NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG HIỆU ỨNG ZEEMAN

NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG HIỆU ỨNG ZEEMAN

Phần: MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Khoa học ngày càng phát triển Nó đòi hỏi con người không ngừng học hỏi và nghiên cứu Đó cũng là quan điểm chung của các nhà bác học Còn đối với các nhà vật lý học điều đó vô cùng cần thiết Chẳng hạn lúc đầu, các nhà vật lý học đã đưa ra một hệ thống lý thuyết dựa trên nền tảng vững chắc của cơ học Newton và lý thuyết điện từ của Maxwell Vật lý học cổ điển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm Nó là một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ Nhưng đến thế kỷ XIX, vật lý học cổ điển không thể giải thích được các hiện tượng vật lý như: bức xạ của vật đen tuyệt đối, sự tách vạch quang phổ của nguyên tử Hydro trong trường ngoài

Sự ra đời của cơ học lượng tử chính là lý thuyết cơ sở đầu tiên giúp con người tìm hiểu và chinh phục thế giới vi mô Ngày nay, một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của vật lý hiện đại là thế giới vi mô Chính vì vậy, môn cơ học lượng tử đã trở thành một học phần quan trọng không thể thiếu đối với sinh viên chuyên ngành vật lý

Trong thời gian học môn này có một vấn đề đã thật sự thu hút tôi đó là: khi đặt nguyên tử Hydro trong từ trường ngoài thì mức năng lượng của nó bị tách thành nhiều mức khác nhau và gây ra sự tách vạch quang phổ Hiện tượng đó được gọi là “hiệu ứng Zeemann” Vấn đề này có đề cập đến trong chương trình học, nhưng chưa đáp ứng nhưng vấn đề mà tôi cần biết như: mức năng lượng và hàm sóng của nó được tính cụ thể như thế nào? Để giải quyết vấn đề trên, tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề tài:

“Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hydro trong từ trường hiệu ứng Zeemann” Đó là một vấn đề khó khăn và phức tạp, do đó ta chỉ giải đến gần đúng bậc

một mà thôi

2 CÁC GIẢ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI:

- Nắm vững lý thuyết nhiễu loạn

- Hiểu lý thuyết biểu diễn

- Vận dụng lý thuyết nhiễu loạn đề giải bài toán hiệu ứng Zeemann

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Đây là một đề tài thuần túy về lý thuyết Do đó phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp lý thuyết

4 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

• Nghiên cứu lý thuyết: lý thuyết nhiễu loạn và lý thuyết biểu diễn

• Tìm hiểu về hiệu ứng Zeemann Vận dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann

• Sử dụng tích phân Beta - Euler để tính mức năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hydro khi đặt trong từ trường

• Viết báo cáo

Phần: NỘI DUNG

Chương 1

SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

1.1 Biểu diễn các trạng thái lượng tử:

1.1.1 Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“r - biểu diễn”):

Để biểu diễn trạng thái của hệ, người ta sử dụng hàm Ψa( trρ, )

Trong đó chỉ số a xác định trạng thái của hệ lượng tử (trạng thái a) Do đó, chỉ số a được gọi là chỉ số trạng thái

Việc mô tả trạng thái nhờ hàm sóng phụ thuộc toạ độ được gọi là hàm sóng trong biểu diễn toạ độ hay “r- biểu diễn” Bình phương modun hàm sóng trong biểu diễn toạ độ bằng mật độ xác suất tìm thấy hạt ở tọa độ đang xét

Đầu tiên ta nghiên cứu trạng thái ở một thời điểm nhất định nên trong biểu diễn hàm sóng ta không cần viết phần phụ thuộc vào thời gian mà chỉ cần viết phần phụ thuộc vào tọa độ Ψa( rρ) mà thôi

Nếu toán tử Lˆ biểu diễn biến số động lực Lthì các hàm riêng của nó lập thành một hệ đầy đủ:

