Cung cấp thêm Chính vì thế, tôi chọn đề tài “ Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ” 2.. Thực trạng dạy và học bộ môn trớc khi đa Phơng pháp tính nhânh đạo hàm của
Trang 1sáng kiến kinh nghiệm
Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm sốphân thức hữu tỉ
I ý nghĩa của đề tài
1 ý nghĩa thực tiễn
Trong thời gian qua, để hoàn thành nhiệm vụ mà Đảng và nhà nớc giao, các trờng PT
đã có nhiều cố gắng để nâng cao chất lợng đào tạo, qua việc dạy học tốt các bộ môn văn hóa cơ bản trong đó có bộ môn toỏn học
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học môn toán học ở trờng PT hiện nay còn nhiều hạn chế Yêu câu đặt ra để năng cao chất lợng dạy học bộ môn trên cơ sở phù hợp với đối tợng học sinh.
Cung cấp thêm
Chính vì thế, tôi chọn đề tài “ Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ”
2 ý nghĩa về mặt xã hội
- Làm thay đổi quan niệm và cách nhìn của xã hội về môn toán, góp phần nâng cao nhận thức của học sinh về bộ môn Qua đó thực hiện tốt mục tiêu giáo dục của nhà nớc là đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài, xây dựng đất nớc giàu đep.
II Thực trạng dạy và học bộ môn trớc khi đa Phơng
pháp tính nhânh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ
1 Đối với giáo viên
Tuy không gặp khó khăn trong truyền thụ kiến thức cơ bản của bộ môn, song đối với học sinh của trờng THPT Lang Chánh việc truyền thụ kiến thức cho học sinh yếu kém và học sinh khá giỏi gặp đôi chút khó khăn
2 Đối với học sinh
Đa số học sinh cha chăm học nên việc tiếp thu gặp nhiều khó khăn.Cha có cái nhìn tổng quan về môn toán
III Những điều kiện cụ thể khi thực hiện đề tài
1 Nhiệm vụ đặt ra
Để nâng cao chất lợng dạy học bộ môn và gây đợc hứng thú đối với học sinh trong các giờ học toán nhiệm vụ đặt ra là giáo viên phải tìm ra những phơng pháp truyền thụ và giảng dạy có hiệu quả phù hợp với đặc trng bộ môn và đặc điểm tâm sinh lí của đối tợng đợc nghiên cứu.
Để cung cấp cho học sinh những kiến thức tinh gọn nhất và thiết thực nhất với nhận thức của học sinh trong quá trình tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ mà đa số hiọc sinh
dễ nhớ dễ làm nhất
2 Điều kiện địa phơng, trờng lớp
Xuất phát từ tình hình thực tế của địa phơng là một huyện miền núi điều kiện kinh tế-xã hội còn khó khăn Tỉ lệ học sinh đi học ở bậc THPT còn thấp, đầu vào tuyển sinh thấp hơn nhiều
so với các địa phơng khác trong tỉnh Đây thực sự là khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy bởi những “lỗ hổng” kiến thức bộ môn là quá lớn.
IV Phần nội dung
Trang 2Phơng pháp tính nhAnh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ
A Cơ sở lí luận
- Dựa vào nền tảng là bảng đạo hàm và các công thức đạo hàm trong SKG, qua “ ”
quá trình dạng dạy và nghiên cứu của bản thân
B Cơ sở thực tiễn.
Qua quá trình giảng dạy chơng V Đại số và giải tích 11 nâng cao, chơng I Giải tích 12 nâng cao Tôi nhận thấy đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm của hàm
số phân thức hữu tỉ Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm cấp cao của hàm số phân thức hữu tỉ và các bài toán tìm cực trị,xét tính đơn điệu , tiệm cận, Giá trị
lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số Vì vậy tôi đa ra Phơng pháp tính nhanh đạo
hàm của hàm số phân thức hữu tỉ Đây là một tài liệu để học sinh học tốt hơn phần kiến
thức tính đạo hàm cảu hàm phân thức hữu tỉ và là tài liệu tham khoả cho học sinh khá giỏi
I Đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất
1 Đạo hàm của hàm số dạng y cx ax d b
+
+
= với ad−bc≠ 0 Dựa trên qui tắc đạo hàm của hàm thơng ta tính đợc
áp dụng: Nếu hàm số là dạng trên thì ta làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Sắp xếp tử thức và mẫu thức theo đúng thứ tự dạng toán
VD: y x x
+
+
=
2
1
đợc sắp lại thành = ++21
x
x y
VD:
x
x
y
−
+
=
2
1 đợc sắp lại thành
2
1
+
−
+
=
x
x y
VD: y x x
−
−
=
2
1
đợc sắp lại thành = −− ++21
x
x y
Bớc 2: Xác định a, b, c, d
Bớc 3: Tính giá trị: ad-bc theo qui tắc chéo chính trừ chéo phụ Bớc 4: Ghi kết quả ' (x d) 2
cb ad y
+
−
=
2 Các ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a,
x
x
y
+
+
=
2
1
; b,
x
x y
−
+
=
2
1
; c,
x
x y
−
−
=
2
1
; d,
x
x y
+
−
=
2
3 1
; e,
5 2
3 1
+
−
=
x
x
2
3
+
=
x
x
g,
x
x
y
−
+
−
= 3 4; h,
x
y
+
=
2 1
BG:
a/ Ta có
x
x y
+
+
=
2
1
= 2
1
+
+
x
x
1 )
2 (
1 1 1 2 '
+
= +
−
=
x x
y ở đây a = 1, b = 1, c = 1, d
= 2
a b
c d
2
) (
'
d cx
cb ad y
+
−
=
Trang 3b/ Ta cóy x x
−
+
=
2
1
= −x x++12 do đó 2 ( 2 ) 2
3 )
2 (
) 1 (
1 1 2 '
+
−
= +
−
−
−
=
x x
= -1, d = 2
c/ Ta có
x
x y
−
−
=
2
1
=
2
1
+
−
+
−
x
x
1 )
2 (
1 ).
