Gián án ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9 (HAY)

Sở GD & ĐT Hà Nội

Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9 Năm học 2008 - 2009

Thời gian : 120 phút

Bài 1- (4đ) a) Rút gọn: 12 6 3 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3

14 8 3

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì x4  6x3  11x2  6x 1 luôn có giá trị là số chính phơng

: 1

1

P

xy



a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P với 2

2 3

x 

 c) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 3- (4đ) Giải phơng trình :

2

) 4 2 2 5 5 0

a x  x x  

2

b x   xx  x

Bài 4 (6đ)

a) Cho ABC, phân giác AD Biết AB = c, AC = b, Â = 2 ( < 450)

CMR:

c b

bc AD



 2 cos  b) Cho tam giác ABC, các đờng phân giác AD, đờng cao BH, trung tuyến CE đồng quy tại O CMR: AC cosA = BC.cosC

Bài 5 (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có dạng:

2m 1xm 2 y 2 Tìm m để (d) cách gốc O một khoảng lớn nhất?

Sở GD & ĐT Hà Nội

Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đáp án Đề thi chọn học sinh GiỏiNăm học 2008 - 2009

Thời gian : 120 phút Bài 1 - 4đ

2

3 ) 12 6 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3

14 8 3 3.2

2.2 2 3 1

6 2 2 3 6 3 2 1 3 1 3 1

2 2 3

3 6 3 6 0





b) Ta có:

2

2 2

3 1

Do x nguyên nên x2  3x 1 nguyên nên x2  3x 12nguyên  đpcm

Bài 2 - 4đ

a) ĐKXĐ: x, y 0; xy  1 Rút gọn đợc: 2

1

x P

x





 2

2 2 3 2

3 1 ; 3 1 1

2 3



2 3 1 6 3 4

13

4 2 3 1

c) Theo bất đẳng thức Côsi có x  1 2 x(do đkxđ)

1

x x P



  (dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y  1) Vậy maxP = 1  x = 1 và y  1; y0

Bài 3- 4đ

b





S2 S1

D

A

1 2

F O

H E

D

A

C

B

2

2

2 2

2

) 4 2 2 5 5 0

6 9 2 5 2 2 5 1 0

3 0

3

2 5 0

x

x x



 



(ĐK: 5

2

x  )

Vậy phơng trình có nghiệm x = 3

2

(Theo bđt Côsi)

Dấu “=” xảy ra khi 4 2

6

4 10

x

x x

 





 



2

VP x  x   x  

Dấu “=” xảy ra khi x = 6 Vậy VT = VP khi và chỉ khi x = 6  nghiệm của phơng trình là x = 6

Bài 4- 6đ

a) Gọi diện tích các tam giác ADB, ADC, ABC lần lợt là S1, S2,S3

c b

bc

AD

Doóin bc

c b AD

bc

S

c b AD

S S S b

AD S

c

AD

S



















































2 sin

cos sin 2 2

; 2 sin 2

1 ) ( sin 2

1 2

sin

2

1

) ( sin 2

1 sin

2

1

; sin

.

.

2

1

2 1 2

1

b) Vẽ EF  BH Trong BAH có EF là đờng trung bình BAH  EF =1/2.AH

HOC đồng dạng FOE (g.g) 

OE

OC EF

CH



Do AD là tia phân giác của  của AEC

AE

AC EF

CH AE

AC

OE

OC







Trong HAB có H=900  AH = AB.cosA

Trong HBC có H = 900  CH = BC cosC

Thay vào (1) có: AB.BC.cosC = AC AB cosA

BC cosC = AC cosA

Bài 5 - 2đ

Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua nh vậy:

   



 Vậy A(1; -2)

Ta có OH  OA  OH lớn nhất khi bằng OA

 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (d) qua A và vuông góc với OA

Vì A(1 ; -2) suy ra phơng trình đờng thẳng OA là y = -2x và phơng trình (d) là :

1 5

2 2

y x

Sở GD & ĐT Hà Nội

Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm

Đề Kiểm tra chọn học sinh Giỏi lớp 9

Năm học 2008 - 2009

Thời gian : 90 phút

: 1

1

P

xy



a Rút gọn P

b Tính giá trị của P với 2

2 3

x 



c Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 2- (2đ) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì x4  6x3  11x2  6x 1 luôn có giá trị là số chính phơng

Bài 3- (5đ) Giải phơng trình :

a x   x

2

b x   xx  x

Bài 4 (6đ)

a) Cho ABC, phân giác AD Biết AB = c, AC = b, Â = 2 ( < 450)

CMR:

c b

bc AD



 2 cos  b) Cho tam giác ABC, các đờng phân giác AD, đờng cao BH, trung tuyến CE đồng quy tại O CMR: AC cosA = BC.cosC

Bài 5 (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có dạng:

2m 1xm 2 y 2 Tìm m để (d) cách gốc O một khoảng lớn nhất?

Sở GD & ĐT Hà Nội

Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm

Đáp án Đề kiểm tra chọn học sinh Giỏi 9

Năm học 2008 - 2009 Thời gian : 90 phút Bài 1 - 5đ

a ĐKXĐ: x, y 0; xy  1 Rút gọn đợc: 2

1

x P

x



 (2đ)

 2

2 2 3 2

3 1 ; 3 1 1

2 3



(1đ)

c 2 3 1 6 3 4

13

4 2 3 1

(1đ)

d Theo bất đẳng thức Côsi có x  1 2 x(do đkxđ)

1

x x P



  (dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y  1) Vậy maxP = 1  x = 1 và y  1; y0 (1đ)

Bài 2 - 2đ Ta có:

2

2 2

3 1

Do x nguyên nên 2

3 1

x  x nguyên nên x2  3x 12nguyên  đpcm

Bài 3- 5đ

2

2

2

1 0

1 1 1

1

2

x

x x x

x

x

  



        

  



  

 



 





(2,5đ)

Vậy phơng trình có 4 nghiệm x 1;x 2

2

(Theo bđt Côsi)

Dấu “=” xảy ra khi 4 2

6

4 10

x

x x

 





 



VP x  x   x  

Dấu “=” xảy ra khi x = 6

b





S2 S1

D

A

1 2

F O

H E

D

A

C

B

Vậy VT = VP khi và chỉ khi x = 6  nghiệm của phơng trình là x = 6 (2,5đ)

Bài 4- 6đ

a) Gọi diện tích các tam giác ADB, ADC, ABC lần lợt là S1, S2,S3

sin 2 sin ( ) sin 2

sin 2

bc AD

b c



 b) Vẽ EF  BH Trong BAH có EF là đờng trung bình BAH  EF =1/2.AH

HOC đồng dạng FOE (g.g) 

OE

OC EF

CH



Do AD là tia phân giác của  của AEC

AE

AC EF

CH AE

AC

OE

OC







Trong HAB có H=900  AH = AB.cosA

Trong HBC có H = 900  CH = BC cosC

Thay vào (1) có: AB.BC.cosC = AC AB cosA

BC cosC = AC cosA

Bài 5 - 2đ

Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua nh vậy:



 Vậy A(1; -2)

Ta có OH  OA  OH lớn nhất khi bằng OA

 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (d) qua A và vuông góc với OA

Vì A(1 ; -2) suy ra phơng trình đờng thẳng OA là y = -2x và phơng trình (d) là :

1 5

2 2

y x