ĐỀ CƯƠNG PHẦN lý THUYẾT điều KHIỂN tự ĐỘNG

Lý thuyết 2điểm Câu 1: Phương trình vi phân tổng quát của hệ liên tục tuyến tính Cho hệ điều khiển liên tục tuyến tính thể hiện trong hình : Trong đó, ut là tín hiệu vào và yt là tí

ĐỀ CƯƠNG : PHẦN LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

A Lý thuyết (2điểm)

Câu 1: Phương trình vi phân tổng quát của hệ liên tục tuyến tính

Cho hệ điều khiển liên tục tuyến tính thể hiện trong hình :

Trong đó, u(t ) là tín hiệu vào và y(t ) là tín hiệu ra Ánh xạ y(t )=T{u(t )} thỏa

Trong đó: a0,a1, ,an,b0,b1, ,bm là các hệ số của phương trình vi phân

Nếu các hệ số của phương trình vi phân không thay đổi theo thời gian thì hệ đã cho là hệdừng và ngược lại, nếu những hệ số của phương trình vi phân thay đổi theo thời gian thì hệ làkhông dừng Thông thường, các hệ số này được xác định từ các tham số của hệ thống

Để phương trình vi phân (*) có lời giải cần phải có điều kiện m≤n Bậc của phương

trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất của tín hiệu ra Khi biết tín hiệu vào muốn tìm tínhiệu ra cần giải phương trình vi phân (*) Có các cách sau để giải phương trình vi phân:

Phương pháp giải tích: sử dụng các công cụ và biến đổi toán học để tìm ra nghiệm tổng quát

của phương trình Phương pháp này cho kết quả chính xác nhưng không phải lúc nào cũng giảiđược

Phương pháp số: tính tập hợp các giá trị rời rạc của tín hiệu ra theo từng thời điểm dựa trên

một thuật toán nào đó (như Euler, Runge Kutta…) Phương pháp này thích hợp cho việc lậptrình trên máy tính tuy nhiên kết quả thu được chỉ là nghiệm gần đúng

Câu 2: Trình bày tiêu chuẩn ổn định Routh

Hệ điều khiển LTTT

(*)

Điều kiện cần và đủ để hệ liên tục tuyến tính ổn định là tất cả các hệ số trong cột thứ nhất củabảng Routh là dương.

Giả sử một hệ điều khiển liên tục tuyến tính có phương trình đặc tính:

A ( s)=a5s5+a4s4+a3s3+a2s2+a1s+a0=0Cách lập bảng Routh như sau:

Câu 3: Trình bày tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Giả sử hệ điều khiển tự động có phương trình đặc tính:

A ( s)=a n s n+a n−1 s n−1+ +a1s+a0=0

Điều kiện cần và đủ để hệ liên tục tuyến tính ổn định là: an, Δ1, Δ2, ,Δn> 0 , nghĩa là

hệ số an và các định thức Hurwitz phải dương.

Cách xác định các định thức Hurwitz như sau

Xét ví dụ Cho hệ liên tục tuyến tính có phương trình đặc tính:

- Định thức Δn sẽ có đường chéo chính là các phần tử từ an−1 đến a0 , từ mỗi phần

tử trên đường chéo chính nếu đi lên trên thì chỉ số giảm dần, đi xuống thì chỉ số tăng dần, nếuchỉ số không tăng hoặc không giảm được nữa thì phần tử tương ứng bằng 0

Câu 4: Khái niệm về sai lệch tĩnh của hệ thống điều khiển

Xét hệ điều khiển tự động vòng kín có sơ đồ khối như sau:

Trong đó e(t )=u(t )− y(t ) là sai lệch của hệ thống.

Giả sử hệ đã cho ổn định, nghĩa là nếu tín hiệu vào là một hằng số thì tín hiệu ra sau mộtkhoảng thời gian quá độ cũng phải tiến về một hằng số nào đó Khi đó sai lệch giữa tín hiệu vào

và tín hiệu ra ở chế độ xác lập là một hằng số và gọi là sai lệch tĩnh của hệ, ký hiệu

Khái niệm sai lệch tĩnh chỉ áp dụng cho hệ ổn định Sai lệch tĩnh càng nhỏ thì hệ thống cóchất lượng càng tốt Khi e0 thì hệ được gọi là hệ vô sai Tuy nhiên trên thực tế không phảilúc nào e

cũng bằng 0

Giả sử Gh( s) là hàm truyền đạt của hệ hở, biến đổi các tín hiệu gốc sang ảnh Laplace ta

có:

( )( )

Suy ra: Y (s)=E( s).Gh( s)

Mà e(t )=u(t )− y(t ) nên E( s)=U ( s)−Y ( s)⇒Y (s)=U (s)−E (s) , thay vào công thức

Câu 5: Trình bày định lý về sai lệch tĩnh của hệ liên tục tuyến tính

Với một hệ thống vòng kín ổn định thì sai lệch tĩnh của hệ bằng 0 trong hai trường hợp:

- Khi tác động vào hệ tín hiệu bậc thang u(t )=1(t ) và hệ hở chứa ít nhất một khâu tích

phân Lúc này hệ được gọi là hệ vô sai cấp 1

- Khi tác động vào hệ tín hiệu tăng đều u(t )=t và hệ hở chứa ít nhất hai khâu tích

phân, hệ được gọi là hệ vô sai cấp 2

Chứng minh:

Trường hợp 1 Khi tác động vào hệ tín hiệu u(t )=1(t )⇒U ( s)=1/ s Áp dụng công thức (*)

ta có:

Câu 6: Trình bày về các thông số đặc trưng của quá trình quá độ

Khái niệm: Quá trình quá độ là quá trình chuyển trạng thái từ trạng thái ban đầu sangtrạng thái mới, còn quá trình xác lập là quá trình mà hệ thống đạt được trạng thái mới

và làm việc ổn định ở trạng thái này

* Thời gian quá độ Tqd : lim ( )t y t y xl

Là thời gian tính từ thời điểm ban đầu đến thời điểm mà đặc tính thời gian của đầu ra bắtđầu đi vào dải 5%y xl và sau đó không ra khỏi dải này nữa Thời gian quá độ sẽ chia miền thờigian thành hai quá trình: quá trình quá độ và quá trình xác lập.

* Độ quá điều chỉnh  : là sai biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị xác lập của đầu ra

Độ quá chỉnh tuyệt đối :  y MAX y xl

Độ quá chỉnh tương đối :

* Số lần dao động (n) : là số lần đặc tính thời gian dao động xung quanh giá trị xác lập nhưng

chỉ tính đến thời điểm kết thúc của quá trình quá độ

Có những đặc tính thời gian không có dao động mà chỉ có độ quá điều chỉnh Ba thông sốtrên và sai lệch tĩnh tạo thành các chỉ tiêu chất lượng động học của hệ Bốn thông số này có giátrị càng nhỏ thì chất lượng động học càng tốt

Câu 7: Điều kiện tồn tại độ quá điều chỉnh của quá trình quá độ, cho ví dụ

Chỉ xét trường hợp tất cả các điểm cực và điểm không đều là số thực âm

Giả sử: 0>q1≥ q2≥ ≥qm

0> p1≥ p2≥ ≥ pn

Xét m bất đẳng thức: q1< p1, q2< p2, , qm< pm

Nếu m bất đẳng thức trên đều đúng thì quá trình quá độ của hệ không có độ quá điều

chỉnh Nếu có l bất đẳng thức sai thì quá trình quá độ của hệ có độ quá điều chỉnh và có l điểm

Xét cấu trúc vòng kín của hệ điều khiển tự động như hình

-Trong đó: w ( t ) là tín hiệu đặt, e ( t ) là tín hiệu sai lệch, u ( t ) là tín hiệu điều khiển và

- Thành phần tỷ lệ (Proportional): P

- Thành phần tích phân (Integral): I

- Thành phần vi phân (Derivative): D

Sơ đồ khối của bộ điều khiển PID :

Như vậy, một bộ điều khiển PID gồm có ba khâu: khâu tỷ lệ, khâu tích phân và khâu viphân Các khâu này được ghép nối song song với nhau, với kp là hệ số tỷ lệ, k I là hệ số

tích phân và K D là hệ số vi phân.

Mối quan hệ vào ra của bộ điều khiển PID được biểu diễn theo hai cách sau

Biểu diễn theo hàm truyền đạt: R (s )=k p+k I

s +k D s

-_

Biểu diễn theo phương trình vi – tích phân:

u (t)=k p e (t)+k I∫e(t) dt +k D.de (t )

dt

Ngoài ra, bộ điều khiển PID còn được biểu diễn theo sơ đồ khối thứ hai như sau:

Với T I - hằng số tích phân, T D - hằng số vi phân.

