bài toán biên dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, nă

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI

PHI TUYẾN HOÀN TOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI

PHI TUYẾN HOÀN TOÀN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các sốliệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trungthực, chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nàokhác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giảNguyễn Thị Hương

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.

TS Hà Tiến Ngoạn, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôitrong suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Banchủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyêncùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học ToánK19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôitrong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viếtLuận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót và hạn chế Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quýthầy cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giảNguyễn Thị Hương

Mục lục

Mục lục i

MỞ ĐẦU 1 1 PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 3 1.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 3 1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Ví dụ 4

1.2 Nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại 6

1.2.1 Nguyên lý so sánh 6

1.2.2 Nguyên lý cực đại 8

1.2.3 Nguyên lý so sánh tổng quát 10

1.3 Nguyên lý liên tục 10

1.3.1 Nội dung của Nguyên lý liên tục 10

1.3.2 Ứng dụng vào bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn 12

2 BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIP-TIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN 14 2.1 Một số kiến thức bổ trợ 14

2.1.1 Không gian H¨older Ck,α(Ω) 14

2.1.2 Không gian Sobolev Wk,p(Ω) 15

2.1.3 Đánh giá cho một hàm số 16

2.1.4 Các tính chất của nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 16

2.1.5 Các tính chất của nghiệm phương trình á tuyến tính

cấp hai 182.2 Bài toán Dirichlet cho trường hợp hai biến độc lập (n = 2) 192.3 Bài toán Dirichlet cho trường hợp phương trình elliptic đều

Monge-Ampère 362.4.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-

Ampère 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn Luận văn

Cho đến nay lớp các phương trình elliptic cấp hai tuyến tính và á tuyếntính đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng đối với tính chất định tính củanghiệm và tính giải được của các bài toán biên Song việc nghiên cứu lớpphương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn là một vấn đề khó Lýthuyết lớp phương trình này còn chưa được phát triển và chưa được hệthống Do đó Luận văn đã chọn đề tài về tính giải được của bài toánDirichlet cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn

2 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp chính trong Luận văn là sử dụng Nguyên lý liên tục sẽđưa đến đánh giá tiên nghiệm chuẩn H¨older cho nghiệm của phương trìnhelliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn

3 Mục đích của luận văn

Nội dung chính của Luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài toánDirichlet cho phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn Đây là lớp phươngtrình khá rộng, xuất hiện nhiều trong vấn đề lý thuyết và ứng dụng Trườnghợp hai biến độc lập, do kỹ thuật đánh giá chuẩn H¨older và kết quả làkhá đặc thù, nên được tách ra trình bày riêng Trong trường hợp số chiều

phương pháp khác nên được trình bày sau, việc sử dụng phương pháp liêntục sẽ đưa đến kết luận về tính giải được của bài toán Dirichlet Lớp conphương trình Monge-Ampère cũng được đề cập

4 Nội dung của Luận văn

Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo

Chương 1 Giới thiệu khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyếnhoàn toàn, sau đó trình bày các tính chất định tính của nghiệm như:Nguyên lý cực đại và Nguyên lý so sánh Tiếp theo giới thiệu về phươngpháp liên tục nhằm áp dụng vào tính giải được của bài toán Dirichlet.Chương 2 Giới thiệu về bài toán Dirichlet cho trường hợp hai biến vànhiều biến độc lập, trường hợp phương trình elliptic đều và trường hợpphương trình kiểu Monge-Ampère Trên cơ sở áp dụng Nguyên lý liên tục(Định lý 1.3.3), nội dung chính của chương 2 lại là nghiên cứu đánh giá

H¨older cho đạo hàm cấp hai của nghiệm Các định lý về tính giải được củabài toán Dirichlet đã được phát biểu và chứng minh

Nội dung chính của Luận văn được trình bày dựa theo chương 17 củatài liệu [1] Một số kiến thức được tham khảo ở tài liệu [2]

