Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi tốt nghiệp 2013 chuyên đề nguyên hàm tích phân potx

Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàmsố hàm số này thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.. Tìm

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Chuyên đề 4

NGUYỄN HOÀNG MINH THPT Nguyễn Trung Trực

1 Nguyên hàm.

2 Định nghĩa.

Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x  trên K nếu :

F x f x  x K

3 Định lý.

Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì mọi hàm số có dạng

 

F x Ccũng là nguyên hàm của f x  trên K và chỉ những hàm số có dạng

 

F x Cmới là nguyên hàm của f x  trên K

Ta gọi F x Clà họ nguyên hàm của f x  trên Kvà ký hiệu là f x dx  Vậy :

f x dx F x C



4 Tính chất.

4.1.1 Tính chất 1.

kf x dx k f x dx k 

4.1.2 Tính chất 2.

f x g x dx f x dx g x dx

5. Nguyên hàm của những hàm số thường gặp m n, ;m0

dx x C 

1

1 1

x













1

1

1 1

mx n

m

















ln

dx

x C





e dx e C

m



ln

x

a

mx n







sinxdx cosx C

m



cosxdxsinx C

m



2 tan cos

dx

x C

1 tan cos

dx

mx n C

mx n m  



2 cot sin

dx

x C

x  

1 cot sin

dx

mx n C

mx n  m  



Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm

số hàm số này thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm

6 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

7. Định lý.

Nếu f u du F u    C và u u x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì :

f u x u x dx F u x      C



8 Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp đổi biến số

thường gặp.

Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số

sin cos

 tsinx t m  sinx n

cos sin

 tcosx t m  cosx n

ln  1

f x dx

x

 tlnx t m  lnx n

tan  12

cos

x

 ttanx t m  tanx n

cot  12

sin

x

 tcotx t m  cotx n

f e e dx

 t e x t me xn

f x x dx

 t x k t mx kn

Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn n u x   thì thường ta đặt

 

n

t u x

9 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

Định lý.

udv uv  vdu

Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp từng phần thường gặp.

Dạng 1

   

p x q x dx

 (trong đó p x( )là hàm số đa thức, q x là hàm số sin x hoặc cos x hoặc  x

e ) Trong trường hợp này ta đặt :  

 

u p x

dv q x dx











Dạng 2.

(trong đó p x( )là hàm số đa thức, q x là hàm sốloga x )

Trong trường hợp này ta đặt :  

 

u q x

dv p x dx











BÀI TẬP

Bài 1 Chứng minh rằng hàm số F x e x x 21 là nguyên hàm của hàm số

f x e x

Bài 2 Chứng minh rằng hàm số F x  xlnx x  3 là nguyên hàm của hàm số

f x  x

Bài 3 Tìm nguyên hàm của hàm số f x cosx2 3tan x

Bài 4 Tìm nguyên hàm F x của hàm số  

2

1 2x

f x

x



 thỏa mãn điều kiện F  1 3 Bài 5 Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  cosx 3sinxthỏa mãn điều kiện

F  

Bài 6 Tính :

a

2

2

x



 b  3 2sin xcosxdx c e2x 3 1x dx

e





b

2

cos sin 2

cos

dx x





Bài 7 Tính :

a cos sinx 3xdx b 3sincosxdx x 5 c 3

sin cos

xdx x



2 tan 1 cos

x dx x



2 2

cot 1 sin

x dx x





g

3

x

x

e dx

e 

4

ln xdx x



2

lnx 2 dx

x



2 3

x dx

x 



2

3 2

x dx

x 

 p 33x2dx Bài 8 Tính :

a 2 cosx xdx b  3 x

x e dx

3x 2 lnx xdx

e xdx





g  3 cos x xdx  h  3x sinx xdx i  xsinx2dx

10 Tích phân.

11 Định nghĩa.

b

b a a

f x dx F x F b  F a



b.Tính chất

Tính chất 1    

f x dx f x dx

Tính chất 2      0

kf x dx k f x dx k 

f x g x dx f x dx g x dx

Tính chất 4      

f x dx f x dx f x dx

Chú ý Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích

phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên

hàm

11.1 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Dạng tổng quát :

f u x u x dx









Cách đặt

Đặt t u x   dt u x dx  

b

a

f u x u x dx f t dt





Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp.

Tương tự như trong phần nguyên hàm

11.2 Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

Định lý.

 

b a

udv uv  vdu

Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp.