Mối quan hệ giữa hai sơ đồ khối như sau: TI= kp/ kI;TD= kD/ kp .

Câu 9: Hãy nêu chức năng của bộ điều khiển PID

Ba khâu tỷ lệ, tích phân và vi phân tạo nên bộ điều khiển PID với chức năng của từng khâu như sau:

- Khâu tỷ lệ: là khâu thực hiện vai trò chủ đạo cho bộ điều khiển Mỗi khi xảy ra sai lệchđầu ra thì sai lệch này sẽ được khuếch đại qua khâu tỷ lệ để tác động trở lại đối tượng và làmgiảm chính sai lệch đó

- Khâu tích phân: là khâu bổ trợ, có tác dụng làm tăng độ chính xác cho hệ Chừng nào sailệch tĩnh chưa bằng 0 thì thông qua khâu tích phân tạo ra một tín hiệu luôn thay đổi tác độnglên đối tượng để làm giảm dần sai lệch tĩnh về 0

- Khâu vi phân: là khâu bổ trợ, có tác dụng làm tăng thêm độ nhạy cho hệ thống Chỉ cầnmột thay đổi nhỏ của các yếu tố bên ngoài tác động lên hệ thì qua khâu vi phân sẽ tạo nên mộtthay đổi lớn và tác động lên đối tượng, làm cho đối tượng phản ứng nhanh với sự thay đổi củamôi trường bên ngoài

Nhiệm vụ của bài toán tổng hợp bộ điều khiển PID chính là xác định ba hệ số kp , k I

và k D (đối với cấu trúc 1), hoặc ba hệ số kp , T I và T D (đối với cấu trúc 2) để làm cho

đối tượng thỏa mãn yêu cầu đề ra

Trên thực tế, tùy vào đối tượng và tùy vào yêu cầu điều khiển, một bộ điều khiển PIDkhông nhất thiết phải có đủ cả ba khâu mà có thể chỉ cần một khâu hoặc hai khâu

Chẳng hạn, nếu không yêu cầu hệ có độ nhạy cao thì có thể bỏ khâu vi phân, khi đó ta có

bộ điều khiển PI:

Hiện nay, có một số phương pháp phổ biến để xác định các hệ số kp,kI,kD hoặc

kp,TI,TD của bộ điều khiển PID, có thể chia thành:

Các phương pháp thực nghiệm: Phương pháp Zigler-Nichols, phương pháp Chien - Hrones

– Reswick và phương pháp Kuhn

Các phương pháp phân tích: Phương pháp tối ưu độ lớn, phương pháp tối ưu đối xứng và

phương pháp tối ưu theo sai lệch bám

Câu 10: Mô hình trạng thái tổng quát của hệ liên tục tuyến tính

Cho hệ liên tục tuyến tính có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra (MIMO).

Trong đó: u1,u2… ,, um - m tín hiệu vào,

y1, y2,… , yr - r tín hiệu ra,

x1,x2,… , xn - n tín hiệu trạng thái

Hệ LTTT

Mô hình trạng thái gồm 2 phương trình sau:

- Phương trình trạng thái: là phương trình vi phân bậc nhất đối với các biến trạng thái và đượcviết ở dạng ma trận như sau:

Trong đó: C, D - các ma trận đầu ra, C(r x n), D(r x m)

Bốn ma trận A, B, C, D đặc trưng cho mô hình trạng thái, trong đó chỉ có ma trận A là

ma trận vuông, còn ba ma trận B, C, D là các ma trận bất kỳ

Câu 11: Điều kiện ổn định của hệ liên tục tuyến tính trong miền thời gian

Giả sử hệ LTTT được mô tả bằng mô hình trạng thái:

Mà ( sI− A)−1=

~A ad j det(sI− A), trong đó

~A adj là ma trận bù của ma trận sI-A

→G (s )= C

~

A adj B+det (sI− A ) D

det ⁡(sI −A ) .