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN

Giả sử điểm trong Γ có dạng γ = (x, z, p, r) trong đó x ∈ Ω, z ∈ R,

(1.1) được gọi là á tuyến tính Ngược lại, F gọi là phi tuyến hoàn toàn.Toán tử F được gọi là elliptic trên tập con U củaΓ nếu ma trận [Fij(γ)]cho bởi:

là xác định dương với mọi γ = (x, z, p, r) ∈ U, kí hiệu λ(γ), Λ(γ) lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của giá trị riêng của ma trận [Fij(γ)] F

là elliptic đều (elliptic ngặt) trong U nếu Λλ(λ1) bị chặn trong U Nếu F làelliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) trong toàn bộ tập Γ thì F là elliptic (el-liptic đều, elliptic ngặt) trênΩ Nếuu ∈ C2(Ω)vàF là elliptic (elliptic đều,elliptic ngặt) trên miền xác định của ánh xạx 7→ (x, u(x), Du(x), D2u(x))

thì ta nói F là elliptic (elliptic đều, elliptic ngặt) đối với u

n+2

Phương trình (1.3) là elliptic đối với hàm lồi đều u ∈ C2(Ω)

Các ví dụ (i) và (ii) là một loại của phương trình Monge-Ampère:

trong đó f là hàm nhận giá trị dương trong Ω ×R×R2

(iii) Phương trình Pucci’s:

với mọi x ∈ Ω, ξ ∈ Rn Toán tử lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là Mα và

mα được định nghĩa bởi:

Ở đây C1(r), Cn(r) là giá trị riêng nhỏ nhất và giá trị riêng lớn nhất của

ma trận r Xét phương trình:

Khi đó các phương trình (1.6) là phương trình elliptic đều

(iv) Phương trình Bellman:

Cho L là họ tùy ý các tập có chỉ số dưới phụ thuộc ν ∈ V Giả sử

Lν ∈ L xác định bởi:

ở đây aijν , biν, cν là hàm thực trong Ω với i, j = 1, , n, ν ∈ V và với mỗi

với mọi ξ ∈ Rn, λ và ∧ là hàm dương trong Ω Ngoài ra phương trìnhBellman là elliptic đều trong Ω nếu ∧λ ∈ L∞(Ω)

1.2 Nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại

Định lý 1.2.2 (Nguyên lý so sánh) Cho u, v ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) thỏa

điều kiện sau:

(i) Hàm F là khả vi, liên tục đối với z, p, r trên Γ;

(ii) Toán tử F là elliptic trên tất cả hàm số có dạng: θu + (1 − θ)v,

Nguyên lý cực đại và đánh giá nghiệm H¨older, đánh giá gradient chonghiệm của phương trình phi tuyến hoàn toàn được suy ra từ kết quảcủa phương trình tuyến tính tương ứng Nếu u ∈ C2(Ω), toán tử F códạng:

ở đây C = C (µ1,diamΩ), u+(x) = max(u(x), 0).

Định lý 1.2.5 ([1]) Cho F thỏa mãn phương trình (1.4) và giả sử có cáchàm không âm g ∈ L1loc(Rn), h ∈ L1(Ω) và hằng số N thỏa mãn:

1.2.3 Nguyên lý so sánh tổng quát

Các kết quả và đánh giá trong các phần Nguyên lý so sánh và Nguyên lýcực đại bên trên có thể mở rộng sang trường hợp hàm F không khả vitheo r Cụ thể, ta có Nguyên lý so sánh tổng quát sau đây:

Định lý 1.2.6 ([1]) Cho u, v ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) thỏa mãn F [u] ≥ F [v]

trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω Ở đây:

(i) F là Lipschitz địa phương đều với mỗi giá trị x, z, p, r trong Γ;(ii) F là elliptic trong Ω;

(iii) F không tăng đối với z, với mỗi (x, p, r) ∈ Ω ×Rn×Rn×n;

(iv) |Fp |

λ bị chặn địa phương trong Γ

Khi đó u ≤ v trong Ω

Cho B1 và B2 là các không gian Banach và ánh xạ F : U ⊂ B1 → B2

(U là tập mở) Ánh xạ F được gọi là khả vi Fréchet tại u ∈ B1 nếu tồntại ánh xạ tuyến tính bị chặn L : B1 → B2 sao cho:

