Các kỹ thuật sử dung bất đẳng thức caushy và bunnhicoxky

Phương pháp cân bằng tổng Đỏnh giỏ từ trung bỡnh cộng sang trung bỡnh nhõn Phương pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi “ Nếu hai số dương có tích

+ + + + với a i > 0, ∀ =i 1,n (Bất đẳng thức Jen sen)

II-KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Cễ SI

1 Phương pháp cân bằng tổng (Đỏnh giỏ từ trung bỡnh cộng sang trung bỡnh nhõn)

Phương pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi

“ Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi

chúng bằng nhau”

Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S 1 + S 2 + + S n ≥ m ,

ta biến đổi S = A 1 +A 2 + +A n là các số không âm mà có tích A 1 A 2 A n = C không đổi,

sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi

Vớ dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x +

+

2

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy chưa ra kết quả, nhưng

nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh

Vớ dụ 3 Chứng minh rằng x ≥ thì 0 1

)3(

27

3 ≥+

13)3(

273

33

33

3

3 ư ≥+

+

++

++

+

x

x x

x

)3(

273

33

33

3

3 ≥++

++

++

+

⇔

x

x x

x

và

( )33

27+

ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=0

Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tương tự sau:

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

12

2+

2

2 ≥+

+

x x

3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a + 3

)1)(

+

ưb b a b

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: 2 +3 =1

y x

Hướng dẫn: từ biểu thức ta có y =

2

632

3

ư+

6

ư+

ư

=

ư++

=+

x

x x

x y

5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R =

ab

b a b a

2 2

+++ với a > 0, b > 0 HD: R =

2 2

3

a a

1

a a

2 Phương pháp cân bằng tích ( Đỏnh giỏ từ trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cộng)

Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: “ Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau”

Mở rộng ta có: để chứng minh một biểu thức có dạng P= P 1 P 2 P n ≤ M

ta phân tích P = B 1 B 2 B n là các số không âm mà tổng B 1 + B 2 + + B n = C là một số không đổi

4 a b b mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương là a, b/2,b/2

ta có:

27

42

.2.427

12

.2

.3

13

222

.2

b b a b b

abc∈ ⇒ abc ≥abc)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Chú ý: Nhân thêm hằng số trong kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng

≤ ≤

⎧

⎨ ≤ ≤

⎩ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=(3−x)(4−y)(2x+3y)

Bài 9 a) Cho ,x y >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f x y( ) (; x 2y)3

Bài 11 (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Bảng A-1992-1993)

Cho a a a1, 2, 3, ,a là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của 10

bc c

ab+ + ≥ + +

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có thể làm ngay đ−ợc, vì vậy

ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số

Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên >0, >0, >0

b

ac a

bc c

ab

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp:

⇒++

≥++

⇔

≥+

≥+

⇔

≥+

≥+

⇔

≥+

)(

2)(

22

.2

2

2

2

2

c b a b

ac a

bc c ab

a c

ba b

ac c

ba b

ac c

ba

b

ac

c b

ac a

bc b

ac a

bc b

ac

a

bc

b a

bc c

ab a

bc c

ab a

Tổng quát: Cho a a1, 2, ,a n >0 (n≥3) Chứng minh rằng:

10

2 2

2 1

1 2

2

2 2

2

(1)2

1

21

21

m k

k m

m

m m m

2 2

2 2

2 2

2 2

(2)2

1

( )2

1

m k

k m

m k

k n

n m

a

a m

Chú ý: Đánh giá mẫu số trong kĩ thuật Côsi ngược dấu

Ví dụ 4: Các số dương a, b, c thoả mãn: a+ + =b c 3 Chứng minh bất đẳng thức:

3 2

a ≥ − +

Đẳng thức xảy ra khi ac= b = c = 1

Bài tập tương tự: 1).Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thoả mãn: a+ + =b c 3

Cộng 4 bất đẳng thức trên ta có:

1 4

ab+bc+cd+da≤ a+ + +b c d =

4 16

abc+bcd+cda+dab ≤ a+ +b c =

Xây dựng ba bất đẳng thức tương tự Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau

Bài tập tương tự: Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương ta luôn có:

bc b

ca c

c

c a ≥ − +

2 khi x = y = z = 1

3

5 Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi

Đây là phương pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!

“ Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng, chọn điểm rơi và cõn bằng hệ số”

5.1).Dấu bằng xảy ra tại điểm mỳt

Vớ dụ 1 1).Cho a ≥3 Chứng minh rằng: 1 10

3

a a

+ ≥

Phõn tớch tỡm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = 3

Chọn số α sao cho khi ỏp dụng BĐT Cụ si cho a và 1

Phõn tớch tỡm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = 2

Chọn số α sao cho khi ỏp dụng BĐT Cụ si cho a, a và 12

Phân tích tìm lời giải:

Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi a = 6

Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho 2 18

Phân tích tìm lời giải:

Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi a = 1

2Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho a a v, µ 2

a

α thì dấu “=” xảy ra khi a = 1

2

* Hãy so sánh ví dụ 2 và 4 để xem có điều gì thú vị ở đây?

5.2) Các biến đều bình đẳng , dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

2 Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho vµ 4xy

xy

α

thì dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

2Nghĩa là: 4 .1 1 1

víi a, b lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ab = 1

H−íng dÉn: DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1, vËy ta ph¶i thªm cho

31

a b

+ sè h¹ng

1 b

α

+

16

Để tính α ta thấy cho a = b =1 thì α =4 Nhưng như thế ta thấy chỉ xuất hiện 3 a3 vì vậy ta thêm 1

2 để được chứng minh sau:

b b

a

++

≥+

2

Phân tích : trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng không ra

được kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết được

Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c khi đó

2

a

b =a vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện

b b b

a

,,,,

a b

c c a

b c b

+

++

++

Phân tích : Ta cần thêm cho

c b

Và để tính α thì

α

c b m c b

+

2

Dễ thấy khi thay a=b=c thì α =4

Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương

4,,4,,4,

2 2

b a

c a c a c

b c b c b

+

++

+

thì ta có:

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c

Tuy nhiªn thªm h¹ng tö nµo cho hîp lÝ th× tïy tõng bµi vµ vÝ dô cô thÓ

Ví dụ 7: Chøng minh r»ng víi x,y,z > 0: 3 3 3 x2 y2 z2

x

z z

y y

x

++

≥++

Ph©n tÝch: Ta thÊy r»ng víi h¹ng tö x3/ y cã thÓ cã hai h−íng sau:

b b

a a

c c

b b

a

212

b

212

c

212

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

3 4Phân tich tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi

Dấu “=” xảy ra khi ⇔ x = y = =z 2

Vậy MaxS1 =12 khi x = y = z = 2 hoặc x = y = z = -2

Tìm giá trị lớn nhất của: P1 =xy+ +yz zx ĐS: MaxP1 = ⇔ = = = 3 x y z 1

Với m = 2, n = 2009 và M = 9 ta có bài toán 2:

22

Bài toỏn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2 3

x+ với x, y là các số dương thỏa mãn x+y=1 y

Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhưng ta cũng cố thể làm như sau:

Bài toỏn 2 Cho , ,x y z thoả món 2 2 2

x +y +kz =M (k là hằng số dương; M là số khụng õm cho trước)

Tỡm GTLN của S xy yz zx= + +

Phõn tớch và tỡm lời giải:

Do vai trũ bỡnh đẳng của x, y nờn cú thể dự đoỏn giỏ trị lớn nhất đạt được khi x y= và cỏc thao tỏc đối với x

và y là “giống nhau” Ta tỏch 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) (2 )

x =mx + ưm x v y =my + ưm y ≤ ≤m đồng thời “chia đều”

22

x +y + z = Tỡm GTLN của S xy yz zx= + + Giải : Bước 1: Chọn

Bài toán 2 Cho , ,x y z thoả mãn ( 2 2) 2

n x +y +kz =M (k là hằng số dương; M là số không âm cho

trước) Tìm GTLN của S xy yz zx= + +

Phân tich và tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x y= và các thao tác đối với x

và y là “giống nhau” Ta tách 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) (2 )

x =mx + n m x v y− =ny + n m y− ≤ ≤m n đồng thời “chia đều”

22

Bài toán 3 Cho , ,x y z thoả mãn 2 2 2

x +y +z =M (k là hằng số dương; M là số không âm cho trước)

Tìm GTLN của S xy yz kzx= + +

Phân tich và tìm lời giải:

a).Do vai trò bình đẳng của x, z nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x và z và các thao tác đối với

x và z là “giống nhau” Để xuất hiện biểu thức: S xy yz kxz= + + thì khi ta áp dụng BĐT Cô si

m MaxS

Cho , ,x y z thoả mãn x2+y2+z2 = Tìm GTLN của 1 A=xy+ +yz 2zx

Giải Ta áp dụng cho trường hợp: M =1 µv k= 2

2 2

26

Tìm giá trị lớn nhất của:a) P x y az= + +

b) Q=a x( +y)+z

(Với n là số tự nhiên; n ≥2, M là số không âm cho trước; a là hằng số dương)

Phân tich và tìm lời giải:

a).Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x y= và các thao tác đối với

x và y là “giống nhau” Để xuất hiện biểu thức: P x y az= + + thì khi áp dụng BĐT Cô si

n

M MaxP

Giải a) Ta áp dụng cho trường hợp: n=2, M=18 µv a= 2

Bước 1: Tìm ,α β sao cho : 2 4 3

Bài toán 5 Cho , ,x y z thoả mãn xy+ +yz zx=M(M là số không âm cho trước)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 2 2) 2

S=n x +y +kz (k là số dương) Phân tich và tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x y= và các thao tác đối với

22

Ví dụ 7 (Đề thi học sinh giỏi Tỉnh 10-Bảng A-Năm 1998-1999)

Cho biết phương trình ( ) (2 ) (2 )2 2

x+a + y+b + x+y = có nghiệm c

Chứng minh rằng:( )2 2

3

a b+ ≤ c Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

y a

±

2, , , 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo BĐT Cô si Từ đó suy ra đpcm

Phần ba TÌM THÊM PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I-MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Để chứng minh A≥B trong một số trường hợp ta có thể nghĩ đến một phương pháp sau:

“Tìm C sau đó chứng minh A≥C v Cµ ≥B ” Vấn đề quan trọng ở đây là phải tìm C?

Để tìm C ta có thể theo các cách sau

Cách 1-Dựa trên hai bổ đề sau:

Bổ đề 1. “Trong ba số bất kì x1, x2, x3 luôn tồn tại hai số x x i; j (i, j thuộc tâp {1; 2; 3} sao cho:

Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x1 ≤x2 ≤ x3

Nếu x2 ≤ thì a x1≤a v xµ 2 ≤ ta có điều phải chứng minh a

Nếu x2 ≥ thì a x2 ≥a v xµ 3≥ ta có điều phải chứng minh a

(Chào IMO 2007-Tạp chí THTT số 357 tháng 3 năm 2007)

Chứng minh: Theo Bổ đề 1 và vai trò x, y, z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát

Trong đó m là số thực cho trước n ≥1”

c).“ Nếu x, y, z là ba số thực không âm thì: 2 2 2

.Khi đó theoBổ đề 2 ta có: 9xy≥3x+3y− ⇒1 9xyz≥3xz+3yz z v z− ( × ≥0)

Suy ra: 1 9+ xyz≥ +1 3xz+3yz z− (1)

Ta sẽ chứng minh: 1 3+ xz+3yz− ≥z 4(xy+ +yz zx) (2)

9xyz+k ≥4k xy+ +yz zx Đẳng thức xảy ra khi nào?

Ví dụ 4 Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA=xy+ +yz zx+mxyz

Chẳng hạn với m = -2 ta có bài toán:

Bài toán 1.Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

Do đó ta có bài toán sau:

Bài toán 2.Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

4

Từ đó ta có các bài toán sau:

Bài toán 1.1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng:

4 <ab+bc ca+ − abc≤ 27 b) 13 2 2 2 1

4

27≤a +b + +c abc<2 c) 2 3 3 3 1

PHỤ LỤC

40