Tam Thức Bậc Hai

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Phương trình bậc nhất, bậc hai - Tam thức bậc hai. Tài liệu chuyên đề dấu của tam thức bậc hai nhằm giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình

I Phương trình bậc hai: ax?+bx+c=0 (1)

1 Cách giải và biện luận trong trường hợp tổng quát:

+ Nếua= 0 ta được phương trình bậc nhất: bx + c = 0

Biện luận như sau:

a Nếu b #0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: x = >

b Nếu b=0 và c =0 thì phương trình nghiệm đúng Vx e R

c Nếu b=0 và c z0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu a # 0 Tính A (hoặc A')

(Với A = b? - 4ac; A'=b”-ac;b' -2)

~ Nếu A < 0 thì phương trình vô nghiệm

-_ Nếu A = 0thì phương trình có nghiệm kép: xạ = ->

- + Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu x¿, x; là hai nghiệm của phương trình thi:

ax” + bx+c = a(X — Xị)(X — Xa)

+ Nếu a +b +c =0 thì (1) có hai nghiệm là: x, =lvx,=~—

a

H Tam thức bậc hai : f(x) = ax’ + bx +c (a ¥ 0)

I Dấu của tam thức

a<0 A<0 a>0 A<0

2 Cong thtfc so sinh cdc sO a, B véi hai nghiém cia phudng trinh bic hai: (a < B)

ex, <a<x, @af(a) <0

Định lý:

e Nếu tổn tại số thực œ sao cho a.f(œ) < 0 thì phương trình bậc hai

f(x) = ax” + bx+c = 0(a # 0) Có hai nghiệm xị, x; thỏa mãn x; < œ < X;

A>0 A>0.“

ex, < xX, <a > jaf(a) >0 ea<x, <x, @ af(a)>0

a.f(B) < 0 a.f(œ) > 0

a.f(œ) < 0

ex, <8 <x; <Ð LTD 9

tử cxi <B <xy €9

e_ Bước l: Biến đổi phương trình đã cho về đạng: ax + b = 0 (1)

e Bước 2: Xét các trường hợp sau:

THI: Nếu a =0; thế vào (1) và kiểm tra

TH2: Nếu a # 0 thì (1) © x= _°

a e_ Bước 3: Kết luận

e Nếum=2thì (2) © 0x = -4 vô lý — (2) vô nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận: 5 = + (1)

x" -1 x+1l x-l

Giải Điều kiện: x # +1

+ Khi m= l;m=4;m= sim (1) vô nghiệm

+ Khi mz>1Am #4Am #2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x

NGHIEM CUA PHUONG TRINH BAC NHAT THOA MAN MOT

DIEU KIEN CHO TRUGC

1 Phudng phap

e Buéc 1: Dua phuong trinh da cho vé dang: ax + b=0 (1)

¢ Buéc 2: Tim diéu kién cha a dé (1) có nghiệm xạ Cho nghiệm xạ thỏa mãn điều kiện

e Nếum=] thì (2) vô nghiệm

2m —-1 m-1

e Nếu m z lthì (2) ©x=

Bài 2: Cho phương trình: (3m-2)x-m=4mx+2m-5

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Giải (1) © (m+2)x = 5- 3m (2)

e© (2) có nghiệm ©> m # -2 và nghiệm là x = 5-3m 3,_U

Giải (1) (2m —-n + 2)x = 2m - 3n +4

1 Xéta =0 Biện luận phương trình bậc nhất

2 Xéta Z0 Tính A(hoặc A’)

a Nếu A<0 thì phương trình vô nghiệm

b Nếu A =0 thì phương trình có nghiệm kép x = >

b._ Nếum #1 Ta có: A = (2m - 8) - 4(m ~ 1)(m + 1) = 13 — 12m

e Nếu A<0c©>13-12m<0«e>m> cạn phương trình (1) vô nghiệm

2m-3 _

® Nếu A=0O0<>m = 1g Ì Q) có nghiệm —thi(1) cé nghiém kép: xạ =—-———— kép: Xạ =— TT =

e Nếu A>0<>m< cảm (1) có 2 nghiệm phân biệt:

X19 - mà (với VA = J13~12m) 275

c Kết luận:

+ Nếu m = I thì phương trình có nghiệm x = 2

+ Nếu m = = thì phương trình có nghiệm x = 5

we 13 5 A :A

+ Nều m> 19 thì phương trình vô nghiệm

10

+Néum< thì phương trình có 2 nghiệm

Khi đó (1) trở thành: f(x) = xŸ - 2(a+1)x+ 2a+5 =0 (2)

Ta có: A =(a +1)? —(2a +5) =a?—4

+ Nếu A <0 €>-2<a < 9thì (2) vô nghiệm =(1) cũng vô nghiệm

+ Nếu la| < 2 hoặc a = : thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu a = 2va = -2thì phương trình có nghiệm kép: x = ~1V x = 3

+ Nếu |a| >2^a z su phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

X;¿=a+1+vA với A=a?~4

Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau theo a và b; x+ = 2224 a+ x a+b a-b (1)

Giải

e Khi a = +b thì (1) vô nghiệm

e Khi az+b Điều kiện x #0

Phương trình (1) © (a” — bŸ)x” — 2(a? + b?)x + a? ~ b? = 0 (2)

Phương trình (2) có: A = (a2 + b2}? - (a? - bˆXa? - b?) = 4a?b? > 0

Khi a # +b thì hai nghiệm này điều khác 0 Nên x;, x; là nghiệm của phương trình (1)

Kết luận: + Khi a = +b thì (1) vô nghiệm

12

Biện luận: Dựa vào bằng xét dấu ta có kết quả:

+ Nếu m=lvm= thì phương trình có nghiệm kép

+ Nếu S <m <1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu m<0vm> 3 thì phương trình có nghiệm: xạ =

+ Nếu <m< su phương trình có nghiệm: x; =

Kết luận:

+ Nếu m =0 thì phương trình đã cho có nghiệm x = 0

+ Nếu m= l thì phương trình đã cho có nghiệm x = —

+ Nếum= i thì phương trình đã cho có nghiệm x = l

3

+ Nếu 5 <m <] thì phương trình đã cho vô nghiệm

+ Nếu m<0vm> s thì phương trình đã cho có nghiém: x, = 1-2m+Va" m 4

+ Nếu 0<m< su phương trình có nghiệm: x; = 1- 2m - VÀ m

Cách I: Tìm số œ sao cho af(œ ) < Ö

Cách 2: Tìm hai số œ;B sao cho f(œ).f(B) < Ö

Từ giả thiết : (a + e)? < ab + be ~ 2ae

© 2(a + c)? - 2ab - 3bc + 4ae < 0

© (a + e)” - 9b(a + e) + bÊ + (a + e)ˆ + 4ae ~ b2 < 0

<> b? ~4ac > (a+e-b)? +(a+e)? 20

Bài 3: Cho a, b,c e R Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

xŸ + 2(a + b + e)x + 8(ab + be + ca) = 0

Ta có: A =a? + bŸ + c? -(ab + be + ca)

Chứng minh: A >0 Thật vậy: Theo bất đẳng thức Côsi, ta được:

a” + b2 > 9Va?b2 = 2|ab| > 2ab

Tuongtu: b? +e? >2be; c? +a? >2ca

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

a’ +b? +b? +0? +0? +a? > Aab+ be + ca)

© a? + bŸ +cŸ > ab + be + ca © aÊ + bề + c? — (ab + bc + ca) > 0

= A >0 = phương trình đã cho luôn có nghiệm => đpcm

Bai 4: Cho hai phương trình: x” + a¡x+ bị = 0 q)}

va x? +a,x+b, =0 (2) Chứng minh rằng: Nếu a,.a, > 2(b, + b,) thì ít nhất có một trong hai phương

= Ít nhất có một trong hai số A; hoặc A; không âm, nghĩa là một trong hai

phương trình đã cho luôn có nghiệm

Bài 5: Chứng minh rằng: nếu m, n là hai số thỏa mãn:

19|m| + ð|n| > 2000 thì phương trình sau có nghiệm

= cx? -[e(p +q) +a? + bỶ ]x + cpq + a3q + b?p =0

Ta có: A = [e(p + q) + a? + b#]? - 4c(cpq + a?q + bÊp)

=(p+ q)?c? + 2c(q + p)(bÊ ~ a2) + (a? + b2}?

