Giả sử M là một điểm trên đồ thị hàm số.. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt các đường tiệm cận tại A, B; I là giao điểm của các đường tiệm cận.. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HÓA
Trường THPT Lê Văn Hưu
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG NĂM HỌC 2016- 2017
Môn thi: Toán - Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.(4 điểm)
Cho hàm số: yx2x1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Giả sử M là một điểm trên đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt các đường tiệm cận tại A, B; I là giao điểm của các đường tiệm cận Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆IAB Tìm M để R = 4r
Câu 2 (4 điểm)
1 Giải phương trình sau:
tan 3 1 2sin 2
2
x
2 Giải hệ phương trình sau:
( , )
3 12 (3 1) 6 0
x y
Câu 3 (4 điểm)
1 Một doanh nghiệp sản suất gỗ hiện có 400m3 gỗ và 50 tấn axit, sản xuất ra hai loại giấy A và
B Giá bán mỗi loại giấy tương ứng là 4 triệu đồng/tấn và 5 triệu đồng/tấn Mức tiêu hao nguyên liệu để sản xuất 1 tấn giấy được thể hiện qua bảng sau:
Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng doanh thu của doanh nghiệp lớn nhất
2 Cho khai triển: 2
n
, với n là số tự nhiên thỏa mãn:
1
n
Tìm số lớn nhất trong các số a a a0, , , ,1 2 a n
Câu 4 (6 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Mặt bên SAB là tam giác đều, góc giữa mp(SCD) và mặt đáy bằng 60o Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là H nằm trong hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC
2 Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = b, OC = c và đôi một vuông góc với nhau Gọi r là bán kính mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt của tứ diện Giả sử a = max{a; b; c} Tìm giá trị nhỏ
nhất của a
r
3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Gọi M, N là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD sao cho AM = AN Các đường thẳng qua A, M và vuông góc với BN cắt đường thẳng BD lần lượt tại K 16;1
9
và H 4; 1
3
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết đỉnh A có hoành độ nguyên và thuộc đường thẳng (d) 2x – y + 5 = 0
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy 2(x y z ) 2 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3
P
……… Hết ………
ĐÁP ÁN
Trang 2TT Nội dung Điểm Câu 1 1 Hs tự giải
2 Giả sử M ; 2
1
a a a
Tiếp tuyến tại M có pt: 2
( )
a
Gọi A là giao điểm của (d) với tiệm cận đứng A 1;2 2
1
a a
B là giao điểm của (d) với tiệm cận ngang, B2a 1; 2
I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, I(1; 2)
Ta có:IA= a ,IB=41 2(a 1) SIAB=
2
IA IB AB
r
2
r
2
8 16
r
, với t = IA + IB (t > 0) 2 16
t AB
Theo gt, R = 4r
2
2
4
t
t
5 7 1
3
5 7 1
3
a a
M 8 7 11; 7
,M 2 7 1; 7
,M 8 7 11; 7
,M( 2 7 1; 7
Câu 2 1 ĐK: cos3x 0, cos2x 0, sin3x 0, 1 + 2cos2x 0
2
sin 2 2sin 3 2sin cosx sinx(3 4sin )
2 cos 2x cos3x(1+ 2cos2x) cos2x cos3x(1+ 2cos2x)
3 cosx cos 2 x cos 4 x cos 2 x 2cos 2 x
cos x
cos 2 1 sin 0 ( )
1 cos 2 ( )
2
Vậy pt vô nghiệm
2 ĐK: x 2
3
(1)(y 2 3 )(x y 3x 2) 0
TH1: y 3x 2 Thế vào (2) ta được: x33x212x(3x1)(3x2) 6 0
11 105 37 3 105
11 105 29 3 105
TH2:y 3x 2 Thế vào (2) ta được: x33x23x9x 6 ( 3x 2 3) 3x 2 0
3 3 2 3 ( 3 2) 3 2 3( 3 2) 3( 3 2)
Xét hàm số f t( ) t3 3t23t Hàm số đồng biến và lên tục trên R
Trang 3Câu 3 1 Gọi x, y lần lượt là khối lượng giấy loại A, loại B sản xuất được của doanh nghiệp x, y ≥ 0.