Từ công thức trên, ta thấy tất cả các hàm truyền đạt thành phần trong ma trận truyền đạtđều có chung mẫu số là: A(s)= det(sI-A) Mà mẫu số của hàm truyền đạt là đa thức đặc tính của

hệ, do đó hệ đã cho có phương trình đặc tính là:

A(s) = det(sI-A) = 0 (1)Nghiệm của phương trình đặc tính là các điểm cực của hệ, đồng thời phương trình (1) lại

là phương trình tìm các giá trị riêng của ma trận A, do vậy các giá trị riêng của ma trận A chính

là các điểm cực của hệ Từ đây, áp dụng điều kiện ổn định trong miền phức (xem mục 2.3.1), ta

có điều kiện ổn định của hệ liên tục tuyến tính trong miền thời gian như sau:

- Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận hệ thống đều nằm bên trái trục ảo trên mặt phẳngphức thì hệ ổn định

- Chỉ cần một giá trị riêng nằm trên trục ảo thì hệ ở biên giới ổn định

- Chỉ cần một giá trị riêng nằm bên phải trục ảo thì hệ không ổn định

Như vậy tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc vào ma trận hệ thống A mà không phụ thuộcvào ba ma trận B, C, D

Để xác định tính ổn định của hệ trong miền thời gian thì cần phải tìm các giá trị riêng của

ma trận hệ thống bằng cách giải phương trình:

det(sI-A) = sn + an-1.sn-1 +….+ a1.s + a0 = 0Giải phương trình trên không đơn giản, đặc biệt là đối với hệ bậc cao, cho nên người taphải tìm các phương pháp khác để xác định tính ổn định, đó là các tiêu chuẩn ổn định

Câu 12: Trình bày về tiêu chuẩn ổn định Gerschgorin, cho ví dụ

Giả sử hệ liên tục tuyến tính có ma trận hệ thống (ma trận vuông):

A=[a11a12… … a 1 n

a21a22… … a 2 n

… … … … …

a n1 a n 2 … … a nn]

Bản chất của tiêu chuẩn này là đi tìm mối quan hệ giữa các phần tử của ma trận hệ thống để làmcho hệ ổn định.

Phát biểu: Nếu tất cả các tổng aii + Ri , R i=∑

j=1 j≠ i

Hệ đã cho ổn định vì tất cả các tổng đều nhỏ hơn 0

- Nhận xét về tiêu chuẩn Gerchgorin:

+ Ưu điểm: Đơn giản, dễ sử dụng (đơn giản nhất trong các tiêu chuẩn ổn định đã xét).+ Nhược điểm: Tiêu chuẩn Gerchgorin chỉ là điều kiện đủ để xác định tính ổn định của

hệ, nghĩa là nếu điều kiện Gerchgorin thỏa mãn thì hệ ổn định, còn nếu điều kiện Gerchgorinkhông thỏa mãn (có ít nhất một tổng lớn hơn hoặc bằng 0) thì chưa thể khẳng định gì về tính ổnđịnh của hệ Lúc này ta phải đi xác định các giá trị riêng của ma trận hệ thống rồi áp dụng điềukiện ổn định đã trình bày ở trên

Câu 13: Khái niệm về điều khiển gán điểm cực

Xét hệ liên tục tuyến tính:

Hệ LTTT

u

u - véc tơ đầu vào,

y - véc tơ đầu ra,

Sự phân bố các điểm cực trên mặt phẳng phức ảnh hưởng đến chất lượng động học của

hệ như tính ổn định, tính tác động nhanh, sự dao động…Cho nên nếu các điểm cực nằm ở vị tríkhông tốt sẽ dẫn đến chất lượng động học của hệ cũng không tốt

Lúc này nảy sinh ra vấn đề: Cần phải tổng hợp cho hệ một bộ điều khiển có nhiệm vụdịch chuyển những điểm cực ở vị trí không tốt về vị trí tốt hơn, làm cho hệ thỏa mãn được yêucầu đề ra Đó chính là điều khiển gán điểm cực, nghĩa là gán cho đối tượng những điểm cựcmong muốn để thỏa mãn yêu cầu đề ra và đi xác định bộ điều khiển để dịch chuyển các điểm cựccủa hệ về vị trí mong muốn đó

Có hai phương pháp khác nhau để thực hiện điều khiển gán điểm cực:

+ Dùng phản hồi trạng thái

+ Dùng phản hồi đầu ra

- Cấu trúc phản hồi trạng thái:

Nếu hệ ban đầu có tính điều khiển được thì bài toán này giải được hoàn toàn, nghĩa làdịch chuyển được toàn bộ các điểm cực về vị trí mong muốn.

