tiểu luận nguyên lí dirichlet

Đây là nguyên lý khá đơn giản, nhưng nó lại có nhiều ứng dụng trong lập luận giải các bài toán như số học, tổ hợp,… Cũng chính vì thế chúng ta thường xuyên bắt gặp định lý này trong các

Trang

Lời mở đầu 2

Giới thiệu chung 3

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 6

I Cơ sở lý thuyết 6

II Ứng dụng 9

1 Phương pháp ứng dụng 9

2 Ứng dụng 9

a) Nguyên lý Derichlet trong số học 9

b) Nguyên lý Derichle trong tổ hợp 12

c) Nguyên lý Derichlet trong hình học 14

d) Nguyên lý Derichlet trong chứng minh bất đẳng thức 17

Tài liệu tham khảo 19

LỜI MỞ ĐẦU

Một trong những nguyên lý quan trọng của toán học là nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet được nhà toán học người Đức Johnann Peter Gustav Lejeune Dirichlet đề xuất Đây là nguyên lý khá đơn giản, nhưng nó lại có nhiều ứng dụng trong lập luận giải các bài toán như số học, tổ hợp,… Cũng chính vì thế chúng ta thường xuyên bắt gặp định lý này trong các kỳ thi lớn như IMO hay các kỳ thi quốc tế khác

Có nhiều bài toán chỉ cần chứng minh được sự tồn tại của sự vật hay hiện tượng mà không cần chỉ ra tường minh sự vật, hiện tượng đó Do đó, Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy, nhưng nguyên lý là này là một công cụ hết sức hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc ở các lĩnh vực khác nhau trong toán học

Vì những lý do trên, trong bài tiểu luận này, chúng tôi đã chọn đề tài Nguyên lý Dirichlet Mong rằng nó có thể trở thành một tài liệu hữu ích bạn đọc

Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu dù đã rất nỗ lực nhưng khó tránh khỏi những sai sót Hi vọng nhận được sự góp ý của thầy và bạn đọc

Và cuối cùng, xin được chân thành cảm ơn thầy Trần Nam Dũng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho chúng em hoàn thành cuốn tiểu luận này

Người thực hiện Nhóm SV Số học và logic toán học

GIỚI THIỆU CHUNG

I Vài nét tiểu sử nhà toán học người Đức Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 tháng 2 năm 1805 – 5 tháng 5 năm

1859)

1 Cuộc đời

Nhà toán học người Đức Dirichlet là học trò của Gauss là người rất hâm mộ Gauss Nhờ giỏi tiếng Pháp, ông đóng vai trò quan trọng trong việc giao lưu tư tưởng giửa hai phía của sông Rhin

Trong thời gian học ở Pari, giữa 1822 và 1825, ông làm gia sư trong gia đình của tướng và nhà chính trị Maximilien Foy Trong thời gian này, ông tham gia nhà bác học trẻ, quây quần xung quanh Fourier Vì vậy ông gắn bó với Fourier và… với các chuỗi lượng giác

Từ 1826 đến 1828, Dirichlet là giảng viên trường Đại Học Breslau Từ 1829 ông làm việc ở trường Đại học Berlin Từ 1931 đến 1855 ông là giáo sư trường Đại học Berlin Từ 1855, sau khi Gauss qua đời, ông kế tục Gauss ở trường Đại học Gôttinggen

Dirichlet là một người khiêm tốn trung thực và nhân ái Nhưng, khác với vợ ông là Jacobi, Dirichlet không xuất sắc về mặt sư phạm Mặc dù vậy, các bài giảng của ông có ảnh hưởng lớn đến các nhà toán học thuộc thế hệ sau

như:Riemann, Eisenstein, Kronecker, Dedekin…

Sau khi Dirichlet qua đời, bộ óc của ông được bảo quả tại khoa sinh lý học Trường Đại Học Gôttingen

2 Sự nghiệp

Dirichlet có những phát minh lớn trong lí thuyết số Ông thiết lập các công thức cho cho số các lớp dạng toàn phương hai ngôi với định thức cho trước Ông chứng minh định lý về tập hợp vô hạn các số nguyên tố trong một cấp số cộng gồm những số nguyên mà số hạng đầu và công sai là nguyên tố cùng nhau Để giải các bài toán trên, ông sử dụng những hàm giải tích, gọi là hàm (chuỗi) Dirichlet Ông sáng lập ra lý thuyết tổng quát về các đơn vị đại số trong một trường số đại số