Ψa( rρ)=∑

n

CnUn( rρ) Với Cn: hệ số phân tích

Un( rρ): hàm riêng của toán tử

Như vậy, để mô tả trạng thái của hệ lượng tử ta có thể mô tả bằng hàm sóng trong biểu diễn toạ độ hay trong các biểu diễn khác

Sau đây ta sẽ xét hàm sóng trong biểu diễn xung lượng và biểu diễn năng lượng

2.2.2 Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E - biểu diễn”):

Để đơn giản, ta xét trạng thái của hạt chuyển động trong trường ngoài, năng lượng của hạt là âm và do đó giá trị của năng lượng là gián đoạn

Nếu En: là trị riêng của toán tử năng lượng.

Un( rρ): hàm riêng tương ứng trị riêng E

n

Thì theo tính chất đủ của hệ hàm riêng ta có:

Ψa( rρ)=

∑

n

CnUn( rρ) Các hệ số phân tích Cn là hàm sóng mô tả trạng thái a của hạt trong “E - biểu diễn” Do đó

Nhân hai vế của (1.1) với Um*( rρ) và lấy tích phân hai vế ta được

nmkhi1

b Điều kiện chuẩn hóa trong “E - biểu diễn”:

Nếu hàm sóng trong biểu diễn toạ độ được chuẩn hoá thì:

∫Ψa*( rρ)Ψ

a( rρ) d( rρ) = 1 (1.4) mà: Ψa( rρ)=∑

n

ϕa(En) Un( rρ) ⇒ Ψa*( rρ)=∑

m

ϕa*(Em) Um*( rρ) Thay vào (1.4):

Đẳng thức (1.5) chính là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng trong “E - biểu diễn”

1.1.3 Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng:

Trị riêng của tóan tử xung lượng có phổ liên tục nên hàm riêng ứng với trị riêng Pρ

ppkhi

ppkhi0

ρρ

Tương tự như trong “E - biểu diễn”, hàm sóng mô tả trạng thái của hệ lượng tử trong “P - biểu diễn” cũng được viết là ϕa(pρ)

Do đó công thức chuyển đổi hàm sóng từ “P-biểu diễn” sang “r-biểu diễn” như sau:

2

1 2 3

e (p, )

ρ η

1.2 Dạng toán tử trong các biểu diễn :

Cho toán tử tuyến tính A)

tác dụng lên hàm Ψa( rρ) ( trạng thái a) sẽ cho hàm

Ψb( rρ)(trạng thái b) như sau:

b

ϕ Un(ρr) (1.7) Nhân 2 vế phương trình (1.7) với Um*(rρ) và lấy tích phân theo

ρ

ρ

Un( rρ)d( rρ)

trong “L - biểu diễn” Nếu ta kí hiệu

an=ϕa(Ln), bm=ϕb(Lm)

(1.8)⇔∑

n

Amnan = bm Với m, n là chỉ số hàm riêng của toán tử Lˆ Nếu Lˆ có k hàm riêng thì ta có

∑

=

k 1 n

Amnan = bm (m=1, 2, 3 k)

Ta có hệ phương trình:

A11a1 + A12a2 + +A1kak = b1 (m=1)

A21a1 + A22a2 + +A2kak = b2 (m=2) (1.9)

Ak1a1 + Ak2a2 + +Akka = bk (m=k) Các hệ số Amn đặt trưng cho toán tử A)

, được gọi là phần tử ma trận A)

trong

“L - biểu diễn” Như vậy, toán tử A)

được biểu diễn bằng một ma trận vuông có số hàng bằng số cột , bằng số hàm riêng hoặc trị riêng k của toán tử L)

A) = (A) =

AA

A

AA

A

kk 2

1

k 22

21

k 12

aa

k

2 1

bb

k

2 1

Ta thấy, (1.9) là dạng khai triển của phương trình ma trận

(A)(ϕa(Ln)) = (ϕb(Lm)) Hay phương trình biến đổi hàm sóng có dạng:

A)

ϕa(Ln) = ϕb(Lm) (1.10) Với A)