1 ( 2 1 '
+
−
−
= +
−
−
−
−
=
x x
c = -1,
d = 2
d/ a = -3, b = 1, c = 1, d = 2
e/ a = -3, b = 1, c = 2, d = 5
f/ a = 3, b = 0, c = 1, d = 2
g/ a = -3, b = 4, c = -1, d = 0
h/ a = 0, b = 1, c = 1, d = 2
Nhận xét nếu a=0 thì hàm số trở thành y cx b d
+
= khi đó ' (cx d) 2
cb y
+
−
c b
+
−
VD: Đạo hàm của hàm số y x
+
=
2
1 bằng ( 2 ) 2
1
+
−
x (ở đây b = 1, c = 1, d = 2) VD: Đạo hàm của hàm số
2 3
3
+
=
x
y bằng ( 3 2 ) 2
9
+
−
x (ở đây b = 3, c = 3, d = 2) VD: Đạo hàm của hàm số =3−−21
x
y bằng ( 3 1 ) 2
6
−
x (ở đây b = -2, c = 1, d = -1) VD: Đạo hàm của hàm số
x
y
5 2
2
−
= bằng ( 5 2 ) 2
10
+
− x (ở đây b = 2, c = -5, d = 2) 3.Bài tập tơng tự
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a/
x
x
y
+
−
=
2
5
2
b/
x
x y
3 2
5 2
+
−
5 4
5 2
+
−
−
=
x
x
x
x y
3 1
2
+
x
x y
−
−
=
1 f/
x
x y
3 1
2
−
−
=
g/ y x x
3
1
2
−
−
−
−
−
= 12 1 i/ y = x x−1
j/ y x
2
1
−
= k/ =−31+2
x
y l/ = 1+2
x y
4 ứmg dụng
- Xét tính đơn điệu của hàm số
- Tính đạo hàm của hàm số dạng y cx ax d b
+
+
= với ad −bc≠ 0
II Tính đạo hàm cấp n của hàm số dạng
b ax
y
+
= 1 với a ≠ 0
1 Bài toán : Tính đạo hàm cấp n của hàm số y ax b
+
= 1 với a≠ 0 Bg: Đặt
b a
c=
Trang 4Ta có ( ( ))2
1 1 1
1 1
'
c x a a
b x a b ax
y
+
−
=
′
+
=
′
+
=
( )
2 2 ! 1
1
)'
'
(
''
c x a
y
y
+
−
=
=
Bằng qui nạp ta chứng minh đợc ( ) ( )
! 1
1
+
+
−
n
c x
n a
y
2 Công thức tính
Chú ý:
3 Các ví dụ:
VD1: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2009 của hàm số = 1+2
x y
Bg: Ta có a = 1, b = 2 nên ( )
2
2
2 2
! 2 1 1
1
+
= +
−
=
′′
x x
y
Tơng tự : ( )
3
2
6 2
! 3 1 1
1
+
−
= +
−
=
′′′
x x
4 4
2
24 2
! 4 1 1
1
+
= +
−
=
x x
( ) ( )
5
5
2
120 2
! 5 1
.
