Gọi M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD.. c Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AMNB, khi đó tứ giác AMNB là hình gì... Khi đó tứ giác AMNB là hình chữ nhật.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V1 MÔN : TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức.
a) A = ( 3- 1) 6+2 2. 3− 2+ 12+ 18− 128
b) B = ( 2 + 1)( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1)( 232 + 1)
Câu 2: a) Cho các số thực a, b, c thoả mãn cả ba điều kiện:
a + b + c > 0
ab + bc + ca > 0 abc > 0 Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương
b) Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c có tổng: a + b + c =1
thì 1+1+1≥ 9
c b a
Câu 3: Tìm x và y nguyên dương, biết rằng x + y = 50
Câu 4: Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0
Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x + y + 1
Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây cung CD Gọi M, N theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD
a) Chứng minh rằng: CM = DN
b) Chứng min rằng: SAMNB = SACD + SADB.
c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AMNB, khi đó tứ giác AMNB là hình gì Biết rằng AB = 30 cm, CD = 18 cm
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V1 NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN: TOÁN
1
a) A = ( 3- 1) 6+2 2. 3− 2+ 12+ 18− 128
Ta có: 18 - 128 = 18 – 8 2 = ( 4 - 2)2
=> 2 + 12 + 18 − 128 = 2 + 12 + 4 - 2 = ( 3 + 1)2
vì 4 - 2 > 0
=> 6 + 2 2 3 − ( 3 + 1 ) = 6+2 4−2 3 = 6 + 2 ( 3 − 1 ) 2
= 6 + 2 ( 3 − 1 ) = 4 + 2 3 = ( 3 + 1 ) 2 = ( 3 + 1)
Vì 3 - 1 > 0
=> A = ( 3 - 1)( 3 + 1) = 3 – 1 =2
0.25 0.5
0.5 0.5
0.25 b) B = ( 2 + 1)( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1)( 232 + 1)
Vì 2 – 1 = 1 nên ta viết:
B = ( 2 – 1)( 2 + 1)( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1)( 232 + 1)
= ( 22 - 1)( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1)( 232 + 1)
= ( 24 - 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1)( 232 + 1)
= ( 28- 1)( 28 + 1)( 216 + 1)( 232 + 1)
= ( 216-1)( 216 + 1)( 232 + 1)
= ( 232 - 1)( 232 + 1)
= 264 - 1
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
2 a) Vì abc > 0 nên trong ba số a, b, c phải có ít nhất là một số
dương ( Giả sử ngược lại cả ba số đều âm => abc < 0 => Vô lý)
Không mất tính chất tổng quát, ta giả sử a > 0
Mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0 => b + c < 0
Từ a + b + c > 0 => b + c > -a => ( b + c)2 < - a(b + c)
=> b2 + 2bc + c2 < - ab - ac
=> ab + bc + ca < - b2 – bc – c2
=> ab + bc + ca < 0 trái với giả thiết
ab + bc + ca > 0 Vô lý
Vậy b > 0 và c > 0 Suy ra cả ba số a, b, c đều dương
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b) Ta có:
c b a
1 1
1 + + = (a + b + c)(
c b a
1 1
1 + + )
= 3 +
b
c a
c c
b a
b c
a b
a
+ + + + +
= 3 + ( ) ( ) ( )
b
c c
b a
c c
a a
b b
Vì a, b, c là các số dương, nên theo BĐT Cô si ta có:
2
≥ +
a
b b
a
và + ≥ 2
a
c c
a
và + ≥ 2
b
c c b
0.25 0.25 0.25
Trang 3=> 3 + ( ) ( ) ( )
b
c c
b a
c c
a a
b b
a+ + + + + ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
Vậy
c b a
1 1 1
+ + ≥ 9
0.5 0.25
3
Ta thấy ngay 0 ≤ x, y ≤ 50
Từ x + y = 50 ta có: y = 50 + x – 2 50x
= 50 + x – 10 2x
Vì y nguyên nên 2x = 4k2 => x = 2k2, k ∈ Z
Với 2k2 ≤ 50 => k2 ≤ 25 => k có thể nhận các giá trị:0; 1; 2; 3; 4; 5
Lựa chọn k trong các giá trị trên để thoả mãn phương trình ta được
các nghiệm là:
( x; y) = ( 0; 50), (2; 32), (8; 18), (18; 8), (32; 2), (50; 0)
0.25 0.25
0.25 0.25 0.5 0.5
4
Từ: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0
⇔4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = 0
⇔4x2 + 4y2 + 49 + 8xy + 28x + 28y + 4y2 - 9 = 0
⇔( 2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 9
Vì 4y2 ≥ 0, suy ra ( 2x + 2y + 7)2 ≤ 9
⇔( 2x + 2y + 7 + 3)( 2x + 2y + 7 – 3) ≤ 0
⇔( x + y + 5)( x + y + 2) ≤ 0
⇔ x + y + 5 ≥ 0
x + y + 2 ≤ 0 ( Vì x + y + 5 > x + y + 2 )
⇔ S ≥ - 4
S ≤ - 1
Vậy Max S = - 1 khi y = 0 và x = -2
Min S = - 4 khi y = 0 và x = - 5
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5
0.5
0.5 0.5 5
Vẽ hình, viết GT – KL
a) Gọi I là trung điểm của CD IC = ID (1)
=> OI ⊥ CD ( Quan hệ đường kính
và dây cung)
Tứ giác AMNB là hình thang vuông
( AM ⊥ CD, BN ⊥ CD)
=> AM //OI//BN ( cùng vuông góc với CD)
=> OI là đường trung bình của hình thang AMNB
0.5
0.5 1.0
Trang 4=> I là trung điểm của MN
=> IM = IN (2)
Từ (1) và (2) => CM = DN
b)Qua I kẻ đường thẳng song song với AB,cắt AN và BN ở E và F
Xét ∆ IME và ∆ INF có: IME = INE = 1v
IM = IN ( câu a)
MIE = NIF ( đối dỉnh)
=> ∆ IME = ∆ INF ( g.c.g)
=> SIME = SINF
=> SAMNB = SAEFB (3)
Kẻ IH ⊥ AB
Ta có: SAEFB = AB.IH vì tứ giác AEFB là hình bình hành.(4)
Kẻ CK ⊥ AB, DP ⊥ AB
Ta có: SABC = AB.CK và SADB =
2
1
AB.DP
=> SABC + SADB =
2
1
AB(CK + DP) mà IH =
2
1
(CK + DP) hay SABC + SADB = AB.IH (5)
Tù (3), (4), (5) => SAMNB = SABC + SADB
c) Từ GT: AB = 30 cm => OC = 15 cm
CD = 18 cm => IC = 9 cm
Xét tam giác IOC vuông tại I.Theo pitago ta tính được: IO = 12cm
SAMNB = AB.IH ≤ AB.IO = 30.12 = 360
Vậy Max SAMNB = 360 cm2 Khi đó tứ giác AMNB là hình chữ
nhật
0.5
0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25
0.5 0.5 0.5