, ϕa(Ln), ϕb(Lm) là các ma trận

v Bây giờ ta xét toán tử A)

trong biểu diễn của chính nó:

Lúc này Un(rρ) là hệ hàm riêng của toán tử A)

Ta sẽ có:

Amn = ∫Um*( rρ) A)

Un(rρ)d( rρ)

⇒ Amn=Anδmn

⇒ Amn =

nmkhi0

nmkhi

A) = (A) =

A 0

0

0 0

A

k

2 1

Sau đây ta nghiên cứu toán tử năng lượng trong biểu diễn của chính nó

v Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng:

00

E0

0

0E

k

2 1

Ta thấy rằng trong biểu diễn năng lượng, toán tử năng lượng chỉ là phép nhân với năng lượng Thật vậy:

Tương tự (1.10) phương trình biến đổi hàm sóng cho ta:

n

H mn ϕb (En) tất cả các số hạng đều bằng 0 trừ số hạng có m=n (1.12) ⇔ϕb(Em )=Hmϕa(Em )=Emϕa(Em )

⇔E m ϕa (Em) = ϕb (Em) Hay Eϕa (E) = ϕb (E) (1.13) Từ (1.11) và (1.13) suy ra:

H)

ϕa (E) = Eϕa (E)

nghĩa là H)

chỉ là phép nhân với năng lượng

v Toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng:

Phương trình biến đổi hàm sóng của toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng là :

)p()p(

Pˆρϕa ρ =ϕb ρMặt khác, mối liên hệ các hàm sóng trong biểu diễn xung lượng cho ta:

p a p ' p

'

p r Pˆ ( )drP

p( ) ( )drP

ρρρρ

=Pρδ(pρ−pρ') ⇒ ϕb(pρ')=

p)'pp()p(

P a

p

ρρρρρ

Hay ϕb(pρ)=

)p(

Pρϕa ρTừ đó ta suy ra:

Pˆρϕa(pρ)=

)p(

Pρϕa ρTức là trong biểu diễn xung lượng, toán tử xung lượng chỉ là phép nhân với xung lượng mà thôi Ta lưu ý rằng toán tử xung lượng có phổ liên tục nên nó là một ma trân chéo liên tục trong biểu diễn xung lượng

v Toán tử toạ độ trong biểu diễn xung lượng:

Xét hạt chuyển động trên trục ox.Trong “px-biểu diễn “ phương trình biến đổi hàm sóng của toán tử tọa độ xˆ là :

xˆϕa(px)= ϕb(px) (1.14)

Mối liên hệ hàm sóng cho ta:

ϕb(p'x)=∫χ

x x x p p '

x p

ψMà ta có: (x)

x p

⇒ x (x)

x p

ψχ

⇒ p'xpX= ( x )

) x (

* '

p x

p i (

x p x

* '

∂

∂

− ηĐưa vào biểu thức ϕ ( p ' ) ta được:

)'p( x

b

x p x

p i ( x

∂

∂

− η δ ( px− p 'x)dpx =−iη∫ϕ

x p x

a ( p )d[δ(px −p'x)]

)'

p

)p(

) ' p p ( x − x

δ dpxChú ý rằng tích phân lấy theo px và trong miền biến thiên của px có chứa giá trị p’x Như vậy thì số hạng đầu của vế phải bằng không (theo tính chất hàm denta)

)'p( x

η

1.3 Biểu thức giá trị trung bình của biến số động lực dưới dạng ma trận:

Giá trị trung bình L của toán tử L )

ở trạng thái a biểu diễn bởi hàm sóng Ψcó dạng

Nếu xét hàm sóng đã chuẩn hoá thì:

L ( )L a( )r d( )

)

* a

ρρ)ρ

a ρr C U (ρ)Thay vào (1.15) ta được:

=∫∑ ( ) ∑ ( ) ( )

m

m m

* n n

*

nU r L C U r d rC

*

nC L

C (1.16) Vậy (1.16) có thể viết dưới dạng ma trận:

k 22

21

k 12

11

L

LL

LL

L

LL)L( =

Với các phần tử được tính:

ij U r LˆU ( )d( )L

ρ

ρρρ

=ϕ

)M(

)M(

)M())

