Hỏi trờn cỏnh đồng cú bao nhiờu trõu ?bao nhiờu đứa trẻ?. Cõu 5.3 đCho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đờng cao AD.. Lưu ý : Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC : 2008 – 2009
MễN : TOÁN 9
Thời gian : 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1.(4 đ) Viết cụng thức nghiệm của phương trỡnh bậc hai : ax2 + bx + c = 0
Vận dụng giải phương trỡnh : x2 + 3x + 2 = 0
Cõu 2.(3 đ) Cho ba số thực x ,y , z sao cho : xyz = 1 và 1 1 1 x y z
Tớnh B=(x2009−1)(y2009−1)(z2009−1)
Cõu 3.(3 đ) Cho hàm số y = (2m + 1)x + 2m (d) Tỡm m để
a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A( 1 ; -3 )
b) Đường thẳng (d) vuụng gúc với đường thẳng y = - ẵ x + 5
c) Đường thẳng (d) đồng quy với hai đường thẳng y = 2 và y = x + 1
Cõu 4.(3đ)Một đỏm trẻ đang chăn trõu trờn cỏnh đồng ,một em hụ to : “Lờn “ngựa” ,mỗi người một con !” thỡ
thừa ra một em bộ khụng cú trõu cỡi Sau đú em lại hụ to : “Lờn “ngựa” ,hai người một con !” thỡ thừa một con trõu khụng cú người cỡi Hỏi trờn cỏnh đồng cú bao nhiờu trõu ?bao nhiờu đứa trẻ?
Cõu 5.(3 đ)Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đờng cao AD Chứng minh rằng tgB.tgC = 2 Cõu 6.(4 đ) Cho nửa đường trũn ( O ; R ) đường kớnh AB ,trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường
trũn (O) vẽ hai tia Ax và By vuụng gúc với AB Gọi M là điểm thuộc nửa đường trũn (O) ,tia AM cắt By tai C ,tia
BM cắt Ax tại D , tiếp tuyến tại M cắt Ax và By lần lượt tại E và F
a) Chứng minh rằng ã 0
EOF 90=
b) Chứng minh E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC
c) Tớnh : MB.MD + MA.MC theo R
d) Xỏc định vị trớ của M để EF cú độ dài ngắn nhất
Hết
Họ tờn thớ sinh : ……… số bỏo danh ………
Lưu ý : Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1
Pt : ax2 + bx + c = 0
có ∆ = b2 – 4ac
• Nếu ∆ > 0 pt có hai nghiệm phân biệt : 1 ; 2
• Nếu ∆ = 0 pt có nghiệm kép : 1 2
2
b
x x
a
−
• Nếu ∆ < 0 pt vô nghiệm
Vận dụng : xét pt : x2 + 3x + 2 = 0 có ∆ = 33 – 4.1.2 = 1
∆ > 0 pt có hai nghiệm phân biệt :
1
2
1 2.1
2 2.1
x
x
− +
− −
Vậy nghiệm của pt là : x1 = -1 ; x2 = -2
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
2 đ
Câu 2
Ta có 1 1 1 1
x+ + =y z
x + y + z = xy + yz + xz
(x – 1)(y - 1)(1- z ) = 0
− = <=> =
2009 2009 2009
B= x − y − z − = 0
0,5 đ 0,5 đ
1 đ
1 đ Câu 3
a)
Thay x = 1 ; y = - 3 vào đường thẳng (d) ta được :
- 3 = (2m + 1).1 + 2m
b) Ta có : (2m + 1).(- ½ ) = - 1
m = ½
0,5 đ 0,5 đ
c)
Giao điểm của hai đường thẳng y = 2 và y = x + 1 là :
2 = x + 1
x = 1 Vậy giao điểm là ( 1 ; 2 )
Thay x = 1 và y = 2 vào (d) ta được
2 = (2m +1).1 + 2m
4
m=
0,5 đ 0,5 đ Câu 4
H
D
A
C
B F
Ta có : tgB AD
BD
CD
= ; AD = 2DH Xét V CDH và ⊥ V ADB có µ⊥ A C=µ (góc có cạnh tương ứng vuông góc )
Suy ra V CDH ⊥ V ADB (g-g)⊥
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Trang 3=> CD AD
DH = DB
CD.DB = DH.AD
AD AD tgB tgC
CD DB
=
AD AD tgB tgC
AD DH AD tgB tgC
DH
=
0,5 đ
1 đ
Câu 5
Gọi x là số đứa trẻ
Goi y là số trâu
Đk : x;y : nguyên dương
Ta có hệ phương trình
1 1 2
x y x y
− =
− + =
Giải ra : 4
3
x y
=
=
( chọn )
Trả lời : Vậy số đứa trẻ là : 4 đứa
Số trâu là : 3 con
0,5 đ 0,5 đ
1 đ 0,5 đ 0,5 đ
Câu 6
H
0,5 đ
a)
Ta có : OE là phân giác của góc AOM
OF là phân giác của góc BOM
Mà góc AOM và BOM là hai góc kề bù
b)
Xét ∆ABM có
2
AB
MO= ,do đó ∆ABM vuông tại M Xét V⊥AMDta có
Trang 4ME = AE ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) (*)
=> ·MAE= ·AME
Mà :
0 0
90 90
MAE MDE
AME EMD
Suy ra : ·MDE EMD=· => ME = ED (**)
Từ (*) ; (**) suy ra AE = ED.Vậy E là trung điểm của AD
Chứng minh tương tự ta được : BF = FC
Vậy F là trung điểm của BC
0,5 đ 0,5 đ c)
Xét V⊥ABC có : MA.MC = MB2
Xét V⊥ABD có :MB.MD = MA2
Mà MA2 + MB2 = AB2
Suy ra : MA.MC + MB.MD = AB2
hay MA.MC + MB.MD = 4R2
0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ d)
Từ F kẻ FH vuông góc với Ax
Xét tam giác vuông HEF ta có EF ≥ HF
Mà HF = AB ( tứ giác ABFH là hình chữ nhật )
=> EF ≥ AB Vậy EF ngắn nhất khi EF = AB ,khi đó M là điểm chính giữa của nửa
đường tròn (O)
0,5 đ 0,5 đ
Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cũng cho điểm tối đa.