- Cấu trúc phản hồi đầu ra:

Toàn bộ véc tơ đầu ra được đưa về phản hồi thông qua ma trận phản hổi K Nhiệm vụ đặt

ra là phải xác định bộ điều khiển K sao cho hệ kín mới có được các điểm cực như mong muốn.Khác với cấu trúc trước, bài toán này có thể không giải được hoàn toàn, nghĩa là trong các điểm cực của hệ có thể có một số điểm cực không đạt được vị trí mong muốn, thậm chí có một số điểm cực dịch chuyển đến vị trí tồi hơn trước Cho nên trên thực tế cấu trúc này ít khi được sử dụng

B Lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: Hàm truyền đạt của hệ liên tục tuyến tính và cách xác định từ phương trình vi phân

Cho hệ điều khiển liên tục tuyến tính được thể hiện trong hình :

Trong đó: u(t ) là tín hiệu vào và y(t ) là tín hiệu ra Gọi U ( s)=L{u(t )} là biến đổiLaplace của tín hiệu vào và Y (s)=L{y(t )} là biến đổi Laplace của tín hiệu ra.

a Khái niệm về hàm truyền đạt

Giả sử hệ điều khiển đã cho được mô tả bởi phương trình vi phân có dạng tổng quát:

Hệ điề

u khiể

n LTTT

b Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân

Áp dụng tính chất tuyến tính thực hiện phép biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình(*) ta có:

(*)

( ansn+ an−1sn−1+ +a1s+a0) .Y (s)=(bmsm+ bm−1sm−1+ +b1s+b0).U (s)

Do vậy, hàm truyền đạt của hệ có dạng:

Hàm truyền đạt có tính ưu việt hơn hẳn so với phương trình vi phân do nó biểu diễn mốiquan hệ vào ra của hệ dưới dạng phương trình đại số Hàm truyền đạt nói lên ý nghĩa của phépbiến đổi Laplace là đã biến đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số giúp cho quátrình khảo sát hệ thống được dễ dàng, từ hàm truyền đạt của hệ người ta đưa ra các đặc tính độnghọc của nó

Câu 2: Trình bày về các phép ghép nối sơ đồ khối cơ bản

a Ghép nối nối tiếp

(**)

Giả sử một hệ gồm hai hệ con có hàm truyền đạt lần lượt là G1(s),G2(s) được ghép nối

nối tiếp với nhau Hai khối được gọi là ghép nối nối tiếp với nhau nếu đầu ra của khối trước làđầu vào của khối sau

Sơ đồ khối của hệ ghép nối nối tiếp được thể hiện trong hình

b Ghép nối song song

Giả sử một hệ gồm hai hệ con có hàm truyền đạt lần lượt là G1(s),G2(s) được ghép nối

song song với nhau Hai khối được gọi là ghép nối song song với nhau nếu chúng đều nhậnchung một tín hiệu vào còn các tín hiệu ra được cộng đại số với nhau để tạo thành tín hiệu raduy nhất

Sơ đồ khối của hệ ghép nối song song được thể hiện trong hình

Trong cách biểu diễn sơ đồ khối ở trên có hai loại điểm nút:

- Nút rẽ nhánh(.): là điểm nút mà tại đó một tín hiệu được rẽ nhánh để đi về nhiều nơikhác nhau

_

- Nút nối tín hiệu (): là điểm nút mà tại đó nhiều tín hiệu cộng đại số với nhau để tạothành một tín hiệu duy nhất.

Ta có: Y1(s)=U ( s).G1(s), Y2(s)=U ( s) G2(s)

Ảnh Laplace của đầu ra:

Y (s)=Y1(s)±Y2(s)=U (s).G1(s)±U (s).G2(s)=U (s).[G1(s)±G2(s)]

Giả sử một hệ gồm hai hệ con có hàm truyền đạt lần lượt là G1(s),G2(s) được ghép nối

phản hồi với nhau Hai khối được gọi là ghép nối phản hồi với nhau khi tín hiệu ra của khối thứnhất được đưa qua khối thứ hai rồi trở về so sánh với tín hiệu vào, kết quả so sánh được đưatrở lại khối thứ nhất Khi đó khối thứ nhất G1(s) được gọi là khối truyền thẳng và khối thứ

hai G2(s) được gọi là khối phản hồi Tín hiệu ra của khối thứ hai được gọi là tín hiệu phản hồi,

nó có thể mang dấu dương (phản hồi dương) hoặc mang dấu âm (phản hồi âm)

Sơ đồ khối của hệ ghép nối phản hồi được thể hiện trong hình 2.10

Hình 2.10 Sơ đồ khối của hệ ghép nối phản hồi

_