(hoặc vi phân) của F tại u và được kí hiệu Fu

Khi B1, B2 tương ứng là không gian Euclid, Rn, Rm, đạo hàm Fréchettrùng với khái niệm vi phân Đặc biệt từ (1.18) ta thấy tính khả vi Fréchetcủa hàm F tại u kéo theo F liên tục tại u và đạo hàm Fréchet Fu là xácđịnh duy nhất F là khả vi liên tục tại u nếu F là khả vi Fréchet tronglân cận của u và ánh xạ:

liên tục tại u Ở đây E(B1,B2) là tập các ánh xạ tuyến tính bị chặn từkhông gian Banach B1 vào B2 với chuẩn được xác định bởi:

Phép lấy đạo hàm Fréchet cho hàm hợp, có nghĩa là nếu F : B1 →B2;

G : B2 → B3 khả vi Fréchet tương ứng tại u ∈ B1, F [u] ∈ B2 Khi đóánh xạ hợp G ◦ F khả vi tại u ∈ B1 và

(ii) G là khả vi liên tục tại (u0, σ0);

(iii) Đạo hàm riêng Fréchet L = G1(u

0 ,σ 0 ) khả nghịch

Khi đó tồn tại lân cận N củaσ0 trong X sao cho phương trìnhG(u, σ) =

0 là giải được với mỗi σ ∈ N , và có nghiệm u = uσ ∈ B1

Chứng minh Để chứng minh định lý trên ta sử dụng Nguyên lý ánh xạ

co Thật vậy, phương trình G(u, σ) = 0 tương đương với phương trình:

và toán tử T được cho bởi (1.19), (1.20) là ánh xạ co trong hình cầu đóngtâm tạix0 và bán kínhσ,B = Bδ(u0) trongB1 với δ đủ bé vàσ đủ gần σ0

trong X Ánh xạ F : X → B1 xác định bởi σ → uσ với σ ∈ N , uσ ∈ B,

Để áp dụng được Định lý 1.3.1, ta giả sử B1, B2 là các không gianBanach với ánh xạ F từ một tập con mở U ⊂ B1 vào B2 Cho ψ là mộtphần tử cố định trong U,u ∈ U, t ∈ R, ánh xạ G : U ×R → B2 xác địnhbởi đẳng thức sau:

G(u, t) = F [u] − tF [ψ]

Cho S và E tương ứng là các tập con của [0, 1] và B1 và được xác địnhbởi:

Dễ thấy 1 ∈ S, ψ ∈ E, do đó kéo theo S 6= ∅, E 6= ∅

Tiếp tục giả sử rằng F khả vi liên tục trên E với đạo hàm Fréchet Fu khảnghịch Khi đó theo Định lý hàm ẩn suy ra S là tập mở trong [0, 1] Do

đó ta nhận được định lý sau đây là một phiên bản của Nguyên lý liên tục.Định lý 1.3.2 ([1]) Phương trình G(u, 0) = 0 giải được với u ∈ U nếu

S là tập đóng trong [0, 1]

Nhận xét: Phương trình G(u, 0) = 0 tương đương với F [u] = 0

elliptic phi tuyến hoàn toàn

Xét ứng dụng của Định lý 1.3.2 cho bài toán Dirichlet về phương trìnhelliptic phi tuyến hoàn toàn Giả sử hàmF trong phương trình (1.1) thuộclớp C2,α(Γ) và cho không gian Banach B1, B2 thỏa mãn B1 = C2,α(Ω),

là các ánh xạ đi từ B1 vào B2 Hơn nữa, F có đạo hàm Fréchet liên tục

Fu xác định bởi:

Trong đó:

ở đây Fu có thể không khả nghịch với mọi u(x) thuộc C2,α(Ω) Do đó ta

sẽ hạn chế F trên không gian con B1 = {u ∈ C2,α(Ω)|u = 0 trên ∂Ω}.Khi đó toán tử tuyến tính L khả nghịch với mọi u ∈ B1, L là elliptic chặt

tính giải được của bài toán Dirichlet về sự thiết lập đánh giá tiên nghiệmtrong không gian C2,α(Ω)