M(()(

k a

2 a

1 a

a a

và (ϕ*a)=(ϕ*a(M))=(ϕ*a(M1) ϕ*a(M2) ϕ*a(Mk))

1.4 Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian, phương trình Heisenberg viết dạng ma trận

Trong các chương trước ta xét sự biến đổi trạng thái theo tọa độ, tức là sự phụ thuộc của hàm sóng theo tọa độ Bây giờ ta xét sự biến đổi hàm sóng theo thời gian

Bây giờ ta phân tích hàm sóng Ψ( )ρr t theo các trị riêng củaUn( )ρr

n n

ρρ

t i t , r

Thay vào (1.17) ta có :

ti)tr

n n n

ρη

ρ)

∑

∂

∂

=ψ

Nhân 2 vế với Ψm*(ρ) và lấy tích phân theo r

tixdrUHrUt

n n n

n

* m n

ρρρη

ρ)ρ

(vì Cm chỉ phụ thuộc vào thời gan) Nếu Un(r) là các hệ hàm riêng của toán tử năng lượng thì (1.18) trở thành:

( ) ( )

dt

tdCitC

t(C

m

e.0Ct

Vậy ở trạng thái dừng hàm sóng phụ thuộc vào thời gian có dạng (1.19)

Bây giờ ta sẽ tìm phương trình Heisenberg viết dạng ma trận

Lấy đạo hàm của ( )L theo công thức (1.16) theo thời gian:

dt

dCLCC

Ldt

dCC

t

LCdt

nm

n m

* n m

* n

dt

dCiCH

* n

Ldt

dCL

n m

m

* n m

n m

n

*

nH L CC

m n

n m

m

*

nH L CC

m m n

n m

* n

m m

n m

n

* n m

n m

nm

* n

CHLCi

1

CLHCi

1Ct

LCdt

L

d

λ λ λ

λ λ λ

LCdt

LC







−+

và H) Theo công thức trị trung bình

dt

L

d ΨΨ

=dt

Lddt

HLLHi

1dt

dLdt

Ld

nm nm

HLLHi

1dt

dLdt

Ld

−+

Lý thuyết đầy đủ về hiệu ứng Zeemann dị thường hay hiệu ứng Zeemann thường chỉ có thể được xây dựng trên cơ sở lý thuyết Derac, trong đó không thể không xét đến hiệu ứng tương đối tính, mà cả hiệu ứng spin nữa Để hiểu rõ bản chất này, chúng ta nhớ lại rằng khi nguyên tử đặt trong từ trường, năng lượng toàn phần của nó gồm hai phần : nội năng của nguyên tử và năng lượng tương tác của mômen từ nguyên tử với từ trường Độ lớn của năng lượng tương tác được xác định bằng cường độ từ trường, sự định hướng và độ lớn của mômen từ Nếu từ trường không lớn lắm, tương tác spin quĩ đạo nguyên tử lớn hơn tương tác của mômen từ quĩ đạo và mômen từ spin xét riêng lẻ trong từng trường hợp Với điều kiện đó, mối liên kết giữa mômen từ spin và mômen từ quĩ đạo không bị phá vỡ nghĩa là trong từ trường liên kết Russell -Saunders vẫn được thực hiện Ta đã biết trong liên kết này, tất cả các spin của electron liên kết với nhau tạo thành spin toàn phần Sρ

của nguyên tử , còn tất cả các mômen quĩ đạo của các electron liên kết với nhau tao thành mômen quĩ đạo toàn phần Lρ

của

nguyên tử và mômen toàn phần của nguyên tử Jρ Lρ Sρ

+

= Như vậy Sρ

tương tác với Lρnghĩa là trong nguyên tử có tương tác spin quĩ đạo Tương ứng với Jρ

