Hệ điều khiển tự động kín

Qua đồ thị trên ta thấy rõ được : - Trên trục Ox khoảng từ 1 tới 3.5 thì hàm đầu ra tuyến tính tăng cách quán tính .Còn từ 3.5 tới ∞ thì đã ổn định và trơn đều trên độ khuyếch đại là 90.

LỜI NÓI ĐẦU

Điều khiển tự động đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của khoa học

và kĩ thuật Lĩnh vực này hữu hiệu khắp nơi từ hệ thống phi tuyến không gian, hệthống điều khiển tên lửa máy bay không người lái, người máy, táy máy trong cácquy trình sản xuất hiện đại, và ngay cả trong đời sống hàng ngày : Điều khiển nhiệt

độ ẩm

Ngày nay Lý thuyết điều khiển hiện đại dựa trên phân tích trong miền thờigian và tổng hợp dùng trong các biến trạng thái, cho phép giải các bài toán điềukhiển có yêu cầu chặt chẽ về độ chính xác, trọng lượng và giá thành của các hệthống trong lĩnh vực kĩ nghệ không gian và quân sự

Từ quá trình hình thành và phát triển của ngành Điều khiển tự động cho thấy việc

đi sâu vào nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về ngành này đang là một vấn đề cần đượcquan tâm và chú trọng trong các trường Đại học, Cao đẳng,

Hơn thế nữa là một thế hệ sinh viên của nước nhà chúng em đã biết đượcrằng môn học Lý thuyết điều khiển tự động là rất bổ ích, nó là nền tảng cơ sỏ choviệc nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn, và phục vụ cho các công việc sau này của chúng

em

Những bài tập lớn như thế này là hết sức cần thiết đối với chúng em vì nógiúp chúng em có thể tự tìm hiểu thêm cho kiến thức của mình, và sau một thời

gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn của cô: Nguyễn Phương Thảo Em đã

hoàn thành bài tập với tất cả khả năng của mình, nhưng dù sao cũng không thểtránh được những thiếu sót Bởi vậy mà em rất mong được sự đánh giá và chỉ bảotận tình của các thầy cô trong khoa : Điện - Điện Tử

Em xin chân thành cảm ơn !

Hưng yên, ngày 28 tháng 05 năm 2009

Bài Tập Lớn

Đề bài: Hệ điều khiển tự động kín (phản hồi -1), với đối tượng được mô tả bằng hàm truyền đạt:

với = ; tín hiệu vào là 1(t)

1. Khảo sát hệ thống khi chưa có bộ điều khiển

2. Tổng hợp bộ điều khiển PID So sánh và đánh giá kết quả trước và sau khi có bộ điều khiển

3. Tổng hợp bộ điều khiền phản hồi trạng thái So sánh và đánh giá kết quả trước và sau khi có bộ điều khiển

Với các thông số: = 30, = 3, = 1, = 0,2, = 0,3, = 0,2

Mục lục

1. Khảo sát hệ thống khi chưa có bộ điều khiển

1.1 Xét tính ổn định của hệ thống

1.2 Xét tính quan sát được điều khiển được của hệ thống

1.3 Sai số và quá trình quá độ của hệ thống

2. Sử dụng các bộ điều khiển PID để khảo sát hệ thống

2.1 Sử dụng phương pháp Chien-Hrones-Reswick

2.1.1 Hệ hở

2.1.2 Hệ kín

2.2 Sử dụng phương pháp tối ưu độ lớn

3. Tổng hợp bộ điều khiển phản hồi trạng thái

4. Kết luận chung

1 Khảo sát hệ thống khi chưa có bộ điều khiển

Từ các hệ số khuyếch đại và hằng số thời gian ta có các hàm sau :

>> W1 = tf (30,[0.2 1])

>> W2 = tf ( 3, [0.3 1])

>> W3 = tf (1,[0.2 1])

W1 = 1 1

1 +

s T K

s T K

s T K

=Hàm truyền đạt hở của hệ thống là : Wh= W1 W2 W3

s T

s T K

1

31

3 +

s T K

=

=

- Thông qua cửa sổ matlab ta có :

>>step (Wh)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0

Qua đồ thị trên ta thấy rõ được :

