1 phuong trinh hyperbolic in

PHƯƠNG TRÌNH SÓNGTS.. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP... Phương trình sóng còn được gọi là phương trìnhHyperbolic, nó đóng vai

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP HCM — 2015

Phương trình sóng còn được gọi là phương trìnhHyperbolic, nó đóng vai trò quan trọng trong vật

lý cũng như các ngành kỹ thuật, được thiết lậptrên cơ sở nghiên cứu các dao động của dây, màngmỏng, sóng âm, sóng tạo ra do thủy triều, sóngđàn hồi, sóng điện từ trường, v.v

điện từ Sóng cơ học đòi hỏi môi trường vật chấtđàn hồi để lan truyền, còn sóng điện từ có thể

truyền trong chân không

Phương trình sóng 3 chiều trong hệ trục tọa độ trụ

∂θ

 +

Phương trình sóng thuần nhất 1 chiều có dạng

Phương trình chính tắc của phương trình sóng thuđược bằng cách đặt biến mới

ξ = x +at, η = x −at, u(x, t) = w (ξ(x , t), η(x , t))

Từ đó suy ra utt − a2uxx = −4a2wξη = 0 Vậy

F (ξ) + G (η) ⇒ u(x, t) = F (x + at) + G (x − at)

Với t 0 > 0 cố định thì đồ thị của hàm G (x − at0) có hình dạng giống

đồ thị hàm G (x) nhưng dịch về bên phải 1 khoảng at 0 Do đó hàm

G (x − at) mô tả sóng chuyển động về bên phải với tốc độ a và được gọi là sóng tới Tương tự, hàm F (x + at) di chuyển về bên trái với cùng vận tốc được gọi là sóng lùi Vì vậy, a được gọi là vận tốc sóng

Bài toán dây dài vô hạn

Ta có

u(x, t) = F (x + at) + G (x − at)

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có

u(x , 0) = f (x ) = F (x ) + G (x ),

x0

Z x +at

x −at

g (τ )d τNghiệm này được gọi là nghiệm D’Alambert củaphương trình sóng một chiều

hàm số f (x ), g (x ) không xác định trên

[x − at, x + at]

Ta có

u(x , t) = F (x + at) + G (x − at)

⇒ u(0, t) = F (at) + G (−at) = 0

x0

2

Phương trình sóng với một đầu không cố định

hàm số f (x ), g (x ) không xác định trên

[x − at, x + at]

2

 π

2t





Phương trình sóng với điều kiện biên không thuần nhất



− F (at − x)

Phương trình sóng với điều kiện biên không thuần nhất

Equations with Nonhomogeneous Boudary

q(τ )d τ

Khi x > at nghiệm của bài toán không đổi.

Phương trình sóng với 2 đầu cố định

u(x, t) = F (x + at) + G (x − at)

Áp dụng điều kiện ban đầu, ta có

Z x +at

x −at

g (τ )d τ.

Áp dụng điều kiện biên, ta có

u(0, t) = F (at) + G (−at) = 0,

u(L, t) = F (L + at) + G (L − at) = 0

Z −η 0

Z −η 0

g (τ )d τ −K

2 , −L 6 η 6 0.

 + K

2 , 0 6 ξ 6 L

G (η) = 1

2sin

 πη L



− K

2 , 0 6 η 6 L

u(x, t) = 1

12a

⇒ G (η) = −1

12a

THANK YOU FOR ATTENTION