Định lý 1.3.3 Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω ∈ C2,α, 0 <

U Tập E = {u ∈ U |F [u] = σF [φ] với mỗi σ ∈ [0, 1], u = φ trên ∂Ω} vàgiả sử rằng F ∈ C2,α(Γ) thỏa mãn:

(i) F là elliptic chặt trong Ω với mọi u ∈ E;

(iii) E bị chặn trong không gian C2,α(Ω);

Khi đó bài toán Dirichlet, F [u] = 0 trong Ω, u = φ trên ∂Ω là giải đượctrong U

Chứng minh Ta có thể quy về trường hợp giá trị trên biên của u(x)

bằng 0 bởi phép thế u bởi u − φ Ánh xạ G : B1×R →B2 được xác định

G(u, σ) = F [u + φ] − σF [φ]

Từ Định lý 1.3.2 và chú ý trước Định lý 1.3.3, bài toán Dirichlet đã cho làgiải được nếu tập S là đóng Tuy nhiên tính đóng của S (và của E) đượcsuy ra từ tính bị chặn của E, giả thiết (iv) và Định lý Arzela-Ascoli

Chương 2

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI PHI TUYẾN HOÀN TOÀN

Trong chương này Luận văn nghiên cứu tính giải được của bài toán let cho phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn Để có thể ápdụng được Định lý 1.3.3 thì nội dung chính của chương này là chứng minhcác đánh giá chuẩn H¨older đối với các đạo hàm cấp hai của nghiệm Mục2.2 nghiên cứu trường hợp n = 2 Mục 2.3 nghiên cứu trường hợp n ≥ 3.Mục cuối cùng 2.4 xét phương trình kiểu Monge-Ampère

C0(Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω với chuẩn

với chuẩn kukCk (Ω) = P

h và Ω0 ⊂⊂ Ω thỏa mãn h <dist(Ω0, ∂Ω) Khi

đó đạo hàm yếu Diu tồn tại và thỏa mãn

Bổ đề 2.1.3 ([1], Bổ đề 8.23) Cho ω là hàm không giảm trên khoảng

Hơn nữa aij(x) = aji(x) với mọi i, j, x.

(b) Tồn tại K < ∞ sao cho:

với mọi i, j

Định lý 2.1.4 ([1], Định lý 6.17, về độ trơn của nghiệm) Cho u

là một nghiệm C2(Ω) của phương trình Lu = f trong tập mở Ω, ở đây f

và hệ số của toán tử elliptic L nằm trong Ck,α(Ω) Khi đó,u ∈ Ck+2,α(Ω)

Nếu f và hệ số L nằm trong C∞(Ω) thì u ∈ C∞(Ω)

Định lý 2.1.5 ([1], Định lý 9.11, về đánh giá bên trong miền) Cho

Ω là một tập mở trong Rn và u ∈ Wloc2,p(Ω) ∩ Lp(Ω), 1 < p < ∞, là mộtnghiệm mạnh của phương trình Lu = f trong Ω Ở đây với các hằng sốdương λ, Λ, hệ số của L thỏa mãn

Định lý 2.1.6 ([1], Định lý 9.22, đánh giá chuẩn LLLppp của nghiệm)

âm trong hình cầu B = B2R(y) ⊂ Ω Khi đó

2.1.5 Các tính chất của nghiệm phương trình á tuyến tính cấp

(a) Ma trận hệ số[aij(x, z, p)] xác định dương với mọi(x, z, p) ∈ Ω×R×Rn

và với mọi ξ = (ξ1, , ξn) ∈Rn\ {0}, λ(x, z, p), Λ(x, z, p) lần lượt là giátrị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận [aij(x, z, p)] tức là

ở đây C = C(n, M, ¯µ(M ), R, |ϕ|1;Ω), ¯µ(r) là hàm không giảm nào đó

Hệ quả 2.1.8 ([1], Hệ quả 14.5) Cho u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) thỏa mãn

Giả sử một trong hai điều kiện sau xảy ra

2.2 Bài toán Dirichlet cho trường hợp hai biến độc

Cho phương trình phi tuyến hoàn toàn với hai biến độc lập (1.1) Giả sử

theo biến xk, khi đó ta được phương trình:

trong đó đối số của đạo hàm riêng Fij, Fpt, Fz, Fxk lần lượt là x, u, Du,

D2u Đặt w = Dku, f = Fxk(x, u, Du, D2u), ta có thể viết (2.1) như sau:

Do đó, nếu F là elliptic đối với u, thì các đạo hàm cấp một của u lànghiệm của phương trình elliptic tuyến tính trong Ω Ta giả sử phươngtrình (1.1) thỏa mãn điều kiện sau:

trong đó C và α chỉ phụ thuộc vào Λλ và d = dist(Ω0, ∂Ω)

Giả sử rằng ∂Ω ∈ C3, u ∈ C3(Ω) ∩ C2(Ω) và u = φ trên ∂Ω, ở đây

Và đánh giá toàn cục H¨older được suy ra như sau:

Định lý 2.2.2 ([1])Cho u ∈ C3(Ω) ∩ C2(Ω) thỏa mãn F [u] = 0 trong

ở đây α và C phụ thuộc vào Λλ và Ω

Từ Định lý 2.2.2 ta thấy, không gian C2,α(Ω) trong giả thiết (iii) củaĐịnh lí 1.3.3 có thể được thay thế bởi C2(Ω) Khi đó ∂Ω ∈ C3 và φ ∈

C3(Ω) Đánh giá đạo hàm cấp hai của phương trình có thể đạt được quaphép nội suy Thật vậy, giả sử:

|Fp, Fz(x, z, p, r)| ≤ µλ,

với mọi ξ ∈R2\{0}, (x, z, p, r) ∈ Γ,λ là hàm không tăng của|z|,Λvàµlàcác hàm không giảm của |z| Đánh giá (2.3) và (2.6) đúng với λ = λ(M ),

đẳng thức, ta có đánh giá chuẩn |u|2,α;Ω qua số hạng M

Định lý 2.2.3 ([1]) Cho u ∈ C3(Ω) thỏa mãn F [u] = 0 trong Ω ⊂ R2

và thỏa mãn (2.7) Nếu ∂Ω ∈ C3 và u = φ trên ∂Ω với φ ∈ C3(Ω), ta cóđánh giá toàn cục:

ở đây α > 0 phụ thuộc vào Λλ và Ω, và C phụ thuộc vào Λλ, µ, Ω và |u|0;Ω.Nhận xét rằng các giả thiết của các Định lí 1.3.3, 2.2.1, 2.2.2 có thể làmyếu đi để cho phép F ∈ C0,1(Γ), u ∈ W3,2(Ω) và φ ∈ W3,2(Ω) ∩ C2,β(Ω),(với các điều kiện (2.2), (2.6) không đổi tương ứng trên Ω, Γ) Điều kiện(2.7) có thể được làm yếu để tương ứng với điều kiện của phương trình átuyến tính

Kết hợp các Định lí 1.2.4, 1.3.3, 2.2.3 ta thu được sự tồn tại định lí chobài toán Dirichlet

Định lý 2.2.4 ([1]) Cho Ω là một miền bị chặn trong R2 với biên ∂Ω ∈

C3 và cho φ ∈ C3(Ω) Giả sử toán tử F thỏa mãn Fz ≤ 0 trong Γ cùngvới điều kiện cấu trúc (2.7) Khi đó bài toán Dirichlet, F [u] = 0, u = φ

trên ∂Ω, là giải được duy nhất, với nghiệm u ∈ C2,α(Ω) với mọi α < 1.Việc áp dụng trực tiếp Định lý 1.3.3 đòi hỏi F trơn Khi hàm F khôngtrơn thì Định lý 2.2.4 vẫn đúng nhờ phép xấp xỉ hàm F và đánh giá (2.8).Bằng phép xấp xỉ tương tự cũng cho ta sự tồn tại của phương trình loạiBellman-Pucci mà ta sẽ nói đến trong phần 2.3.2