1
1
+
−
= +
−
=
x x
y
và ( ) ( )
2009 2009
2
! 2009 1 2
! 2009 1 1
1
+
−
= +
−
=
x x
y
VD2: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 2009 của hàm số
3 2
1
+
=
x y
Bg: Ta có a = 2, b = 3 , c = 3/2 nên ( )
2
2 / 3
1 2
/ 3
! 2 1 2
1
+
= +
−
=
′′
x x
y
Tơng tự : ( )
3
2 / 3
3 2
/ 3
! 3 1 2
1
+
−
= +
−
=
′′′
x x
4 4
2 / 3
12 2
/ 3
! 4 1 2
1
+
= +
−
=
x x
Vậy đạo hàm cấp n của hàm số
b ax
y
+
= 1 với a ≠ 0 là ( ) ( )
1
! 1
1
+
+
−
n n
a
b x
n a
y
Nếu y ax k b
+
= với a.k ≠ 0 thì ( ) ( )
! 1
+
−
n
c x
n a
k
Nếu
d cx
b ax
y
+
+
= với ad−bc≠ 0 thì ' (cx d) 2
cb ad y
+
−
1 ! 1
+
+
−
−
n
e x
n a
bc ad
c d
e=
Trang 5và ( ) ( )
2009 2009
2 / 3
! 2009 1 2
1 2
/ 3
! 2009 1 2
1
+
−
= +
−
=
x x
y
VD3: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, n của hàm số =−31+1
x y
Bg: Ta có a = -3, b = 1 , c = -1/3 nên ( )
2
3 / 1
2 3
1 3
/ 1
! 2 1 3
1
−
−
=
−
−
−
=
′′
x x
y
3
3 / 1
6 3
1 3
/ 1
! 3 1 3
1
−
−
=
−
−
−
=
′′′
x x
4 4
3 / 1
24 3
1 3
/ 1
! 4 1 3
1
−
−
=
−
−
−
=
x x
và ( ) ( )
n n
n n
x
n x
n y
3 / 1
! 1 3
1 3
/ 1
! 1 3
1
−
−
−
=
−
−
−
=
VD4: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, n của hàm số =2 −+13
x
x y
Bg: Ta có a = 2, b = 3 , c = 1, d = -1 nên ( )
3
) 1 (
! 2 ) 1 ( ).
5 ( 1
! 2 1 1
1 3 ) 1 (
2
−
−
−
=
−
−
−
−
=
′′
x x
y
Tơng tự : ( 1 ) 4
! 3 ).
5 (
−
−
=
′′
x
5
4
) 1 (
! 4 1 ).
5 (
−
−
−
=
x
và ( ) ( )
1
1
) 1 (
! 1 ).
5
+
−
−
−
n
x
n y
VD5: Tính đạo hàm cấp 2, 3, n của hàm số
2 3
1
2 − +
=
x x y
1 1
1 2 1
1 2
3
1
=
x x
x x x
x y
do đó ′′= ( − )3 −( − )3
2
1 1
1
! 2
x x
y
Tơng tự : ( ) ( )
−
−
−
−
−
=
2
1 1
1
! 3
x x
( ) ( )
−
−
−
−
−
2
1 1
1
n n
n n
x x
n y
VD6: Tính đạo hàm cấp 2, 3, n của hàm số
2 3
3 2
2 − +
+
=
x x
x y
3 2 2
3
3 2
+
= +
−
+
=
x
B x
A x
x
x x
x
x
Đồng nhất hai vế của (*) ta đợc : 2x+3 =(A+B)x+ (-2A-B) mọi x
Trang 6
=
−=
⇔
=+
=−−
⇔
7
5
2
3
2
B
A
BA
BA
do đó 51+ 7−2
−
−
=
x x
Nên ( )
−
+
−
−
=
2
1 7 1
1 5
! 2
x x
y
Tơng tự : ( )
−
− +
−
−
−
=
2
) 1 (
7 1
) 1 (
5
! 3
x x
( ) ( )
−
− +
−
−
−
2
) 1 (
7 1
) 1 (
5
n n
n n
x x
n y
4.Bài tập áp dụng:
Tính đạo hàm cấp 1,2,3,4,n của các hàm số sau
1, a/
2
1
−
=
x
x
y
3 2
1
+
1
1
+
−
=
x
x
y
5 2
1
−
x
y=1 f/
x
y
−
2 a/ = −−12
x
3 2
2
+
= c/ = −−2+1
x
5 2
3
−
= e/ y=−x1
f/ y x
−
3 a/
6 5
1
2 + +
=
x x
4
1
2 −
=
x
6 5
1 2
2 + +
−
=
x x
x
6 5
1
2 − +
−
=
x x
x y
4 a/
2
3
−
−
=
x
x
x
x y
3 2
2
+
+
1
2
+
−
+
−
=
x
x
x
x y
5 2
3 2
−
+
x
x
y= − +1
f/
x
x y
−
−
III Đạo hàm của hàm số dạng
' '
2
b x a
c bx ax y
+
+ +
= với a.a' ≠ 0
1 Bài toán : Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số
' '
2
b x a
c bx ax y
+
+ +
= với a.a' ≠ 0
bằng
2
) ' ' (
'
' '.
a
b g a a
a
+
−
−
Bg:
Đặt g( )x =ax2 +bx+c
Ta có
' '
'
' '
' '
' ' ' ' '
2
2
2
b x a
c a
b b a
b a a
a b b a x a
a b x a
c bx ax
y
+
+
− +
− +
− +
= +
+ +
' ' ' ' '
' '
a
b g a
a b
b
a
x
a
a
+
− +
−
+
Trang 7Do đó
2
) ' ' (
'
' '.
