ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm

HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Khánh ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Khánh

ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI

TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Khánh

ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI

TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Nguyễn Chí Long vì quãng thời gian được Thầy tận tâm chỉ dạy về mặt nghiên cứu khoa học cũng như đã động viên, giúp tôi có đủ niềm tin

và nghị lực để hoàn thành luận văn này

Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy, cô bộ môn Giải Tích, Khoa Toán Tin, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học

Xin chân thành cảm ơn:

- Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán của Trường THPT Trung Phú, Huyện

Củ Chi, TP.HCM nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - Tin của trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học

Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng Khóa 20 đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đối với những người thương yêu trong gia đình, bố mẹ, các em Những người đã luôn động viên tinh thần

và là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt

TP Hồ Chí Minh, Tháng 3 năm 2012

Nguyễn Quốc Khánh

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT .5

I Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối: 5

II Vectơ ngẫu nhiên: 11

III Định nghĩa tổng quát kỳ vọng có điều kiện: 12

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ 15

I Quá trình ngẫu nhiên là gì ? 15

II Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc: 16

III Phân phối Poisson: 16

IV Quá trình Poisson: 18

V Quá trình có số gia độc lập: 19

MARTINGALE 20

I Khái niệm tương thích và dự báo được: 22

II Martingale: 23

III Thời điểm dừng: 25

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 28

I Phép biến đổi Laplace: 28

II Phép biến đổi Laplace ngược: 29

CHƯƠNG II: MÔ HÌNH CRAMER LUNDBERG 30

I Bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm và Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model): 30

1) Thuật ngữ: 30

2) Định nghĩa bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm: 31

3) Mô hình Camer – Lundber: 31

4) Chú ý: 32

II Xác suất “Thiệt hại” (Ruin Probability): 34

1) Định nghĩa: 34

2) Bổ đề: 35

3) Chú ý: 36

4) Tính xác suất thiệt hại: 37

III ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE ĐỂ XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI PHÁT BIỂU VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CRAMER – LUNDBERG: 38

1) Đặt lại bài toán: 39

2) Các giả thiết của định lý Cramer – Lundberg: 40

3) Phát biểu định lý Cramer – Lundberg: 41

4) Chứng minh định lý Cramer – Lundberg: 41

IV CÁC CHÚ Ý QUAN TRỌNG: 46

Chương III: MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH 50

I Giới thiệu các mô hình: 50

II Các chú ý sơ bộ: 52

III Một số kết quả quan trọng: 53

IV Các định lý: 56

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

Lý thuyết rủi ro là một trong những lý thuyết quan trọng của khoa học Thống

Kê Một công trình rất sớm của Filip Lundberg trong một luận án tiến sĩ nổi tiếng ở đại học Uppsala (Thụy Điển) năm 1903 đã đưa đến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro tài chính Lundberg đã nhận ra rằng các quá trình Poisson phải là các công cụ trung tâm trong các mô hình về bảo hiểm tài chính Sự phát hiện của ông cũng giống như việc Bachelier tìm ra chuyển động Brown vào năm 1900, là nền tảng then chốt cho việc xây dựng các mô hình toán học về tài chính Sau đó, Harald Cramer và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành nên lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học Với các kết quả đó, Cramer đã đóng góp một cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm lẫn lý thuyết xác suất

và thống kê toán học

Nội dung luận văn bao gồm 03 chương:

Chương 1:Trình bày các kiến thức cơ bản về xác suất và thống kê, các kiến thức cơ bản về giải tích ngẫu nhiên Để hiểu rõ các khái niệm, tính chất này, đòi hỏi chúng

ta phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất, và các định lý có liên quan đến tích phân Lesbegue

Chương 2: Chúng ta sẽ tìm hiểu các giả thiết của mô hình Cramer – Lundberg , phát biểu và chứng minh định lý nổi tiếng, định lý Cramer – Lundberg trong việc ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình

Chương 3:Ước lượng xác suất thiệt hại do yêu cầu bồi thường lớn trong mô hình rủi

ro đổi mới trì hoãn

Tuy nhiên, do thời gian và điều kiện nghiên cứu có hạn dù đã hết sức cẩn thận,

tỷ mỉ trong soạn thảo và in ấn, luận văn cũng không tránh khỏi những sai sót ngoài

