Tổ hợp - Xác suất

Kỹ n ă ngYêu cầu học sinh  Biết vận dụng quy tắc cộng , quy tắc nhân, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản..  Biết tính bằng

Đ ại số và Giải tích 11 nâng

cao.

Chương 2 Tổ hợp và xác suất

Vị trí và tầm quan trọng của chuơng.

Chương này gồm hai phần có liên quan chặt chẽ với nhau : Phần A: Tổ hợp và Phần B Xác suất.

Phần A Tổ hợp

bài toán xác định số lưọng các đối tượng có một tính chất nào

đó Ta gọi đó là bài toán đếm hay các bài toán tổ hợp Kỹ

năng và kiến thức của toán tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều

khoa học tự nhiên và xã hội

lập phương của một tổng Nhờ có số tổ hợp, ta có thể tổng

quát hoá các hằng đẳng thức trên, thiết lập được công thức khai

Phần B Xác suất

 Trong thế giới thực tại chúng ta thường tiếp xúc va chạm tới các biến cố ngẫu nhiên, biến cố mà không thể dự đóan có xảy ra hay không Lý thuyết xác suất

đưa ra các quy luật chi phối các hiện tượng ngẫu

nhiên, đưa ra các phương pháp tính toán xác suất

của một biến cố ngẫu nhiên

 Hiện nay lý thuyết xác suất là một công cụ cực kỳ

quan trọng và không thể thiếu được của nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên,xã hội và kinh tế

 Phần xác suất nhằm trang bị những kiến thức mở đầu

về xác suất để các em bước đầu làm quen môn học quan trọng này Hiện nay ở hầu hết các nước phát

triển học sinh đều được học Xác suất -Thống kê từ rất sớm

 Tính ứng dụng của toán được thể hiện rất cụ thể ở

đây

 Việc đưa xác suất, thống kê vào chương trỡnh THPT cho cả hai ban cơ bản và TN là một sự đổi mới lớn nhất ở lần thay sách này

II Mục tiêu của chương

Kiến thức

Yªu cÇu häc sinh

céng vµ quy t¾c nh©n

tæ hîp; mèi liªn hÖ vµ sù kh¸c nhau giữa tæ hîp vµ chØnh hîp Nhí c¸c c«ng thøc tÝnh sè ho¸n vÞ, sè tæ hîp vµ sè chØnh hîp.

thøc Niu-t¬n

 Nắm được các khái niệm: phép thử, không gian mẫu, các kết quả có thể của một phép thử , các kết quả

thuận lợi cho một biến cố

 Nắm được quy tắc cộng và nhân xác suất

 Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Đọc hiểu bảng phân bố xác suất của nó

 Nhớ công thức tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch

chuẩn Nắm được ý nghĩa của kỳ vọng ,phương sai và

Kỹ n ă ng

Yêu cầu học sinh

 Biết vận dụng quy tắc cộng , quy tắc nhân, các

công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp

để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản

 Biết tính bằng số các biểu thức có chứa tổ hợp,

hoán vị, chỉnh hợp (sử dụng máy tính bỏ túi)

 Biết tính các hệ số của trong khai triển nhị thức

Niu-tơn và giải các bài toán liên quan

 Trỡnh bày rõ ràng mạch lạc các lập luận khi giải

một số bài toán tổ hợp

 Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

 Biết vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản

 Biết lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, tính các xác suất liên quan từ bảng phân bố của nó

 Biết tính kỳ vọng,phương sai và độ lệch chuẩn của

III Cấu tạo chương

Nội dung của chương gồm 6 bài với thời lưọng 21 tiết được phân phối cụ thể như sau

Đ 1 Hai quy tắc đếm cơ bản 1 tiết Đ 2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 3 tiết Luyện tập 2 tiết Đ 3 Nhị thức Niu tơn 1 tiết

IV Nh ữ ng ®iÓm cÇn l­u

ý

1 Néi dung

 Về chương trỡnh, so với SGK2000 không thay đổi.