- Trên trục Ox khoảng từ 1 tới 3.5 thì hàm đầu ra tuyến tính tăng cách quán tính Còn từ 3.5 tới ∞ thì đã ổn định và trơn đều trên độ khuyếch đại là 90.1.1 Xét tính ổn định của hệ thống

Để xét tính ổn định của hệ thống ta có nhiều phương pháp như :tiêu chuẩn ổn định về đại số và tiêu chuẩn ổn định về tần số

Trong tiêu chuẩn ổn định về tần số có tiêu chuẩn Nyquist , Mikhailop

Trong tiêu chuẩn ổn định về đại số có tiêu chuẩn Routh , Hurwitz …

Ta sẽ xét các tiêu chuẩn này để thấy được ưu điểm của mỗi phương pháp1.1.1 Hệ hở

Với hệ hở thì phương pháp tối ưu nhất là tiêu chuẩn ổn định về đại số

Sử dụng tiêu chuẩn ổn định Hurwitz :

Hàm truyền đạt với hệ hở :

Wh =

Ta có phương trình đặc tính của hàm truyền đạt hở sau :

Có các hệ số từ a0 tới a3 đều > 0 ( thỏa mãn điều kiện cần ) (1)

Mặt khác theo tính chất của định thức Hurwitz , ta có :

H =

Có các định thức con : H1 , H2 , H3

= 0,7 > 0 = = -0,008<0

= -0,00096 < 0Trên ta thấy có một định thức nhỏ hơn 0 theo tiêu chuẩn Hurwitz ta có

hệ hở không ổn định

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-6 -4

-2 0

2 4

-1 0 1

Ta thấy rằng với hệ thống kín có hệ hở là khâu quán tính bậc 3 , có hệ số khuyếch đại lớn song song với bước thời gian nhỏ thì đáp ứng ra ở đầu ra rất nhỏ và dao động rùi dần đi vào ổn định

Chính vì lý do thời gian quá độ là tương đối lớn cũng như có những bước dao động này mà người ta cần phải thiết kế bộ điều kiển ( ở phần sau )Bây giờ xét tính ổn định của hệ kín thông qua tiêu chuẩn Nyquist

Thực ra tiêu chuẩn này đã bao hàm cả hệ hở

Như ta đã xét ở hệ hở đã ổn định ( là điều kiện cần ) (3)

Còn với đồ thị Nyquist không bao điểm ( -1 +0j) thì hệ thống kín sẽ ổn định

>>Nyquist (Wk)

Đồ thị Nyquist 2D:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

-10 -5 0

Qua 2 đồ thị trên ta thấy điểm (-1,j0) ,điểm bị đáng dấu đỏ không bị bao bởi

đồ thị

Vậy hệ thống kín không ổn định theo Nyquist

1.2 Xét tính quan sát được điều khiển được của hệ thống

1.2.1 Xác định các ma trận trạng thái

Thật vậy có 3 phương pháp để xác định các ma trận trạng thái từ hàm truyền đạt

(1) Theo phương trình vi phân

(2) Theo bảng biểu diễn

(3) Theo hàm mà matlab đã quy định

Trong 3 phương pháp trên thì mỗi phương pháp đều có những ưu điểm vàkhuyết điểm riêng Chẳng hạn :

Với phương pháp phương trình vi phân thì chỉ phù hợp với hàm truyền đạt có tử số là một hằng số , nếu như tử số là một hàm từ bậc nhất trở lên thì việc tính toán sẽ gặp nhiều khó khăn

Với phương pháp bảng biểu diễn thì có thể áp dụng cho mọi bài toán Đòihỏi bạn phải hiểu rõ bản chất của vấn đề , viết ra được đồ hình các hệ số thì khi đó giải quyết bài toán sẽ rất nhanh và thuận lợi Còn nếu mà bạn muốn chứng minh từ đầu thì bài toán sẽ dài và tốn nhiều thời gian

Với phương pháp theo các hàm chuyển đổi trong matlab thì thao tác rất nhanh , kết quả tính toán chính xác Nhưng để kết quả đó thực sự đúngvàphù hợp với phương pháp giải bằng tay ở trên thì bạn phải biết cách biến đổi ở ma trận chuyển vị

