ét













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì

Tổng quát 2: Nếu phương trình ax2+bx+c=0

(a≠0 ) có a-b+c = 0 thì phương trình có một

nghiệm x1= -1, còn nghiệm kia là x2= - c a

Tổng quát 1 : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0

(a≠ 0 ) có a+b+c=0 thì phương trinh có môt

nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x c

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

?4 : Tính nhẩm nghiệm của phương trình

a, - 5x2+3x +2 =0;

b, 2004x2+ 2005x+1=0

Lời giải

b, 2004x2+2005x +1=0

có a=2004 ,b=2005 ,c=1

a, -5x2 +3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2

-2 5

Vậy x1=1,

2004

Vậy x1= -1,

=>a-b+c=2004-2005+1=0

=>a+b+c= -5+3+2= 0.

áp dụng

1 Hệ thức vi- ét













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của

phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì

Tổng quát 2: Nếu phương trình ax2+bx+c=0

(a≠0 ) có a-b+c = 0 thì phương trình có một

nghiệm x1= -1, còn nghiệm kia là x2= - c a

Tổng quát 1 : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0

(a≠ 0 ) có a+b+c=0 thì phương trình có một

nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x c

2 Tìm hai số biết tổng và tích của

chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai

số đó là hai nghiệm của phương trình

x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P Gọi một số là x thì số kia là S - x Theo giả thiết ta có phương trình

x(S – x) = P hay x2- Sx + P=0

Nếu Δ= S2- 4P ≥0, thì phương trình (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

áp dụng

Ví dụ1 Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng

27, tích của chúng bằng 180

Giải : Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình

x2_ 27x +180 = 0

Δ = 272- 4.1.180 = 729-720 = 9

12 2

3 27 15

2

3

27

2

1 = + = ,x = − =

x

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

áp dụng

1 Hệ thức vi- ét













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì

Tổng quát 2: Nếu phương trình ax2+bx+c=0

(a≠0 ) có a-b+c = 0 thì phương trình có một

nghiệm x1= -1, còn nghiệm kia là x2= - c a

Tổng quát 1 : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0

(a≠ 0 ) có a+b+c=0 thì phương trình có môt

nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x c

2 Tìm hai sô biết tổng và tích

của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai

số đó là hai nghiệm của phương trình

x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

áp dụng

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

?5 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình

x2-5x+6 = 0

Giải

Vì 2+3=5; 2.3=6 nên x1=2, x2= 3 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2- x+5 = 0

Phương trình vô nghiệm Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và tích bằng 5

Δ=(-1)2 – 4.1.5 = - 19<0.

áp dụng

áp dụng 











=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì

Tổng quát 2: Nếu phương trình ax2+bx+c=0

(a≠0 ) có a-b+c = 0 thì phương trình có một

nghiệm x1= -1, còn nghiệm kia là x2= - c a

Tổng quát 1 : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0

(a≠ 0 ) có a+b+c=0 thì phương trình có môt

nghiệm x1=1, còn nghiệm kia làx c

2= a

2 Tìm hai sô biết tổng và tích của

chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai

số đó là hai nghiệm của phương trình

x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

1 Hệ thức vi- ét

Lời giải

Bài 27/ SGK Dùng hệ thức Vi- ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình a,x2 – 7x+12= 0(1); b, x2+7x+12=0 (2)

Nửa lớp làm câu a Nửa lớp làm câu b

a, Vì 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên x1=3 ,x2=4 là phương trình (1)

b, Vì (-3) +(-4) =-7và(-3).(-4) = 12 nên x1

=-3, x2=-4 là phương trình (2)

áp dụng 











=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì

Tổng quát 2: Nếu phương trình :ax2+bx+c=0

(a≠0 ) có a-b+c = 0 thì phương trình có một

nghiệm x1= -1, còn nghiệm kia là x2= c a

-Tổng quát 1 : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0

(a≠ 0 ) có a+b+c=0 thì phương trinh có môt

nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x c

2= a

2 Tìm hai s ố biết tổng và tích của

chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai

số đó là hai nghiệm của phương trình

x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

Tiết 57 : Hệ thức Vi – ột và ứng dụng Luyện tập

Bài tập 25: Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống

( )

a, 2x2- 17x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

b, 5x2- x- 35 = 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

c, 8x2- x+1=0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

d, 25x2 + 10x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

Hướng dẫn về nhà

-Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích

-Nắm vững cách nhẩm nghiệm : a+b+c = 0

a-b+c = 0

hoặc trường hợp tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số nguyên có giá trị tuyệt đối quá không quá lớn

-Bài tập về nhà số 28 (b,c) trang 53, bài 29 trang 54 SGK, bài

35,36,37,38,41 trang 43,44 SBT

Giáo viên thực hiện

Phan Đình Phương

Bài tập

Cho phương trình: x – 6x + m =0 (*)2

1.Cho m = 5

a) Hãy giải phương trình trên

1 2

b) Tìm nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên Tìm phương trình nhận nghịch đảo các nghiệm của các phương trình trên là nghiệm

2.a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Tính

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau

e) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là cùng dấu

f) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là cùng dấu dương

Ngoài ra ta còn có rất nhiều các bài toán có liên quan đến hai nghiệm

của phương trình các em tự đặt ra và tìm cách giải