'
'
b x a a
b g a a
a
y
+
−
−
=
2 Phơng pháp:
Bớc 1: Xác định a a'
Bớc 2: Tính
−
'
'
a
b
g (Chú ý: -b'/a' là nghiệm của mẫu thức)
Bớc3: Tính
2
) ' ' (
'
' '.
'
'
b x a a
b g a a
a y
+
−
−
=
3 Các ví dụ:
VD1: Tính đạo hàm của hàm số sau:
2
5 3
2
+
+ +
=
x
x x y
Ta có a = a' = 1
g(-2)= 3
Vậy ( 2 ) 2
3 1
'
+
−
=
x y
VD2: Tính đạo hàm của hàm số sau:
2
5 3
2 2
−
+ +
=
x
x x y
Ta có a = 2, a' = 1, g(2) = 19, do đó ( 2 ) 2
19 2
'
−
−
=
x y
VD3: Tính đ ạo hàm cảu hàm số sau:
1
5 3
2 2
−
+ +
−
=
x
x x y
Ta có a = -2, a' = 1, g(1) = 6, do đó ( 1 ) 2
6 2
'
−
−
−
=
x y
VD4: Tính đ ạo hàm cảu hàm số sau:
1
5 3
2 2
−
−
+ +
=
x
x x y
Ta có a = 2, a' = -1, g(-1) = 4, do đó 2 ( 1 ) 2
4 2
) 1 (
4 ).
1 ( 2 '
+ +
−
=
−
−
−
−
−
=
x x
y
VD5: Tính đạo hàm của hàm số sau:
2 2
5 3
2
+
+ +
=
x
x x y
Ta có a = 1, a' = 2
g(-1)= 3
6 2
1 ) 2 2 (
3 2 2
1
'
+
−
= +
−
=
x x
y
Vậy hàm số
' '
2
b x a
c bx ax y
+
+ +
2
) ' ' (
'
' '.
'
'
b x a a
b g a a
a y
+
−
−
=
Trang 8VD6: Tính đạo hàm của hàm số sau:
1 2
5 3
3 2
−
+ +
=
x
x x y
Ta có a = 3, a' = 2
4
29
2
1
=
g
Vậy
2
2 2 ( 2 2 )
29 2
3 ) 1 2 ( 4
29 2 2
3
'
+
−
=
−
−
=
x x
y
4 Bài tập áp dụng
1 Tính đạo hàm của các hàm số sau
a/
1
5 3
2
−
+ +
=
x
x
x
1
5 3
2
+
+ +
=
x
x x
1
2 2
2
+
+ +
=
x
x x
2
5 3
2 2
−
+ +
=
x
x x
e/
1
5 3
2 2
−
+ +
=
x
x x
2
5 3
3 2
−
+ +
=
x
x x
1 2
5 3
3 2
−
+ +
=
x
x x
2 3
5 3
4 2
−
− +
=
x
x x y
Nhận xét: Với việc tìm đạo hàm của hàm số bậc hai trên bậc nhất nói trên
-Học sinh dễ dàng tính đợc cực trị của hàm số (nếu có)
-Học sinh có thể tìm đợc tiệm cận xiên dễ dàng từ công thức
' '
'
' '
' '
' ' ' '
'
2
2
2
b x a
c a
b b a
b a a
a b b a x a
a b
x
a
c bx
ax
y
+
+
− +
− +
− +
= +
+
+
=
V Kết luận: Sỏng kiến này giỳp học sinh nắm bắt được dễ dàng bài toỏn tớnh đạo hàm của hàm số phõn thức hữu tỉ hay gặp, giỳp học sinh cú được cỏch nhỡn mới về mụn toỏn Với sỏng kiến này tụi đó thực hiện và cú hiệu quả tốt ở cỏc lớp đang dạy và ụn thi đại học Nú khụng chỉ phục vụ việc tỡm dạo hàm mà cũn giỳp học sinh xột được tớnh đơn điệu cuả hàm số phõn thức hữu tỉ được dễ dàng cũng như giỳp học sinh giải quyết tốt bài toỏn tỡm tiệm cận xiờn của đồ thị hàm số phõn thức bậc hai trờn bậc nhất
