tom tat chuong trinh toan thpt

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đú

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1 Giai thừa : n! = 1.2 n

n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n

2 Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;

mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn là :

m + n

3 Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n

cách chọn hiện tượng 2 Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :

m x n

4 Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau Số cách xếp : Pn = n !

5 Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật Số cách chọn :

)!

k n ( k

! n

Ck

6 Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số

−

n!

(n k)!

k

n k

C P Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị

7 Tam giác Pascal :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

4

3 4

2 4

1 4

0 4

3 3

2 3

1 3

0 3

2 2

1 2

0 2

1 1

0 1

0 0

C C C C C

C C C C

C C C

C C C

Tính chất :

1 n

k n 1 k n

k n n

k n

n n

0 n

C C C

C C , 1 C C

+

−

−

= +

=

=

=

8 Nhị thức Newton :

n 1

1 n 1 n 0 n 0 n

n C a b C a b C a b )

b a

a = b = 1 : 0 1 n

C +C + + C =2n

Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n

1 n

0

n,C , ,C

C

n 1

n 1 n n 0 n

n C a C a x C x )

x a

Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa n bằng cách :

n

1 n

0

n,C , ,C

C

- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2,

http://blogtoan.com

- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2,

- Cho a = ±1, ±2, , ±∫ ±∫2 hay

0

1 0

α

∫

Chú ý :

* (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m

n

Giải pt : m = 0, ta được k

* (a + b)n : a, b chứa căn Tìm số hạng hữu tỷ

m r

k n k k p q n

C a b− = Kc d

Giải hệ pt :

⎩

⎨

⎧

∈

∈ Z q / r

Z p / m

, tìm được k

* Giải pt , bpt chứa A ,Ck : đặt điều kiện k, n ∈ N

n

k

giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung

* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp)

* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp

* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :

số cách chọn thỏa p

= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p

Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác

* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải)

* Dấu hiệu chia hết :

- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8

- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4

- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8

- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3

- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9

- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5

- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3

- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75

II- ĐẠI SỐ

1 Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔

⎢

⎢

⎣

⎡

⎩

⎨

⎧

=

≠=

= b / c a

0

b c 0 b

a/b = c ⇔ ;

⎩

⎨

⎧

≠

= 0 b

bc

b a

b

http://blogtoan.com

a 0

⎧ =

≥

⎩

⎩

⎨

≥

±

=

⇔

0 a

a b b

a

⎩

⎨

⎧

>

<

⎩

⎨

⎧

<

> >

=

⇔

<

−

<

⇔

<

+

b / c a

0 b

b / c a

0

b 0,c 0

b c

ab

; b c a c b

a

2 Giao nghiệm :

⎩

⎨

⎧

<

⇔

<

<

⎩

⎨

⎧

>

⇔

>

>

} b , a min{

x b x

a x

; } b , a max{

x b

x

a

x

⎧

⎨Γ

⎧

⎩

⎩

⎨Γ

⎩

p

;

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm

3 Công thức cần nhớ :

a : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm Làm mất phải đặt điều kiện

⎩

⎨

⎧

≤

≤

≥

⎩

⎨

⎧

⇔

≤

=

≥

⇔

b a 0

0 b b a , b a

0 b b

a

⎩

⎨

⎧

≥

≥

⎩

⎨

⎧

∨

≥

<

⇔

b a

0

b 0 a

0 b b

a

) 0 b , a nếu ( b a

) 0 b , a nếu ( b a ab

<

−

−

≥

=

b : phá bằng cách bình phương : a = hay bằng định nghĩa : 2 a2

) 0 a nếu ( a

) 0 a nếu ( a a

<

−

≥

=

b a b a

; b a

0 b b

⎩

⎨

⎧

±

=

≥

⇔

=

b 0

≥

⎧

0 b a b

a ≤ ⇔ 2 − 2 ≤

c Mũ : y=ax,x∈R,y>0,y↑nếua>1,y↓nếu0<a<1

http://blogtoan.com

0 m / n n m m n m n

−

α

= α

<

<

>

>

<

⇔

) 1 a 0 nếu ( n m

) 1 a nếu ( n m a

a

d log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R

y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaaα

loga(MN) = logaM + logaN (⇐)

loga(M/N) = logaM – logaN (⇐)

2 a a

a

2

aM 2log M,2log M log M

logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc

logbc = logac/logab, loga M 1logaM

α

=

α

loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N

0 M N(nếua 1) log M log N

M N 0(nếu0 a 1

Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện

4 Đổi biến :

a Đơn giản : t=ax+b∈R,t =x2 ≥0,t= x ≥0 t, = x ≥0 t, =ax >0 t, =logax∈R Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức

b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f

c Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t

d Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên

5 Xét dấu :

a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu

b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0

c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f

6 So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :

f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a

http://blogtoan.com

Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = 0

không đối xứng, giải hệ pt :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

=

=

2 1

2 1

x x P

x x S

0 g

Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0

* Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 :

x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

>

>

Δ 0 S

0 P 0

x1 < x2 < 0 ⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

>

>

Δ 0 S

0 P 0

* Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0

α < x1 < x2 ⇔ ; x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

α

>

α

>

Δ

2 / S

0 ) ( a

0

1 < x2 < α ⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

α

<

>

α

>

Δ 2 / S

0 ) ( a 0

α < x1 < β < x2 ⇔

a.f( ) 0 a.f( ) 0

β <

⎧

⎪ α >

⎨

⎪ α < β

⎩

; x1 < α < x2 < β ⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ β

<

α

>

β

<

α 0 ) ( a

0 ) ( a

7 Phương trình bậc 3 :

a Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a

Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C

thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0

b Số nghiệm phương trình bậc 3 :

• x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) :

3 nghiệm phân biệt ⇔

⎩

⎨

⎧

≠ α

>

Δ

0 ) ( 0

2 nghiệm phân biệt ⇔

⎩

⎨

⎧

≠ α

= Δ

∨

⎩

⎨

⎧

= α

>

Δ

0 ) (

0 0

) ( 0

1 nghiệm ⇔

( )

Δ

⎧

Δ < 0 hay⎨ α⎩f = 0= 0

• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m

• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0

http://blogtoan.com