Nguyên hàm tích phân

Nguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phân

Trang 1

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên

đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM

A LÝ THUYẾT

Đạo hàm các hàm cơ bản

' 0

C 

'

x  x

I VI PHÂN

( ) '( ).

du x u x dx

Ví dụ 1: ứng dụng vi phân



 

1

d x





 (với  1 )

x

 hay 1dx dln x

Lưu ‎ý:

( ) ( )

f x dxdF x {với F x( ) là một nguyên hàm của f x  (F x'( )  f x( ) }

II Nguyên hàm

2.1 Định nghĩa

 F x( ) được gọi là một nguyên hàm của f x khi F x'( )  f x( ) Khi đó F x( ) Cđgl họ nguyên hàm của f x 

 Kí hiệu:  f x dx( ) F x( )  C F x'( )  f x( )

 Lưu ‎ ý:  f x dx( ) : đgl nguyên hàm của f(x) theo biến x

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM lưu ‎ k ý ỹ thuật đổi biến Phần lớn sử dụng vi phân

Biến x Biến F x( )

Trang 2

2.2 Các phép toán nguyên hàm

  f x( ) g x dx( )  f x dx( ) g x dx( )

 k f x dx ( ) k. f x dx  (với k là hằng số)

B PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Có hai phương pháp tính nguyên hàm – tích phân:

 Phương pháp đổi biến

 Phương pháp từng phần

BẢNG NGUYÊN HÀM 1

ĐA THỨC – PHÂN THỨC



    

Lưu ý: dtt dx' {với t chính là hàm ( ) nào đó}

MŨ

e dxde



ln

x

x da

a dx

a



LƯỢNG GIÁC

 sinxdxd cosx

 cosxdxdsinx

Trang 3

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

 ( ) '( ). ( ( )) ( )  

f u x u x dx f u x du x  f t dt

Sử dụng vi phân và bảng 1

DẠNG TOÁN 1

    

Ví dụ cơ bản 1 Tìm nguyên hàm

1 dx x C

2

x

x dx  x C

Để đưa ra đáp số câu 3, thực hiện NHÁP:

1 1

2 3

1 7

1 2

x x

 



Ví dụ cơ bản 2 Sử dụng vi phân đổi biến Tìm nguyên hàm

1 (ax b dx) 1 (ax b d ax b) ( ) 1 tdt

2

t

C a

 

2

ax b

C a



 

1 2

x x dấu  ‎ là nguyên hàm tương ứng

Trang 4

5

x

(x 1) xdx

 Phân tích: Biểu thức trong nguyên hàm dạng tích và  6

1

x là biểu thức phức tạp Nên ta nghĩ đến đổi biến x thành biến x+1 Chuyển phức tạp về đơn giản bằng cách đổi biến

Bg

6 (x1) xdx x1  x 1 1d x(  1)  x1  x1 d x1

  8 7

C

Lưu ‎ ý: ax b b

x

a

 

 đây là cách đổi biến thường dùng

4  3 1     3  1   4  3 

x x dx  x   x d x   x  x d x

1

C

Bài tập áp dụng 1 Tìm nguyên hàm

1  2018

2

2  8

3x 2 xdx

 dx ln x C dt lnt C

Ví dụ cơ bản 3 (Dạng phân thức)

dx

C

1

dx



2 1.ln 3 1

dx



KỸ THUẬT TÁCH MẪU SỐ

Công thức:





Trang 5





Bài toán tổng quát 1 P x( )dx

ax b

 với P x( ) là đa thức Phương pháp giải: Dùng kỹ thuật chia đa thức lấy tử số chia cho mẫu

( )

Q x

ax b  ax b

Bài 1.1 Tìm nguyên hàm (Tạo hệ số x tử và mẫu giống nhau)

ln 2 1

     

x

 

4 3 1 3 6 2 ???

Bài tập áp dụng 1.1 Tìm nguyên hàm

1 3

1

x

dx x





2 2 1

x

dx x





1 ln 3

(ln 1)

x

dx





2 2 ln 1

(3ln 5)

x dx





3 3.