mômen toàn phần µρ của nguyên tử tương tác với từ trường Nếu lượng tử số của mômen toàn phần là j thì số các hướng khả dĩ của mômen từ đối với từ trường sẽ là 2j+1 Mỗi hướng ứng với một năng lượng tương tác Do đó mức năng lượng của nguyên tử trong trạng thái có mômen toàn phần j khi đặt trong từ trường sẽ tách thành 2j+1 mức con Nếu từ trường yếu năng lượng tương tác của mômen từ với từ trường sẽ nhỏ hơn năng lượng tương tác spin quĩ đạo Do đó độ tách của mức năng lượng thành 2j+1 mức con khi đặt trong từ trường sẽ nhỏ hơn độ tách đa tuyến tự nhiên gây bởi tương tác spin quĩ đạo Tương tác của từ trường với nguyên tử trong trường hợp này được coi như một nhiễu loạn Hiện tượng tách vạch quang phổ trong từ trường yếu được gọi là hiệu ứng Zeemann dị thường Số vạch tách ra có thể lớn hơn 3 cụ thể khi đặt nguyên tử Natri trong từ trường yếu, mỗi vạch kép đôi sẽ tách thành 10 vạch

Nhưng nếu mômen spin toàn phần của nguyên tử bằng không nghĩa là:

2.2 Giá trị năng lượng của nguyên tử khi đặt nó trong từ trường ngoài

2.2.1 Sự tách mức năng lượng khi đặt nguyên tử trong từ trường:

Xét một nguyên tử hoá trị 1 nằm trong từ trường ngoài đều Electron hoá trị của nguyên tử chịu tác dụng đồng thời của từ trường ngoài và của điện trường gây bởi hạt nhân nguyên tử và các lớp electron bên trong Giả thiết điện trường xuyên tâm và gọi U(r) là thế năng của electron trong trường này Hướng của từ trường dọc theo trục

oz và lấy vectơ A dưới dạng:

e U eV ) A c

e P ( m 2

1

ta thu được phương trình Pauli

χψ σ +

+ ψ + χ +

− ψ + ψ

e c m 2

e )

y x ( c m 8 e

) x

y y x ( c m 2

e i ) ( U m

2 t i

z 0 0

2 2 2 2 0 2

0 2

2

η η

η η

e

z z 0

Trong trường hợp có thể bỏ qua số hạng chứa χ 2, ta có thể cho số hạng biểu diễn tác dụng của từ trường lên electron là thế năng U∆ của lưỡng cực từ với mômen

µρ

µˆ= Lˆ ˆ )

cm2

e

z z 0

σ +

−

ψ

=

Trong đó E là năng lượng trạng thái dừng

Thay (2.8) vào (2.6) ta được:

Hˆ0ψ+ χ Lˆ + σ ˆ ) ψ

c m 2

e

z z 0

Trong “Sz -biểu diễn “ ta có:

1 1 2

1

10

01

ψ

−

ψ+

=ψ

ψ

−

=ψ

−

χ + ψ

ψ

= ψ +

χ + ψ

2 2 z

0 2 0

1 1 z

0 1 0

E ) L ( c m 2

e

Hˆ

E ) L ( c m 2







ψ

=ψ

m n m n

0''

ψ'nλm, E= '

m n

E λ = 0

n

E λ+ ( m l )

c m 2

e 0

e 0

−

2

Sz =−η (2.13’) Các nghiệm này chứng tỏ rằng, nếu bỏ qua số hạng chứa χ2 các hàm sóng sẽ không đổi, điều đó có nghĩa là nguyên tử không bị biến dạng khi có từ trường ngoài tác dụng Còn đối với năng lượng, nó bắt đầu phụ thuộc vào sự định hướng của mômen từ đối với hướng của trường, như vậy phụ thuộc vào lượng tử sôï m Kết quả là các mức năng lượng khi không có từ trường thì trùng nhau, nhưng khi có từ trường tác dụng thì tách ra ( suy biến theo m bị khử)