= (p + q)*(-4a*b”) < OVa,b #0 vap,qeR

Xem A là tam thức bậc hai theo ẩn số c thì:

2 + >0“

(p g => A>0OvớiVec

A <0 Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm với V a,b,c vàp,qeR

Bài 7: Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a + 2b + 3c = l

Chứng minh rằng: ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm thực:

4x? -4(2a + 1)x + 4a? +192abe+1=0 (1)

Mặt khác: (1 - 48be) + (1 - 24ac) = 2[1 - 12c(2b + a)]

= 2[1~ 12e(1 - 3e)] = 2(6e - 1)? > 0 Suy ra ít nhất có một trong hai số là: (1 - 48bc) hoặc (1 - 24ac) phải không

âm, suy ra có ít nhất một số A; hoặc A; không âm, nên luôn có ít nhất một

= f(a).f(b).f(e) = a?b?e?(a — b)(a — e)(b - a)(b — e)(e — a)(e — b)

= —3a”b?c?(a - b)?(b - e)(e - a)? < 0

va, b, c, đôi một khác nhau và khác 0

= ít nhất có một trong ba số: f(a); f(b); f(e) phải âm

Giả sử, số đó là: f(a) < 0

Lại có: f(0) = a”bŸ + be? + c?a? > 0 = f(a).f(0) < 0

= phương trinh f(x) = 0 luôn có nghiệm (đpcm)

Bài 9: Cho phương trình: ax” + bx +c = 0 (a # 0)

Chứng minh rằng nếu các số a, b, c thỏa mãn đẳng thức sau: 2a + 8b + 6c = 0 thì phương trình trên luôn có nghiệm e (0, 1)

Giải

Caéch1: Sw dung tinh lién tuc:

Dat: f(x) = ax? + bx + e.Ta thấy f(x) luôn liên tục Vx € (0,1)

2ì1_ 22a+3b)+9c_ 2(-6c)+ 9c _ _i, Lại có: f(0) = 1H

Ta thấy F(x) luôn liên tục (0, 1)

F(x)+ ax”?! + bx™ + ex™? = x™1(ax® + bx +c) luén ton tại trên (0, 1)

Theo dinh ly Lagrange thi Ja € (0,1) sao cho:

FQ) ~FO) _ (gy op 2 P ¿9 —œm=(ao? ‡ bự +e)

Theo giả thiết:

(aœ? + bơ + e) = 0 — œ lànghiệm của phương trình: ax? +bx+c=0

Từ giả thiết => —-~ =— ~ =x=—#_ c(0,1)

+ Nếu b=0, từ giả thiết c =0 — f(x) = 0 luôn đúng Vx e (0,1)

Từ hai điều kiện trên ta có kết luận: f(x) = 0 luôn có nghiệm x e (0,1)

=> A, +A, +A, =a° +b? +c? -12 =a? +(b+c)? -2be-12

=> T =a? +(6—a)? -2be-12

b>0 Ps

1 Néubc>0 0 V

c>0 |c<0

=> A, +A, +A, 20 => ít nhất một trong ba số là số âm nên có một trong ba

Xét biểu thức: T'= a” + (6 — a)? —-2be -12

Xem TT là tam thức bậc hai đối với ẩn a, ta có:

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ HAI NGHIỆM

THỎA MÃN MỘT ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Các điều kiện cho trước thường gặp