Trong nội dung bài toán này em xin phép được đưa ra đồ hình cho

phương pháp thứ 2 và sẽ tiến hành giải theo phương pháp thứ 3

Hàm truyền đạt hở có dạng như sau :

H(s) =

Theo phương pháp 2 thì phải làm cho hệ số a0 = 1 Còn đối với các hệ sô

bi ở tử số thì nếu hệ số nào không có thì cho bằng 0

Ta có bảng đồ hình sau :

Các ma trận A ,B,C,D được thể hiện như sau :

Còn theo cách khai triển theo đồ hình ở trên ta sẽ có hệ trạng thái sau :Như vậy từ hệ phương trình trên ta hoàn toàn có thể xác đinh được các

ma trận trạng thái :

A= B =

C =

D =

+ Giải theo các hàm trên matlab được :

Thật vậy tf2ss là hàm chuyển từ hàm truyền đạt sang hệ phương trình trạng thái – nơi có sự hiện diện của các ma trận trạng thái

1.2.2 Xét tính điều khiển được

Ma trận điều khiển được có dạng : Pc =

Hệ thống điều khiển được khi mà số hạng của mà trận A bằng với số hạng của ma trận Pc

Vì matlab cung cấp cho ta cách tính theo ma trận a,b,c,d nhưng thực chất phải tính theo ma trận A,B,C,D

Ctrb() là hàm chuyển sang ma trận điều khiển được

Obsv() là hàm chuyển sang ma trận quan sát

1.3.2 Quá trình quá độ của hệ thống

Trước hết khi phân tích một hệ thống thì gồm 2 phần cơ bản Đó là quá trình quá độ và quá trình xác lập

Một hệ thống điều khiển tự động được gọi là ổn định khi mà tín hiệu đầu ra tắt dần theo thời gian

Thật vậy với đầu vào là u(t)=1(t) thì đáp ứng quá độ khi có kích thích đó là :

System: y Time (sec): 3 Amplitude: 207

Qua đồ thị trên ta thấy được rằng :

Thời gian quá độ : Tqd = 3s

Giá trị xác lập h = biên độ đỉnh hmax= 207

Tần số dao động : n=0 ( không chứa thành phần là khâu dao động )

Hệ hở không có độ quá điều chỉnh ( do đây là khâu quán tính bậc 3 )

2 Sử dụng các bộ điều khiển PID để khảo sát hệ thống ?

Khi chưa có bộ điều khiển thì :

-Hệ thống không dao động

-Hệ thống không có lượng quá điều chỉnh

-Còn tồn tại thời gian quá độ là tương đối lớn

Chính vì vậy mà sử dụng bộ điều khiển nhằm hạn chế các nhược điểm , tăngthêm các tính năng cho hệ thống

Một số vấn đề về bộ điều khiển PID

Bộ điều khiển PID được sử dụng khá rộng rãi để điều khiển đối tượng SISOtheo nguyên lí hồi tiếp như hình dưới đây:

(1)Bộ điều khiển PID có nhiệm vụ đưa sai lệch tĩnh của hệ thống về không.Sao cho quá trình quá độ thoả mãn các yêu cầu cơ bản về chất lượng:

+ Luật tích phân:Tăng độ chính xác của hệ hở ở trạng thái xác lập

+ Luật điều khiển vi phân :Giảm thời gian quá độ

+ Luật điều khiển PID:Có khẳ năng làm thay đổi chất lượng động và tĩnh của hệ

(2) Bộ điều khiển PID được mô tả bằng mô hình vào-ra:

] ) ( )

(

1 ) ( [

) (

Trong đó:

e(t) là tín hiệu đầu vào

u(t) là tín hiệu đầu ra K(p) là hệ số khuyếch đại

s T K

Chọn các tham số đó cho phù hợp.Hiện có khá nhiều các phương pháp

xác định các tham số K P,T I,T D cho bộ điều khiển PID ,song tiện ích hơn cả trongứng dụng vẫn là các phương pháp:

+ Phương pháp Ziegler-Nichols

+ Phương pháp Chien-Hrones-Reswick

+ Phương pháp tối ưu độ lớn

+ Phương pháp tối ưu đối xứng

Với hệ kín có hàm truyền đạt :