Ta xét sơ đồ tách mức của các số hạng S và P Sự tách mức của P là do xét đến tất cả các giá trị khả dĩ của m khi λ=1 (m=1, -1, 0) Sự tách của mức S (λ=0, m=0) chỉ do spin của electron gây ra Đó là kết quả khá quan trọng của lý thuyết về spin của electron, đó chính là sự tách vạch quang phổ mà Stern và Gerlach đã quan sát thấy trong thí nghiệm

Sự tách vạch quang phổ dẫn đến kết quả là các dời chuyển khả dĩ tăng lên và

do đó cả số các vạch quang phổ quan sát được cũng tăng lên Đó chính là hiệu ứng Zeemann thường

2.2.2 Các mức năng lượng nguyên tử

Bây giờ ta chuyển sang nghiên cứu các tính chất của các nguyên tử nhiều electron Nguyên tử nhiều electron là một hệ gồm các hạt nhân và electron Đối với hệ này, năng lượng toàn phần, mômen xung lượng toàn phần và hình chiếu của nó lên một trục nào đó là những đại lượng bảo toàn Đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, năng lượng, mômen xung lượng và hình chiếu của mômen xung lượng đều bảo toàn nên không những nguyên tử xét về toàn bộ, mà cả electron riêng lẻ cũng có thể được đặc trưng bằng các lượng tử số n,λ,m Trường hợp trường không phải là trường Coulomb, các mức năng lượng không chỉ phụ thuộc vào n mà còn cả λ nữa

Vì năng lượng của electron không phụ thuộc vào sự đinh hướng của mômen cơ của nó trong không gian, do đó không phụ thuộc vào lượng tử số m

Như vậy để đặc trưng cho các trạng thái của nguyên tử thì phải nêu lên các trạng thái của electron trong nguyên tử Các trạng thái dừng của nguyên tử trong phép gần đúng phi tương đối tính được xác định bằng phương trình Schr ödinger cho hệ các electron chuyển động trong trường của hạt nhân và của electron tương tác điện với nhau Trong phương trình này hoàn toàn không có các toán tử spin của electron Đối với hệ chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm không những mômen quĩ đạo toàn phần L ρ

bảo toàn, mà cả tính chẵn lẻ của trạng thái cũng bảo toàn Do đó mỗi trạng thái dừng của nguyên tử đều được đặc trưng bằng giá trị xác định của mômen L ρvà tính chẵn lẻ của nó Ngoài ra các hàm sóng toạ độ của trạng thái dừng của hệ hạt đồng nhất có tính đối xứng hoán vị Đối với một hệ hạt electron, một giá trị xác định

của mômen toàn phần s tương ứng với một loại đối xứng xác định Do đó mỗi trạng thái dừng của nguyên tử cũng được đặc trưng bằng spin toàn phần s

Mức năng lượng với các giá trị s và λ đã cho suy biến tương ứng với giá trị khả dĩ khác nhau của vectơ Sρ

và Lρ trong không gian Độ bội suy biến theo các hướng L

và Sρ

, mà còn phụ thuộc vào sự sắp xếp tương hổ giữa chúng Nói một cách chặt chẽ, nếu xét đến các tương tác tương đối tính, các mômen Lρ

Tuy nhiên, thường các hiệu ứng tương đối tính tương đối nhỏ, nên có thể coi là một nhiễu loạn Do ảnh hưởng của nhiễu loạn này, mức suy biến với các λ, s đã cho sẽ tách thành hai dãy các mức rất xít nhau khác nhau các giá trị j Trong phép gần đúng cấp một các mức đó được xác định bằng phương trình thế kỷ, còn các hàm sóng của chúng là các tổ hợp tuyến tính của hàm sóng của mức suy biến ban đầu với các λ và s đã cho

Như vậy do các hiệu ứng tương đối tính, mức năng lượng với các giá trị λ và

s đã cho tách thành một loạt các mức với các giá trị j khác nhau Một sự tách như thế được gọi là cấu trúc tế vi (hay sự tách đa tuyến) của mức

