Chuong 1 - Ham so va dao ham

Hàm đạ i s ố algebraic function• Hàm số gọi là hàm đạ i s ố nếu nó được xây dựng từ các toán tử đại số cộng, trừ, nhân, chia và lấy căn trên đa thức... Hàm lô-ga-rít logarithmic function

CH ƯƠ NG 1

HÀM S Ố VÀ ĐẠ O HÀM

• Gia tốc thẳng đứng  của mặt đất đo được bởi máy ghi địa là hàm s ố theo thời gian .

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 5

• Ký t ự đạ i di ệ n cho con s ố n ằ m trong mi ề n giá tr ị c ủ a

g ọ i là bi ế n ph ụ thu ộ c (dependent variable).

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 7

• Đồ th ị hàm số trên miền là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có dạng

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 9

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 11

2 CÁC HÀM SỐ S Ơ CẤ P CƠ B ẢN

• Các hàm số lượng giác (trigonometric function)

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 13

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 15

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 19

Hàm l ũ y th ừ a (power function)

• Hàm số có dạng  với  là hằng số được

gọi là hàm l ũ y th ừ a

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 21

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 23

Hàm đạ i s ố (algebraic function)

• Hàm số gọi là hàm đạ i s ố nếu nó được xây

dựng từ các toán tử đại số (cộng, trừ, nhân, chia

và lấy căn) trên đa thức

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 27

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 29

Hàm lô-ga-rít (logarithmic function)

• Hàm lô-ga-rít là hàm số  với cơ số 

là hằng số dương khác 1 (nó là hàm ngược của hàm mũ)

• Hàm lô-ga-rít có miền xác định là 0, ∞ và miền giá trị là −∞, ∞

• Nếu cơ số  > 1 thì hàm lô-ga-rít là hàm tăng

• Nếu cơ số  < 1 thì hàm lô-ga-rít là hàm giảm

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 31

Ví d ụ 1 Phân loại các hàm số sau đây.

(a) 

(b) +

(d) /  = 1 −  + 50

3 GIỚ I HẠN HÀM S Ố, HÀM SỐ LIÊN T ỤC

• Ký hiệu 1  (tính theo mét) là quãng đường đi

được của vật rơi tự do sau khoảng thời gian 

(tính theo giây)

• Định luật Galileo cho ta công thức 1  = 4.9

• Tính v ậ n t ố c của vật tại thời điểm  = 5 1

• Đầu tiên ta tính v ậ n t ố c trung bình trong khoảng

thời gian từ 5 giây đến 5.1 giây

• Có thể x ấ p x ỉ v ậ n t ố c t ứ c th ờ i tại thời điểm  = 5

bằng vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian khác nhau

• Vận tốc tức thời tại  = 5 chính là giới hạn của các vận tốc trung bình nói trên.

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 35

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 37

• Các hàm số sau đây có giới hạn bằng bao nhiêu khi tiến về 1?



• Nếu là một hàm s ố s ơ c ấ p và  thuộc miền xác định của nó thì

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 41

Hàm số c nói là liên t ụ c tại điểm biên trái

 (hoặc tại điểm biên phải 7) của khoảng xác định

nếu

lim

• Nếu không liên tục tại C ta nói gián đ o ạ n tại C.

• Hàm số liên t ụ c trên m ộ t kho ả ng nếu nó liên tục tại

điểm thuộc khoảng đó

• Hàm số sơ cấp liên tục trên mọi khoảng xác định

của nó

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 43

Gi ớ i h ạ n liên quan vô cùng

Đị nh ngh ĩ a 5 Gi ớ i h ạ n b ằ ng vô cùng.

Hàm s ố c nói là có gi ớ i h ạ n b ằ ng vô cùng khi ti ế n v ề , và viết

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 47

• Nếu →Dlim và (hoặc ) trên một khoảng mở chứa C thì

Ví d ụ 3 Tính các giới hạn.