Về giải tích, Dirichlet là một trong những người đầu tiên quan niệm hàm là

sự cho ứng với mọi x một phần tử y, mà không cần phải có biểu thức của y theo x bằng các phép tính số học Dirichlet cũng là người đầu tiên đề xuất và nghiên cứu khái niệm hội tụ có điều kiện của chuỗi

Ông phát biểu và chứng minh những điều kiện đủ, thường gọi là điều kiện Dirichlet, để chuỗi Fourier của một hàm số hội tụ tới hàm số đó

Dirichlet cũng có những công trình đáng kể về cơ học và vật lý toán, đặc biệt

về lý thuyết thế

II Nguyên lý Dirichlet

(Nguyên lý này được Dirichlet phát biểu đầu tiên năm 1834)

Nếu f: E→F là một ánh xạ, trong đó E và F là những tập hợp hữu hạn sao cho Card(E)>Card(F) thì F không là đơn ánh

Nguyên lý này được Dirichlet thiết lập, sử dụng và đặt tên là “Nguyên lý ô chuồng chim bồ câu” Người ta cũng gọi nó là “nguyên lý ngăn kéo” hay “nguyên

lý hộp”

“Nguyên lý ô chuồng chim bồ câu” được phát biểu như sau: Nếu n chim bồ câu được phân phối vào m ô chuồng và nếu n>m thì có một ô chứa ít nhất hai chim bồ câu

“Nguyên lý ngăn kéo” hay “Nguyên lý hộp” được phát biểu như sau: Nếu n đồ vật được phân phối vào m ngăn kéo và nếu n>m thì có một ngăn kéo chứa ít nhất hai đồ vật

Gắn với tên của Dirichlet còn có một hàm số, minh họa quan niệm về hàm của Dirichlet

Hàm số của Dirichlet: Đó là hàm số f: R→R xác định bởi f(x)=1 nếu x là một

số hữu tỉ và f(x)=0, nếu x là một số vô tỉ

Nó là hàm đặc trưng của Q trong R

III Phương pháp

Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet là phương pháp mà học sinh được làm quen sớm nhất ngay từ khi học ở bậc tiểu học Đây là một trong những phương pháp thể hiện rõ “cái đẹp” của toán học, làm cho học sinh thêm yêu thích môn toán Chính vì vậy mà trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, các bậc thường xuyên xuất hiện các bài toán sử dụng phương pháp này

Để hiểu rõ hơn về nguyên lý này ta đến với phần Nguyên lý Dirichlet và Ứng dụng

NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG

1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản:

Nếu nhốt n + 1con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng

chứaít nhất hai con thỏ

2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát:

Mệnh đề: Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp

chứa ít nhất N

k

 

  đồ vật

(Ở đây, [x] là giá trị của hàm trần tại số thực x, đó là số nguyên nhỏ nhất có giá trị lớn hơn hoặc bằng x Khái niệm này đối ngẫu với [x] – giá trị của hàm sàn hay hàm phần nguyên tại x – là số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x.)

Chứng minh:

Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn N

k

 

 

  vật Khi đó tổng số đồ vật là;

k ( N

k

 

 

  - 1) < k

N k

 

 

  = N

Điều này mâu thuẩn với giả thiết là có N đồ vật cần xếp

3 Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu

Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ và S1, S2, …, Sn là các tập con

của S sao cho | S1 | + | S2 | + … + | Sn | > k | S | Khi đó, tồn tại một phần tử x

 S sao cho x là phần tử chung của k+ 1 tập Si ( i = 1, 2, … n)

4 Nguyên lí Dirichlet mở rộng

Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất

1

m

 

  con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần nguyên của số α

Chứng minh : Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ không có đến

      

con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng

1

n m



 

 

  con

Từ đó suy ra tổng số con thỏ không vượt quá m

1

1

n

n m



   

 