ý muốn Do đó, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng của các thầy cô và các bạn tham khảo đề tài này

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các khái niệm mở đầu về xác suất, giải tích ngẫu nhiên Các tính chất, và các định lý trong chương không nêu lại chứng minh cụ thể, mà chỉ dừng lại ở việc giới thiệu và nêu lên ý nghĩa để chuẩn bị cho chương II, III và cũng là phần chính của Luận văn

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

I Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối:

1) Không gian xác suất:

• Thí nghiệm hay phép thử ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết quả mà

ta không biết kết quả nào sẽ xảy ra

• Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của thí nghiệm ta gọi là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp

Ký hiệu: 

• Mỗi tập hợp A   được gọi là một biến cố

Dưới đây ta giả sử  là một tập khác rỗng nào đó

• Một họ các biến cố  được gọi là trường hay đại số nếu:

a  chứa không gian mẫu, tức là   

b  kín đối với phép lấy phần bù, tức là, A   thì A   c , trong

A





 

• Một họ các biến cố  được gọi là s trường hay s đại số nếu:

a  chứa không gian mẫu, tức là,   

b  kín đối với phép lấy phần bù, tức là, A   thì A   c , trong

đó Ac   \ A

c  kín đối với phép lấy hợp đếm được, tức là nếu:

• Định nghĩa xác suất theo tiên đề của Kolmogorov:

Cho  là không gian các biến cố sơ cấp trong phép thử ngẫu nhiên 

Thì p được gọi là độ đo xác suất và lúc đó bộ ba  , , p được gọi là không gian xác suất

• Không gian đo là cặp   , , trong đó  là không gian mẫu nào đó,

 là s trường

• Giả sử  là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là một tập con của  Khi đó ta nói  là một lớp Ta ký hiệu 2 là lớp gồm tất cả các tập con của  Đó là s trường lớn nhất Trong khi đó lớp gồm 2 tập   ,

là s trường bé nhất Giao của các s trường chứa  cũng là s 

trường chứa  Vì thế, tồn tại s trường bé nhất chứa  Ta ký hiệu

s trường này là s ( ), và gọi đó là s trường sinh ra từ 

• Về thực chất s trường là khái niệm tổng quát hóa khái niệm phân hoạch Nói rằng dãy hữu hạn hay vô hạn các tập ( ) An là phân hoạch

của , nếu hợp của chúng bằng  và chúng rời nhau từng cặp, tức là:

,

i j

A A    i j Trong trường hợp như thế ta có thể viết:

n n

• Cho hai không gian đo ( , ),( , )1 1 2 2 Tập chữ nhật là tập có dạng:

1 2, i i, 1,2

A A A  i 

Ký hiệu: 1  2 là s trường chứa các tập chữ nhật, và gọi đó là

s trường tích Khi đó, (  1 2, 1  2) được gọi là không gian

đo tích

• Khi  là không gian metrtic E, thì ta ký hiệu ( )E là s trường sinh

ra từ các tập mở, và gọi ( )E là s trường Borel của E Trong trường hợp E là đường thẳng thực , thì ( ) trùng với s trường sinh ra từ các khoảng Khi E   n thì ta viết n thay cho  ( ) n

• Ta hiểu độ đo trên s trường  là ánh xạ m : [0, ] sao cho tồn tại A   với m( )A   và nếu A n  , n 1,2, là dãy các tập rời nhau từng cặp thì:

Độ đo m được gọi là đủ hay chính xác hơn là  đủ đối với m nếu 

chứa tất cả các tập có m độ đo không

• Xác suất P là độ đo chuẩn hóa, tức là P  ( ) 1 Trong trường hợp đó,

bộ ba ( , , )  P được gọi là không gian xác suất cơ sở Nếu  đủ đối với P thì ta nói ( , , )  P là không gian xác suất đủ

Ta thường sử dụng các ký hiệu sau:

  để chỉ xác suất có điều kiện của biến cố A

khi B đã xảy ra hay B đã cho

Xác suất có điều kiện được định nghĩa theo công thức:

2) Biến ngẫu nhiên:

• Một đại lượng hay một biến nhận giá trị thực với một xác suất tương ứng nào đấy được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên Định nghĩa theo xác suất của nó là :

Biến ngẫu nhiên là ánh xạ: X    : sao cho:

: Là s trường các tập con của 

: Là s trường các tập con của 

• Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được xác định theo công thức:

Ký hiệu: ( , , ) x x1 2 xn là các giá trị của X

Ta đặt: p n  P X(  x n), (n 1,2, ) và gọi ( ) pn là dãy phân phối xác suất của X

Dãy số này có các tính chất cần và đủ sau:

Trong trường hợp này ta gọi: f x ( )  F x x  ( ),   là hàm mật độ

nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối

Kỳ vọng có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định

• Định nghĩa tổng quát của kỳ vọng:

Trước hết ta trình bày vắn tắt cách xây dựng tích phân Lebesgue Giả sử

( , , )  m là một không gian độ đo, f   : là một hàm đo được

 Nếu f là hàm đo được không âm: thì tồn tại dãy hàm đơn giản   fn

sao cho f n  f n1 và ( ) lim ( ),n

Lebesgue (đối với độ đo m) và đặt:



 

Và gọi đó là kỳ vọng của X Ta nói X có kỳ vọng hữu hạn nếu

E X   và nói Xcó kỳ vọng nếu một trong hai số EX EX, 

hữu hạn

• Khái niệm hầu khắp nơi – hầu chắc chắn:

Cho một không gian độ đo ( , , ),X  m A Ta nói một tính chất ( )T

nào đó xảy ra hầu khắp nơi trên A viết tắt là: h.k.n nếu tồn tại một tập hợp B   sao cho : B A B, ( )m  0, và tại mỗi điểm x A B \

đều có tính chất ( )T

Trong trường hợp m  P là độ đo xác suất thì ta nói tính chất ( )T xảy

ra hầu chắc chắn thay cho hầu khắp nơi

• Moment: Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

II Vectơ ngẫu nhiên:

Ta nói rằng X  ( , , , X X1 2 Xn) là véctơ ngẫu nhiên n chiều , nếu mỗi thành

phần Xk, k 1,2, ,n của X là biến ngẫu nhiên Nói cách khác,

Hàm này được gọi là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên X X1, , ,2 X n

III Định nghĩa tổng quát kỳ vọng có điều kiện:

1) Đối với phân hoạch:

Giả sử ( ) Bn là phân hoạch của , tức là : B i B j    , i j,

n n

n

khi B khi B

E X    E X B  Nhớ rằng theo định nghĩa ta có:

2) Đối với 𝝈 −trường:

Giả sử  là s trường con của 

• Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X  0 đối với  là biến ngẫu nhiên suy rộng không âm:

Và gọi đó là xác suất có điều kiện của A đối với  Từ công thức

(III.2.1) ta có: P A ( | ) là biến ngẫu nhiên  đo được và,

Đó chính là kỳ vọng có điều kiện của X đối với Y   Y1, , Yn

3) Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện:

Dưới đây ta quy ước như sau:

- Khi viết kỳ vọng có điều kiện thì ta ngầm giả sử kỳ vọng có điều kiện tồn tại

- Đồng nhất các biến ngẫu nhiên bằng nhau hầu chắc chắn, và các đẳng thức, bất đẳng thức, hiểu theo nghĩa: được thực hiện hầu chắc chắn

a) Nếu X là  đo được thì E X( | )  X Đặc biệt nếu C là hằng số thì E C( | ) C

b) Nếu X Y thì E X( | ) E Y( | ) Đặc biệt, ta có bất đẳng thức:

4) Các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu kỳ vọng có điều kiện:

Giả sử ( )X n là dãy các biến ngẫu nhiên suy rộng

I Quá trình ngẫu nhiên là gì ?