c) lim→G `/ d) lim→ `/b

e) lim→ ln 1 + 1 f) lim→H ln  + 1

5 CÁC QUY T Ắ C TÍNH ĐẠ O HÀM25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 61

Đạ o hàm hàm h ợ p

Đị nh lý 2 Đạ o hàm hàm h ợ p

Nếu / kh ả vi tại và kh ả vi tạithì hàm h ợ p c ũ ng kh ả vi tạivà

1 − /  arctan / i = 1 + //i 

6 CỰ C TR Ị VÀ GIÁ TRỊ LỚ N NHẤT,

NH Ỏ NH Ấ T25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 65

Đị nh ngh ĩ a GTLN, GTNN – global extremum

Hàm số t giá tr ị l ớ n nh ấ t (hay cực đại toàn

cục – global maximum – absolute maximum) tại

điểm C thuộc miền xác định của nếu

C v ớ i m ọ i

Hàm số t giá tr ị nh ỏ nh ấ t (hay cực tiểu toàn

cục – global minimum – absolute minimum) tại

điểm C thuộc miền xác định của nếu

C v ớ i m ọ i

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 67

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 69

Đị nh lý (v ề GTLN, GTNN – extreme value

theorem)

Nếu liên t ụ c trên khoảng đóng , 7 thì đạ t giá

tr ị l ớ n nh ấ t I và giá tr ị nh ỏ nh ấ t 6 trên khoảng đó.Nghĩa là có hai số   thuộc , 7 sao cho

 = 6,  = I và với mọi

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 71

C ự c tr ị đị a ph ươ ng25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 73

Đị nh ngh ĩ a C ự c tr ị đị a ph ươ ng - local extremum

Hàm s ố t c ự c đạ i đị a ph ươ ng (local maximum)

Tìm GTLN, GTNN

• Cực trị (địa phương hay toàn cục) của chỉ có

thể xảy ra tại một trong các loại điểm sau đây

Ví d ụ 7.

a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

trên khoảng 1, ` b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số b[

trên khoảng −2,0

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  trên khoảng −2,3

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 79

Đị nh lý Rolle25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 81

Đị nh lý Đị nh lý Rolle

Cho là hàm số liên tục trên khoảng đóng

, 7 và khả vi trên khoảng mở , 7 Nếu  =

7 thì có ít nhất một C ∈ , 7 sao cho i C = 0

Đị nh lý Lagrange25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 83

Đị nh lý Đị nh lý Lagrange

Cho là hàm số liên tục trên khoảng đóng

, 7 và khả vi trên khoảng mở , 7 Khi đó có ít

nhất một số C ∈ , 7 sao cho

i C = 7 − 7 − 

Tìm c ự c tr ị đị a ph ươ ng

• Cho C là điểm tới hạn của hàm số liên tục và

giả sử khả vi trên một khoảng mở chứa C (có

thể ngoại trừ tại C)

• Khi di chuyển từ trái sang phải điểm C

• N ế u i đổ i d ấ u t ừ âm sang d ươ ng thì C là c ự c ti ể u đị a

ph ươ ng.

• N ế u i đổ i d ấ u t ừ d ươ ng sang âm thì C là c ự c đạ i đị a

ph ươ ng.

• N ế u i không đổ i d ấ u (ngh ĩ a là i d ươ ng c ả hai bên

ho ặ c âm c ả hai bên đ i ể m C ) thì C không ph ả i là c ự c tr ị

đị a ph ươ ng.

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 87

Ví d ụ 8.

a) Tìm cực trị địa phương của  − 3 `

b) Tìm cực trị địa phương của y

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 89

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 91

• Bạn được yêu cầu thiết kế một cái hộp hình trụ

tròn đứng có thể tích 1 lít Bán kính và chiều cao

của hình trụ bằng bao nhiêu để ít tốn nguyên liệu

nhất?

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 93

• Ký hiệu

• là doanh thu khi bán đượ c s ả n ph ẩ m,

• là chi phí để s ả n xu ấ t s ả n ph ẩ m,

• là l ợ i nhu ậ n thu đượ c.

• Trong kinh tế người ta gọi

• i là doanh thu biên (marginal revenue),

• Ci là chi phí biên (marginal cost),

• u i là lợi nhuận biên (marginal profit).

• Khi đạt được lợi nhuận tối đa thì doanh thu biên

s ẽ b ằ ng chi phí biên

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 95

• Giả sử và B  , với

là số triệu máy nghe nhạc MP3 được sản xuất Tìm lợi nhuận thu được là tối đa và mức lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu?

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 97

8 NGUYÊN HÀM25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 101

d) Tìm hàm số biết

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 103

B ả ng các nguyên hàm

25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 105

• Từ các tính chất của đạo hàm, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của nguyên hàm.

Tích phân b ấ t đị nh25/12/2015 C01124 - Ch ươ ng 1 - Hàm s ố và đạ o hàm 107

Đị nh ngh ĩ a Tích phân b ấ t đị nh – indefinite

integral.

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của được gọi là