Như đã biết, j lấy các giá trị từ λ+s đến λ−s Do đó mức với các L, S đã cho tách thành 2s+1 nếu λ>s hay thành 2λ+1 nếu λ<s các mức khác nhau Mỗi mức này vẫn còn suy biến theo các phương của j, độ bội suy biến của mức này là 2j+1 Có thể nghiệm được rằng tổng các số 2j+1 theo tất cả các giá trị khả dĩ của j bằng (2λ+1)(2s+1)

Các mức năng lượng nguyên tử hay còn gọi là số hạng phổ nguyên tử thường được ký hiệu bằng những ký hiệu tương tự như đã dù ng cho trạng thái của các hạt riêng lẻ có giá trị mômen xác định, nhưng bằng những chữ các la tinh Cụ thể là, các trạng thái của mômen toàn phần, phụ thuộc vào lượng tử số λ, được ký hiệu như sau với các mức năng lượng tương ứng :

λ= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mức S P D F G H I K L M N

Chẳng hạn xét các mức 2P1/2, 2P3/2: chỉ số ở bên trái phía trên nêu lên số 2s+1 gọi là số hạng đa tuyến Số này chỉ trùng với số các thành phần của cấu trúc tế vi khi s

≥

λ Với 2s+1 =1, 2, 3, ta có các mức đơn tuyến, lưỡng tuyến, tam tuyến Chỉ số bên

2D5/02 là ký hiệu mức năng lượng có λ=2, s=1/2, j=5/2

Để làm ví dụ về sự tách mức năng lượng, ta sẽ nghiên cứu trường hợp nguyên tử Hydro

2.2.3 Năng lượng của nguyên tử Hydro trong từ trường

Xét nguyên tử Hydro trong từ trường đều χρ Nguyên tử có mômen từ µρ và mômen động lượng Lρ

.Ta hãy xét nguyên tử trong trường hợp bỏ qua tương tác của spin với từ trường

Do tương tác của từ trường lên nguyên tử mà nguyên tử có thêm năng lượng

V'=−µχρ (2.14)

Chọn trục oz trùng với từ trường χρ thì hình chiếu của µρ lên oz là µz

χµ

−

'V

Ta có tỉ số momen quỹ đạo và momen từ động lượng

cm2

e

Lz e

z = −µ

cm2

eL

e

z z

−

=µ

⇒

cm2

eLV

H) =H)o +V)′

cm2

LeHH

e

2 o

))

cm2

LeHH

e

z o

))

)

mη

cm2

eEE

e n

χ+

=

Tức là: Khi nguyên tử không đặt trong từ trường (χρ=0) thì mức năng lượng

En không bị tách ra với mọi m

Ta kí hiệu mức năng lượng như sau:

cm2

eEE

e n mn

χ+

mη

cm2

eE

e

χ

=

∆ (m=0,±1,±2, )Tóm lại, tác dụng của từ trường đã làm xuất hiện nhiều mức năng lượng cho phép hơn & do đó quang phổ của nguyên tử Hydro sẽ có thêm các vạch phụ

Người ta thấy rằng chuyển dời mạnh nhất của một nguyên tử thoả mãn quy tắc lựa chọn sau đây:

0hay1m,1

e E E

e o

η

Có thể xảy ra chuyển dời khác, tuy nhiên chuyển động các vạch tạo thành yếu hơn nhiều so với các vạch thoả mãn các quy tắc lựa chọn trên đây Dù đối với bất kỳ chuyển động nào thì độ biến thiên năng lượng giữa các vạch mới đều tỉ lệ với cường độ từ trường tác dụng Những kết quả trên đây đều phù hợp với thực nghiệm quan sát hiệu ứng Zeemann bình thường Tuy nhiên, quá trình phân tích trên không thể giải thích được tất cả các vạch quan sát được trong thí nghiệm của Zeemann Người ta thấy những vạch trong phạm vi của hiệu ứng Zeemann dị thường