Hai nghiệm x;; x; thỏa mãn một phương trình; một bất phương trình

Một biểu thức chứa hai nghiệm x;; x; đạt giá trị lớn nhất; bé nhất

Nghiệm âm; nghiệm dương: t -

Nghiệm thuộc (a, b) cho trước

Nghiệm nguyên `

Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia

Phương pháp giải

Bài toán 1

Hai nghiệm x¡; x; thỏa mãn một phương trình; một bất phương trình:

e© Bước I: Timm dé phương trình có hai nghiệm xị¡; xạ

e Bước 2: Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa (x; + X;); Xị.X;

Sau đó áp dụng định lý Vict; giải tìm m

e© Bước 3: Giao các điều kiện ràng buộc của m Kết luận

Biểu thức chứa hai nghiệm x;;x; đạt giá trị lớn nhất; bé nhất

¢ Budcl: Timm để phương trình có hai nghiệm x¡; xạ

e Bươc2: Biến đổi biểu thức chứa (x; +x;¿);X;.x;¿ Dùng định lý Viet

Cách 2: Dùng khảo sát hàm số và miền giá trị

Bài toán 4: Nghiệm nguyên

Dùng tính chia hết ; số chính phương

Bài toán 5: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia:

¢ Bước 1: Giả sử phương trình bậc hai có 2 nghiệm xị;X;

e© _ Bước 2: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia nên:

1 Định m để phương trình có hai nghiệm x;;x¿ thỏa: 2x; - xạ =m+ð

2 Địnhm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức:

©A =(m+1)}-(2m?-m-~3)>0

.©-m”h+3m+4>0«>-1<m<4 (®)

1 Dinh m để phương trình có hai nghiệm x,;x, thoa: 2x, -x, =m+5

; ; Xịy + X; = -2(m + 1)

Theo định lý Viet ta được: 2

X,.X,=2m°-m-3 (2) x,=1-—

max A = max f(m) = 25 khi m =5

min A = min f(m) = 0 khi m = -1vm = 4

Định m để phương trình có hai nghiệm x;; x; thỏa:

xị + X) =B4(Xị + X;)

4 3, 43

Tacó: xj +x; = 54(x, + x.)

<> (xX, + X_)° — 8x, xp(x, + x,) —54(x, +x,) = 0

<> (x, + x,)| 4(m + 1)? - 82m? - m - 3) -54]=0

<> —2(m + 1)(-2m? + 11m - 41) = 0 m+1=0

~2mZ + 11m - 41 = 0(vô nghiệm) Vậy giá trị m cần tìm là m =—l

4 Địnhm để phương trình có hai nghiệm x;;x; thỏa: ŠL „ Xz „ 2m- 3

Bài 2: Gọi x;; x; là 2 nghiệm của phương trình: x? + 2mx + 4 = 0 (1)

1 Hãy tính theo m các biểu thức sau:

Theo dinh ly Viet: (* † X; = —2m X,.X_, =4

Bang bién thién

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

MaxT = khi m = =4 ¡ MinT =2 khi m=2

2 Dinh m dé phuong trinh cé hai nghiém x,;x, thda man: x9 +x} <2

3 Dinhm ¢ Z dé phuong trình có hai nghiệm x,;x, théa biểu thức:

_x

= AX = Xe)" dat gid tri nguyén

Xị +X¿ +Ì Giải

Phương trình (1) có nghiệm © A >0 <> |m| > 2 (*)

2 2 4 v4

x x x, +x Tacó: || +)4) =—4-3

Bài 4: Cho phương trình bậc hai: 2x” + 2(m + 2)x + mỀ + 4m + 3 = 0 (1)

1 Địnhm để phương trình (1) có hai nghiệm x¡;x¿ sao cho biểu thức: !