Cho ( , , )  P là một không gian xác suất

1) Quá trình ngẫu nhiên:

Một quá trình ngẫu nhiên ( ,X t  t 0) là một hàm hai biến X t w( , ) xác định trên tích  lấy giá trị trong , và là một hàm đo được đối với s trường tích (), trong đó () là s trường các tập Borel trên  [0, )

Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel  trên thì tập hợp:

 ( , ) t w   : ( , ) X t w   

Là một phần tử của s trường tích () s trường này là

s trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng:

[0, ]t A với t   và A  

2) Khi cố định một w  , thì ánh xạ riêng phần t  X t w( , ) từ  vào

 được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X ( ,X t t 0), ứng với yếu tố ngẫu nhiên w ấy

3) Nếu X lấy giá trị trong không gian n ( n  1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n chiều

4) Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán S t, giá trái khoán P t, giá sản phẩm phái sinh C t…đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên

II Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc:

1) Một họ các s trường con ( ,t t 0) của  , t , được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

• Đó là một họ tăng theo t, tức là s t nếu s  t

X

3) Một không gian xác suất ( , , )  P trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc

( )t , được gọi là một không gian xác suất được lọc và ký hiệu là

 

  , , t ,P

III Phân phối Poisson:

1) Định nghĩa:

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, Phân phối Poisson (phân phối

Poa-xông) là một phân bố xác suất rời rạc Nó khác với các phân bố xác suất rời rạc khác ở chỗ thông tin cho biết không phải là xác suất để một

sự kiện (event) xảy ra (thành công) trong một lần thử như trong phân bố

Bernoulli, hay là số lần mà sự kiện đó xảy ra trong n lần thử như trong

phân bố nhị thức, mà chính là trung bình số lần xảy ra thành công của

một sự kiện trong môt khoảng thời gian nhất định Giá trị trung bình

này được gọi là lamda, kí hiệu là l

Phân phối Poisson còn được dùng cho khoảng mà đơn vị khác thời gian như: khoảng cách, diện tích hay thể tích Một ví dụ cổ điển là sự phân ra hạt nhân của các nguyên tử

Phân phối này được tìm ra bởi nhà toán học Siméon-Denis Poisson (1781–1840) và đã được xuất bản cùng với lý thuyết xác suất của ông,

vào năm 1838 với tựa đề Recherches sur la probabilité des jugements en

matières criminelles et matière civile ("Research on the Probability of

Judgments in Criminal and Civil Matters") Theo đó, nếu xem xét một biến ngẫu nhiên N nào đó, và đếm số lần xuất hiện (rời rạc) của nó trong một khoảng thời gian cho trước Nếu giá trị kì vọng (hay số lần trung bình mà biến ngẫu nhiên đó xảy ra trong khoảng thời gian đó là l, thì

xác suất để cũng chính sự kiện đó xảy ra k lần (k là số nguyên không âm,

k = 0, 1, 2, ) sẽ được tính theo công thức:

1, 2, 3, ) với xác suất để sự kiện (hiện tượng) đó xảy ra là không đổi trong suốt khoảng (thời gian, không gian) đó

Các ví dụ sau được mô hình theo phân phối Poisson:

• Số lượng xe hơi đi ngang qua 1 điểm trên con đường trong một khoảng thời gian cho trước

• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy

• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗi phút

• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi phút

• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi đơn vị độ dài của một con đường

• Số lần đột biến xảy ra trên một đoạn DNA sau khi chịu một lượng bức xạ

• Số lượng cây thông trên mõi đơn vị diện tích rừng hỗn hợp

• Số lượng ngôi sao trong một thể tích không gian vũ trụ

• Số lượng người lính bị chết do ngựa đá mỗi năm trông mỗi đội của

kị binh Phổ Ví dụ này rất nổi tiếng trong cuốn sách của Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868–1931)

• Phân phối của các tế bào cảm quang trong võng mạc của mắt

• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời gian xác định

• Số lượng virut có thể lây nhiễm lên một tế bào trong cấu trúc tế bào

• Số lượng phát minh của một nhà sáng chế trong suốt cuộc đời của

3) Số biến cố xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào có độ dài là t

là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là l t

(l  0) Điều đó có nghĩa là , với mọi s t , 0, ta có:

!

n t

khoảng giữa thời điểm a và thời điểm b là:

( )

b a

Nếu thêm vào đó, phân phối của số gia X t X s t T s, ,  , chỉ phụ thuộc vào

t s  , thì ta gọi X là quá trình có số gia độc lập thuần nhất

MARTINGALE

Martingale bắt nguồn từ trò chơi, và ngày nay đã trở thành mô hình toán học trong lĩnh vực thị trường chứng khoán Ở đây ta hiểu trò chơi theo nghĩa rộng: trò chơi có thể là chơi bài, mua xổ số, đánh số đề, mua cổ phiếu, bỏ vốn đầu tư…Khi bắt đầu cuộc chơi, người chơi có vốn là X0,thông tin ban đầu mà người chơi biết được là 0 Sau khi chơi ván thứ nhất, vốn của người chơi sẽ

là biến ngẫu nhiên X1, và thông tin sau khi chơi 1 ván sẽ tăng lên: 0  2 Tiếp tục chơi ván thứ hai, vốn sau khi chơi ván hai sẽ là biến ngẫu nhiên X2,

và thông tin bây giờ sẽ tăng lại tăng lên: 0 1 2 Bằng cách đó, tiền

vốn sẽ có sau ván thứ n là biến ngẫu nhiên X n , và thông tin sau khi chơi n

ván là n Như vậy , vốn của người chơi và thông tin thu được lập thành dãy

X  n, n Về phương diện toán học, ta có thể xem  n là dãy s trường không giảm , và X n là biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào n

Trò chơi được xem là không thiệt hại hoặc công bằng , nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là:

Trò chơi được xem là thiệt hại, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau bé hơn hay bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất thì diều này có nghĩa là:

1

E X  A  X

Và X  n, n được gọi là Martingale trên

Trò chơi được xem là có lợi nếu, trung bình có điều kiện vốn của ván sau lớn hơn hay bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất điều này có nghĩa là:

1

E X  A X

Và X  n, n được gọi là Martingale dưới

Dĩ nhiên, người chơi phải định ra một chiến lược để chơi: tiếp tục chơi, bỏ thêm vốn, không chơi nữa Chẳng hạn, V1 là tiền đặc cược cho ván chơi thứ nhất Rõ ràng, V1 phải phụ thuộc thông tin 0 Sau đó căn cứ vào thông tin 1

 thu được sau ván thứ nhất , người chơi đặt cược V2 cho ván thứ hai,…; căn cứ vào thông tin n thu được sau n ván, người chơi đặt cược V n1 cho ván thứ n 1 Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là V n là n1

đo được, và gọi V n,n1 là dãy dự báo được

Vì mục đích nào đó, người chơi dừng cuộc chơi Chẳng hạn, khi vốn đạt được hoặc vượt quá số nào đó, thì ngừng chơi Thời gian lần đầu tiên người chơi đạt được mục đích đã định gọi là thời điểm dừng

Lúc đầu lý thuyết martingale nghiên cứu những vấn đề liên quan đến những khái niệm nói trên của trò chơi, nhưng về sau được phát triển thành một lĩnh vực toán học chặc chẽ, có nhiều ứng dụng trong thống kê, giải tích hàm, phương trình vi phân, toán kinh tế, và đặc biệt gần đây, có nhiều ứng dụng trong thị trường chứng khoán

Người ta chia Martingale gồm hai loại đó là:

• Martingale với thời gian rời rạc

• Martingale với thời gian liên tục

Trong luận văn này chúng ta chỉ tìm hiểu về Martingale với thời gian liên tục

I Khái niệm tương thích và dự báo được:

1) Các 𝛔 − 𝐭𝐫ườ𝐧𝐠 liên quan tới quá trình:

Cho trước quá trình ngẫu nhiên X X t T t,  , với T là tập con của 

Ký hiệu: s   X t Tt,    là s trường con bé nhất của  chứa tất cả các

s trường s( ),X t T t  Ta gọi s   X t Tt,    là s trường sinh ra từ

Chỉ số X có thể bỏ đi khi ta hiểu đang làm việc với X cụ thể

Cho họ s trường con t,t T  của  Họ này được gọi là không giảm nếu:

s  là s trường tự nhiên của quá trình X t T t,   Nó gồm tất

cả những biến cố liên quan đến quá khứ (trước t), và hiện tại (tại t) của quá trình

• Martingale đối với t,t T , nếu:

Ví dụ 1: Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó E X   và t,t T là

họ s trường con không giảm của  Khi đó,

a) Nếu X t, ,t t T  là martingale, thì hàm trung bình EX t không phụ thuộc t T 

E X    p không giảm của t T  Thật vậy, do x p,1    p là hàm lồi, nên X t p, ,t t T  là martingale dưới Vì thế từ tính chất 2 suy ra tính chất 3

4) Phân tích Doob – Meyer:

Định lý:

Nếu X  ( , X tt  0) là một Martingale đối với ( ) t , khả tích,

(tức là E X [ ]t     , t 0) và liên tục phải theo t Thì X có một biểu thức phân tích như sau:

X  M  A

Trong đó Mt là một Martingale đối với ( ) t liên tục phải và At là một quá trình tăng và thích nghi với ( ) t

III Thời điểm dừng:

Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:

( , , )  P là không gian xác suất đầy đủ, tức là,  chứa tất cả các tập có xác suất 0 ( tập N có xác suất 0, nếu tồn tại A   sao cho P A ( ) 0 và

N A)

t,t T  là họ các s trường không giảm của , và mỗi t chứa tất cả các tập có xác suất 0

1) Định nghĩa:

Giả sử t  : [0, ] là biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ) Ta nói rằng

t là thời điểm Markov đối với t,t T , nếu:

 w t w   : ( ) t  t,   t T

Nếu thêm vào đó P t   ( ) 1, thì t được gọi là thời điểm dừng

Ta đặt t là lớp tất cả các tập con A của  sao cho:

A  và A(t  t) t Như vậy, t gồm các biến cố quan sát được đến thời điểm t Khi đó, dể dàng thấy rằng t là s trường con của s trường 

2) Các ví dụ về thời điểm dừng:

Dưới đây là các thí dụ quan trọng nhất về thời điểm dừng:

Ví dụ 1: Nếu t w ( ) t t T(  ), hoặc bằng , thì hiển nhiên t là thời điểm Markov

Ví dụ 2: Giả sử X t  t, [0, )  là quá trình ngẫu nhiên liên tục, và F là tập đóng của  Đặt:

𝜏𝐹 = �𝑖𝑛𝑓{𝑡: 𝑋𝑡 ∈ 𝐹} 𝑛ế𝑢 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑡 𝑛ℎư 𝑡ℎế

∞ 𝑛ế𝑢 𝑋𝑡 ∉ 𝐹 ∀𝑡 ∈ [0, ∞)

Khi đó, tF là thời điểm Markov đối với  st, t   [0, ) 

Thật vậy, đặt G  \F Khi đó G là tập mở, do đó tồn tại dãy các tập

3) Các tính chất của thời điểm dừng:

a Tính chất 1: Giả sử t là thời điểm Markov Khi đó:

d Tính chất 4: Nếu t t1, , 2 là các thời điểm Markov, thì sup n

n t cũng là thời điểm Markov Nếu họ t,t [0, )  liên tục phải thì:

inf , lim sup , lim infn n n

là các thời điểm Markov

e Tính chất 5: Nếu t là thời điểm Markov, thì t  t tức là t là đo được Nếu t t1, 2 là các thời điểm Markov sao cho P t( 1 t2) 1 , thì

i Tính chất 9: Giả sử Z là biến ngẫu nhiên với E Z   và t là thời điểm Markov đối với t,t [0, )  Khi đó, trên tập w t : t hầu chắc chắn ta có:

E Z   E Z t

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

I Phép biến đổi Laplace:

Cho hàm ( ) xác định với mọi t  0 Biến đổi Laplace của ( ) được định nghĩa như sau:

Toán tử  thay cho cụm từ “Phép biến đổi Laplace của”

Điều kiện đủ để f t( ) có thể biến đổi được là:

II Phép biến đổi Laplace ngược:

Phép biến đổi laplace ngược được định nghĩa như sau:

j

s s

CHƯƠNG II: MÔ HÌNH CRAMER

LUNDBERG

Chương II là phần chính của Luận văn Trong chương II, chúng ta sẽ tìm hiểu các nội dung sau:

 Tìm hiểu Bài toán” Thiệt hại “ đối với một công ty bảo hiểm

 Giới thiệu Mô hình Cramer – Lundberg

 Phát biểu và chứng minh định lý Cramer – Lundberg

 Các chú ý quan trọng

BÀI TOÁN “THIỆT HẠI”:

Một công trình rất sớm của Filip Lundberg trong một luận án tiến sĩ nổi tiếng

ở đại học Uppsala (Thụy Điển) năm 1903 đã đưa đến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro tài chính Lundberg đã nhận ra rằng các quá trình Poisson phải

là các công cụ trung tâm trong các mô hình về bảo hiểm tài chính Sự phát hiện của ông cũng giống như việc Bachelier tìm ra chuyển động Brown vào năm 1900, là nền tảng then chốt cho việc xây dựng các mô hình toán học về tài chính Sau đó, Harald Cramer và trường phái Stockholm đã phát triển các

ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành nên lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học Với các kết quả đó, Cramer đã đóng góp một cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm lẫn lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mô hình cơ bản đầu tiên trong số những đóng góp đó là Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model), sẽ được trình bày dưới đây

I Bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm và Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model):

1) Thuật ngữ:

Thuật ngữ tài chính tiếng Anh “Claim” có nghĩa là một quyền, một

quyền đòi hỏi, một yêu cầu về một phương diện nào đó trong tài

chính Chẳng hạn như:

• quyền đối với tài sản ký thác ở ngân hàng

• quyền giữ vật thế chấp của người chủ tín dụng

• quyền đòi chi trả

• quyền sở hữu tài sản

• Quyền chọn (Option) từ các tài sản cơ sở trong một thị trường tài chính

Trong ngành bảo hiểm thì “Claim” có nghĩa là quyền đòi hỏi chi

trả hay quyền đòi bồi thường

Còn “Claim size” là số tiền đòi trả hay số tiền bồi thường bảo hiểm

2) Định nghĩa bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm:

Hãy tưởng tượng một công ty bảo hiểm phát hành một loại giấy chứng từ bảo hiểm về một vấn đề tài chính nào đó Khách hàng là những người mua chứng từ đó

• Công ty bảo hiểm với số vốn ban đầu là: u

• Công ty thu được của khách hàng số tiền mua bảo hiểm với tốc

độ là: c

Tại mỗi thời điểm t

• Công ty phải trả một số tiền tổng cộng là S t ( ) cho các khách hàng có nhu cầu đòi tiền bảo hiểm hay S t ( ) còn được gọi là số tiền bồi thường bảo hiểm

• Số tiền của công ty tính đến thời điểm t :

( ).

t

U    u ct S t

• Và U t 0 thì công ty mới có lãi

• Nếu U t 0 thì có sự cố “thiệt hại”

3) Mô hình Camer – Lundber:

Thông thường đối với mô hình bài toán thiệt hại người ta có những giả thiết sau đây:

(a) Đối với quá trình số tiền đòi trả (Claim size process)

Các số tiền đòi trả   xk k là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng hàm phân phối chung là F ; kỳ vọng hữu hạn chung là m  E ( ) x1

và phương sai chung là 2

1

( )

Var

(b) Thời điểm của các yêu cầu đòi trả (Claim time)

Các yêu cầu đòi trả xảy ra tại các thời điểm ngẫu nhiên

0 0, , , 1 2

1 2

0  T  T  hầu chắc chắn

(c) Các quá trình yêu cầu đến:

Số các yêu cầu đến N t ( ) trong khoảng thời gian [0, ] t được định nghĩa bởi:

( ) sup 1 : n , 0.

N t  n  T  t t 

Trong đó ta quy ước sup   0

(d) Khoảng cách thời gian giữa hai yêu cầu liên tiếp :

Các biến ngẫu nhiên:

Với các giả thiết từ (a) → (e) ta có một mô hình

Đó là Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model)

Nếu ta thay điều kiện (d) bởi điều kiện (d’) sau đây:

(d’) Khoảng cách thời gian giữa hai yêu cầu liên tiếp:

Các biến ngẫu nhiên:

Y1  T Y1, 2  T2  T1, , Yk  Tk  Tk1, k  1,2, 3,

(I.3.1’)

Được giả thiết là độc lập cùng phân phối, với kỳ vọng hữu hạn chung là: