Phương pháp liên hợp Giải PT vô lỉ

Sáng kiến kinh nghiệm về Toán casio là tài liệu thiết thực cho mỗi thầy cô giáo cũng như học sinh tiếp cận nhanh phương pháp giải các dạng bài tập nâng cao một cách nhanh chóng và chính xác. Đây cũng là tài liệu bồi dưỡng HS giỏi Toán THCS và THPT

CHUYÊN ĐỀ MÁY TÍNH BỎ TÚI

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

CHỦ ĐỀ 1: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM HỮU TỶ ĐƠN

BÀI 1

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm F x( ) 3 x 9 2x2 3x 5x 1 1 dò nghiệm

để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho nghiệm x= 1

+) Kiểm tra các liên hợp:

5 1 2

x x





 

 => liên hợp cần tạo:

5 1 2

x x





 



Bài giải:

+) ĐK: 1

5

x

+) pt  (3 x   9 2) (2 5x 1) 2x2 3x 1 0



2 3 3

( 1)(2 5) 0

2 5 1 ( 9) 9.2 4

x

3 3

2 5 1 ( 9) 9.2 4

x

Ta chứng minh

2 3 3

(2 5) 0

5

x x

(*)

Đến đây, trở ngại chính là 5

5x 1 2



  , ta tìm max a của

5

5x 1 2 và tạo thành

5

5 1 2

a

x

5x 1 2 với Star 0,2 End 4 Step 0,2 ta được GTLN là 2,5

Ta có

2 3 3

(2 5)

2 5 1 ( 9) 9.2 4

x x

2 3 3

(2 )

( 9) 9.2 4

x x

Do

2 3

3

x

Nên

2 3 3

(2 5) 0

5

x x

Vậy phương trình chỉ có nghiệm x= 1

 Chú ý: Có A

B

 ta tìm Max A a

B

  

 

  và thiết lập

A a B

 Chú ý : Có A

B  ta tìm Min A a

B

  

 

  và thiết lập

A a B

 

BÀI 2

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm F x( )5x322x2 22x 6 4x3 dò nghiệm

để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho 2 nghiệm x=1 và x= 3 => đa thức x2 -4x +3

+) Kiểm tra các liên hợp:  2

4x3 x 4x 3 x => liên hợp cần tạo:

4x 3 x

Bài giải:

+) ĐK: 3

4

x

+) pt  5x3 22x2 22x 6 4x 3 0

(5x 22x 23x  6) (x 4x3)0



2

4 3

x x

(x 4 x 3) 5 2 0

4 3

x

4

4 3

Ta tìm max 1

4x 3 3: Dò bảng có max = 1,3333333333 = 4/3

= (4 3) 4 4 3 5 10

3

x

Do (4 3) 4 4 3 0, 3; 5 10 0, 3

Nên (**)  x2 – 4x + 3 = 0  x= 1, x= 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x= 1 và x = 3

BÀI 3 Giải bất phương trình

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm F x( ) x2   x 2 x2  2(x 1) 1 dò nghiệm

để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho 1 nghiệm x=1

+) Kiểm tra các liên hợp: x2   x 2 0, 2(x 1) 0 => liên hợp cần tạo: 2

2 2( 1)

x   x x

Bài giải:

+) ĐK: x1

2 2( 1) 1 0

x   x x  x  

2

2 2( 1)

x x

x

2 2( 1)

x

2 2( 1)

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình T  (1; )

BÀI 4 Giải bất phương trình

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm F x( ) 2x2   x 3 21x17  x x2 dò nghiệm

để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho 1 nghiệm x=2

+) Kiểm tra các liên hợp: 2x2  x 3 3, 21x17 5 => liên hợp cần tạo: 2

2x   x 3 3; 21x175

Bài giải:

+) ĐK: 17

21

x

2x   x 3 21x17  x x 0

2x     x 3 3 5 21x17  x  x 2 0

2 ( 1) 0

5 21 17

x

  

5 21 17

x

  

5 21 17

x

x

  

x

x

  

