hình thành khái niệm xác suất bằng cách giả lập ngẫu nhiên trong môi trường công nghệ thông tin

Do đó, liên quan đến đối tượng tần suất chúng tôi có một số ghi nhận như sau : Trong phần thống kê mô tả, tần suất của một giá trị trong mẫu số liệu được biết đến như là một đại lượng đặ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÙI HOÀNG NGUYÊN

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÙI HOÀNG NGUYÊN

Chuyên ngành : Lí lu ận và phương pháp dạy học Toán

Mã s ố : 60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2012

Tôi xin trân trọng cảm ơn :

 Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương, người đã hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa

học, luôn động viên và giúp đỡ tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình

thực hiện luận văn này

 PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp các thắc mắc, dẫn dắt chúng tôi tìm hiểu

những kiến thức ban đầu và truyền cho chúng tôi sự hứng thú với chuyên ngành Didactic toán

Tôi xin chân thành cảm ơn :

 Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng khoa học công nghệ - sau đại học, Ban

chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi nhất giúp chúng tôi hoàn thành luận văn này

 Ban Giám hiệu và đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Hoàng Hoa Thám đã

tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến :

 Tập thể lớp Cao học Didactic Toán khóa 20 đã cùng chia sẻ những khó khăn

và giúp đỡ tôi về tinh thần trong suốt thời gian theo học tại trường ĐHSP Tp HCM

 Chị Võ Mai Như Hạnh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tiến hành thực nghiệm, đồng thời cũng là nguồn động viên đối với tôi về mặt tinh thần

 Cha mẹ, vợvà các anh chị em trong gia đình đã luôn nâng đỡ và là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt

Bùi Hoàng Nguyên

PHẦN MỞ ĐẦU 1

I Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

II Khung lý thuyết tham chiếu 2

III Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – mục đích nghiên cứu 4

IV Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn 5

Chương 1 : LUẬT SỐ LỚN : MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC6 I Đặc trưng khoa học luận về lịch sử hình thành khái niệm xác suất 6

II Luật số lớn ở cấp độ tri thức khoa học 8

III Kết luận chương 1 22

Chương 2 : MỐI QUAN HỆ THỂ THẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG TẦN SUẤTVÀ ĐỐI TƯỢNG XÁC SUẤT 24

I Tần suất trong thể chế 1 24

II Xác suất trong thể chế 2 38

III Kết luận chương 2 45

Chương 3 : THỰC NGHIỆM 46

I Giới thiệu thực nghiệm 48

II Mục đích thực nghiệm 49

III Nội dung thực nghiệm 49

IV Kết luận chương 3 71

K ẾT LUẬN ………73

TÀI LI ỆU THAM KHẢO……….……….…

PH Ụ LỤC………

BIÊN B ẢN THỰC NGHIỆM……….

PH ẦN MỞ ĐẦU

I NHỮNG GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT

Xác suất và thống kê đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình phổ thông

tại nhiều nước trên thế giới từ nhiều năm nay bởi đây là một mảng toán có rất nhiều ứng dụng thực tiễn giá trị trong các lĩnh vựcVật lý, Sinh học, Xã hội học, Kinh tế,…

Trước xu thế đó, các nhà giáo dục Việt Nam cũng đã đưa thống kê mô tả và xác

suất vào giảng dạy ở các trường phổ thông với mục đích đáp ứng nhu cầu đổi mới chương trình giáo dục cũng như phương pháp dạy học ở Việt Nam đồng thời bắt kịp

với xu thế giáo dục của thời đại và trên thế giới Cụ thể, ở bậc tiểu học thống kê mô tả (TKMT) được đưa vào chương trình toán lớp 3 - bài : “ Làm quen với số liệu thống kê” nhằm giới thiệu dãy số liệu và bảng thống kê ở mức độ rất đơn giản Tiếp đó, ở

bậc trung học cơ sở (lớp 6 đến lớp 9), một vài đối tượng cơ bản của TKMT như tần số,

biểu đồ, các số đặc trưng : số trung bình cộng, mốt được đưa vào trong chương trình

lớp 7 Chương “Thống kê” ở chương trình lớp 10 bậc trung học phổ thông đã hoàn thiện các kiến thức còn lại của phần TKMT, ở đó, tần suất fi của một giá trị xi trong

mẫu số liệu được định nghĩa là tỉ số giữa tần số nicủa giá trị đó với kích thước mẫu N Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến đối tượng tần suất của một giá trị trong mẫu số liệu

Do đó, liên quan đến đối tượng tần suất chúng tôi có một số ghi nhận như sau :

Trong phần thống kê mô tả, tần suất của một giá trị trong mẫu số liệu được biết đến như là một đại lượng đặc trưng cho giá trị này trong mẫu số liệu, ở đó, các mẫu số

liệu được cho sẵn và có kích thước mẫu là không đổi

Trong khái niệm xác suất mà cụ thể là định nghĩa thống kê của xác suất, đối tượng tần suất được định nghĩa :« Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của

A trong N l ần thực hiện phép thử T » (SGK11NC, tr 74) Đối tượng tần suất được nhắc đến trong định nghĩa là tần suất của một biến cố trong N lần thực hiện cùng một phép

thử ngẫu nhiên Do đó, giá trị của tần suất thay đổi khi thay đổi số lần thực hiện phép

th ực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất Vì vậy, tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm »

Thế nhưng, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê của xác suất lại không tiến

xa hơn trong tri thức cần giảng dạy, kiến thức về xác suất thực nghiệm chỉ dừng lại ở

phần định nghĩa trong khi cách tiếp cận này lại mang đến « nghĩa thực tế » của xác

suất

« Việc xây dựng các tổ chức kiến thức cần giảng dạy về khái niệm xác suất dựa chủ yếu vào cách ti ếp cận cổ điển của Laplace Quan điểm thống kê chỉ được thể hiện duy nhất trong định nghĩa thống kê của xác suất, còn trong hệ thống ví dụ, bài tập thì quá sơ sài »

(Vũ Như Thư Hương (2005),tr 56)

Điều này làm nảy sinh trong chúng tôi những thắc mắc sau :

Những khái niệm của thống kê mô tả (lớp 10) đã có những chuẩn bị gì cho các

tiếp cận khái niệm xác suất (lớp 11)? Ngược lại, khái niệm xác suất được dạy ở lớp 11 khai thác các kiến thức về thống kê mô tả được dạy ở lớp 10 ra sao? Có mối liên hệ nào giữa tần suất xuất hiện của một giá trị trong mẫu số liệu với xác suất của một biến

cố? Cuối cùng, có thể nào xây dựng một tình huống giúp hình thành ý niệm về khái

niệm xác suất của một biến cố nơi học sinh lớp 10 sau khi học xong chương thống kê?

II KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU

Để tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi cần phải phân tích sách giáo khoa 10 và 11 hiện hành để tìm hiểu cách mà các đối tượng của TKMT được đưa vào giảng dạy ở chương trình lớp 10 cũng như khái niệm xác suất dạy ở lớp 11, đồng

thời, chúng tôi thật sự quan tâm đến các dạng câu hỏi hay bài tập làm nảy sinh khái

niệm xác suất Để thực hiện được mong muốn này, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình vào trong khuôn khổ của lý thuyết Didactic toán mà cụ thể là lý thuyết nhân học Trong khuôn khổ của lý thuyết này, chúng tôi tiến hành làm rõ mối quan hệ giữa thể

chế dạy học hiện hành với đối tượng tần suất và đối tượng xác suất bằng cách phân tích các tổ chức toán học liên quan ở SGK Toán 10 và SGK Toán 11 hiện hành để làm sáng tỏ các tổ chức toán học nào liên quan đến đối tượng tần suất cũng như các tổ chức toán học làm nảy sinh định nghĩa thống kê của xác suất

Chúng tôi cố gắng tạo ra các tình huống học tập dưới dạng các hoạt động học tập

nhằm trang bị cho học sinh sau khi học xong chương Thống kê có thêm cơ hội để tiếp

cận khái niệm xác suất dễ dàng hơn Để làm được điều này, trong khuôn khổ lý thuyết didactic Toán, chúng tôi sử dụng lý thuyếtđồ án sư phạm và lý thuyết tình huống Dựa

trên các phân tích có được, chúng tôi tổ chức các hoạt động học tập nhằm kiểm chứng

giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đưa ra

Chúng tôi tiến hành tóm tắt một số lý thuyết liên quan được được trình bày ở giáo trình :

Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố cơ bản của didactic toán, nhà xuất

bản Đại học Quốc gia Tp HCM

II.1 Lý thuy ết nhân chủng học

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm : “ quanhệ thể

chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”

• Quan h ệ thể chế, quan hệ cá nhân

Quan h ệ thể chế :

Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà

thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao,

có vai trò gì, … trong I ?

Quan hệ cá nhân :

Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ?

Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O) Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O)

• T ổ chức toán học

Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông quanghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do

Chevallard(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ

thể chếđối với đối tượng tri thức O

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồmbốn thành phần, , ,t q

 

  , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τlà kỹ thuật cho phépgiải quyết kiểu

nhiệm vụ T, θlà công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θlà lý thuyết giải thích cho công nghệ θ

II.2 Đồ án sư phạm

Theo Artigue M (1988) và Chevallard Y (1982), đồ án didactique là một tìnhhuống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc didactique tựa như công việc của người kỹ sư : nó dựa trênkiến thức khoa học thuộclĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đốitượng được sàng lọc của khoa học

Sau đây là một số yếu tố về khái niệm đồ án didactique :

• C hức năng kép của đồ án didactique

Đồ án didactique cho phép thực hiện :

– một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactique

trước

– một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc nghiên

cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy

• Các pha khác nhau của phương pháp đồ án :

1 Các phân tích ban đầu : dựa trên

– Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực

– Một phân tích khoa học luận về tri thức trong trò chơi

– Một phân tích các kiến thức của học sinh (các quan niệm), các khó khăn gặp

phải trong việc học (các chướng ngại)

– Một phân tích thể chế (chương trình, sách giáo khoa,…)

2 Quan niệm về lớp (kịch bản), phân tích a priori và việc tổ chức tập dữ liệu

3 Thực nghiệm và tổ chức các quan sát

4 Phân tích a posteriori và sự hợp thức hóa nội tại

III TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi xuất phát ở trên, chúng tôi trình bày lại hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau :

Q1 : Liên quan đến kiến thức về TKMT (lớp 10) và xác suất (lớp 11) của thể chế

dạy học hiện hành có những kiểu nhiệm vụ đặc trưng nào? Các kĩ thuật nào được đề

nghị? Những tổ chức toán học nào là đặc trưng cho phép làm xuất hiện khái niệm xác

suất ?

Q2 :Có sự nối khớp nào giữa tần suất xuất hiện của một giá trị trong mẫu số liệu

và xác suất của một biến cố không?

Q3 : Có thể xây dựng một tiểu đồ án nhằm hình thành nơi học sinh lớp 10 những

tư tưởng ban đầu về khái niệm xác suất sau khi học xong chương Thống kê không?

Mục đích nghiên cứu đặt ra chính là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi nêu trên

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Để đi tìm các câu trả lời cho những câu hỏi trên chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau :

Việc nghiên cứu các tri thức khoa học liên quan đến luật số lớn nhằm làm sáng tỏ

mối quan hệ giữa đối tượng tần suất và đối tượng xác suất chúng tôi đang quan tâm

Cụ thể, đối tượng tần suất xuất hiện ở đâu và được khai thác ra sao trong quan hệ của

nó với xác suất theo quan điểm thống kê Để làm rõ những điều này, chúng tôi tiến hành những ghi nhận dựa trên các tri thức về Luật số lớn chủ yếu ở tài liệu :

- Đặng Hùng Thắng (1997), Mở đầu về lý thuyết xác suất và ứng dụng, NXB

Giáo dục

Các kết quả có được giúp chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2

Chương 2 là phần nghiên cứu về chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các kiểu nhiệm vụ, các kĩ thuật,… có mặt trong

phần thống kê mô tả và phần xác suất Dựa trên những nghiên cứu đó, chúng tôi xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng tần suất, mối quan hệ thể chế với đối tượng

« xác suất » nhằm hình thành giả thuyết nghiên cứu Tức là chúng tôi đã tìm được câu

trả lời cho câu hỏi Q1

Các giả thuyết nghiên cứu này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu

thực nghiệm ở chương 3 Chúng tôi tiến hành một thực nghiệm trên đối tượng học

sinh Chúng tôi thực hiện một tiểu đồ án dạy học để bổ sung một số hoạt động nhằm

tạo cho học sinh cơ hội tìm hiểu đối tượng tần suất khi nó chịu sự chi phối của các yếu

tố ngẫu nhiên, từ đó, hình thành một chút ý tưởng về khái niệm xác suất theo quan điểm thống kê Thực nghiệm này dành cho đối tượng học sinh lớp 10 sau khi học xong

chương Thống kê hoặc học sinh lớp 11 trước khi học chương Tổ hợp và xác suất

Chương 1 :

LU ẬT SỐ LỚN : MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC

Trong chương này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu tri thức luật số lớn ở cấp độ

tri thức khoa học nhằm chỉ ra các đặc trưng khoa học, các kết quả toán học có liên quan đến luật số lớn Đồng thời, chúng tôi tập trung phân tích và chỉ ra mối quan hệ

giữa tần suất với xác suất của một biến cố Các kết quả có được giúp chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 (Có s ự nối khớp nào giữa tần suất xuất hiện của một giá trị trong mẫu

tích quan hệ thể chế với đối tượng tần suất và đối tượng xác suất trong thể chế dạy học trung học Việt Nam hiện hành

I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các kết quả phân tích khoa học luận về lịch sử hình thành khái niệm xác suất trong tài liệu sau :

[A] Vũ Như Thư Hương (2005), Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở

Những kết quả này tác giả đạt được khi tiến hành phân tích đặc trưng về lịch sử hình thành khái niệm xác suất ở các tài liệu :

- Introduction aux situations aléatoires dès le collège : de la modélisation à la

simulation d’expériences de Bernoulli dans l’environnement infomatique géomètre 2, Coutinho C., 2001, Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier,

Cabri-Grenoble

http ://em2000.imag.fr/Actes/Ateliers/COUTINHO.pdf

- La notion de probabilité : évolution historique et applications

contemporaines, Michel Henry, IREM de Franche -Comté, 2004

- Les Premiers apprenrissages en géométrie et en probabilités : des processus

de modélisation comparables, Michel Henry, IREM de Franche-Comté, 1994

- L’enseignement des probabilités et de la statistique en France depuis 1965,

Bernard Parsysz

- La théori des probabilités au tournant du XVIIe siècle et Frise historique sur

la probabilité et la statistique, Enseigner les prolabilités au lycée, 105-130,

Jean-François Pichard, Commisson Inter-IREM STATISTIQUE ET PROBABILITÉS, 1997

- A propos de la définition de la probabilité, Jean-Claude Thiénard,

Commission Inter-IREM STATISTIQUE ET PROBABILITÉS, 1997

Chúng tôi tóm tắt một số kết quả chính sau đây của tác giả Vũ Như Thư Hương

1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Trong giai đoạn đầu (từ thời Trung đại đến nửa đầu thế kỉ XVII) : xác suất lấy

cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa) và xuất

hiện như một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết các vấn đề về tính toán cơ hội trong vài trò chơi may rủi

Giai đoạn thứ hai (nửa sau thế kỉ XVII) : khái niệm xác suất nảy sinh và phát

triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cá cược mà người khởi xướng là Pascal và Fermat Thuật ngữ xác suất lần đầu tiên xuất hiệnnăm 1662 trong Nghệ thuật tư duy

của Antoine Arnauld và Pierre Nicole nhưng vẫn chưa có định nghĩa toán học chính

thức nào

Giai đoạn thứ ba (đẩu thế kỉ XVIII đến cuối thế kỉ XIX) : Xác suất chính thức

có cơ chế của một khái niệm toán học Với công trình công bố năm 1812 của Laplace, xác suất được định nghĩa là tỷ số của số trường hợp thuật lợi với số tất cả các trường

Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ 2XX) : Với Andreï Kolmogorov (1933), khái niệm

xác suất được định nghĩa một cách hình thức bằng phương pháp tiên đề Tính toán xác

suất ngày càng phát triển và là công cụ tường minh cho phép giải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau của toán ứng dụng, vật lý học, cơ học, sinh vật học,…

2 Các cách ti ếp cận xác suất

Về cách tiếp cận xác suất, khi tiến hành một nghiên cứu khoa học luận, tài liệu

[A] trang 25 đã đưa ra kết luận rằng : « Lý thuyết xác suất được hình thành và phát

Cụ thể, theo « tiếp cận theo Laplace » thì xác suất của một biến cố là “tỉ số của

số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra” Theo cách tiếp cận này, việc xác định xác suất của một biến cố được đưa về phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trò chính trong các tính toán Ngoài ra, trong trường hợp phép thử có thể gắn

với một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa Laplace người ta có thể tính xác suất mà không cần thực hiện phép thử Bên

cạnh đó, theo « tiếp cận tiên đề » thì xác suất được định nghĩa như « một độ đo không

âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hóa các kết cục có thể

của một phép thử ngẫu nhiên » và thỏa một hệ tiên đề

A1 A2   A i

([A], trang 22)

Ngoài ra, theo « tiếp cận thống kê » thì xác suất của một biến cố là một giá trị

mà tần suất tương đối của biến cố đó dao độngquanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử Do đó, xác suất theo quan điểm này được gọi là « xác suất khách quan » vì giá trị của xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm Gắn với định nghĩa xác suất theo quan điểm này thì các kết quả của luật số lớn đóng một vai trò vô cùng

quan trọng với tư cách là cơ sở lý thuyết cho cách tiếp cận thống kê, đồng thời, nó tạo

sự liên hệ và gắn kết chặt chẻ về mặt toán học giữa thống kê toán và lý thuyết xác suất

II LUẬT SỐ LỚN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

1 M ột chút lịch sử

Trong ba cách tiếp cận xác suất nêu trên, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến tiếp

cận thống kê của xác suất Cách tiếp cận này được Jacques Bernoulli đề nghị lần đầu tiên trong tác phẩm “Thuật suy đoán” (1713)

« …xác định hậu nghiệm xác suất của biến cố mong đợi sau khi quan sátthực

([A], trang 18)

chúng ta tìm Điều gì không có được ở tiên nghiệm thì tối thiểu cũng phải nhận được ở hậu nghiệm, nghĩa là có thể khai thác nó bằng cách quan sát các kết cục

(Bernoulli, 1713, trang 42 -44, trích theo [A], trang 39)

(Henry, 2004, trang 7, trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, trang 18)

Như vậy, có thể nói « Thuật suy đoán » của Bernoulli đã đặt nền móng cho

cách tiếp cận thống kê của xác suất mà cơ sở là luật số lớn Vũ Như Thư Hương

(2005) nhận xét rằng : « …lần đầu tiên việc tính xác suất của một biến cố đã chuyển

Về sau, các nhà toán học người Pháp như Moirve, Laplace, Poisson,… đã

chứng minh được những định lý đầu tiên liên quan luật số lớn và tìm cách xây dựng cơ

sở toán học cho luật số lớn, đồng thời giúp cho hướng tiếp cận thống kê của xác suất

trở thành một ngành toán học có nhiều ứng dụng thực tiễn

Ở cấp độ tri thức khoa học, luật số lớn được trình bày ra sao?

Trước tiên, chúng tôi điểm qua một vài nét lịch sử về luật số lớn Luật số lớn được biết đến ở dạng trực giác : « càng thí nghiệm nhiều lần thì kết quả thống kê càng

Brahmagupta (598-668), và sau đó nhà toán học người Ý Gerolamo Cardino (1501 - 1576), có phát biểu nó mà không chứng minh rằng độ chính xác của các kết luận thống

kê thực nghiệm có xu hướng được cải thiện với số lượng phép thử lớn Điều này sau

đó được phát biểu thành « luật số lớn » Một dạng đặc biệt của luật số lớn (đối với

phân bố nhị thức) lần đầu tiên được chứng minh bởi Jacob Bernoulli Ông phải mất 20

năm và bằng các chứng minh đầy đủ ông đã xuất bản cuốn Ars Conjectandi (Thuật suy

đoán) ông đã đặt tên định lý của mình này là « định lý vàng » Nhưng nó được biết đến

nhiều hơn với cái tên « định lý Bernoulli » Cái tên « luật số lớn »(la loi des grands

theo tên đó Sau J.Bernoulli và Poisson còn có các nhà toán học khác tham gia hoàn thiện luật số lớn như Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov và Khinchin (người đã có những chứng minh hoàn thiện liên quan luật số lớn cho trường hợp các

biến ngẫu nhiên tùy ý)

Về lý thuyết, « luật số lớn được phát biểu dưới dạng các định lý toán học, trong

đó, nêu lên những điều kiện khá tổng quát để trung bình cộng của các đại lượng ngẫu nhiên khi n tăng sẽ tiến đến trung bình cộng các kì vọng toán học.» ([B], trang 49)

Song song với quá trình xây dựng cơ sở toán học cho luật số lớn, một số định nghĩa cũng được đưa vào như : đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất, hàm phân bố xác suất, tham số đặc trưng,…Để việc nghiên cứu các tri thức khoa học về « tiếp cận

thống kê » của xác suất và luật số lớn được đầy đủ, chúng tôi cố gắng đưa các lý thuyết trên vào nghiên cứu của mình Vì không có điều kiện tiếp xúc với các tài liệu làm cơ sở tiến hành các nghiên cứu khoa học luận nên một nghiên cứu tri thức khoa

học là thật sự cần thiết giúp chúng tôi đi tìm câu trả lời thích đáng cho câu hỏi Q2 đặt

ra ở trên

Để thuận tiện cho nghiên cứu, chúng tôi tiến hành tóm tắt một số lý thuyết liên

quan đến tiếp cận thống kê của xác suất, đặc biệt là lý thuyết xây dựng luật số lớn

2 Cơ sở lý thuyết của luật số lớn

Trong khuôn khổ của một luận văn cộng với các phân tích luật số lớn của chúng tôi nhằm tìm ra mối quan hệ giữa tần suất xuất hiện của một giá trị trong mẫu số

liệu với xác suất xuất hiện của một biến cố cho nên một nghiên cứu tri thức khoa

học luận, theo chúng tôi nghĩ rằng, là không cần thiết.Trong khi đó, do không tìm được các tài liệu chính thức nghiên cứu về tri thức khoa học của luật số lớn nên chúng tôi sử dụng 2 tài liệu sau để viết phần tri thức khoa học liên quan đến luật số

lớn :

[B]Hoàng Quý (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học tập 2, NXBGD

[C] Đặng Hùng Thắng (1997), Mở đầu về lý thuyết xác suất và ứng dụng, NXB

Giáo dục

Chúng tôi phân tích chủ yếu ở giáo trình [C] bởi tài liệu này trình bày hết sức đầy

những tri thức khoa học cần thiết liên quan đếnnội dung cần nghiên cứu của chúng tôi

Chúng tôi tiến hành tóm tắt một số lý thuyết liên quan đến luật số lớn Một số khai

niệm mà chúng tôi tổng hợp sau đây làm cơ sở lý thuyết cho luật số lớn Cụ thể :

a Đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên)

Đại lượng ngẫu nhiên có nhiều định nghĩa khác nhau :

Chẳng hạn, các đại lượng như : số chấm xuất hiện khi gieo một con súc sắc, sai

số khi đo lường một đại lượng vật lý, tuổi thọ của một thiết bị đang hoạt động… là các đại lượng ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các chữ cái X, Y, Z…, tập giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X là X  

([1], trang 35)

Các đại lượng ngẫu nhiên được phân loại theo dạng của tập các giá trị mà nó

nhận : rời rạc (chẳng hạn gieo con súc sắc), liên tục (chẳng hạn thời gian giữa hai lần sét phóng điện trong cơn giông), nhiều chiều (chẳng hạn tọa độ của điểm rơi của thiên

thạch) Theo [C] thì : « đại lượng ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu

đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, chúng ta có thể liệt kê tất cả các giá trị có thể của nó

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị X    x x1, , , , 2 x n  Ví dụ gieo một con súc sắc và gọi X là số chấm xuất hiện trên con súc sắc, khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên và X    1;2;3;4;5;6

Ngoài đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, trong lý thuyết xác suất còn có đại lượng

ngẫu nhiên liên tục

« M ột đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nếu :

([C], trang 79)

Một số ví dụ có thể kể đến các đại lượng ngẫu nhiên liên tục như là lượng mưa vào một tháng hằng năm, trọng lượng của một đứa trẻ mới sinh là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục

b Phân b ố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Ngoài việc xác định tập hợp tất cả các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên

X, chúng ta cần phải biết được xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị đó là bao nhiêu Để giải quyết nhu cầu trên, một đặc trưng quan trọng nhất và đầy đủ nhất

của đại lượng ngẫu nhiên là phân phối xác suất của nó

« Phân ph ối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên là một cách biểu diễn quan

Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục, phân bố xác suất của nó được xác định

bởi một hàm ( ) gọi là hàm độ mật xác suất Hàm mật độ xác suất dùng để biểu diễn

một phân bố xác suất theo tích phân Hàm mật độ xác suất luôn nhận giá trị không âm, tích phân của nó từ -∞ đến +∞ có giá trị bằng 1

i) f x    0, x

ii) f x dx  1



iii) V ới mọi a < b, ta có   b  

c Hàm phân ph ối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Nếu đại lượng ngẫu nhiên X là rời rạc thì hàm phân bố xác suất của X là hàm số F(X) xác định xác suất của tất cả các biến cố có dạng {X < x} Theo định nghĩa này, hàm phân phối F(X)là xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng

Về tính chất hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì nó là một hàm bậc thang

và không giảm

«Hàm phân b ố của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X là một hàm bậc thang, không

« Hàm phân b ố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu bởi F(x), là hàm

Ngoài phân phối xác suất, một số các tham số đặc trưng cũng được sử dụng để đại diện cho đại lượng ngẫu nhiên trong một số trường hợp nào đó cụ thể như : kì vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn

([C], trang 84)

d Các tham s ố đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Liên quan đến các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, trong lý thuyết xác suất, chúng tôi tìm thấy các tham số đặc trưng như : kì vọng, phương sai, mốt, momen, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn Tuy nhiên, chúng tôi chỉ trình bày lý thuyết

của các tham số đặc trưng có mặt trong các định lý về luật số lớn

- Các tham số đặc trưng cho xung hướng trung tâm của biến ngẫu nhiên : kỳ

vọng toán, trung vị, mốt,…

- Các tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên : phương sai, độ

lệch chuẩn, hệ số biến thiên, giá trị tới hạn, momen,…

- Các tham số đặc trưng cho dạng phân phối xác suất : hệ số bất đối xứng, hệ

đại lượng ngẫu nhiên »

Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, kì vọng là tổng các tích giữa tất cả các giá

trị của đại lượng ngẫu nhiên và xác suất tương ứng của chúng, được trình bày trong [C] như sau :

X

1

Ta định nghĩa kì vọng (hay còn gọi là giá trị trung bình) của X là số sau đây, kí

Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục, kì vọng được định nghĩa như sau :

([B], trang 59)

Chúng tôi tóm tắt định nghĩa phương sai của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục trình bày trong [C] như sau :

Trường hợpX là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục

ở đó λ là m ột số dương cho trước

Phân bố Poisson có các tham số đặc trưng : EX = λ, DX = λ, modX = [λ]1

b.Phân bố nhị thức

Xét một phép thử ζ và một biến cố A có liên quan đến phép thử đó có xác suất là

thức Bernoulli ta có nếu kí hiệu Pk(n; p) là xác suất để trong một dãy n phép thử độc

lập biến cố A xuất hiện đúng k lần :  ; k k n k

P n p C p q  ở đó pP A q( ),   1 p

Nếu áp dụng công thức Bernoulli với cách đặt X là số lần xuất hiện A trong n lần

thực hiện phép thử ζ thì X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và ta có định nghĩa phân bố nhị thức như sau :

Định nghĩa : Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố nhị thức với tham số n,

Trong lý thuyết xác suất, có nhiều khái niệm khác nhau về sự hội tụ của các biến

ngẫu nhiên như là : hội tụ theo phân phối, hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn,

hội tụ theo trung bình bậc r Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến các khái niệm hội tụ làm

cơ sở cho luật số lớn, đó là hội tụ theo xác suất và hội tụ hầu chắc chắn Việc tìm hiểu khái niệm của hai dạng hội tụ này tạo điều kiện thuận lợi cho việc trình bày lý thuyết

về luật số lớn

- Hội tụ theo xác suất của dãy đại lượng ngẫu nhiên Xn về đại lượng ngẫu nhiên X theo xác suất được [C] trình bày như sau :

« Ta nói r ằng dãy Z Z1, , 2 các đại lượng ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất tới đại

([C], trang 151)

Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn được [C] trình bày như sau

« Dãy X n  n, 1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến X khi n →∞, kí

Trong hai dạng hội tụ trên thì dạng hội tụ hầu chắc chắn là dạng hội tụ mạnh hơn dạng

hội tụ theo xác suất, thể hiện ở định lý sau :

Theo định lý này thì một dãy đại lượng ngẫu nhiênXn nếu đã hội tụ hầu chắc

chắn đến đại lượng ngẫu nhiênX thì nó sẽ hội tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên X đó Điều ngược lại nói chung không đúng Đây cũng chính là cơ sở xây dựng hai cách phát biểu khác nhau của luật số lớn là luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn

g.Lu ật số lớn và các định lý liên quan đến luật số lớn

Luật số lớn được biết đến như là « quy luật áp dụng toán học vào tự nhiên, phát

« Trong ph ạm vi của lý thuyết xác suất, luật này được khẳng định dưới dạng các định lý trong đó nêu lên các điều kiện khá tổng quát để trung bình cộng

n

với trung bình kì vọng của chúng càng lúc càng cao

Luật số lớn thường được phát biểu bởi hai cách khác nhau tương ứng là luật yếu

số lớn và luật mạnh số lớn Sự phân biệt hai cách phát biểu trên của luật số lớn được qui ước ở hai dạng hội tụ Thuật ngữ « mạnh », « yếu » thể hiện mối quan hệ nội tại

của hai dạng hội tụ Theo nghĩa đó, nếu dãy đại lượng ngẫu nhiên (Xn) thỏa mãn luật

mạnh số lớn thì nó cũng thỏa mãn luật yếu số lớn Chúng tôi tiến hành trình bày hai phát biểu của luật số lớn song song với kết quả ở các định lý có đề cập đến luật số lớn

Luật số lớn được phát biểu dưới dạng tổng quát như sau :

Cho dãy X X1, , , 2 X n các đại lượng ngẫu nhiên bất kì có kì vọng EX i  mi

i 1,2,  Ta nói rằng dãy (Xn) tuân theo luật số lớn nếu với mọi ε> 0

a

([C], trang 155)

« B ất đẳng thức Tchebyshev là bất đẳng thức xác định cận trên của độ lệch xác

minh cho các định lý liên quan đến luật số lớn, phát biểu như sau :

«Giả sử X1, X2,… Xn,… là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố và

có kì vọng là µ và phương sai s 2 Khi đó trung bình cộng X1 X n

n

 

sẽ hội tụ tới µ theo xác suất

Một hệ quả quan trọng của luật số lớn đó là định lý Bernoulli hay còn gọi là

luật số lớn Bernoulli Đây là định lý khẳng định rằng tần suất của một biến cố sẽ hội tụ theo xác suất tới xác suất của biến cố đó Nếu chúng ta đi xét một phép thử ngẫu nhiên

ζ và đặt A là một biến cố có liên quan tới phép thử ζ rồi tiến hành phép thử ζ n lần độc

lập và gọi kn là số lần xảy ra A trongn phép thử đó thì tần suất của A được định nghĩa

là tỉ số giữa số lần xảy ra với số lần thực hiện phép thử

Định lý Bernoulli được phát biểu « Tần suất fnhội tụ về p = P(A) khi n →∞ »

Chúng tôi còn tìm thấy một phát biểu khác tương tự như sau :

Định lý Bernoulli

n (S n

Trong định lý trên có nhắc đến biểu đồ Bernoulli mà theo [B, trang 27] định

nghĩa : « là một mô hình toán học của hai phép thử độc lập với hai kết thúc xác suất

không thay đổi từ phép thử này đến phép thử khác » Thông thường, một trong các kết

quả được gọi là « thành công » có xác suất p, kết quả còn lại được gọi là « thất bại » có

xác suất q   1 p

Rõ ràng, với dãy các biến cố với các kết cục bù nhau (trong biểu đồ Bernoulli), khi thực hiện càng nhiều phép thử thì tần suất của biến cố đó ngày càng gần với xác

suất của nó Đây được coi là một phương pháp hiệu quả để xấp xỉ xác suất Chẳng hạn,

thực nghiệm gieo đồng xu của Buffon ở thế kỉ 18, nhà toán học này đã gieo một dồng

tiền cân đối trong 4040 lần và ghi lại được 2048 lần xuất hiện mặt ngửa Như vậy, tần

suất xuất hiện mặt ngửa là 0,507 Nhà thống kê người Anh gieo 12000 lần và thu được

tần suất mặt ngửa là 0,5016, và gieo trong 24000 lần thì thu được tần suất xuất hiện

mặt ngửa là 0,5005 Trong khi, chúng ta đã biết theo công thức xác suất cổ điển, xác

suất để xuất hiện mặt ngửa là 0,5

Luật số lớn còn được mở rộng cho trường hợp dãy đại lượng ngẫu nhiên (Xn) độc lập có cùng kì vọng, nhưng không nhất thiết cùng phương sai

« Định lý : Giả sử X X1, , ,2 X nlà các đại lượng ngẫu nhiên độc lập sao cho

EX EX  EX  m và DXi C với mọi i 1,2,

Khi đó trung bình cộng 1

n i i n

X X

([C], trang 162)

Về hình thức, hệ quả là phát biểu của định lý đối với phép thử Bernoulli Như chúng tôi đề cập ở trên, dãy đại lượng ngẫu nhiên (Xn) cũng chính là dãy n các phép

thử mà kết quả xuất hiện được gán bởi hai giá trị là 1 (nếu biến cố xuất hiện) và 0 nếu ngược lại Về mặt ý nghĩa, hệ quả trên phần nào nói lên mối quan hệ giữa tần suất của

một biến cố với xác suất của nó Cụ thể, khi tiến hành thật nhiều phép thử và quan sát

sự xuất hiện của biến cố A trong dãy phép thử đó thì tần suất của biến cố A càng lúc càng gần với xác suất của biến cố đó Mặt khác, nếu xác suất của biến cố nào đó chưa

biết thì hệ quả cũng cho ta cách tìm xác suất của biến có bằng cách xấp xỉ xác suất của

biến cố bởi tần suất xuất hiện của biến cố đó khi số phép thử đủ lớn

III KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Qua phân tích tri thức khoa học của luật số lớn, chúng tôi thu được một số kết

quả tri thức liên quan đến luật số lớn đó là : cho dù các đại lượng ngẫu nhiên hoàn toàn mang tính chất ngẫu nhiên xảy ra trong phép thử này đến phép thử khác, nhưng khi số phép thử tương đối lớn thì các đại lượng ngẫu nhiên ấy lại bộc lộ tính tất nhiên mà một dấu hiệu là trung bình toán học ngày càng gần với trung bình kì vọng của các đại lượng ngẫu nhiên đó

Định lý Bernoulli đã cho thấy mối quan hệ giữa tần suất của một biến cố và xác

suất của nó trong điều kiện phép thử có phân phối nhị thức, ở đó các biến cố có « kết

cục bù » nghĩa là xảy ra (có giá trị 1) và không xảy ra (có giá trị 0) : tần suất của một

biến cố dần về xác suất của biến cố đó theo nghĩa xác suất Với một số lượng phép thử

N cho trước, tần suất của một biến cố A theo cách này chính là tần suất của một giá trị

gắn với biến cố A đó Sự tương ứng này cho thấy mối quan hệ giữa đối tượng tần suất

ở thống kê mô tả với đối tượng tần suất của một biến cố và xác suất của biến cố đó Chúng tôi nghĩ rằngđã phần nào trả lời cho câu hỏi Q2

Với vai trò quan trọng của khái niệm tần suất như trình bày ở trên,chúng tôi đưa

ra giả thuyết công việc như sau :

H : Đối tượng tần suất là một ứng viên chủ yếu để tiếp cận khái niệm xác suất khi nó đi kèm với yếu tố ngẫu nhiên

Tiếp theo, chúng tôi sẽ quay trở lại thực tế dạy học để tìm hiểu mối quan hệ thể

chế đối với đối tượng tần suất và đối tượng xác suất trong thể chế dạy học hiện hành Chúng tôi muốn xem xét vai trò ứng viên của đối tượng tần suất trong cách hình hành

khái niệm xác suất ở thể chế dạy học Thống kê ở lớp 10 và thể chế dạy học xác suất ở lớp 11 ra sao; những tổ chức toán học nào là đặc trưng cho vai trò ứng viên của đối tượng tần suất ? Đây là những câu hỏi mà phần trả lời cho chúng được chúng tôi tiếp

tục nghiên cứu trong chươngsau của luận văn

C hương 2 :NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ THẾ

VỚI ĐỐI TƯỢNG TẦN SUẤT VÀ ĐỐI TƯỢNG XÁC SUẤT

Nghiên cứu chương này giúp chúng tôi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 :Đối tượng

bày như thế nào? Có các tổ chức toán học nào được thể chế ưu tiên? Trong đó, tổ

Để trả lời cho câu hỏi trên, trước hết chúng tôi cần tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa liên quan đến thống kê và xác suất được đưa vào giảng dạy Vì

thế trong chương này, chúng tôi tiến hành tóm tắt một số kết quả nghiên cứu được để

bổ sung và làm sáng tỏ trọng tâm nghiên cứu của luận văn Để thuận tiện về mặt ngôn

ngữ, chúng tôi tạm gọi thể chế 1 là thể chế dạy học lớp 10 hiện hành (chương trình Cơ

bản và chương trình Nâng cao) và thể chế 2 là thể chế dạy học lớp 11 hiện hành (ở cả hai chương trình Cơ bản và Nâng cao)

Trước tiên, chúng tôi tìm hiểu đối tượng tần suất ở thể chế 1 Tiếp đến, chúng tôi sẽ tiến hành các phân tích về đối tượng xác suất (đặc biệt là xác suất thực nghiệm)

ở thể chế 2 Qua đó, chúng tôi cũng cố gắng tìm hiểu và làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hai đối tượng này đề cập trong hai thể chế dạy học nói trên, qua đó, các nghiên cứu sẽ cung cấp cho chúng tôi các luận cứ vững chắc để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu

mà chúng tôi đặt ra ở cuối chương 1

I TẦN SUẤT TRONG THỂ CHẾ 1

Khi nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng tần suất, chúng tôi tìm

thấy các kết quả tương tự trong luận văn Thạc sĩ của Quách Huỳnh Hạnh (2009) Vì

thế, chúng tôi tiến hành ghi nhận các kết quả liên quan đối tượng tần suất mà tác giả đã nghiên cứu được nhằm bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình

Chương trình toán lớp 10 dành trọn vẹn chương V trình bày nội dung thống kê

mô tả Cấu tạo của chương thống kê ở chương trình Nâng cao :

§3 Các s ố đặc trưng của mẫu số liệu

(Sách giáo viên 10 Nâng cao (SGV10NC), trang215)

Với mục tiêu của chương là :

[…]»

(SGV10NC, trang 215)

Trong khi đó, cấu tạo chương ở chương trình Chuẩn có khác biệt đôi chút đề

mục các bài Tuy nhiên, cấu tạo mạch kiến thức hoàn toàn giống với chương trình Nâng cao

Về cách tổ chức kiến thức ở chương thống kê ở SGK10NC, Quách Huỳnh

Hạnh đánh giá : « Kiến thức được chia làm 3 mạch chính Mạch thứ nhất là trình bày

hai là đề cập đến những số đặc trưng của mẫu số liệu Mạch thứ ba tập trung vào

nh ững số đặc trưng của mẫu sốliệu (số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ

Chúng tôi cũng nhận thấy các mạch kiến thức tương tự trong sách giáo khoa 10

Tần suất của một giá trị trong mẫu số liệu được định nghĩa tường minh trong sách giáo khoa 10 Nâng cao, cụ thể :

i

n f N

7 22,6%; 9 29, 0%; 6 19, 4%; 5 16,1%

(SGK10, trang 111)

Tần suất của một giá trị trong mẫu số liệu được đề nghị như là tỉ lệ của giá trị

đó trong mẫu số liệu và cũng được quan tâm viết dưới dạng phần trăm (%) Định nghĩa chính thức chỉ được xuất hiện trong SGV10

« Xét l ớp thứ i (i=1, 2, 3, 4), ta gọi

S ố i

i

n f

n

Về cách biểu diễn các giá trị tần suất, SGK10NC trình bày tần suất ở bảng phân

bố tần suất (gọi tắt là bảng phân bố) hoặc bảng phân bố tần suất ghép lớp ( gọi tắt là

bảng phân bố ghép lớp) Trong bảng phân bố ở SGK10NC bao giờ cũng có cột tần

suất, nên khi gọi tên SGK10NC thương dùng thuật ngữ « bảng phân bố tần số - tần

suất hoặc bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp »

Nhận xét về hình thức trình bày, Quách Huỳnh Hạnh (2009) cho rằng :

su ất Về hình thức thì không khác gì so với bảng tần số đã học ở lớp 7, tuy nhiên

([2], trang27)

Về lý do đưa vào bảng phân bố, Quách Huỳnh Hạnh nhận định thêm :

số liệu (theo một tiêu chí nào đó) được gọn gàng, xúc tích, nhất là khi có nhiều số

liệu” Kỹ thuật phân lớp mẫu số liệu không được đề cập đến, toàn bộ các lớp cần

Việc phân lớp được hướng dẫn chi tiết trong SGV10, theo đó, các lớp ghép có đặc điểm như sau :

(SGV10, trang149)

Tuy nhiên sách giáo khoa không yêu cầu học sinh biết cách tiến hành phân lớp dãy giá trị của dấu hiệu, các ví dụ và các bài tập đều được cho sẵn các lớp ghép

« Không yêu c ầu học sinh nhận biết được khi nào lập bảng phân bố ghép lớp,

(SGV10, trang 122)

Về thao tác lập bảng phân bố ghép lớp, SGK10 nêu ra phương pháp cụ thể như sau :

Vì lý do sư phạm không yêu cầu học sinh thực hiện bước này Do đó, trong tất cả

Bước 2 Xác định tần số, tần suất của các lớp

được mẫu số liệu sau (đơn vị : cm)

Ở đây, ta ghép các số liệu trên thành năm lớp theo các đoạn có độ dài bằng

([2], trang27)

Bảng 6 ([2], trang 27)

Thông thường trong bảng phân bố tần số ghép lớp, các khoảng (đoạn hoặc nửa

(SGK10NC, trang219)

Nhận xét về cách phân lớp của bảng phân bố ghép lớp trong SGK10NC ở ví dụ trên, Quách Huỳnh Hạnh bổ sung : « Ta có thể nhận thấy cách phân lớp thứ 2 có sự

liên t ục giữa các lớp, tuy nhiên sách giáo khoa không đưa ra lời giải thích về sự khác

trưng của dấu hiệu điều tra Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy do tất cả các lớp đều luôn luôn được cho sẵn nên công việc còn lại khi lập bảng chỉ là xác định tần số, tần

ở sách giáo khoa lớp 7 » ([2], trang28)

Đối tượng tần suất còn có mặt trong biểu đồ, bao gồm biểu đồ tần suất hình cột,

biểu đồ đường gấp khúc tần suất và biểu đồ tần suất hình quạt Biểu đồ được đưa vào

giảng dạy được giải thích rằng : « để trình bày mẫu số liệu một cách trực quan sinh

động, dể nhớ và gây ấn tượng» (SGK10NC, trang165) Trongđó, biểu đồ hình cột

được chú ý rằng « là cách thể hiện rất tốt bảng phân bố tần số (hay tần suất) ghép

bố tần suất ghép lớp » (SGK10NC, trang 166)

Về cách thức vẽ biểu đồ hình cột và biểu đồ đường gấp khúc, SGK10NC cao hướng dẫn cách vẽ sao cho chiều cao các cột tần suất (trong biểu đồ cột) và độ dài của các đoạn (trong biểu đồ đường gấp khúc)bằng tần suất Trong khi đó, đối với biểu đồ hình quạt, mỗi lớp được tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần

suất của lớp đó

Cũng tương tự như trên, sách giáo khoa Đại số 10 đã chú ý đến biểu đồ tần suất hình cột, biểu đồ đường gấp khúc tần suất và biểu đồ hình quạt trong bài

§2 Bi ểu đồ Ở đây, cách thức vẽ biểu đồ hình cột và biểu đồ đường gấp khúc hoàn

toàn tương tự như ở SGK10NC Ngoài ra, SGV10 còn yêu cầu giáo viên hướng dẫn thêm cho học sinh một số yêu cầu cần đạt như :

(SGV10, trang 127)

Tuy nhiên, khác với SGK10NC, SGK10 không yêu cầu học sinh phải biết vẽ

biểu đồ hình quạt mà chỉ yêu cầu học sinh đọc được biểu đồ hình quạt

« […]Đọc biểuđồ hình quạt »

(SGV10, trang 127)

2 Phần bài tập

Chúng tôi ghi nhận các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tần suất tìm

thấy trong luận văn Thạc sĩ của Quách Huỳnh Hạnh (2009) như sau

Kỹ thuật τXĐ.TSu :Để tính tần suất f i của một giá trị x i ta lần lượt thực

Công nghệ θXĐ.TSu :Định nghĩa tần suất

Công ngh ệ θ LB.GL : phần hướng dẫn lập bảng ghép lớp (SGV10, trang124)

