ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG

Định luật bảo toàn động lượng Bài 1: Một viên đạn đang bay thẳng đứng lên cao với vận tốc 120 m/s thì nổ ra thành hai mảnh, mảnh thứ nhất có khối lượng gấp ba lần mảnh thứ hai, có vận tố

Định luật bảo toàn động lượng

Bài 1: Một viên đạn đang bay thẳng đứng lên cao với vận tốc 120 m/s thì nổ ra thành hai mảnh, mảnh thứ nhất có khối lượng gấp ba lần mảnh thứ hai, có vận tốc hướng theo phương nằm ngang và độ lớn vận tốc v1 = 80 m/s Tính độ lớn vận tốc và phương của mảnh thứ hai

Giải

Động lượng của hệ trước khi nổ: p  m v Với p = m.v = 120m

Động lượng của hệ sau khi nổ: p'  p1 p2  m1v 1  m2v 2

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: p  p' p  p1 p2

Mặt khác: m = m1 + m2 và m1 = 3m2  m

4

3 m

; m 4

1

Do đó: p1 = m1v1 = mv1

4

4 1

Theo đề ta có: v 1v p1p Áp dụng định lí Pitago: 2

1 2 2

p2 = mv2 4

1

1 2 2

1 2

) v 4

3 ( v m p

Suy ra vận tốc của mảnh thứ hai là:

) 80 4

3 (

Phương của mảnh thứ hai hợp với phương ban

đầu của viên đạn góc α như hình 4.1 với:

tgα =

120

80 4 3 mv

mv 4 3 p

1   = 0,5  α = 26,60

Bài 2: Một súng có khối lượng M = 40 kg được đặt trên mặt đất nằm ngang Bắn một viên đạn khối lượng m = 300 g theo phương nằm ngang Vận tốc của đạn là v = 120 m/s Tính vận tốc giật lùi V’ của súng

1

p



2

p





Hình 4.1

p 

Giải

Xem hệ súng và đạn như một hệ kín

Động lượng của hệ trước khi bắn: p ( M m ) V  0 







Động lượng của hệ sau khi bắn: p' m v M V  '





Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: p 

= p  '

 m v M V  '

Chọn chiều dương là chiều vận tốc của viên đạn, ta có: M V’ = - m

v

Vận tốc giật lùi V’ của súng: 0 , 9

40

120 3 , 0 M

mv '

Bài 3: Một khẩu pháo có khối lượng M = 500 kg được đặt trên mặt đất nằm ngang, nòng pháo hướng chếch 450 so với mặt đất Bắn một viên đạn pháo có khối lượng m = 4 kg, có vận tốc là v = 50 m/s Tính thành phần vận tốc giật lùi V” của súng theo phương ngang Bỏ qua ma sát giữa khẩu pháo với mặt đất

Hướng dẫn giải

Xem khẩu pháo và đạn như một hệ kín

Động lượng của hệ trước khi bắn: p ( M m ) V  0 







Động lượng của hệ sau khi bắn: p' m v M V  '





Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: p = p  '  m v M V  '

Vì v hướng chếch lên trên một góc α = 450 so với mặt đất nằm ngang, mà V '  v nên V ' cũng hướng xuống lệch một góc α = 450 so với mặt đất nằm ngang và thỏa: M V’ = - m v

Vận tốc giật lùi V’ của khẩu pháo: 0 , 4

500

50 4 M

mv '

Thành phần vận tốc giật lùi của khẩu pháo theo phương ngang là:

V” = V’cos450 = - 0,4.cos450 = - 0,2 2 m/s

Động năng – Thế năng – Cơ năng Định luật bảo toàn cơ năng

Bài 1: Cho một lò xo nằm ngang ở trạng thái ban đầu không bị biến dạng Khi

tác dụng một lực F = 10 N vào lò xo cũng theo phương ngang, ta thấy nó dãn được 4 cm

a/ Tìm độ cứng của lò xo

b/ Xác định giá trị thế năng đàn hồi của lò xo khi nó dãn được 6 cm

c/ Tính công do lực đàn hồi thực hiện khi lò xo được kéo dãn thêm từ 3 cm đến

6 cm Công này dương hay âm? Giải thích ý nghĩa Bỏ qua mọi lực cản

Giải

a Độ cứng của lò xo: F = k x 250 N / m

04 , 0

10 x

F







b Thế năng đàn hồi của lò xo khi bị dãn 5 cm: Wt = kx 2

2

1

=

2

06 , 0 250 2

c Công của lực đàn hồi khi lò xo được kéo dãn thêm từ 3 cm đến 6 cm:

Công của lực đàn hồi bằng độ giảm thế năng đàn hồi:

A12 = Wtđh1 – Wtđh2

2 2 1

2

1 x x k 2

1



A12 = - 0,3375 J Công này âm chứng tỏ công của lực đàn hồi là công cản

Bài 2: Một vật nặng khối lượng m = 400 g treo vào

đầu dưới sợi dây không co dãn chiều dài l = 50 cm,

đầu trên treo vào một điểm cố định Đưa vật tới vị

trí góc lệch m = 60 so với phương thẳng đứng rồi

buông tay như hình 4.7 Lấy g = 10 m/s 2

a/ Tính thế năng của vật ở vị trí cao nhất và ở vị trí

ứng với góc lệch  = 30 0

b/ Tính động năng và vận tốc của vật khi nó qua vị

trí cân bằng O

A

O

 m

h max

0

v



l

Hình 4.7

Giải

a/ + m = 60: Chọn gốc thế năng tại O , ta có: Wt O = 0; Wđ A = 0

Thế năng tại A:

Wtm = mghm = mgl (1 - cosm ) = 0,4 10 0,5 (1 – cos600) = 1 J +  = 30: Thế năng:

Wt = mgh = mgl (1 - cosm) = 0,4 10 0,5 (1 – cos300) = 0,27 J b/ Theo định luật bảo toàn cơ năng: WA = WO

Wđ A + Wt A = Wđ O + Wt O  Wđ O = Wt A = 1 J

+ Vận tốc tại O: Wđ O =

2

mv2O  vo =

4 , 0

1 2 m

W

Bài 3: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một lò xo có độ cứng k = 200 N/m, đầu trên treo vào một điểm cố định, đầu dưới treo vật nặng khối lượng m = 500

g Chọn gốc O trùng vị trí cân bằng Đưa vật tới vị trí M làm lò xo bị dãn 6,5

cm

a/ Tính công của lực đàn hồi và của trọng lực khi vật di chuyển từ vị trí cân bằng O tới vị trí M

b/ Thả vật, tính vận tốc của vật khi nó qua vị trí cân bằng

Giải

Ở vị trí cân bằng O vật chịu tác dụng của hai lực cân bằng là trọng lựcP thẳng đứng hướng xuống và lực đàn hồi F đhcủa lò xo hướng lên Do đó:

P + F đh= 0  Fđh = P  k.l = mg Với l= độ nén của lò xo lúc vật ở vị trí cân bằng

 l =

200

10 5 , 0 k

mg

 = 2,5.10-2 m = 2,5 cm  l = lCB – l0 = 2,5 cm

Ở vị trí cân bằng lò xo dãn 4 cm Khi đưa vật tới vị trí lò xo dãn 6,5 tức là làm vật di chuyển theo phương thẳng đứng một đoạn:

l + x = 6,5 cm  x = 6,5 – 2,5 = 4 cm

Vậy công của lực đàn hồi : Ađh = Wtđh =

-2

) 10 4 (

200 2

x k







=- 0,16 J Công của trọng lực AP = mg.x = 0,5 10 4.10-2 = 0,04 J

b/ Theo định lí động năng:

WđM – WđO = Ađh + AP = -0,16 + 0,04 = - 0,12 J

 WđO =

2

mv2O = 0,12 J  vo =

5 , 0

12 , 0 2 m

W

2 đO

Bài 4: Một vật trượt không vận tốc đầu từ đỉnh

một mặt phẳng nghiêng xuống mặt phẳng nằm

ngang như hình 4.8 Vật chuyển động trên mặt

phẳng nằm ngang được 3,2 m thì dừng lại Ma sát

trên mặt phẳng nghiêng không đáng kể, hệ số ma

sát trên BC là  = 0,25 Lấy g = 10 m/s 2

a/ Tính vận tốc tại B

b/ Tính độ cao h A

Giải

Chọn gốc thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng

a/ Vận tốc của vật tại B là:

Áp dụng định lí động năng trên đoạn BC: 2 ms

B 2

2

1 mv 2

1





gs 2 v mgs mv

2

B 2



  vB 2  gs  2 0 , 25 10 3 , 2  4 m / s

b/ Độ cao hA:

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng trên đoạn AB:WA = WB 0

2

mv mgh

0

2 B





m 8 , 0 10 2

4 g

v h 2

mv mgh

2 2 B A

2 B

Bài 5: Hai vật m 1 = 1 kg và m 2 = 2 kg nối với nhau bằng

một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc như hình 4.9

Biết  = 30 o , g = 10 m/s 2 , ban đầu m 1 và m 2 ở cùng một

A



Hình 4.8

m 1

m 2



4 m

Hình 4.9

độ cao và m 1 ở cách chân mặt phẳng nghiêng 4 m Chọn gốc tính thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng

a/ Tính thế năng và độ biến thiên thế năng của từng vật ở vị trí ban đầu và ở vị trí m 2 đi xuống được 1 m

b/ Cho biết thế năng của mỗi vật tăng hay giảm?

Hướng dẫn giải

Chọn gốc tính thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng

a/ Độ cao ban đầu của hai vật: z1 = z2 = l.sin30 = 4.(0,5) = 2 m

Thế năng của m1: Wt1 = m1gz1 = 1.10.2 = 20 N

Thế năng của m2 : Wt2 = m2gz2 = 2.10.2 = 40 N

Ở vị trí m2 đi xuống được 1 m thì m1 đi lên trên mặt phẳng nghiêng một đoạn s = 1 m, nghĩa là độ cao của m1 được nâng lên một đoạn:

h = s.sin30 = 1.(0,5) = 0,5 m Thế năng của m1s:

Wt1s = m1g(z1 + 0,5) = 1.10.2,5 = 25 N Khi m2 đi xuống 1 m thì độ cao của nó so với chân mặt phẳng nghiêng giảm đi 1 m Thế năng của m2s: Wt2s = m2g(z2 – 1) = 2.10.1 = 20 N Độ biến thiên thế năng của m1: Wt1 = Wt1s - Wt1 = 25 - 20 = 5 N Độ biến thiên thế năng của m2: Wt2 = Wt2s - Wt2 = 20 – 40 = - 20 N b/ Ta có:

Wt1 = 5 N > 0: vậy thế năng của vật m1 tăng

Wt2 = - 20 N < 0 : vậy thế năng của vật m2 giảm

Bài 6: Một vật nhỏ ở A trượt không vận tốc đầu

xuống một mặt cong AB sau đó chuyển động lên

mặt phẳng nghiêng BC như hình 4.10 Giả sử tất

cả các mặt đều không có ma sát h = 0,8 m

a/Vật có lên tới điểm C hay không?

b/ Tính vận tốc của vật tại B

c/ Nếu hệ số ma sát trên BC là  = 0,1 tính độ cao cực đại mà vật có thể lên tới được trên BC Cho  = 60 o , g = 10 m/s 2

Hướng dẫn giải

Chọn gốc thế năng tại B



Hình 4.10

A

B

C

h = 0,8 m

a Vì trên AB và BC đều không có lực ma sát Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại điểm A và điểm M mà tại đó vật có vận tốc bằng không ta có:

WA = WM  mgz  A mgz M zA = zM

Suy ra vật sẽ lên tới điểm có cùng độ cao với A Vậy vật sẽ lên tới điểm C sau đó rơi trở lại mặt phẳng nghiêng

b/ Vận tốc của vật tại B:

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

WA = WB v 2 gz 2 10 0 , 8 4m / s

2

mv

2 B

 Vậy khi không có ma sát vận tốc của vật tại B là 4 m/s

c/ Độ cao cực đại mà vật có thể lên tới được trên BC khi  = 0,1

Trên BC vì có thêm lực ma sát do đó ta phải kể thêm công của lực ma sát công này bằng độ biến thiên cơ năng của vật

Gọi D là điểm trên BC mà tại đó vận tốc của vật bằng không

2

mv A

W

2 B ms B

Fms = .N = mgcos (2); s =

 sin

h

(3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta có:











sin

h cos mg 2

mv

2 B D

 m 756 , 0 ) 3

1 1 , 0 1 ( 20

16 )

g cot 1 ( g

v h

2 B













Vậy độ cao cực đại mà vật lên được trên BC là hmax = 0,756 m

Bài 7 Nghiên cứu một tai nạn trên đường, cảnh sát giao thơng đo được chiều dài vệt bánh xe trên mặt đường do phanh gấp xe cĩ chiều dài L = 60m Tìm vận tốc ban đầu của xe, nếu hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường là k = 0,5?

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc ban đầu của xe là v

Vệt bánh xe trên mặt đường là L = 60m nên quãng đường xe trượt là 60m

Áp dụng định lý động năng cho quá trình phanh ta có:

2

1 0

2mv kmgL

 v 2kgL  24 , 5 (m/s) Bài 8 Tìm quãng đường xe trượt đi được trên mặt phẳng nằm ngang nếu nó trượt xuống theo dốc nghiêng góc  = 300 so với phương nằm ngang từ độ cao H = 15m? Hệ số ma sát giữa xe trượt và đường là k = 0,2

H ư ớ n g

d ẫ

n giải

Sự biến thiên cơ năng của 2 điểm A và B:

W B W A  A ms





 sin cos 2

2

H kmg

mgH

mv B







 v B2  2gH( 1 kcot  ))

Sự biến thiên cơ năng của 2 điểm B và C:

Fms

P

+

+

+



P Fms

L

H

A

B

C

V B

W C W B  A ms

 mv  kmgL

2 0

2

B



kg

v

2

2

  (1 cot ) 49 (m)

k H

Bài 9: Vật chuyển động không vận tốc đầu xuống hố,

thành hố nhẵn và thoải dần sang đáy hố nằm ngang

(Hình 1.48) Chiều dài phần đáy l = 2m Hệ số ma sát

giữa vật và đáy hố là k = 0,3 Chiều sâu của hố là H =

5m Tìm khoảng cách từ vị trí vật dừng lại tới điểm

giữa của hố?

Hướng dẫn giải

Tổng chiều dài trên đường ngang của đáy hố mà vật

đi được là S:

kmgS = mgH

cm m

m k

H

3 ,

0

5













Vì chiều dài của phần đáy hố là l = 2m nên chiều dài mà vật đi được trên đáy hố:

S = 8 lần qua đáy + 67cm

=> Khoảng cách từ vị trí vật dừng lại tới điểm giữa của hố là:

x l 67 33cm

2 

Bài 10: Tìm công cần thực hiện để đưa một chiếc xe trượt mang theo vật lên dốc

có độ cao H = 10m? Khối lượng tổng cộng của xe và vật là m = 30kg Góc nghiêng

l H

I

x

của dốc  = 300 Hệ số ma sát giữa xe trượt và mặt dốc giảm đều từ k1 = 0,5 tại chân dốc đến k2 = 0,1 tại đỉnh dốc

Hướng dẫn giải

Hệ số ma sát trung bình giữa xe trượt và mặt phẳng nghiêng là : k =

2

2

1 k

k 

Trong trường hợp này, trọng lực và lực ma sát sinh cơng cản, vì vậy cơng cần thực hiện phải là cơng dương bằng độ lớn của cơng của trọng lực và lực

ma sát





 sin cos H

kmg mgH

2 1

J k

k mgH

Va chạm đàn hồi – Va chạm mềm

Bài 1: Một hòn bi đang chuyển động với vận tốc 30 cm/s đến va vào một hòn bi thứ hai cùng kích thước nhưng có khối lượng bằng một nửa khối lượng của hòn bi thứ nhất và đang đứng yên Coi va chạm là đàn hồi trực diện Tính vận tốc của hai hòn bi sau va chạm?

