Bai giảng chuyen đề PP Tọa độ - Bồi dưỡng HSG

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại D lấy đỉêm S sao cho.. Ta chứng minh các VTPT của 2 mp vuông góc với nhau... Tìm ĐK của a và h để 2 mp SAB và SAC vuông góc với nhau.. C

Chuyên đề bồi dưỡng HSG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ, GIẢI

TÍCH VÀ HÌNH HỌC

Phương pháp cơ bản:

Giải toán hình học

 1/ Tạo ra quan hệ vuông góc

 2/ Lựa chọn hệ trục toạ độ phù hợp

 3/ Biểu diễn các yếu tố trong giả thiết

theo toạ độ của hệ trục toạ độ

 4/ Liên kết các vấn đề cần giải quyết

với hệ thống kiến thức đã biết

 5/ Thực hiện tính toán để có kết quả

Loại I

Loại I: Các bài toán định tính

 Bài 1 : Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là

điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy đỉêm S sao cho CMR: mp(SAB)  mp(SAC).

 Hướng dẫn : Chọn hệ trục toạ độ Dxyz với ADx

và B, C đối xứng qua Dx Ta chứng minh các

VTPT của 2 mp vuông góc với nhau.

2

6

a

SD 

 Bài 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam

giác đều cạnh a SA = SB = SC Khoảng cách từ S đến mp(ABC) bằng h Tìm ĐK của a và h để 2 mp (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.

 Hướng dẫn : Gọi O là trọng tâm tam giác ABC

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với BC//Ox, AOy Từ

ĐK vuông góc của 2 VTPT, suy ra

6

h

a 

Bài 3:

 Cho hhcn ABCD.A’B’C’D’ có 3 kích thước là AB = a,

AD = b, AA’ = c ( với 0<a<b<c) Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AB, C’D’ Các điểm M,N thoả mãn:

 với 0≤k≤1

 a/ Tính khoảng cách từ A đến mp(A’BD)

 b/ Cmr M,N,I,J đồng phẳng và tìm giá trị của k để

MNIJ

 c/ Xác định tâm và bán kính mc(S) ngoại tiếp tứ diện

ABDA’ và xđ tâm H của đường tròn là giao của mc(S) với mp(A’BD)

 Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ Axyz

'

AD k

Bài 4:

 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC

đôi một vuông góc với nhau và OA = OB =

OC = a Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung

điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của

CE với mp(OMN)

 a/ Xác định điểm I

 b/ Cm OI vuông góc với MN

 c/ Tính diện tích tứ giác OMIN.

Bài 5:

 Trong mp(P) cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các

đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy các điểm D, E nằm về cùng một phía đối với (P) sao cho

 a/ Tính độ dài các cạnh AD, AE, DE

 b/ Xác định tâm và bán kính mc ngoại tiếp tứ diện

ABCE

 c/ Gọi M là giao điểm của các đường thẳng ED và BC

CMR đường thẳng AM vuông góc với mp(ACE) Tính

số đo góc giữa 2 mp(ADE) và (ABC)

3

, 2

3

a CE

a

Loại 2

Loại 2: Các bài toán cực trị

 Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA = CA = AB = SA(ABC) Tam giác ABC vuông tại A, các điểm MSA, NBC sao cho AM = CN = t, ( 0 < t < 2a ).

a/ Tính độ dài đoạn thẳng MN

b/ Tìm t để MN là ngắn nhất và tính độ dài đó.

2

a

Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ Cxyz sao cho S thuộc tia

Cz, A thuộc tia Cy và D thuộc tia Cx, với D là đỉnh thứ tư của hcn ABCD Xác định toạ độ các đỉnh và các điểm M, N

và áp dụng các công thức tính

Bài 2:

 Cho 2 nửa mp (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến (d) Trên (d) lấy đoạn AB = a Trên nửa đường thẳng At vuông góc với (d) và ở trong (P) lấy điểm M với AM = b Trên nửa đường thẳng Bs

vuông góc với (d) và ở trong (Q) lấy điểm N sao cho

BN = a2/b.

 1/ Tính khoảng cách từ A đến mp(BMN) theo a và b.

 2/ Tính MN theo a, b Với b bằng bao nhiêu thì MN

có độ dài ngắn nhất và tính độ dài đó.

Bài 3:

 Cho tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông

 a/ Chứng minh rằng √3 SABC≥ SSAB +SSBC +SSAC

 b/ Biết SA = a, SB + SC = k >0 Đặt SB = x Xác định

SB và SC để thể tích tứ diện là lớn nhất

 Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ Sxyz sao cho A

thuộc tia Sx, B thuộc SY và C thuộc Sz

Bài 4:

 Cho góc tam diện vuông Oxyz, N là điểm cố định

nằm trong góc tam diện, mp(P) qua N cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C Gọi khoảng cách từ N đến các

mp(OBC), (OCA), (OAB) là a, b, c > 0

 a/ Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất

 b/ Tính OA, OB, OC để OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất

 Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ và viết pt mp(P):

α(x−a)+β(y−b)+γ(z−c)=0 với α, β, γ > 0

GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ:

Một số bài tập về PT và BPT sử dụng PPTĐ

 Bài 1: Giải phương trình:

1 2

3

1    2 

x

x

Hướng dẫn giải: Trong hệ trục toạ độ Oxy Xét các vectơ

 x  v  x x 

u  ; 1 ,   1 ; 3 

Vế trái là tích vô hướng của 2 vectơ, vế phải là tích các

độ dài của 2 vectơ đó Nên Cosin của góc giữa 2 vectơ bằng 1

Bài 2:

 Giải phương trình:

 Hướng dẫn giải: x2  4x 5  x2  10x 50 5

Viết phương trình thành x  22 12  x  52 52 5

Xét 3 điểm A(2;1), B(5;5), M(x;0).Ta được:/MA –

MB/≤AB

Suy ra A, B, M thẳng hàng và M không thuộc đoạn AB

Do A,B cùng phía đ/với Ox và MOx, Nên M = AB  Ox

Bài 3:

 Biện luận theo m số

nghiệm của ph ơng trình :

 H ớng dẫn giải: Xét 2 hàm

số:

 Biện luận vị trí t ơng đối

của đ ờng tròn và đ ờng

thẳng, ta đ ợc số nghiệm

m x

 2 1

m x

y x

y  1  2 &  

Bài 4: Tìm m để hệ bất ph ơng trình sau có nghiệm duy nhất























m y

x

m y

x

2 2

2 2

1 1

1 1

Hướng dẫn giải: Xột 2 hỡnh trũn băng nhau (T1):

(x-1)2 +(y+1)2 =m; m  0 Cú tõm I1( 1; -1) và (T2):

(x+1)2 + (y-1)2 = m cú tõm I2(-1; 1)

Suy ra hệ cú nghiệm duy nhất  (T1) tiếp xỳc (T2)

Bài 5: Giải hệ phương trình















































n

n n

x x

x

n

n n

x x

x

n

n

1 1

1 1

1 1

1 1

2 1

2 1

Hướng dẫn: Xét các vectơ

Ta có:

ai  1  i ; 1  i ;  ,1 2 , , 2

2

1

n a

i

i



2 1

1

1

; 1

2

1

2

1 1

1 1

1

n x

x a

x x

a

n i

i

n i

i

n i

i

n i

i

n i

i

n

i

i















































































Mà:

1 1

n a

a

n i

i

n i







Suy ra các vectơ là cùng chiều và cùng độ dài Vậy:

x x

Một số bài toán về BĐT và GTLN, GTNN

 Bài 1: Tìm GTNN của hàm số:

0 ,

0

2 2

2

2

















q p

q qx

x p

px x

y

Hướng dẫn: Xét 3 điểm M( x; 0), P(p; p) và Q(q; q)

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

2

1

x

Hướng dẫn: Xét 2 vectơ a 1;2 2,b  x; 2 x;0 x 2

Bài 3: Tìm GTNN của

13 14

5 5



y

Bài 4: Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn a2 + b2=c2 + d2 = 5 Chứng minh rằng:

2

30

3 2

2 10 4

2 10 4

2

Hướng dẫn:

Viết thành:

a  12 b  22  c  1 2 d  22  a  c2 b  d2 3 15

Xét đường tròn x2+y2=5, 3 điểm M(a; b),N(c; d) và P(1; 2) Suy ra 3 điểm M, N, P thuộc đường tròn và

15 3





 NP MN MP

Chu vi tam giác đều nội tiếp đường tròn là 3 15