(đơn vị tính: tấn)
Theo giả thiết, ta có: 1, 2 1, 4 400 6 7 2000
0,1 0, 25 50 2 5 1000
Tổng doanh thu của doanh nghiệp là: T = 4x + 5y (triệu đồng)
Khi đó giá trị lớn nhất của T = 1 375 (triệu đồng) khi x = 187,5; y = 125
1
1 !( 1)!
!
k n k n
Từ gt, suy ra: n(n1) ( n 2) 2 1 78 ( 1)
2
n n
n
Khi đó: (1 2 ) x12 a0 a x a x1 2 2 a x12 12, với 12k2k
k
a C , k = 1, 2, …, 12
1 12k2k 12k 2k 8
a0a a1 2 a8 (1) Xét 1 12k2k 12k 12k 1 8 8 9 10 11 12
Từ (1) và (2) suy ra max{a a0; ; ;1 a } = 12 8 8
8 122
a C
Câu 4 1 Gọi N là trung điểm của CD AB
(SMN) hay CD (SMN) SNM 60o
SM2MN2SN2 2.MN SN .cos 60o
3a 4a SN 2 a SN SN a
∆SMN vuông tại S và SH= 3
2
3
3
S ABCD
a V
G
A
B
S
M
N H O
E
K
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, E là trung điểm SN SM // (EAC)
d(SM,AC) = d(M,(EAC)) = 2d(H,(EAC))
Gọi K là hình chiếu của H lên AC AC (GHK)
Gọi I là hình chiếu của H lên GK HI (EAC) d(H,(EAC)) = HI
Ta có: HK = OH.sin45o =
2 2
a
, GH = 1
3SH = 2 3
a
HI =
2 5
a
d(SM, AC) =
5
a
2 Ta có: 1
6
OABC
2 2
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
3 Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AK, MH
với cạnh CD
tứ giác AMFE là hình bình hành
AM = AN = EF
Ta có: ∆ABN ∆DAE (g- g)
Mà EK // HF KH = 2DK hay 1
2
K
H
D
C N
M
Trang 4 D(2; 2) Đường chéo BD có phương trình: 9x – 2y – 14 = 0.
Giả sử AD có phương trình: a(x – 2) + b(y – 2) = 0 (a2 + b2 0)
2 2
cos( , )
5 85
AD BD
16 13 0
a b
TH1: 4a + b = 0 AD có phương trình: x – 4y + 6 = 0 A(-2; 1)
AB có phương trình: 4x + y + 7 = 0 B(0; -7) C(4; -6)
TH2: 16a – 13b = 0 AD có phương trình: 13x + 16y – 58 = 0 A 22 181;
45 45
(loại) Câu 5 Ta có: (xy 6)2 4(x2y28) ( )xy 2 4xy 4 4(x22xy y 2) 4(x y z )2 2 4(x y )2
3
P
Từ giả thiết: 2( ) 2 0 1 ( ) 1
2
x y z
2
Mà 1 2 ab (1 2 )(1 2 ) a2 b2 4(a b a c a b b c )( )( )( ) 2(a b ) (a c b c )( )
2
2 2
c
2 2
2 4
P
c c
Xét hàm số: ( ) 3 163 42
2
t t
f t
t t
, (t )0
2
32 8 2 ( 2)
2(t 2) 2
f t
t
2
(2 2) 8 ( 6)( 2 2) 3
( 2)
t
5
( ) (2)
8
8
P
Dấu “ = “ xảy ra
2
1 2
a b
ab bc ca
1
2 2 2
1
2 1
2 2
hay z
a b