Giải

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: '

2 2 ' 1 1 2 2 1







v m v m v



v m ) v v (



+



F

P

Fms

H

Vì va chạm tuyệt đối đàn hồi, theo định luật bảo toàn động năng:

2

v

m1 12

+

2

v

m2 22

=

2

' v

m1 12

+

2

' v

m2 22

1 2 1

1 ( v v ' ) m v '



Lấy (2) chia cho (1) vế với vế: '

2 ' 1





 (3)

Thế (3) vào (1) suy ra:  

2 1

1 2 1 1

m m

v m m ' v





3 v 2

m m

v ) 2

m m (

1 1







= 10 cm/s

1 1

2 1

1 1

3 2 2

m m

mv m

m

v m '







Bài 2: Một viên đạn với khối lượng 20 g được bắn theo phương ngang với vận tốc 200 m/s vào một tấm gỗ nặng 380 g đang đứng yên Biết sau va chạm viên đạn dính chặt vào miếng gỗ

a/ Tính vận tốc của viên đạn và miếng gỗ sau va chạm

b/ Độ biến thiên động năng của hệ trước và sau va chạm

Giải

a Sau va chạm viên đạn dính chặt vào miếng gỗ và cùng chuyển động

 Va chạm mềm Theo định luật bảo toàn động lượng:

m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2).v m1 v1 = (m1 + m2).v Vận tốc của viên đạn và miếng gỗ sau va chạm là:

380 20

20 v

m m

m

1 2 1

1





b Độ biến thiên động năng của hệ trước và sau va chạm:

2

v m 2

v ).

m m ( W ' W W

2 1 1 2 2 1 đ đ



Wđ

2

200 02 , 0 2

10 10 ).

380 20









= - 380 J

Bài 3 Vật khối lượng m1 chuyển động với vận tốc v đến va chạm đàn hồi với một vật đứng yên Sau va chạm, nó chuyển động theo phương hợp với phương chuyển động ban đầu một góc 900 với vận tốc v/2 Tìm khối lượng vật thứ hai

 Công thức liên hệ động năng và động lượng: p2 = 2mK

2 1 2 1 2

4

5 K m 4

p p

 Bảo toàn cơ năng:

K1=K2+K1/4  K2=3K1/4 (2)

 Từ (1) và (2)  m2=5m1/3

Bài 4 Hạt khối lượng m chuyển động với vận tốc v

đến va chạm với một hạt đứng yên khối lượng m/2

và sau va chạm đàn hồi thì bay ra theo phương hợp

với phương chuyển động ban đầu một góc  = 300

(Hình 1.57) Tìm vận tốc chuyển động của hạt thứ

hai?

 Bảo toàn động lượng: '

2

m

mv  mv  u

 Từ hình vẽ suy ra:

 

2

2

' 2 ' os30

2

4

o

mu

u

 

 

 Bảo toàn cơ năng:

 

2

 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

m/2

m m/2



Hình 1 57

mv’

mv



2 2

2

' ' 3 '

3 4

2 '

3 2

v

v u

u





Bài 5: Hai hạt có khối lượng m và 2m, có động lượng p và p/2, chuyển động theo các phương vuông góc với nhau đến va chạm với nhau Sau va chạm, hai hạt trao đổi động lượng cho nhau Tìm cơ năng mất đi do va chạm

 Gọi v là vận tốc vật m trước va chạm  p=mv

 p2=2mv2 = p/2 = mv/2  v2=v/4

 Sau khi va chạm:

o p1’ = p2 mv’=2mv/4  v1’=v/2

o p2’ = p1  2mv2’ = mv  v2’ = v/2

 Động năng trước và sau va chạm:

o Wđt= mv2/2 + mv2/16 = 9mv2/16

o Wđs= mv2/2 + mv2/4 = 3mv2/8

Cơ năng mất: Wđ = 3mv2/16