χ+

cm

eE

cm2

eE

0E

cm2

eE

cm

eE

e o e o o e o e o

ηη

ηη

Chương 3

LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

Phần lớn bài toán trong cơ học lượng tử đều không giải một cách chính xác

Vì vậy, trong nhiều trường hợp ta phải dùng phương pháp gần đúng để tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử của biến số động lực Một trong những phương pháp gần đúng quan trọng là lý thuyết nhiễu loạn

Lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng cho hai loại bài toán: bài toán nhiễu loạn dừng và bài toán nhiễu loạn không dừng

Trong bài toán nhiễu loạn dừng, ta phân thành 2 trường hợp: nhiễu loạn dừng suy biến và nhiễu loạn dừng không suy biến

Không suy biến là ứng với một mức năng lượng thì có một hàm sóng tương ứng

Có suy biến là ứng với một mức năng lượng thì có nhiều hàm sóng tương ứng khác nhau

Xét toán tử Hamilton H)

không phụ thuộc vào thời gian H)

có thể viết dưới dạng:

) toán tử nhiễu loạn Phương trình Schrödinger không phụ thuộc vào thời gian bây giờ có dạng: (H) 0+W) )ψk( )ρr =Ekψk( )ρr (3.2)

k: chỉ số trị riêng của năng lượng và có giá trị là: 1, 2

Khi không có nhiễu loạn thì phương trình trị riêng có dạng:

n ) 0 ( n ) 0 ( n

ta tính gần đúng giá trị của toán tử H)

Để giải (3.2) ta chuyển sang “E0 - biểu diễn”

Ta có: ψ ( )=∑ ψ( )( )

n

o n n

k ρr C ρr (3.4) Thay vào (3.2) ta được

(H W) ( )r E C ( )r

n n k 0

n 0

n n

ρρ

))

ψ

=ψ

( ) ( ) ( )( )d( )r C ( )Wˆ ( )( )d( )r E C ( ) ( )( )d( )rE

n )

)*

0 ( m n

n o

n )

)*

0 (

ρρ

ρρρ

ρ ρ

n o

ρρ

ρ ψψ

=∫ là phần tử ma trận W)

trong “E0 - biểu diễn”

n, m=1, 2 lần lượt bằng chỉ số của hàm riêng ( ) o ( )

n

ρ

ψ của toán tử năng lượng của bài toán không nhiễu loạn

(3.5) C (E( ) E ) C Wmn 0

n n k

o m

o m

ρρ

ρ ψωψ

=

Ta sẽ giải (3.7) theo luỹ thừa của λ

3.1 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp trị riêng không suy biến:

Nhiễu loạn không có suy biến, nghĩa là ứng với một trị riêng tính từ phương trình (3.3) chỉ có một hàm riêng ( ) o

n

ψ tương ứng vàì do đó có một hệ số ( ) o

n

C Khi λ nhỏ:

Viết Cn và Ek dưới dạng chuổi:

( ) E( ) E( ) E( )

EE

CC

CC

C

3 k 3 2 k 2 1 k 0 k k

3 n 3 2 n 2 1 n 0

n n

λ+λ+λ+

=

λ+λ+λ+

1 ( m ) 0 ( m ) 0 ( k ) 0 ( m ) 1 ( k o

m 0

8.3

m 0 m 0

⇔ *Chọn m=n=k

C( ) o 1

n =

⇒ *chọün = ≠

( ) 0

Cno =

⇒ Tóm lai:

kmkhi0

kmkhi1

C(n0) nk

≠

=

=δ

1 ( m ) 0 ( m ) 0 ( k ) 0 ( m ) 1 (

n

) 0 ( n mn )

1 ( m ) 0 ( m ) 0 ( k ) 0 ( m ) 1 (

kk − =ω

⇔( )

kk 1 k

mk 1

nk 1

n

EE

C

−

ω

= Vậy: ( ) ( ) ( )

kk o

k 1 k o

W)

()

(

n o n o k

nk o

k o

n n n k

ρρ

−+

ψ

=ψ

W1

n o k

nk 1

n

) 0 ( n mn )

1 ( m ) 0 ( m ) 0 ( k mk ) 1 (

E