Tìm giá trị lớn nhất của P.. Tìm giá tri nho nhat cua S$.. Tìm giá trị lớn nhất cha P.. Tim gid trị nhỏ nhất của P.
Trang 1DUNG BAT DANG THUC TIM GIA TRI LON NHAT VA NHO NHAT CUA HAM SO
BALI: Giả sử : D={(œ:w:z)|z >0, y > 0, z> 0, x+y+z =1) Cho
biểu thức : ? =——+—”—+—— Tìm giá trị lớn nhất của P
` = Oo 7 tA | , 4 1 `
Cho z>0, „>0 và z+=_ Xét biêu thức : § = — +—— Tìm
giá tri nho nhat cua S$ _
BAI3:
Cho z >0, >0 và z+ <1
BAI 4:
Cho P= le 4 By + fy + 3z + Ÿ2z +32 với tytn va
Z,1,z >0 Tìm giá trị lớn nhất cha P
BAILS:
z>0,y>0, 2>0 Tim gid trị nhỏ nhất của P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z?” +” +z”, trên miền :
D={(wsy;2)|0<2<2;0<y<2;0<2<2;e+y42=3}
Cho P = — +— + —— , trong d6 x > 0,
zỞ+w” +1 ” + z” +1 z3” -+z” -_1
>0, z>0 và zz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P
BAI 8:
Tìm giá trị lớn nhất của P =2(2° ty +z 3) _ (x?y + yz +222),
với 0 <Sz, , z <1
BAI 9: Cho —-1<z, ,z<2 và z++z=0 Tìm giá trị lớn nhất của
P=z? +? +??
+2
%
BAI
BAI10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=- trên miền :
=[&:0lt<z<»:t<w<2}.
Trang 2DAP AN
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có :
lđ+9+@+19+*( Ích i+) (2)
Do z + + z = I1 nên từ (2) ta có : + + — (3)
Thay (3) vào (1), ta được : P <= va ddu bing xây ra khi payazas
B2 Ap dung bat dang thuc cé-si, ta co
Œ+z+z+z+40)| +—+—+—+—|>%
oat x5 ax Ay
4 1
Virtu=s, nên từ (1) suy ra Š > 5 : | (2)
- Mặt khác, lẫy z =1, y= thioty=z và ta có Ø =5 Từ đó suy ra
main ÃS—ñ
+? 2 1 |
B3 Taco: P=(l+2)+7 ~++ø)+ 9 -+— —9
l—w z+%
l—z li—y z+ựụ oe ¬ | _ Ap dung bat dang thirc Cô-si, ta có :
1 1 1 }
[a —2)+(Q—y)+(e+ y)|]—— +—— + >9-
| ị "ÂQi—z l—w «ty
1 1 1 _ 9 |
= + + >— (2) _ l—z l—y «+y 2 ì
Thay (2) vào (1), và có P25 | | GB)
đó rõ ràng z+y<!),tas6 P=3 Kết hợp với (3) suy ra min P =
B4
Theo bat đẳng thức Cô-si, ta có: ÿÍ(z + 3y).1.1 <*~##_ + = irl
al(y + 3y).1.1 < yee -
tđƒ+3z)11<Zt+3# +11,
3
Trang 3
Cộng từng về ta có : P <4ữ ty+2)+6 (1)
Mặt khác khi z = = z = —, thì P = 3 Kết hợp (2) suy ra max P = 3
BS
Tacó : P =| “—=+——+ =l+|#+š|+|#+#|+|#+Š]- œ
+2 z+z r+Yy ZY
+ 9 Z ~ :
yte2 Z+xrx x+y
Với
U+2Z2 44+2 j£4+Y
Ap dụng bất đăng thức Cô-si ta có : |
1 1 ]
+27 2127 z†+Ụ 2 —~ 2 | |
Kêt hợp (1), (2), (3) đi đên tờ: TC ca (4) Lay s=y=z>0 (chang han :ø=0=z=l),tacó P=-— Kết hợp
với (4), Suy ra min P=
Ta có, nêu (z;;z)€ D thì (2— z)(2— 9)2—z)>0
| ©®8—4(z++z)+2(zy + z + zz) — œyz > 0
®8—4(z++z)+2(e++z}—Íz) +2 +z?)— sụz >0 (1)
Do z++z=3, nên từ (1), ta có 5— P—zyz>0©P<5-zwz (2) Mặt khác : z >0, >0, z>0 kết hợp (2) suy ra P < 5 — Ñ)
Trang 4¬ (2-2)(2—y)(2-2)=0
De co dau bang trong (3), xét hệ : 1z + + z = 3 (I)
ryz = 0
Hé (I) thoả mãn khi trong ba sé x, y, z cd một số bằng 0, một số bằng l và
một số bang 2 Do vậy chẳng hạn khi z = 0, „=1, z=2 thì P= 5 Kết hợp
với (3) suy ra max P = 5 :
B7
Ta lấy : (z;; z) thoả mãn yêu cầu để bài Từ z” + ˆ — z > zy, suyra:
(x +y)(x? + y? — ay) > ay(x +)
©®z” +” > z(z +) ® z +ự” +13 xy(# + 9) + zuz (do zz = 1)
—gẺ+z?+1l 4z+w+?)
- 1ˆ <- 1 | —@)
1+1” zzÍz + +zÌ-
_+ụ+zZ _®2(% + t + 2)
Lây z=y=z=1,tacó P=1 Kết hợp (4) suy ra : max P = l1
BS Do0<#, ụ, z <1, nên ta có :
'(0~#?)~g)+(—#9)0—z2)+(—z?)0—z)>0
= 3>(2” +y? +27)4+(at+y+4+2)—(2y 4+ yz + 22) (1)
Mat khac, 0 < 2, y, z<1,nén: c>e>2,y>¥ >w`,z>z >z'
x3 Le
Cộng từng về (1), 0, @) ta được : P < =1 hay P<1 (4) |
Nén tir(1)tacé: 3 > (23 + y° + 2°)4 (23 +y° + 22) — (ay + y2z + 222)
lq—z?)q—z)=0
ạTựy )T—z)=0_
q—z )\1—z)=0
Xét hệ : ‡+z” = z” = ø - Từ đó suy ra trong ba số Zz, „, z thì có ba số
Ụ`=w`=U_~
z”=zÌ=z
0<S#, 1, z< T1
bằng I, hoặc có hai số bằng 1, một số bằng 0 Như thế chang hạn khi
E=y=z=1,tacd P=3.Vay maxP=3 `
Trang 5z—z—2<0 (3) Cộng từng vO (2), (3) vado z+y+z=0,néntaduge: P<6 (4)
yt y =a g Suy ra trong ba số x, y, z có một số bằng 2 và
“““
Từ hệ :
hai số bằng —1 Vì thế chẳng hạn khi z = 2, = z = —1 (lúc đó z + + z = 0),
B10
Lay (x;y)€D,tacd:r>1,l<y<2 suy ra ý <2 © > <= (1)
u>1,1<z<29 suy ra z <2 «©>`” <2 (2)
¥
` ` z 1Ì||z +? 5 xz
Từ (1) và (2) suy ra : |———||——2 <0©—_—„ -+1<0
2
y? 2y
Tương tự (thay z và cho nhau) ta có: - sa Ti (4)
| 2
Cong từng vé (3), (4) va đi đến : +3 <3[2+2|
y o£ 2ly #z
Do: *44% >o># “+'Ỷ< “hay P<= (5)
Mat khac, lay zœ=1, =2 thì (z; WED v a P= | 2 Két hop (5), suy ra:
max P = 5
D 2