Với 17

21

x thì

2

x

x x

  

Do đó

2

x

x

  

Nên x   2 0 x 2 Tập nghiệm của bất phương trình T [2;)

BÀI 5 Giải phương trình

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm F x( ) x4 x2  4 x4 20x2 4 7x dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho 2 nghiệm x = 1 và x = 2 => đa thức x2 – 3x + 2

+) Tìm các liên hợp bằng cách:

Tại x=1 và x= 2 thì

4 2

4 2

4

x x ax b

Tại x=1 và x= 2 thì

20 4

=> liên hợp cần tạo: x4 x2  4 2 ;x x4 20x2  4 5x

Bài giải:

+) ĐK:Do VT không âm nên VP = 7x  0 x 0

+) Bpt => x4 x2  4 x4 20x2  4 7x0



0

 4 2

 4 2   4 2 

0,

x



2 2

2 4

x x



    

Đối chiếu điều kiện, suy ra phương trình có 2 nghiệm x= 1 và x= 2

BÀI 6 Giải phương trình

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm F x( )5x3 30x2 54x30 5x6 dò nghiệm

để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho 2 nghiệm x = 2 và x = 3 => đa thức x2 -5x + 6

+) Tìm các liên hợp bằng cách giải hệ : 2

5x6 x 5x 6 x

=> liên hợp 5 6

5 6



 



Bài giải:

+) ĐK: 6

5

x

+) Bpt => 5x3 30x2 54x30 5x 6 0

5x 30x 55x30  5x 6 x 0

5 6

 

5 6

 

6 1

5

  

Nên (**)  2 5 6 0 2

3

x

x





Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 2 nghiệm x= 2 và x= 3

 Chú ý: Bài này cũng có dạng A B C , nhưng không giải theo cách này được vì không tìm được số  0 để cho f() nguyên

BÀI 7

Giải phương trình

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm F x( )6x3 19x2 14x 1 2 3x 2 5x1 dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho 2 nghiệm x = 1 và x = 2 => đa thức x2 -3x + 2

+) Tìm liên hợp:  





3 2





Bài giải:

+) ĐK: 2

3

x

PT  6x3 19x2 14x 1 2 3x 2 5x 1 0

6x 19x 15x2 2 3x 2 x  x 1 5x 1 0

3

2

x

x





 

 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

BÀI 8 Giải phương trình

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm  x3 3x2 10x26 3x 3 5 2 x dò nghiệm

để biết liên hợp cần tạo cho phương trình:

+) Cho 1 nghiệm x = 2

+) Kiểm tra 3 3 3 3 3 3

5 2 1 5 2 1

Bài giải:

+) ĐK: 1 5

2

x

  

+) PT  x3 3x2 10x26 3x 3 5 2 x0

 3 2

(x 3x 10x24) (3 3x 3) ( 5 2 x  1) 0

 ( 4)( 2)( 3) 3( 2) 2( 2) 0

3 3 3 5 2 1

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

CHỦ ĐỀ 2: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM VÔ TỶ ĐƠN

I/ PHƯƠNG PHÁP:

B1/ Dùng Mode 7 dò nghiệm ( chú ý F(X) đổi dấu )

B2/ Shift Calc tìm nghiệm vô tỷ đó

B3/ Kiểm tra giá trị của căn để biết mối quan hệ với nghiệm ban đầu

B4/ Áp dụng liên hợp để giải

II/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:

BÀI 1

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm x2 4x  3 (x 1) 8x 5 6x2 dò nghiệm

Ta biết PT có nghiệm vô tỷ đơn trong khoảng (4; 4.5)

Nhập hàm x2 4x  3 (x 1) 8x 5 6x2 tìm nghiệm (Shift Calc) cho

4,236067977

x Lưu vào biến A ( Shift Sto A)

+) Kiểm tra 8 5 6, 236067977 8 5 2

6 2 5, 236067977 6 2 1

Bài giải:

+) ĐK: 1

3

x 

+) PT  (x1) 8x  5 (x 2)  6x  2 (x 1)0

x

8 5 ( 2) 6 2 ( 1)

x x

3

8 5 ( 2) 6 2 ( 1)

x

 2 5

2 5

x

x

  



 

BÀI 2

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Biến đổi phương trình : nhờ x=  x 1 1 x 1 1 , mà  x   1 1 0 x nên (*)

2x 2x   1 x 1 1 x 1 x

2x 2x 1 x    x x 1 x

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 2x22x 1 x2    x x 1 x dò nghiệm từ 0 đến 1 bước nhảy 0,1 Ta biết PT có 1 nghiệm x=0 và 1 nghiệm vô tỷ đơn trong khoảng (0.3; 0.4)

Nhập hàm 2x2 2x 1 x2    x x 1 x tìm nghiệm (Shift Calc nhập 0,35) cho 0,3819660113

x Lưu vào biến A ( Shift Sto A)

+) Kiểm tra

2

2

2 2 1 0,726542528

2 2 1 0,726542528

1 0,6180339887

A A

A

 





Bài giải:

2x 2x 1 x    x x 1 x

2x 2x 1 x x  x  (1 x)0

0 (1 )

  2 

(1 )

2 2 1

x x

 



2

3 1 0 (1)

x x





(1) 

2

2

x

x











(2) 





2

2x 2x    1 1 x x 0

Thử lại chỉ có 2 nghiệm x= 0 và 3 5

2

BÀI 3

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 2x 4x2 5x 2 8x 1 3x1 dò nghiệm

từ 0 đến 9 bước nhảy 0,5 Ta biết PT có 1 nghiệm vô tỷ đơn trong khoảng (1.5; 2)

Nhập hàm 2x 4x25x 2 8x 1 3x1 tìm nghiệm (Shift Calc nhập 1,7) cho 1,866025404

x Lưu vào biến A ( Shift Sto A)

+) Kiểm tra

2

2

4 5 2 2,568672072

8 1 3,732050808

8 1 2

3 1 2,5686572072

A

A

 





Bài giải: ĐK : 1

8

x 2

2x 4x 5x 2 8x 1 3x 1 0

( 4x 5x 2 3x 1) (2x 8x 1) 0



2

2 8 1

4 5 2 3 1

2

2



2

2

x

x











BÀI 4

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 5x25x 3 7x 2 4x26x1 dò nghiệm từ

0 đến 9 bước nhảy 0,5 Ta biết PT có 1 nghiệm vô tỷ đơn trong khoảng (1.2; 1.5)

Nhập hàm 5x2 5x 3 7x 2 4x2 6x1 tìm nghiệm (Shift Calc nhập 1,7) cho 0,3596117968

x Lưu vào biến A ( Shift Sto A)

+) Kiểm tra

5 5 3 1,359611797 5 5 3 1

7 2 0,7192235936 7 2 2

Bài giải:

ĐK: 2

7

x

5x 5x 3 7x 2 4x 6x 1 0

  2    2

5x 5x 3 (x1)  2x 7x2 4x 7x 2 0

2

4 7 2 0

2 7 2

5 5 3 ( 1)

x x

2

2 7 2

5 5 3 ( 1)

x x

        

2

7

2 7 2

5 5 3 ( 1)

8

x





BÀI 5

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 2 x2   x 1 15x2  x 5 dò nghiệm từ 0 đến 9 bước nhảy 0,5 Ta biết PT có 1 nghiệm vô tỷ đơn trong khoảng (0.5; 1)

Nhập hàm 2 x2   x 1 15x2  x 5 tìm nghiệm (Shift Calc nhập 0,7) cho

0,7675918792

x Lưu vào biến A ( Shift Sto A)

+) Kiểm tra A2   A 1 1,535183758 x2  x 1 2x

Giải:

2 x   x 1 15x   x 5 0

2 x   x 1 2x 15x 5x 5 0

2 2

1 2

  

2

2

1 2

x x

  

2

2

1 2

x x

  



2

2

2

5

x x







2

25( 1) 4 40 100 2

5

x





 





1 13

6

1 29

10

x

x











Thử lại PT có 2 nghiệm

1 13 6

1 29 10

x x











BÀI 6

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 3 x x x2  x 2 dò nghiệm từ 0 đến 3 bước nhảy 0,2 Ta biết PT có 1 nghiệm vô tỷ đơn trong khoảng (2.6; 2.8)

Nhập hàm 3 x xx2  x 2 tìm nghiệm (Shift Calc nhập 2,7) cho

2,618033989

x Lưu vào biến A ( Shift Sto A)

+) Kiểm tra 3 0,6180339887 3 2

1,618033989 1

Giải:

ĐK: 0 x 3

2

3 x xx   x 2 0

3  x (x 2)  x  (x 1) x 3x 1 0



2

3 1 0

x x

3 1 0

2

BÀI TẬP TỰ GIẢI

CHỦ ĐỀ 3: NHÂN LIÊN HỢP VỚI NGHIỆM HỮU TỈ KÉP

BÀI 1

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm x2  x 2 2 x dò nghiệm từ 0 đến 5 bước nhảy 0.5 Ta biết PT có 1 nghiệm hữu tỷ kép x=1 trong

Ta đi tìm a, b sao cho

( )' ( )'

ax b x

ax b x

  





 tại x= 1=>

1

1 1

2 2

a

 







Liên hợp cần tìm x 1 2 x

Giải:

ĐK x0

2

2 2 0

x   x x 

 2

x  x   x x 

 2 ( 2 2 1)

( 1) 2

x x x

 

( 1) 2

x

 

BÀI 2

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 2 x  2x 1 2x1 dò nghiệm từ 0 đến 5 bước nhảy 0.5 Ta biết PT có 1 nghiệm hữu tỷ kép x=1 trong

Ta đi tìm a, b sao cho

( )' ( )'

ax b x

ax b x

  





 tại x= 1=>

1

1 1

2 2

a

 





Liên hợp cần tìm x 1 2 x

Ta đi tìm a, b sao cho 2 1

( )' ( 2 1)'

ax b x

ax b x





 tại x= 1=>

Liên hợp cần tìm x 2x1

Giải: ĐK 1

2

x

2 x 2x 1 2x 1 0

 2 x   (x 1) 2x  1 x 0



0

2 ( 1) 2 1

BÀI 3

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 2x 1 3 3x 2 x2 1 dò nghiệm từ 0 đến 5 bước nhảy 0.5 Ta biết PT có 1 nghiệm hữu tỷ kép x=1

Ta đi tìm a, b sao cho 2 1

( )' ( 2 1)'

ax b x

ax b x





 tại x= 1=>



Liên hợp cần tìm x 2x1

Ta đi tìm a, b sao cho

3 3

3 2 ( )' ( 3 2)'

ax b x

ax b x







Liên hợp cần tìm x 3 3x2

Giải: ĐK 1

2

x

2 3

2x 1 3x 2 x  1 0

 2x  1 x 3 3x  2 x x2 2x 1 0



2

3

2 1 0

x x

2

3

x

x x

 x= 1

BÀI 4

Thao tác trên máy tính bỏ túi:

Dùng chức năng TABLE nhập hàm 2x2 3x 7 3 43 x4 dò nghiệm từ 0 đến 5 bước nhảy 0.5 Ta biết PT có 1 nghiệm hữu tỷ kép x=1

Ta đi tìm a, b sao cho

3 3

4 4 ( )' ( 4 4)'

ax b x

ax b x





1 / 3 5 / 3



Liên hợp cần tìm x 5 3 43 x4

Giải:

2x 3x 7 3 4x 4 0

2x 4x   2 (x 5) 3 4x 4 0

2(x 2x   1) (x 5) 3 4x 4 0



2 2

( 1) ( 17)

( 5) ( 5)3 4 4 9( 4 4)

x x

 2

( 17)

( 5) ( 5)3 4 4 9( 4 4)

x