Bài 6: Với những giá trị nào của a thì phương trình: x? 41=~ 66 hai nghiệm

a

‹ 1 ong 1 thực x;;x;¿ khác nhau thỏa mãn: xi + xi >—

Bai7: Cho phuong trinh: x? - (2sina —1)x + 6sin’ a — sin œ ~ 1 = 0

Tim œ để phương trình có hai nghiệm x:; X;

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x‡ + x2

Giải Phương trình (1) có hai nghiệm x;; xạ © A > 0

OE phon Sơ < CC + kên

Khi đó ta có: Á = xỶ + x = (xị + x;)” -2x¡x; = -8sin” ơ - 2sin ơ + 3

Đặtt= sin œ thì -let<i

2 2 Xét hàm số : f(t) = -8t? - 2t + 8

f(t) = -16t-2 ; f=0et=-2

Bang bién thién

2 f(t) + 0 _

25

f(t) › “%8 oS,

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

max A = max f(t) =f -2} = 22 khit = -= = sina ==-sinp

Dựa vao bang biến thiên ta được:

3/3 3⁄3

max  =—— đạt tạim = 23 ; min  =~—— đạt tạim = -2V/3

Bài 9: Cho phương trình bậc hai:

(a? —2a +2)x? +2(aT—1)x.a - 3a? = 0

I Chứng minh rằng với Va > 0thì (1) có hai nghiệm x¡; x; thỏa mãn:

Phương trình (1) có hai nghiệm x;; x;

©>A =a?(a -1)? + 3a?(a? - 2a + 2)

= a?(a — 1)” + 3a? | (a - 1) + 1 |> 0va

Do đó (1) luôn có nghiệm Va

-3a” < 2|a|.a(1 —a) 3a? > 2la|.a( — a)

Bài 10 Cho tgœ; tgB là hai nghiệm của phương trình x? +ax+b=0 (1)

1 Hãy tính giá trị của biểu thức:

T = sin?(œ + B) + a sin(œ + B).cos(œ + B) + bcos2(œ + B) theo a và b

2 Choa=7;b= 3 Hãy tính giá trị của biểu thức:

Q= |2x¡ - x¿| +|2x; — x¡| với x;x; là nghiệm của (1) tương ứng với a = 7;b= 3

3 Cho a = 3m - 3; b= -5m +12 (m là tham số) Định m dé phương trình có hai

nghiệm mà nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Giải

1 Tinh T:

Phương trình (1) có hai nghiệm tgo; tgB © A = aŸ - 4b > 0

tgơ + tgB = -a Theo định lý Viet:

tgơ.tgB =b

Cách I1:

T = sin?(ơ + B) + asin(œ + B).eos(œ +B) + bcos?(a + B)

= 5 [1 —cos2(a +f) +a sin 2 + B)+ (1 + cos (0 + )]

= gÍ1 + b +eos2(œ + pb -1)+asinAa+B)]

tga+tgB a Đặt: t=t +B) =—

Cách 2:

Ta có:T' = sin?(œ + B) + a sin(œ + B).eos(œ + B) + bcos”(œ + B)

>T= [1 +tg”(œ + Dã _ sin?(a +B) +asin(a +B) cos(œ + B) + beos2(œ + B)

_ |x? =12-5m

Khi đó: 2 /

X, +x; =3-3m 3x? = 836-15m

€ [0, 1] Gọi hai nghiệm đó là x;; x;, theo định lý Vict ta được:

Bài 13: Cho phương trình: x” + ax + b_— 2 = 0 với a,b e R

Giả sử phương trình có nghiệm kép œ > 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a? + bể

Từđó: A=a?+b?=a? [te +2) =a +2a7 +4

Bài 14: Cho phương trình: x” - (3sin a - cosa)x - 4 - 4cos 2a = 0 (1)

Định a để phương trình có nghiệm sao cho tổng bình phương hai nghiệm của phương trình đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

<> A =(8sina —cosa)” +4(4 ~4 cos 2a) >0

1- cos 2a

> 5 (1-cos2a) + ~ 3sin 2a +16+4cos2a >0

© 21-8sin 2a > 0 luôn luôn đúng Va e R

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Gọi xị; x; là hai nghiệm của phương trình, ta có:

A =xƒ + x2 =(Xịi +X;} ~2x).Xy = (3sin a ~ cosa)” +2(4 + cos2a)

= sú ~ cos 2a) + sũ + cos 2a) — 3sin 2a + 8 + 2cos2a

Tacó: A =[a=3) +2 >0 VaeR

= (]) luôn có hai nghiệm phân biệt: x:; x;

Gọi nghiệm lớn nhất của phương trình là:

xX, =3—-a+ va? -7a +99

Qa-7 =: 2a~7-2Va? ~7a + 22

Qa? -7a+22 2Wa?-7a+29

Bang bién thién

Dựa vào bảng biến thiên (x;)„ không tổn tại a

Vậy không có giá trị a > 1 thỏa dé

® Chú ý: Với bài toán trên thì nghiệm lớn nhất nhận giá trị lớn nhất © a =1

khi đó ama„ = 6

Với câu hỏi như vậy ta có thể làm cách khác như sau:

Gọi xạ là nghiệm lớn nhất của phương trình thì:

Bài 17: Cho phương trình: x” - 2|9 - log; m| x + 3|9 - log; m| = 0

Định các giá trị để một trong các nghiệm của phương trình lớn hơn 3 còn

nghiệm kia nhỏ hơn 3

Bài 18: Cho hai phuong tinh: x? + 8x +2a = 0 va x? + 6x+5a =0 Định a để hai phương trình có nghiệm xen kẽ nhau

Giải

Đặt Í4)= x? + 3x + 2a; f(x) =0c6 hai nghi¢m X13 Xp

g(x) = x? + 6x + 5a; g(x) =0c6 hai nghiém x,;x,

` - Xị <Xs <X¿ < X„

Hai phương trình có nghiệm xen kế nhau <>

Xạ <Xị <X¿ <X;

© f(xạ)fQx„) <0 e (xi + 3x; + 2a)(x? + 8x, + 2a) < 0

c>(x;x,)” +3; 3X, (Xs +) +2a(xã +x2)+ Ðx; xu + 6a(X; + X,) + 4a” < 0

Bài 21: Cho phuong trình: (m + 1)(vx +1} -2m(Vx +1)+ 2m =0 ()

Định m để phương trình có một nghiệm thuộc [0.4]

Vậy m = -2 thỏa mãn để bài

+ Phương trình (2) có nghiệm t;; t; thỏa mãn:

t, <1<t, <3

<t, <3<t,

© Néu (2) cé nghiém t, =1 thi ti (2) m+1-2m+2m=0- m=-1, gid ti

này không thỏa mãn (vì m # 1)

eo (m +1\(6m+9) <0 6-2 <m<-1

A náo cif tri ak ¬ 9S

Vậy các giá trị của m cần tìm là: “5 <m<-lvm=-2

Bai 22: Cho phương trình: sin 3x - mcos2x ~ (m + 1)sin x + m = 0 (1) Định m để phương trình có đúng tám nghiệm e (0, 37)

a Nếu phương trình có nghiệm t; = 1 thì từ (3) > 4-2m+m-2=0

Giải Phương trình (1) có: A = (3+ 2a)” ~4(40— a) = 4a? + 16a -151

Để (1) có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là: A phải là chính phương

= A =nˆ = 4a? + l6a - 151 = nŸ (với neZ) ;

Bai24: Cho phương trình: mx” - mqx + q = 0(m # 0)

I Định hệ thức liên hệ giữa m và q để hai nghiệm của phương trình trên là: sin

Theo dinh lý Viết ta được:

Xị¡ + X; = sinœ + tgœ = q sin œ + tgœ = q

q © sina+tga 1+cosa X,-X_ = sina.tga = — m=——————=—

Giải Giả sử phương trình trên có ng; nghiệm này bằng k lần nghiệm kia:

-kx — kxị) = 0

is = kx, 5 mộ kxị =0 Š (1 ~ Hota) (2 Hen) =

43

-_ Tìm các giá trị của tham số m để (1) và (2) có nghiệm chung

® Budc 2: Gidi hé trén tim xy Suy ra m

¢ Budc 3: Thé gid tri cia m vao (1); (2) để kiểm tra