Điều này vô lí vì có n con thỏ Vậy giả thiết phản chứng là sai

Nguyên lí Dirichlet mở rộng được chứng minh

5 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp

Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng

phầntử của A lớn hơn số lượng phần tử của B Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phầntử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần

tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với một phần tử của B

Hình 1

6 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng

Giả sử A,B là hai tập hợp hữu hạn và S (A),S (B) tương ứng kí hiệu là các

sốlượng phần tử của A và B Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà

S(A)>k.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B Khi đó tồn tại ít nhất k+1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B

Chú ý: Khi k = 1, ta có ngay lại nguyên lí Dirichlet

7 Nguyên lí Dirichlet vô hạn:

Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo, thì phải có ít nhất một ngăn kéo chưa vô hạn các quả táo

8 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử

*Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng

Trong mục này ta kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I  R

+ Cho A là một khoảng giới nội, A 1, A2, … , An là các khoảng sao cho Ai

 A (i = 1, 2, …, n) và d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An) Khi đó ít nh ất có hai khoảng trong số các khoảng trên có một điểm trong chung

Chứng minh

Thật vậy, giả sử không có cặp nào trong những khoảng đã cho có

điểm trong chung

Khi đó, d(A1  A 2  … An) = d(A1) + d(A2) + … + d(An) > d(A)

Mặt khác, từ Ai  A (i = 1, 2, …, n) suy ra d(A1  A 2  … An )≤ d(A) Các bất đẳng thức trên mâu thuẫn với nhau Vậy ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng trên có điểm trong chung

 Tập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín

Trong mục này ta kí hiệu S(A) là diện tích miền A trong một mặt phẳng

+ Nếu A là một miền giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín, còn

A1, A2, … , An là các miền sao cho Ai A (i = 1, 2, …, n) và S(A) < S(A1) + S(A2) + … + S(An), thì ít nhất có hai miền trong số các miền nói trên có điểm trong chung

Chứng minh Tương tự như chứng minh Định lí 1

II ỨNG DỤNG

1 Phương pháp ứng dụng

Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt

“thỏ” vào “chuồng” và thoả mãn các điều kiện :

+ Số ‘thỏ” phải hiều hơn số chuồng

+ “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc

chuồng nào cũng phải có thỏ

Bí quyết thành công của nguyên lý Dirichlet chính là kỹ thuật “xây chuồng” và

“tạo thỏ” Trong nhiều bài toán, chuồng là gì, thỏ là gì khá rõ ràng, nhưng trong nhiều bài toán, xây chuồng và tạo thỏ là cả một sự tinh tế Ta phải biết chọn các thành phần chính” và “hướng đến mục tiêu” (Trần Nam Dũng)

Thường phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng

2 Ứng dụng

a) Nguyên lý Dirichle trong số học

Ví dụ 1:

Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh rằng phải có ít nhất

một lớp có từ học sinh trở lên

Giải:

Giả sử 23 lớp mỗi lớp có không quá 3 học sinh

Khi đó số học sinh là:

3.23=989 học sinh (ít hơn 1000–989=11 học sinh)

Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ học sinh trở lên

Trong bài toán này, “thỏ” là 1000 học sinh, “chuồng” là 23 lớp

Ví dụ 2:

Có năm loại học bổng khác nhau Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên

để chắc chắn rằng có ít ra là 6 người cùng nhận học bổng như nhau

Giải:

Gọi N là số sinh viên, khi đó:

[ ] Vậy số N bé nhất thỏa mãn là 26

Trong bài toán này, số “chuồng” là 5 loại học bổng, số “thỏ” là số sinh

viên cần tìm

Ví dụ 3:

Trong 5 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học

sinh được điểm 10 Chứng minh rẳng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau(điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:

Có – hoc sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9) Giả sử mỗi

loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có

không quá: 5.8 = 0 học sinh, ít hơn 3 học sinh Vậy tồn tại 6 học sinh có

điểm kiểm tra bằng nhau

Trong bài toán này “thỏ” là 43 điểm kiểm tra từ 2 đến 9, “chuồng” là 8 loại điểm nói trên

Bài tập tự luyện

Bài 1: CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007

Bài 2: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên luôn luôn tồn tại số k sao cho

chia hết cho

Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại số dạng 20032003…2003000…0 chia hết cho 2002

Hướng dẫn giải:

1 Xét 2008 số có dạng 1,11, ,11 11 Theo nguyên tắc Dirichlet thì tồn tại

hai số có cùng số dư khi chia cho 2007 Giả sử hai số đó là:

và với

Khi đó – chia hết cho 2007

Do chia hết cho 2007

2 Đặt A= , ta lấy giá trị đầu của k tính từ số 1 Với các giái trị của k ta được một giá trị khác nhau của A Đem A chia cho ta sẽ có phép chia, nhưng chỉ có số dư từ 0 đến , tức là có nhiều nhất số dư

Áp dụng định lý Dirichlet, ta sẽ có ít nhất hai giái trị của A có cùng số dư khi chia cho

Ta giả sử hai số đó là A1= và A2= (giả sử m>n)Vì hai số

có cùng số dư khi cho , nên hiệu của chúng sẽ chia hết cho

 )-( = chia hết cho

Vì không chia hết cho , nên ) phải chia hết cho , vậy luôn tồn tại k=m-n thỏa mãn điều kiện đề bài( dpcm)

3 Ta xét một dãy gồm 2002 số hạng có dạng: 2003; 20032003; 200320032003;…;

2003…2003

Chia lần lượt các số hạng trong dãy trên cho 2002

Ta sẽ được các số dư từ 1-2001, ta không thể có số dư là 0 vì số chia là số chẵn, số

bị chia là số lẻ nên không thể là phép chia hết Ta nhận thấy có tất cả 2002 phép chia, nhưng chỉ có 2001 số dư Vậy theo nguyên lý Dirichlet trong 2002 số sẽ có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2002

Ta giả sử hai số đó là am=20032003…2003 và an=2003 2003 Khi đó hiêu của hai

số sẽ chia hết cho 2002 Hiệu của hai số có dạng: 2003 2003000 0

Vậy luôn luôn tồn tại số có dạng 20032003…2003000…0 chia hết cho 2002 (đpcm)

b) Nguyên lý Dirichlet trong tổ hợp

Ví dụ 1:

Một lớp học có 30 học sinh Khi viết chính tả, em A phạm 14 lỗi, các em khác phạm ít lỗi hơn Chứng minh rằng có ít nhất là 3 học sinh không mắc lỗi hoặc mắc số lỗi bằng nhau

Giải:

Phòng 1: Chứa các em mắc 1 lỗi

Phòng 2: Chứa các em mắc 2 lỗi

………

Phòng 14: Chứa các em mắc 14 lỗi

Phòng 15: Chứa các em không mắc lỗi

Theo giả thiết phòng 14 chỉ có em A Còn lại 14 phòng chứa 29 em Theo

nguyên lý Dirichlet tồn tại một phòng chứa ít nhất 3 em Từ đó có điều phải chứng minh

Trong bài toán này, số “chuồng” là số phòng, số “thỏ” là số học sinh

Ví dụ 2:

Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau

Giải:

Gọi A là một trong 6 người Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của Ahoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của A

Trong trường hợp đầu ta gọi B,C,D là bạn của A nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người B,C,D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ

họ là bộ ba người thù lẫn nhau Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp

có ít nhất ba người là kẻ thù của A (ĐPCM)

Bài tập tự luyện

Bài1: Trong một lưới ô vuông kích thước 5.5, người ta điền ngẫu nhiên vào các

ô một trong các giá trị −1,0 hoặc 1, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau

Bài 2: Trong một giải bóng chuyền có 8 đội tham gia, thi đấu vòng tròn 1 lượt

Chứng minh rằng tìm được đội A, B, C, D sao cho A thắng B, C, D, B thắng C,

D và C thắng D

Bài 3: Trong một nhóm gồm 2n+1 người với mỗi n người tồn tại một người

khác n người này quen với tất cả họ Chứng minh rằng trong nhóm người này có 1

người quen với tất cả mọi người

Hướng dẫn giải:

1 Gọi các tổng lần lượt là S1,S2, S12

Có tất cả 12 tổng Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị

là {−5,− …0,… ,5} Có tất cả 11 giá trị khác nhau Từ đó, theo nguyên lý

Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh

2 Trong bóng chuyền không có hoà, do đó 8 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt thì sẽ có

tất cả 28 trận thắng Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại đội bóng A có ít nhất 4 trận thắng Xét đội thua A đội này đấu với nhau 6 trận, do đó tồn tại một đội thắng ít nhất 2 trận (trong số các trận đấu giữa đội này với nhau) Giả sử đó là