 Sự đổi mới nằm ở cách trỡnh bày SGK cố gắng trỡnh bày, dẫn dắt các khái niệm một cách sinh động, xuất phát từ thực tiễn SGK cung cấp nhiều ví dụ đa dạng

về các tỡnh huống thực tế có nội dung tổ hợp

 Cách viết nhẹ nhàng, giảm tính hàn lâm, không yêu cầu các suy luận chặt chẽ về lý thuyết phức tạp

 Bài tập phong phú nhưng chỉ gồm những bài cơ

bản Không có bài tập khó, mẹo mực hay đánh đố

 Có mục “Bài đọc thêm” và mục “Em có biết” Bài

1. Giới thiệu Công thức cộng mở rộng (công thức tính

số phần tử của hợp hai tập bất kỳ)

2. Liên hệ BNN rời rạc với Thống kê

3. Dùng máy tính bỏ túi trong tổ hợp và xác suất

Em có biết có ba bài:

1. Những mẩu chuyện về cuộc đời nhà toán học

Pa-xcan Đó là những câu chuyện thấm đậm tính nhân

v n về con người ông.ă

v n về con người ông.ă

2. Cuốn sách XS-TK đầu tiên ở nước ta

3. Xác suất và việc tính gần đúng số pi

 Việc học phần Tổ hợp liên quan chặt chẽ tới việc

học phần XS Nếu học sinh có kỹ năng giải toán tổ hợp tốt thỡ sẽ có nhiều thuận lợi khi giải các bài

toán về tính xác suất

2 Phương pháp.

 Phương châm: Lấy học sinh làm trung tâm, tăng cư

ờng tính tích cực của học sinh, giảm lý thuyết kinh

viện, tăng thực hành, gắn với thực tiễn

 Tránh áp đặt kiến thức Trước khi trỡnh bày một khái niệm mới , SGK đều có ví dụ dẫn dắt, tạo tỡnh huống

 Để tạo sự chủ động và tích cực trong dạyvà học,tạo cơ hội cho sự đối thoại giữa giáo viênvà học sinh

SGK đã thiết kế các hoạt động xen kẽ trong bài học Các hoạt động này đều nhằm một mục đích xác định Chúng là cần thiết, không được bỏ qua

 Nội dung hoạt động trỡnh bày trong SGK chỉ có tính chất minh hoạ Giáo viên có thể sáng tạo ra các hoạt

động khác tương tự, cùng mục đích cho phù hợp với

điều kiện cụ thể Có các biện pháp để khuyến khích các em tham gia tích cực các hoạt động

 Có 73 bài tập có đáp số cuối sách.Cần dành nhiều thời gian cho học sinh làm bài tập Không nhất thiết yêu cầu học sinh làm hết bài tập trong SGK Đối với học sinh khá, giáo viên có thể hướng dẫn các em làm thêm bài tập trong Sách Bài tập (SBT)

Về tiết Luyện tập

 Tiết Luyện tập có mục đích: Ôn tập một số bài đã học trước đó và chủ yếu dùng để rèn luyện kỹ n ă ng

Tuỳ theo tỡnh hỡnh thực tế của lớp, giáo viên quyết

định số lượng các bài tập mà học sinh phải làm ở nhà

bài tập nêu trong tiết Luyện tập ở SGK chủ yếu cung cấp một “chuẩn” về kiến thức và mức độ khó dễ của các bài toán

 Trong tiết luyện tập, giáo viên cần phân tích chi tiết lời giải, chỉ ra các chỗ sai (nếu có) của học sinh Giáo viên chú ý để học sinh được thực hành và hoạt động nhiều, cố gắng chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn Tôn trọng và khuyến khích các cách giải của học sinh khác với đáp án

 Không nên quan niệm rằng chỉ ở tiết Luyện tập học sinh mới làm bài tập Mỗi buổi dạy giáo viên đều

phải dành ít phút gọi học sinh lên bảng kiểm tra việc làm bài tập

V Nội dung từng bài cụ

thể

Đ1 Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)

Yêu cầu học sinh

Kiến thức

 Hiểu và nhớ được quy tắc cộng và quy tắc nhân

 Phân biệt được các tinh huống sử dụng quy tắc cộng với các tinh huống sử đụng quy tắc cộng Biết lúc nào dùng quy tắc cộng lúc nào dùng quy tắc nhân

Nh ữ ng điều cần lưu ý

 Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu các

phuơng án là phân biệt tức là mỗi cách thực hiện

công việc thuộc một và chỉ một phương án

 Trong nhiều bài toán ta áp dụng một hệ quả của quy

tắc cộng (gọi là quy tắc trừ): Số phần tử của tập E có tính chất A bằng số phần tử của E trừ đi số phần tử của E không có tính chất A

 Khi vận dụng, nhiều học sinh hay nhầm lẫn quy tắc

nhân với quy tắc cộng

 Khi phát biểu các bài toán tổ hợp cần chú ý để học

sinh hiểu đúng yêu cầu của bài toán

 Víi quy t¾c nh©n cÇn luu ý: NÕu ë c«ng ®o¹n A thùc hiÖn c¸ch a , thì c«ng ®o¹n tiÕp sau B ta cã thÓ thùc hiÖn c¸ch b, víi b thuéc vµo tËp S(a). TËp S(a) cã thÓ phô thuéc a nh­ng sè phÇn tö cña |S(a)| (tøc lµ sè

c¸ch thùc hiÖn ë c«ng ®o¹n B) ph¶i kh«ng phô thuéc vµo a, nh ư nhau víi mäi a

 VÝ dô 1 : Cã bao nhiªu sè cã hai chữ sè kh¸c nhau ?

Ta lËp hai c«ng ®o¹n : chän chữ sè hµng chôc råi chän

chữ sè hµng đ¬n vÞ A={1,2, ,9}, S(a)={0,1,…,9}\{a},

Ví dụ : Giả sử cần chọn ba trong 4 ông A,B, C, D vào chức giám đốc, kế toán trưởng và chủ tịch HDQT với điều kiện: ông A không thể chọn là giám đốc; chức chủ tịch H Đ QT phải là ông C hoặc D Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Có học sinh giải như sau: Việc chọn ba vị trí giám đốc, kế toán trưởng và chủ tịch H Đ QT tiến hành theo 3 công đoạn:

 Công đoạn 1: Chọn giám đốc: Có 3 cách chọn chức giám đốc

 Công đoạn 2: Chọn Kế Toán trưởng : Có ba cách chọn kế toán trưởng từ ba người còn lại

 Công đoạn 3: Chọn Chủ tịch H Đ QT: Có hai cách chọn ( ông C hoặc D) Theo quy tắc nhân , số cách là 3.3.2=18.

Việc sử dụng quy tắc nhân ở đây là không đúng.Bởi lẽ số cách thực hiện công

đoạn 3 phụ thuộc vào kết quả của công đoạn 2 Nếu các công đoạn trước, cả C và D không được chọn th ỡ công đoạn 3 có 2 cách chọn Nếu trái lại, th ỡ

ở công đoạn 3 chỉ có một hoặc không cách chọn.

Tuy nhiên nếu tiến hành theo 3 công đoạn sau đây thỡvẫn áp dụng dược quy tắc nhân

 Công đoạn 1: Chọn Chủ tịch HĐQT: Có hai cách chọn ( chọn C hoặc D)

 Công đoạn 2: Chọn Giám đốc: Có hai cách chọn.( Sau công đoạn 1 còn ba người, trong đó có ông A

Bỏ ông A đi còn hai người)

 Công đoạn 3: Chọn Kế Toán trưởng: Có hai cách: chọn một trong số hai người còn lại

Quy tắc nhân áp dụng được và cho câu trả lời đúng:

Có 2.2.2=8 cách chọn

Gợi ý câu hỏi thảo luận

1. Những điểm mới, khác so với SGK cũ

2. Nên phát biểu quy tắc cộng dưới dạng nào: Phát biểu

bằng lời “Số cách thực hiện công việc với các phương

án ” hay bằng công thức tính số phần tử của hợp các tập hợp đôi một không giao nhau

3. Làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn quy tắc

cộng với quy tắc nhân

4. Nhận xét về số lượng và mức độ khó dễ của các bài

tập trong tiết này

5. Nhận xét thời lượng phân phối cho bài này ( 1 tiết):

Có thiếu không? Nếu thiếu , khắc phục thế nào ?