Ví dụ : Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau

Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành

Công ngh ệ θ V.HC : Khi độ rộng các lớp như nhau thì chiều cao của hình chữ

nhật tỷ lệ thuận với tần suất của lớp

o Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các điểm (ci; ni), i = 1, 2, 3… trong đó,

ci là giá trị đại diện của lớp i

o Vẽ các đoạn thẳng nối điểm (ci; ni) với điểm (ci+1; ni+1), i = 1, 2, 3, …

Công ngh ệ θ V.GK: Phần hướng dẫn vẽ biểu đồ

Ví dụ :Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau

T V.HQ :V ẽ biểu đồ tần suất hình quạt

K ỹ thuật τ V.HQ :Thực hiện các bước

o Tính tần suất của từng lớp

o Tínhsố đo góc ở tâm tương ứng với lớp x i theo công thức 360 0f i

o Vẽ các hình quạt tương ứng với những số đo góc đã tính bên trên

Công ngh ệ θ V.HQ : Góc ở tâm của hình quạt tỷ lệ thuận với tần suất của

lớp

Ví dụ :Với mỗi tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm trẻ em mới sinh có trọng lượng

dưới 2500g Sau đây là kết quả khảo sát ở 4ỉnh (đơn vị : %)

5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 7,6 8,6 6,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 7,0 6,7 6,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 8,6 8,1 7,6 7,1 7,9 8,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 7,4

[…]

(SBT10NC, trang 175)

Ngoài các tổ chức toán học tìm thấy trong tài liệu trên, chúng tôi ghi nhận thêm

một tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tần suất là :

K ỹ thuật τ NX.Tsu: Nhận xét tỉ lệ các giá trị có tần suất cao nhất; các giá

trị có tần suất thấp nhất Phần đông các giá trị chiếm tỉ lệ cao trong khoảng nào

Công ngh ệ θ NX.Tsu: Kết quả tần suất của các giá trị trong mẫu số liệu cho dưới dạng bảng phân bố hoặc đồ thị

Liên quan đến đối tượng tần suất, kiểu nhiệm vụ T NX (nh ận xét tần suất các giá tr ị trong bảng phân bố) chỉ dừng ở mức độ ghi nhận giá trị có tần suất cao nhất,

giá trị có tần suất thấp nhất hoặc ngay cả cácgiá trị « số đông » tức là các giá trị chiếm

tổng tần suất cao nhất Rất tiếc là người ta không đi sâu hơn trong hoạt động (chẳng

hạn, tổ chức mở rộng điều tra bằng việc tăng kích thước mẫu, yêu cầu học sinh quan sát sự thay đổi của tần suất, từ đó nhận ra ý nghĩa của tần suất như là công cụ để hình thành khái niệm xác suất)

Chúng tôi tiến hành thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đối tượng tần

suất ở cả hai chương trình Chuẩn và chương trình nâng cao trong bảng sau

Kiểu nhiệm vụ

Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao

Lý thuyết

Bài

tập SGK

Bài

tập SBT

C ộng Lý

thuyết

Bài

tập SGK

Bài

tập SBT

Chúng tôi chia các kiểu nhiệm vụ trong bảng trên thành 3 nhóm Nhóm 1 là

kiểu nhiệm vụ nhận xét giá trị tần suất có được ở biểu đồ tần suất hoặc ở bảng phân bố ghép lớp mà chúng tôi đặt tên là T1 Nhóm 2 gồm các kiểu nhiệm vụ liên quan biểu đồ

tần suất, nhóm này có tên là T2 Nhóm 3 gồm các kiểu nhiệm vụ tính tần suất mà chúng tôi đặt tên là T3 Số lượng bài tập của mỗi nhóm cho bởi bảng sau

Xem xét các bài tập liên quan đến các kiểu nhiệm vụ trên, chúng tôi ghi nhận

một số điểm như sau :

+ Đối với nhóm các kiểu nhiệm vụ khai thác định nghĩa tần suất (T3)

Trong các bài tập có chứa các kiểu nhiệm vụ thuộc nhóm T3, các bài tập chứa kiểu nhiệm vụ T LB.GLchiếm đa số.Lý do giải thích theo chúng tôi ghi nhận rằng do trong

kiểu nhiệm vụ T LB.GL (l ập bảng ghép lớp tần suất) có chứa kiểu nhiệm vụ con

phân bố ghép lớp Số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ nhóm này chiếm tỉ lệ cao nhất : chương trình Chuẩn là 46,35%, chương trình Nâng cao là 56,52%

Các lớp ghép trong bảng phân bố ghép lớp đều được cho sẵn và có độ rộng

bằng nhau rời nhau hoặc liên tục Học sinh không có trách nhiệm phân lớp mà chỉ thực hành tính tần số, tần suất tương ứng với các lớp ghép đó Tuy nhiên, chúng tôi tìm thấy hướng dẫn cách phân lớp ở SGV10

« Trường hợp biến định tính( kể cả khi là biến định hạng)

Trường hợp biến định lượng

Trong trường hợp này ta phân lớp theo các bước sau

Bước 1 : Xác định đoạn chứa các số liệu thống kê

Tìm s ố lớn nhất trong các số liệu thống kê đã cho (kí hiệu là x max); tìm s ố nhỏ

Bước 2 Xác định số lượng các lớp được phân (kí hiệu là k), và phân đoạn [a;b]

+ Đối với nhóm kiểu nhiệm vụ biểu diễn tần suất (T1)

Các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ biểu diễn tần suất bằng biểu đồ tập trung

chủ yếu ở hai dạng biểu đồ là biểu đồ hình cột và biểu đồ đường gấp khúc

Đây là nhóm kiểu nhiệm vụ chiếm số lượng tương đối nhiều (chương trình Chuẩn là

31,70%, chương trình Nâng cao là 34,78%) Biểu đồ tần suất hình cột và biểu đồ đường gấp khúc tần suất được thể chế 1 ưu tiên đề nghị sử dụng hơn biểu đồ tần suất hình quạt Loại biểu đồ tần suất hình quạt hoàn toàn vắng mặt trong kiểu nhiệm vụ TV

(vẽ biểu đồ) ở chương trình Chuẩn Liên quan đến biểu đồ hình quạt, chương trình chuẩn chỉ yêu cầu học sinh biết cách « đọc biểu đồ »

+ Đối với nhóm các kiểu nhiệm vụ nhận xét tần suất (nhóm T2)

Nhóm T2 có duy nhất một kiểu nhiệm vụ là T NX.TSu (nhận xét tần suất của các giá trị trong mẫu số liệu) Các bài tập chúng tôi xếp vào kiểu nhiệm vụ này bao gồm các bài tập chứa các số liệu tần suất thu được ở bảng tần suất ghép lớp hoặc biểu đồ

tần suất Các bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ này tập trung khai thác các giá trị tần

suất thu được trong một khoảng nào đó của mẫu số liệu Tập trung nhiều vào việc

nhận xét lớp ghép nào có tần suất cao nhất/thấp nhất, các lớp ghép có mức độ tập trung

tần suất cao Ví dụ :

Bài t ập 4, SGK10, trang 114 Cho các s ố liệu thống kê ghi trong bảng sau