Tương tự như trong phần nguyên hàm

BÀI TẬP

Bài 1 Tính các tích phân sau đây :

0

cos 2x 3sinx dx







0 2 1

1

x x

e





1

2 0

2

x  x dx



2

2

1

1 2x dx

x





Bài 2 Tính các tích phân sau đây :

a 6

0

cos

2sin 1

xdx

x





2

3

6cosx 1sinxdx







1 ln 1

e

dx

x x 



d

4

1

ln

e

xdx

x

1

0

3x1dx

3 19

3 2

0 8

xdx

x 



g 4 tan

2

0 cos

x

e dx

x



0

2sin x 1 cosxdx





0

1 cos x sinxdx







j

2

1

1 ln

e

x

dx

x





Bài 3 Tính các tích phân sau đây :

0

4sin xcosx 1 dx





2

0

sin

2

1 cos

x

x dx x







0

x x dx



d

1

3ln 1

1

e

x

dx x



Bài 4 Tính các tích phân sau đây :

0

2x  1 3x xdx

3

1

ln

e

dx x



0

4sin xcosx 1 sinxdx







3

0

2cos sin

cos

dx x





Bài 5 Tính các tích phân sau đây :

a

5

0

4

x xdx

0

sin cos cos 1

x xdx x





ln

ln 3

e

xdx

x x 



d 2

0

sin cos

3sin 1

x xdx

dx x





2 2 3 2

0 1

x dx

x 

Bài 6 Tính các tích phân sau đây :

a

0

2 sinx xdx



0

1 x cosxdx







1

0

4x1 e dx x



d 3

1

ln

e

x xdx

2

1

2x1 lnxdx

2 2 1

3x  2 lnx xdx



Bài 7 Tính các tích phân sau đây :

0

1

1 x

e xdx





1

1 ln

e

x dx



0

2 cos x xdx







0

sinx 3x xdx





0

sinx cosx xdx





0

sin

x







Bài 8 Tính các tích phân sau đây :

1

1 ln

e

x x dx



1

0

3xe xdx x

0

2 xcosx xdx







0

sin cos







Bài 9 Tính các tích phân sau đây :

a

2

1

ln 1

e

x x dx

x



1

2 ln

e

x x x dx

1

0

2

x

x

e





0

cosx x tanx dx







12 Ứng dụng của tích phân.

12.1Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

: C :yf x ; C :y g x x a x b ;  ;  a b 

(trong đó hai đường x a x b ,  có thể thiếu một hoặc cả hai)

Công thức.

b

a

Sf x  g x dx

Các bước thực hiện.

Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm của   C1 & C2để tìm các nghiệm thuộc a b;  Giả sử được các nghiệm là : x x1, , ,2  x n và a x 1x2 x n b

Bước 2: Áp dụng công thức :

1

n

x

S f x  g x dxf x  g x dxf x  g x dx

1

n

      

Chú ý : Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất của

phương trình f x  g x tương ứng là a và b

Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình f x g x ta chỉ nhận những nghiệm thuộc a b;  (nếu có) Những nghiệm không thuộc a b;  phải loại bỏ

12.2 Thể tích của khối tròn xoay.

Công thức.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi :  C :yf x Ox x a x b a b ; ;  ;    (trong đó hai đường thẳng x a &x b có thể thiếu một hoặc cả hai) Quay hình (H) xung quanh trục Ox Khi đó thể tích của khối tròn xoay được sinh ra tính bởi công thức:

  2

b

a

V  f x  dx

Các bước thực hiện.

Bước 1: Nếu hai đường x a &x b đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình f x   0để tìm

Bước 2 : Áp dụng công thức

Chú ý :

Nếu đề bài đã cho đầy đủ cả hai đường x a &x b thì không cần giải phương trình f x   0

Nếu đề bài không cho hai đường x a &x b thì giải phương trình f x   0để tìm Phương trình này có thể có nhiều hơn hai nghiệm Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn lại không cần phải chèn vào trong quá trình tính tích phân

12.3 Bài tập.

Bài 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây :

a  C :y e Ox Oy x x; ; ; 2 b  C :y x 3 3x1; d :y3

c  C :y x 4 x Ox2; d  C :y e x; d :y e Oy ;

e  C :y e x1;Ox x; 2 f  C :y x 3 x Ox;

g  C :y e x ex;Ox x; 1

   h  C :yln ;x Ox x e; 

i  C :yln ;x d :y1;x1 j  C :y x x Ox x ; ; 4

Bài 2 Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây xung quanh trục Ox

a  : 1 x; ; 1

C y e Ox x Oy

c  C :y 1 1;Ox x; 2

x

x