1

x

x x

e

e dx e







4 sin

cos 2

x dx

x

5 sin 1 cos

2sin 9

x

xdx x





Trang 6

6 sin 2 sin

cos 2

dx x





Bài toán tổng quát 2 2P x( ) dx

ax bx c



1

? ax b cx d



    Mạnh dạn lấy hai biểu thức ở mẫu trừ cho nhau làm sao mất biến x Mục tiêu tạo mẫu là hàm bậc nhất Như vậy ? phải điền số tương ứng như sau



? ax b cx d

x



    Mạnh dạn lấy hai biểu thức ở mẫu trừ cho nhau làm sao mất hằng số tự do Mục tiêu tạo mẫu là hàm bậc nhất Như vậy ? phải điền số tương ứng như sau

d ax b b cx d

Bài 2.1 Tìm nguyên hàm

1

dx

x



 Lưu ý: lnA lnB ln AB ;lnA lnB ln A

B

2

dx

x





3

2

Trang 7

1

 1 2

dx

x x



2

2 1 4

dx

x x



3

 1 3

xdx

x x



4

 1 2 3

xdx

x x



5 2

xdx

x  x



Bài toán tổng quát 3 (Phương pháp hữu tỉ hóa)  f  u x dx( )

Phương pháp giải

'( )

tdt tdt

u x g t

 Suy ra:   2 

( ) ( ) tdt

f u x dx f t

g t



Bài 3.1 Tìm nguyên hàm

1

dx

x

 

2

xdx

x

 

x

dx x



 

Bài giải

t  x   t x      t t x t dtdx

x

2 1 x 2 2 ln 1 x 2 C

Trang 8

BÀI TẬP ÁP DỤNG 1

Bài 1 (Dạng toán xuất hiện ln x )

Dùng vi phân: dx dlnx

Tìm nguyên hàm

1

3lnln 1

x dx

2 2 ln 1

ln 1

x dx





 (Dạng hữu tỷ hóa vì xuất hiện căn Đặt 2

t x  t x

3

3 2

ln 9 lnx x 1

dx x



Bài 2 (Dạng toán xuất hiện x

e ) Dùng vi phân: x x

e dxde Tìm nguyên hàm

1

x

e dx

e 

2

1

x

dx

e 

3

2

x

dx

e 

4

dx

e  e 

5

2

1

x

e

dx

e 

6

2x 1

dx



Bài 3 (Dạng toán xuất hiện lượng giác)

Dùng vi phân cosdxdsinx ; sinxdxd cosx dcosx

Tìm nguyên hàm

1  3

2cosx 1 sinxdx

Trang 9

2 sin

3cos 1

xdx

x

3 sin

1 2 cos

xdx x



4 sin 2

1 3cos

xdx x





5 sin 2 cos

sin 1

dx x



 Lưu ‎ý: sin 2x2sin cosx x

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Nhận xét:

f x dxF x  C F x  f x

 Do đó ta có F x dx'( ) F x( ) C

( ) 'u v u v' v u' (uv dx) ' u vdx' v udx' uvvduudv



Dạng 1 Xuất hiện tích của hai họ hàm khác nhau {trong đó có hàm x

e , hoặc hàm lượng giác} Đây là dấu hiệu dùng phương pháp từng phần Các hàm dễ tìm nguyên hàm như

,sin , cos , ,

cos sin

x

x x ưu tiên làm dv

  f x e dx( ). x  f x de . x

udv f x e( ). xe df x x ( ) f x e( ). xe f x '( ).x dx

 ( ).sin ( ) ( cos ); ( ).cos ( ) sin ; ( )2 ( ) tan

cos

f x

x

u dv.

Ví dụ cơ bản 1.1: Tìm nguyên hàm

x e dx x de x e  e dxxe  e C

2 (3x 1)e dx x (3x 1)de x  (3x 1)e xe d x 3x  1 (3x  1) e x.3.dx 3x  1 3e xC

x e dx x de x e  e dx x e  xe dx

udvuv vdu

'

u dx

Trang 10

4 xsinxdx

5 xcos 2xdx

6 xdx x

e

Lưu ý: ax b e ax b 1 ax b



sin(ax b dx) d ax b dcos(ax b)

    

DẠNG 2 f x( ).ln x dx ln x dF x( ) F x( ).lnx F x d( ) lnx F x( ) lnx F x( )dx

x

{lnxu dF x; ( ) dv với F x( ) là một nguyên hàm của f x  }

Ví dụ cơ bản 2.1 Tìm nguyên hàm

1 ln x dxxlnxxdlnxxlnxdxxlnx x C

{Giải thích: lnxu dx; dv và   1

ln ln '

x

2

ln

 