§2.Ho¸n vÞ,chØnh hîp

vµ tæ hîp (3 tiÕt)

Yªu cÇu häc sinh

KiÕn thøc

nghÜa lµ gi? Nhí c«ng thøc tÝnh sè ho¸n vÞ, sè chØnh hîp,tæ

Những điều cần lưu ý

 Trên thực hành nên dùng công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

Cách nhớ: Bắt đầu từ số n viết liên tiếp k số n, n - 1, n - 2, , n - k + 1 rồi nhân chúng với nhau.

Công thức này chỉ đúng với k là số nguyên dương A(0;n)=1 là một quy ứoc.

• Đ ịnh nghĩa chỉnh hợp một cách chặt chẽ về mặt toán học là như sau : Kí hiệu

hợp chập k của A là một đơn ánh f từ N(k) vào A. Tuy nhiên, với quan điểm trực quan sinh động, ta không dùng cách diễn tả trừu tượng toán học như vậy.

 Trong hai tính chất cơ bản về tổ hợp, ở tính chất thứ nhất, k có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, , n Tuy nhiên, ở tính chất thứ hai (hằng đẳng thức Pa-xcan)

k chỉ nhận các giá trị nguyên dương 1, 2, , n.

 Khi giải các bài toán đếm phải lưu ý các đối tượng không bị đếm lặp hai lần.

chọn 5 em mà trong đó có ít nhất một em nam.

Một học sinh giải như sau Việc chọn tiến hành theo 2 công đoạn

 Công đoạn 1: Chọn 1 em nam trong số 5 em Có C(1;5)=5 cách

 Công đoạn 2: Chọn 4 em trong số 11 em còn lại Có C(4;11)=330 cách

 Vậy theo quy tắc nhân có 5.(330)=1650 cách.

Đ áp số này không đúng v ỡ nếu theo quy tr ỡ nh chọn này có nhiều cách bị đếm lặp Thật vậy ,ký hiệu 5 em trai là A,B,C,D,E và 7 em n ữ là G,H,I,K,L,M,N Chẳng hạn, nếu công đoạn 1 chọn em A ; công doạn 2 chọn 4 em {B,G,I,F}

sẽ cho ta kết quả 5 em được chọn là {A,B,G,I,F}

Nếu ở công đoạn 1 chọn em B ; công doạn 2 chọn 4 em {A,G,I,F} sẽ cho ta kết quả 5 em được chọn vẫn là {B,A,G,I,F}.Thành thử kết quả chọn 5 em {A,B,G,I,F} bị đếm hai lần.

 Để giải đúng bài này ta áp dụng quy tắc trừ (đã nói ở trên): số phần tử của tập E có tính chất A là bằng số phần tử của E trừ đi số phần tử của E không có tính chất A Gọi E là tập hợp tất cả các nhóm 5 học sinh Gọi A là tập hợp tất cả các nhóm 5 học sinh trong đó

có ít nhất một nam Gọi B là tập hợp tất cả các nhóm

5 học sinh trong đó toàn bộ là nữ Ta có |E|=

C(5;12)=792; |B|= C(5;7)=21

Vậy |A|=|E|-|B|= =792-21= 771

Thành thử có 771 cách chọn

 Khi phát biểu các bài toán tổ hợp phải diễn đạt chính xác để học sinh hiểu đúng yêu cầu.

 Ví dụ: Trong một túi có 10 quả cầu trắng,10 quả cầu

đen và 10 quả cầu xanh Chọn 6 quả cầu Có bao

nhiêu cách chọn để có 2 quả trắng, 2 quả đen ?

+ Cách hiểu thứ nhất: (đúng 2T,2Đ):(2 T, 2 D, 2 X)

+Cách hiểu thứ hai: ( có ít nhất 2T,2Đ): (2 T, 2Đ, 2 X)

; (3T, 2Đ,1X); (3T, 3 Đ) ; (4T,2Đ); ( 2 T,3 Đ, 1X) ; (2T,4Đ)

Gợi ý câu hỏi thảo luận

chất suy ra từ định nghĩa của các số hoán vị, số tổ hợp, số chỉnh hợp

hợp, khi nào dùng chỉnh hợp trong các bài toán đếm ?

trong tiết này?

§3 NhÞ thøc Niu-t¬n (1 tiÕt)

Yªu cÇu häc sinh KiÕn thøc

trong khai triÓn nhÞ thøc Niu t¬n víi c¸c sè trªn mét dßng cña tam gi¸c Pat xcan.