Mặt khác , như ở trên thì có 1 nghiệm đơn dương , chỉ cần 1 dữ liệunày thôi thì cũng đủ chứng tỏ rằng hệ thống kín không có độ quá điều chỉnh

Đáp ứng đầu ra của hệ thống của đầu vào là 1(t) là :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

50 100

Nhưng để đảm bảo các yêu cầu đó cho hệ kín trên , thì có thể sử dụng phương

án 1 hoặc là phương án 3 ta chọn phương án thứ 3 :Các bộ điều khiển P,PI vàPID được thể hiện ở bảng giá trị sau :

Bộ điều

khiển

P = 0,0053

PID = 0,01 b=1,1

15 , 0

Ta có tín hiệu đầu ra hiện thị trên scope là:

- Trên cửa sổ Matlab có hàm truyền đạt mới như sau :

Wh1=kp w ( trong đó w là truyền đạt hở của hệ thống khi chưa có bộ điều khiển )

Transfer function:

>> step(wh1)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Thật vậy qua 2 đồ thị trên khi có thêm bộ P thì so với hệ hở khi chưa

có bộ điều khiển thì thời gian quá độ dường như không thay đổi Chỉ thay đổi ở biên độ đỉnh nhọn , giá trị xác lập Độ quá điều chỉnh vẫn bằng 0 ( hay không có độ quá điều chỉnh ) Hệ thống vẫn ổn định về mặt đại số

2.1.1.2 Bộ PI

Với bộ PI có bộ điều khiển là : R(s) = Kpi (1 + )

R(s) = 0.0062.(1+ 1/1.32s) = 0.0062 (1.32s +1)/1.32s

- Xét trên cửa sổ matlab thì :

Hàm truyền của bộ điều khiển PI là :

System: wh2 Time (sec): 2.98 Amplitude: 1.52

Xét tính ổn định của hệ hở tiêu chuẩn Routh hay Hurwitz

Ta có phương trình đặc tính :

H(s) = tiêu chuẩn ổn định ơ trên có thể xét cách tính tắt thông qua các hệ số ai

cũng như nghiệm của ptrình:

Có các hệ số ai đều lớn hơn 0

Nghiệm tính theo matlab như sau :

>> mau = [0.01584 0.2112 0.924 1.32 0]

mau =

- Xét trên cửa sổ Simulink thì :

Mô tả hàm truyền đạt dưới dạng hình sau :

Tín hiệu đầu ra dưới dạng Scope là :

Nhìn chung , khi mà có bộ điều khiển PI thì đã có sự khác biệt với hệ hở khi chưa có bộ điều khiển cũng như hệ hở có bộ điều khiển P :

(1) Không tồn tại thời gian quá độ

(2) Không có sự dao động

(3) Giá trị xác lập có giảm hơn nhiều

(4) Không có độ quá điều chỉnh

(5) Hệ trở nên biên giới ổn định

1 1

1 1 1 165

Có 4 nghiệm trong đó có 3 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 Vậy hệ

hở ở biên giới ổn định khi có bộ điều khiển PID

Đáp ứng đầu ra của hệ thống này :

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Tín hiệu đầu ra được hiện thị trên đầu ra scope :

Nhận xét :

(1) Hệ hở có bộ điều khiển PID này nằm ở biên giới ổn định

(2) Không có thời gian quá độ

(3) Không có dao động

(4) Không có độ quá điều chỉnh

2.1.2 Hệ kín

Với hệ kín thì có phản hồi , ta chọn ở đây là phản hồi âm -1

Dùng hàm trong matlab : feedback(w , 1) để lấy các thông số

Xét tới thời gian quá độ của hệ kín , mức dao động , giá trị xác lập , tính ổn định của hệ kín với các bộ điều khiển P ,Pi ,PID so với hệ kín khi chưa có các bộ điều khiển hay so với hệ hở có các bộ điều khiển nhằm thấy được sự

2.1.2.1 Bộ PID

- Xét theo cửa sổ Simulink

Tín hiệu đầu ra được mô phỏng như sau :

- Biểu diễn trên cửa sổ Matlab

Theo thông số ở trên , hệ hở có hàm truyền đạt là wh3

0 10 20 30 40 50 60 70 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Rs = 0.0062*tf([1.32 1],[1.32 0])

Mà wh2= Rs*Wh wh2=

Đi vào tìm hiểu với hệ kín có đầu vào kích thích là 1(t)

- Trên cửa sổ matlab ta có :

Xét tính ổn định của hệ kín

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Đáp ứng đầu ra ( tín hiệu đầu ra ) của hệ thống được biểu diễn dưới :

Nhận xét :

So với hệ hở có cùng bộ điều khiển PI thì đã có sự khác biệt lớn khi có phản hồi âm :

(1) Đã có thời gian quá độ tuy còn khá lớn T = 4,3s

(2) Giá trị xác lập là tương đối nhỏ h =0,7

(3) Hệ thống kín đã ổn định thay cho biên giới ổn định ở hệ hở

Tại đầu ra của Scope thì :

- Biểu diễn qua Matlab thì :

Tính các bước như : hàm truyền đạt kín , đáp ứng xung với kích thíchtăng dần , xét độ ổn định của hệ thống

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

2.2 Sử dụng phương pháp tối ưu độ lớn

Với phương pháp tối ưu này nói lên chất lượng của hệ kín Nó chủ yếu đượcxây dựng trên trên việc sử dụng tham số của bộ điều khiển PID để điều

khiển hàm truyền đạt là hàm truyền hở :

Wh = =

Điều khiển đối tượng ở đây là khâu quán tính bậc 3

Cho nên , ta có thể xác định các tham số của bộ điều khiển PID như sau :

K=90 , T = 0.3 , T = 0.2 , T = 0.2

Thật vậy qua dạng sóng này ta thấy được một điều rằng sử dụng bộ điều khiển PID theo phương pháp đối xứng có nhiều cách tiếp cận để điều khiển tự động

Bên cạnh đó ta cũng có được các giá trị sau :

(1) Giá trị đỉnh là : ymax = 1.2

(2) Giá trị xác lập là : y∞ = 1

(3) Độ quá điều chỉnh

(4) Có dao động

(5) Thời gian quá độ lớn Tqd = 10s

(6) Xét tới tính ổn định của hệ thống này trên cửa sổ Matlab

Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID là

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -6

(1) Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được

(2) Viết phương trình đặc tính của hệ thống

(3) Viết phương trình đặc tính của hệ thống có hồi tiếp trạng thái(4) Cân bằng hệ số của 2 phương trình trên để đưa ra véc tơ phản hồi trạng thái

Thật vậy hệ thống có hàm truyền đạt hở là

(1) Wh =

Theo cách tính ở phần 1 ta đã có được các ma trận trạng thái như sau :

A= B = C=

Giải hệ phương trình này ta được :

Vậy vec tơ phản hồi trạng thái có dạng :

K=

4. Kết luận chung

Khi có phản hồi âm ( hệ kín ) chưa có bộ điều khiển thì :

Thật vậy khi so sánh hệ kín và hệ hở thì qua kiểm nghiệm bằng Matlab ở trên ta thấy :

+ Khi hệ kín có phản hồi âm thì tín hiệu được điều chỉnh hơn kết hợp với tín hiệu đầu vào , dẫn đến tính phản ứng nhanh hơn so với hệ hở Nên thời gian quá độ cũng như biên độ của nó nhỏ hơn so với hệ hở + Cả hệ hở lẫn hệ kín đều ổn định , có sai lệch tĩnh là rất nhỏ gần đạt tới độ tối ưu

+ Nếu như ở hệ hở không có dao động thì hệ kín có dao động

Khi có các bộ điều khiển :

o Nhìn chung các bộ điều khiển của hệ thống tăng dần lên tử P tời PI

và sau đó là PID ( đồng nghĩa với việc sử dụng bộ điều khiển PID là tối ưu nhất )

o Sự ổn định :ở hệ hở có sự góp mặt của các bộ điều khiển chỉ dừng lại ở biên giới ổn định Trong khi đó ở hệ kín ( có các bộ điều khiển ) thì hệ thống luôn trong trạng thái ổn định

o Độ điều chỉnh quá độ chỉ có được khi ta dùng bộ PID với phương pháp tối ưu độ lớn , đồng thời có được cả sự dao động