2x 1 lnxdx lnxd x( x) 

4 2

ln

x xdx

5 ln x2 dx

x

6 ln xdx

x

7 ln(x 1)dx

8 2

ln(x x dx)

Trang 11

TÍCH PHÂN

Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường: y f x y( ),  0,xa x, b

(như hình vẽ f x( )    0, x  a b; )

Diện tích hình phẳng (H): b ( )

a

S  f x dx

 ĐỊNH NGHĨA:

Hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; F x( ) là một nguyên hàm f x 

( ) ( ) | ( ) ( )

b

b a

a f x dxF x F b F a



 Tính chất

 b ( ) a ( )

a f x dx  b f x dx

 b ( ) c ( ) b ( )

a f x dx a f x dx c f x dx

   (Công thức áp dụng cho tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối)

1

1 (2x 1)dx x x |  3   3 1   1 6

(H)

 

y f x

x

y

O

Trang 12

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Đổi biến: b  ( ) '( ) b  ( ) ( )

a f u x u x dx a f u x du x

  (Đặt tu x( ) khi đó ta phải đổi cận tương ứng)

( )

( ) ( )

u b

u a f t dt



Từng phần: b |b a b

a udvuv  a vdu

NHẬN XÉT: Như vậy bài toán tích phân và bài toán nguyên hàm bản chất cách làm tương

tự nhau

Ví dụ 2 Tính tích phân

1 1  4 1    4  1  

4



1 1

|

t t



 

      

 

2

1

e

1

|

e

    

Ví dụ 3 Tính tích phân (Phương pháp hữu tỷ hóa Dấu hiệu nhận biết thấy xuất hiện căn trong biểu thức tích phân)

1 3

0 1 1

dx A

x



 

2

3 2 1

ln 9 ln 1

x



Bài giải

t  x   t x    t t x t dtdx

Đổi cận: x   0 t 2;x   3 t 3

3 2

2

t

x

Trang 13

2 ln

6

xdx t dt

x

Đổi cận: x    1 t 1;x  e t 2

Suy ra

1 1

1

|

e t t e e



  

BÀI TẬP 1

Bài 1 Tính các tích phân sau

1 ∫ 2 ∫

3 ∫

4 ∫

5 ∫ 6 ∫ 7 ∫

Bài 2 Tính tích phân 1 ∫

√

2 ∫

√ 3 ∫

√

4 ∫

√

5 ∫

√

6 ∫

√

Trang 14

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

 DIỆN TÍCH

 Hình phẳng (H) giới hạn bởi

( ) 0

y f x y

x a x b a b





 





Diện tích hình phẳng (H) là (H) b ( )

a

S  f x dx

Lưu ý: Nếu đề toán hình phẳng (H) cho khuyết a hoặc b thì ta giải phương trình f x( )  0 khi

đó pt sẽ có nghiệm a hoặc b ( y 0 chính là trục hoành Ox )

 THỂ TÍCH

 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

( ) 0

y f x y

x a x b a b





 





Xoay hình phẳng (H) quanh trục

Ox ta được khối tròn xoay (T) Khi đó thể tích khối tròn xoay (T) là

2 ( )T b ( )

a

V  f x dx

Ví dụ 1

1 Cho (H) giới hạn

2 1 0 0; 2

y x y

  

 



  



Tính diện tích hình phẳng (H)

Bg

2

2 (H) 0 1

S  x  dx

Trang 15

Đến đây ta phải xét dấu biểu thức 2

1

x  trên đoạn  0; 2 để phá dấu trị tuyệt đối

Ta có trên đoạn  0; 2 pt: 2

x    x

Suy ra

H

             

   

2 Cho (H) giới hạn

2

0 1

y x

   

 



 



Tính diện tích hình phẳng (H)

Bg Hình phẳng (H) thiếu x? nên ta giải pt để tìm thêm 1 cận

2

x





     



Do đó 2 2

(H) 1 3 2

S  x  x dx

Nhận xét: Trên đoạn  1; 2 biểu thức 2

2

x





     



( )

H

S  x  x dx  x x dx

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	0,97 MB