Kü n ă ng

 C«ng thøc khai triÓn luü thõa bËc n cña hiÖu a-b

®­îc suy tõ khai triÓn luü thõa bËc n cña tæng

a+b b»ng c¸ch viÕt (a-b)=(a+(-b))

Gîi ý c©u hái th¶o luËn.

thiÕt lËp tam gi¸c Pa-xcan ta suy ra c¸c sè cña hµng thø n

3 NhËn xÐt thêi luîng ph©n phèi cho bµi nµy ( 1 tiÕt + 1 tiÕt

luyÖn tËp): Cã thiÕu kh«ng? NÕu thiÕu , kh¾c phôc thÕ nµo?

Đ4 Biến cố và xác suất của biến cố

(2 tiết)

Yêu cầu học sinh Kiến thức:

biến cố liên quan đến phép thử, tập hợp mô tả biến cố Tập hợp các kết quả có thể của một phép thử, tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biến cố

điều kiện đảm bảo áp dụng được định nghĩa đó.

định nghĩa xác suất cổ điển.

Kỹ n ă ng:

 Biết thiết lập không gian mẫu của một phép thử tức là biết mô tả tập hợp tất cả các kết quả có thể của một phép thử

 Biết thiết lập tập hợp mô tả biến cố A liên quan tới

phép thử T tức là biết mô tả tập hợp các kết quả thuận lợi cho A

 Biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển

 Biết tính xác suất thực nghiệm (tần suất) của biến cố theo định nghĩa thống kê

Những điều cần lưu ý

huống có thể xảy ra hay không xảy ra khi phép thử được thực

tập con mô tả nó và định nghĩa :” biến cố là một tập con của không gian mẫu” Việc này cũng tương tự như việc đồng nhất

muốn làm mất đi tính trực quan sinh động vốn có của khái

niệm biến cố, SGK nâng cao đã không sử dụng cách diễn tả biến cố một cách “trừu tượng” như vậy

 Muốn tính xác suất theo định nghĩa cổ điển phải có hai điều

quả của phép thử là đồng khả năng Trong các ví dụ và bài tập

ở SGK,ta luôn ngầm giả thiết như vậy

thường đó là khi mà ta không có một lí do nào để xem kết quả này có nhiều khả năng xảy ra hơn kết quả kia Chẳng hạn như : khi gieo con súc sắc chế tạo một cách cân đối thỡ 6 kết quả ( số chấm trên mặt xuất hiện) là đồng khả năng; khi ta chọn ngẫu

năng.

 Khi phát biểu các bài toán xác suất phải diễn đạt chính xác để học sinh hiểu đúng yêu cầu

Ví dụ: Trong phòng có 3 người Tính xác suất để có ít nhất hai ngưòi có cùng ngày sinh nhật.

Giải: Mỗi kết quả có thể là một bộ (a,b,c),1≤a,b,c ≤365

 Việc tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ

điển có liên quan chặt chẽ tới các kiến thức về tổ hợp học ở phần trước

 Giải một bài toán tính xác suất theo định nghĩa cổ

điển bao gồm ba bước Bước một : tính số kết quả có thể Bước hai là tính số kết quả thuận lợi Bước ba: lấy kết quả của bước hai chia cho kết quả của bước một Việc tính số kết quả có thể thường đơn giản hơn nhiều

so với việc tính số kết quả thuận lợi Do đó khi cho

điểm, giáo viên cần cho bước hai số điểm lớn hơn

 Nếu các giả thiết trong định nghĩa cổ điển của xác

suất bị vi phạm, ta phải sử dụng tới định nghĩa thống

kê của xác suất như sau : "Xác suất của biến cố là giới hạn của tần suất của biến cố đó khi số phép thử N tiến

chính xác định nghĩa thống kê của xác suất như trên

và chỉ có thể phát biểu là" Khi số lần thử N càng lớn

Gợi ý câu hỏi thảo luận.

đại trà ở cấp PTTH ở nước ta Theo anh chị, việc dạy xác suất có khó kh ă n và thuận lợi g ỡ ?

các bài tập trong tiết này.

tiết+ 1 tiết luyện tập): Có thiếu không? Nếu

thiếu , khắc phục thế nào