Phụ lục về Tam thức bậc hai & Phương trình bậc 2, 3 pot

@ Phương trình 2’ có nghiệm kép.

Phụ lục về Tam thức bậc hai & Phương trình bậc 2, 3

I) Phương trình ax 2 +bx+c = 0 (1) :

1) Công thức nghiệm: Tính  = b2  4ac

@  < 0: Phương trình vô nghiệm

@  = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

a

b



@  > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2=

a

b  



* Chú ý :

@ Nếu b chẵn thì đặt b’=

2

b

và tính ’ = b’2  ac

o ’ < 0: Phương trình vô nghiệm

o ’= 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

a

' b



o ’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2=

a

' '

b  



@ Nếu a, c trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

@ Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a0) có 2 nghiệm x1, x2 thì:

ax2 + bx + c = a(xx1)(xx2)

@ Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x=1 V x=

a

c

@ Nếu a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = 

a c

2) Định lý Viet : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0 (1) (a  0) có 2 nghiệm x1,

x2 (điều kiện

  0 ) thì tổng và tích các nghiệm là: S= x1+ x2 =

a

b

 và P = x1 x2 =

a c

3) Định lý đảo Viet: Nếu hai số x và y nghiệm đúng hệ thống x+y=S và

xy=P (S24P0)

thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai dạng:X2 – SX + P = 0 (phương trình tổng tích)

4) Xét dấu các nghiệm x1 ,x2 của phương trình (1):

@ x1.x2 < 0  P < 0

@ 0 < x1  x2    0 và S > 0 và P > 0

@ x1  x2 < 0   0 và S < 0 và P > 0

@ x1 x2 > 0    0 và P > 0 Với  = b2-4ac ; S =

a

b

 và P =

a c

Các biểu thức đối xứng thường gặp:

x x 2 S 2 2 P

2

2

1    ; x x 3 S 3 3 PS

2 3

1    ;

P

S x

1 x 1

2 1





5) Dấu của tam thức bậc 2:

a) Dấu của tam thức bậc 2 : f(x) = ax2+bx+c (a0):Tính  = b2-4ac Ta có:

  < 0 : f(x) vô nghiệm af(x) > 0 , x|R

  = 0 : f(x) có nghiệm kép x1 = x2 =

a

b

  af(x) > 0, x|R\

a

b

 

  > 0 : f(x) có 2 nghiệm phân biệt : x1,2 =

a

b  

 (giả thiết x1 < x2 )

b) Điều kiện cho f(x) = ax 2 +bx+c ( a  0 ):

 f(x) > 0  x  R















0

0 a

 f(x)  0  x  R















0

0 a

f(x) < 0  x  R















0

0 a

 f(x)  0  x  R















0

0 a

c) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2: f(x) = ax 2 +bx+c (a  0):

Nếu có số  làm cho af() < 0 thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1< x2) và x1<  < x2

d) So sánh số  với các nghiệm của f(x)= ax 2 +bx+c = 0 (a  0) :

Tính af();  = b2-4ac và      

a

b 2

S

1 x1 <  < x2  af() < 0

2  < x1 < x2 

0 2 S

0 ) ( af 0















Với

a

b 2

S





3









































a

b 2 s

0 ) ( af

0 x

x1 2

4 f() = 0  x1 =  V x2 =   

a b

5.Từ 4 trường hợp cơ bản này ta có thể so sánh các số  và  với các nghiệm của phương trình f(x) = ax2+bx+c = 0

Lưu ý : Nếu có af() < 0 thì không cần điều kiện  > 0

 < x1 <  < x2 af() > 0 và af() < 0

x1 <  <  < x2 af() < 0 và af() < 0

x1 <  < x2 <  af() < 0 và af() > 0

( ; ) có chứa 1 nghiệm

và nghiệm kia ngoài

đoạn [ ; ]















0 ) ( f ).

( f

0 a

 < x1 < x2 < 

 > 0 và af() > 0 và af() >

0 và

 <

2

S

< 

II Phương trình bậc 3: ax 3 +bx 2 +cx+d=0 (a  0) (2):

1 Giải và biện luận: Phương trình (2)(x)(ax2+b1x+c1)=0x= V

ax2+b1x+c1=0 (2’)

Biện luận:

@ Phương trình (2’) nghiệm

@ Phương trình (2’) có nghiệm kép

@ Phương trình (2’) có 1 nghiệm x=

@ Phương trình (2’) có 2 nghiệm nghiệm phân biệt khác x=

2 Hệ thức Viet: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm x1; x2 và x3 thì:

x1+ x2+ x3 =

a

b

 ; x1.x2.x3=

a

d

 ; x1x2+ x2 x3+ x3x1 =

a c