Đạo hàm của hàm số Chuyên đề 1.. Tính đạo hàm của hàm số A.. Đạo hàm của hàm số tại một điểm.. Các quy tắc tính đạo hàm Nếu hai hàm số u=ux và v=vx có thể viết gọn là hàm u và v có đạo
Trang 1Group: Thủ thuật casio khối A Page 1
Chương 4 Đạo hàm của hàm số
Chuyên đề 1 Tính đạo hàm của hàm số
A Kiến thức cơ bản
1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đó
Giới hạn (nếu có) của tỉ số 0
0
f x f x
x x
khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm của
hàm số đã cho tại điểm x0
Kí hiệu
0
0 0
0
x x
f x f x
f x
x x
Nếu đặt x x x0, y f x( 0 x) f x( )0 khi đó ta có
f x
Trong đó
x : được gọi là số gia của biến số tại điểm x0
y : được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia x tại điểm x0
Số x không nhất thiết chỉ mang dấu dương
x và y là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng x là tích của với x,
y
là tích của với y
2 Đạo hàm của một số hàm thường gặp
1
2
2
( ) ' 0
( ) ' x
1
2 (sin x) ' osx
( cosx)' =-sin x
1 (tan x)'=
cos 1 (cot x) '
sin
c
x c
x x
3 Các quy tắc tính đạo hàm
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) ( có thể viết gọn là hàm u và v) có đạo hàm trên J thì khi đó các hàm số sau cũng có đạo hàm trên J và được tính như sau
Trang 2Group: Thủ thuật casio khối A Page 2
2
(u v) ' u' v'
(u v) ' u'v uv'
Một số trường hợp đặc biệt
(ku) ' ku' với k là hằng số
2
4 Vi phân của hàm số
Cho hàm số f có đạo hàm f’ thì tích f x'( ) x gọi là vi phân của hàm số
y=f(x) kí hiệu là df x( ) f x'( ) d x hay dy=y’dx
5 Đạo hàm cấp cao
a Đạo hàm cấp hai
Cho hàm số f có đạo hàm f’ Nếu f’ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f và kí hiệu là f” tức là (f’)’=f” ta gọi
đó là đạo hàm cấp hai của hàm số
b Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số f có đạo hàm cấp n-1 với n ,n 2 là f (n-1 )
Nếu f (n-1 ) cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm f và kí hiệu
là f (n) tức là (f (n-1) )’=f (n)
với n ,n 2
6 Thủ thuật casio được sử dụng
Tính đạo hàm tại một điểm
Sử dụng lệnh qy
Trong dấu là nhập hàm số, còn điền số mà cần tính đạo hàm tại điểm đó
Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Nhập hàm số y=f(x) và sử dụng lệnh r X= chính là giá trị cần tính giá trị
của hàm số
B Bài tập minh họa
Trang 3Group: Thủ thuật casio khối A Page 3
Câu 1 Đạo hàm của hàm số
5x
2x 1
x
2x
2x
2 2x
2 2x
Đây là bài tập cơ bản nếu tính đạo hàm theo công thức đạo hàm ta tính ngay ra được đáp án B Ở đây hướng tới việc sử dụng casio ta thực hiện như sau
Trước tiên ta tính đạo hàm tại một điểm bất kì, chú ý điểm này thuộc tập xác định của hàm số, dễ thấy hàm số xác định khi x 0 vì thế ta tính đạo hàm tại điểm bất kì là x=5 ( nếu bạn nào tính x=-4 thì máy tính báo lỗi và chú ý không nên thay giá trị đặc biệt như 0;1) Nhập màn hình
Ta có thể lưu kết quả này vào máy tính thông qua lệnh qJ ( các phím A,B,C bất kì) ở đây lưu vào phím A
Hoặc có thể ghi nhanh kết quả ra nháp
Tiếp theo với mỗi đáp án của câu hỏi ta tính giá trị tại x=5 vì ở trên ta đã tính đạo hàm tại x=5
Đáp án A nhập màn hình và lệnh r X=5 ta được
Loại đáp án A
Đáp án B
Bằng với tính đạo hàm tại x=5 ở trên nên chọn đáp án B Bạn nào cẩn thận có thể tính cả đáp án C và D
y x x tại điểm x=3
A 5
2
C 3
2
Trang 4Group: Thủ thuật casio khối A Page 4
Nhập màn hình
Đáp án B
Câu 3 Tính đạo hàm của hàm số sin(2x)
2
6
Trước tiên ta phải chuyển chế độ của máy sang chế độ R ( radian) qua lệnh qw4
Nhập màn hình ta được đáp án C
Câu 4 Đạo hàm của hàm số y = sin4(x2+2x ) là
A 4sin(x2 + 2x )
B 8(x+1)sin3(x2+2x)cos(x2+2x )
D 4sin3(x2 + 2x )
Cách thực hiện tương tự như câu 1, ta tính đạo hàm tại điểm 3
2
( điểm này tùy ý lựa chọn) hoặc các em để chế độ D ( độ) thì thay giá trị x bất kì cũng được
Nhập màn hình
Đáp án A
Đáp án B
Trang 5Group: Thủ thuật casio khối A Page 5
Vậy đáp án B là đáp án đúng
Câu 5 Cho hàm số 4
cos 2x
yx Tính "( )
2
3( 1)
Do máy tính không có chức năng tính đạo hàm cấp 2 tại một điểm ta dử dụng công
thức tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y=f(x) sau đây
0
y x
h
với h 10 ,a a 1, 2, ,16
Trước tiên ta nhớ 5
10
h ( tùy ý) và phím A qua lệnh qJz
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
2
nhập màn hình
Sau đó ta nhớ vào phím B
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
2
nhập màn hình
Trang 6Group: Thủ thuật casio khối A Page 6
Sau đó nhớ vào phím C
Ta sử dụng công thức tính đạo hàm cấp 2 tại một điểm ở trên nhập màn hình
A
ta được
Ta chọn đáp án xem đáp án nào có giá trị như trên
Đáp án A,B,C, D lần lượt là
Vậy đáp án đúng là C
Câu 6 Đạo hàm cấp 1 của hàm số y 1n
x
nN là
A n n1
x
x
Ở bài này nếu bạn nào thuộc công thức chúng ta có thể tính trực tiếp biến đổi
1 1
n
n
x
Chúng ta có thể qui về các trường hợp với n=1,2 để ta tìm đáp án đúng
Với n=1 thì đạo hàm y 1 y' 12
ta loại ngay được đáp án A, C
Với n=2 khi đó y 12 y' 23
loại đáp án D Vậy đáp án đúng là B