CHUONG 4 ANH XA TUYEN TINH

CHUONG 4 ANH XA TUYEN TINH tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...

Chương 4

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Định nghĩa Cho V và W là hai không gian vectơ Ánh xạ f : V → W được gọi

là một ánh xạ tuyến tính nếu :

i) f u v( + ) ( ) ( )=f u +f v ,

ii) f ku( ) =kf u( ),

với mọi u, v V∈ và k ∈

Khi W V≡ , ánh xạ tuyến tính f được gọi là một phép biến đổi tuyến tính hay một toán tử tuyến tính trên V Khi W ≡ , ánh xạ tuyến tính f còn được gọi

là một phiếm hàm tuyến tính của V

Ví dụ 1 Cho ánh xạ f : 3 → 2 xác định bởi

( ) ( 1 2 3) ( 1 2 3 1 2 3)

f u = f x , x , x = x −2x +x , x +x +x , với ( ) 3

u = x , x , x ∈ Với u, v ∈ 3, u= (x , x , x , v1 2 3) =(y , y , y1 2 3), và k ∈ bất kỳ, ta có

( ) ( )

x 2x x y 2y y

f u f v

( ) ( 1 2 3) ( 1 2 3) ( )

f ku = kx −2kx +kx =k x −2x +x = kf u

Do đó f là một ánh xạ tuyến tính

1.2 Tính chất

i) Ánh xạ f : V →W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi

f hu kv+ = hf u +kf v , với mọi u, v V∈ ; h, k ∈

ii) Nếu f : V →W là một ánh xạ tuyến tính thì

( )V W

f 0 = 0 và f u( )− = −f u( ), với mọi u V∈

Cho V, W là hai không gian vectơ và f : V → W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó, với B ={e ,e , ,e1 2 n} là một cơ sở của V, mọi vectơ bất kỳ u V∈ được biểu diễn duy nhất dưới dạng

u x e= 1 1+ x e2 2 + x e+ n n , x ∈i , i 1,2, ,n=

Do f là ánh xạ tuyến tính, nên

( ) ( 1 1 2 2 n n) 1 ( )1 2 ( )2 n ( )n

f u =f x e +x e + x e+ = x f e +x f e + x f e+

Vậy f được hoàn toàn xác định bởi các vectơ trong W, f e , ( )1 f e , , ( )2 f e ( )n Hơn nữa, ta có

1.3 Mệnh đề Cho B ={e ,e , ,e1 2 n} là một cơ sở của V và v , v , , v1 2 n là n vectơ trong W Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V →W thỏa

( )i i

f e = v , i 1,n=

Chú ý. Các ánh xạ tuyến tính đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Xuất phát từ định nghĩa, một ánh xạ giữa hai không gian vectơ là

một ánh xạ tuyến tính khi ảnh của tổng hai vectơ là tổng của hai ảnh và ảnh của tích vectơ với một số là tích của ảnh vectơ với số đó Chẳng hạn với V và W là không gian vectơ các hàm khả vi thì phép lấy đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính từ

V đến W do đạo hàm của tổng hai hàm bằng tổng hai đạo hàm và đạo hàm của tích một hàm với một số bằng tích của đạo hàm với số đó Tương tự, với V là không gian vectơ các hàm liên tục trên đoạn a, b⎡⎣ ⎤⎦ và W = thì phép lấy tích phân xác định là một ánh xạ tuyến tính từ V đến W do tích phân của tổng hai hàm bằng tổng hai tích phân và tích phân của một hàm nhân với một số bằng tích phân của hàm nhân với số đó

Tuy nhiên, ta chỉ tập trung khảo sát các không gian vectơ hữu hạn chiều, cụ thể là các không gian n Khi đó, bằng cách áp dụng mệnh đề 1.3, với B là cơ sở

chính tắc, một ánh xạ

f :

x , x , , x f x , x , , x

→

là một ánh xạ tuyến tính khi tồn tại n vectơ m

v , v , , v ∈ sao cho

( 1 2 n) 1 1 2 2 n n

f x , x , , x = x v + x v + x v+

Do đó, f x , x , , x là một vectơ trong ( 1 2 n) m mà mỗi thành phần là một biểu thức bậc nhất thuần nhất theo x , x , , x1 2 m, nghĩa là biểu thức có dạng

a x +a x + a x+ , a ∈i

Ví dụ 2 Ánh xạ f : 2 → 3, xác định bởi f x , x( 1 2) (= 4x1 +3x , 2x , x2 − 2 1 −x2)

là một ánh xạ tuyến tính vì các thành phần của f x , x là ( 1 2) 4x1 +3x , 2x2 − 2 và

x −x đều là các biểu thức bậc nhất thuần nhất theo x1, x2, x3

2 ẢNH VÀ NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

2.1 Định nghĩa Cho f : V →W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian

vectơ

Kerf =f− 0 = u V f u∈ =0 được gọi là nhân của f

ii) Im f =f V( ) ={f u u V( ) ∈ }={v W u V, f u∈ ∃ ∈ ( ) = v} được gọi là ảnh của f

2.2 Định lý Cho f : V →W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ ,

E là một không gian con của V, F là một không gian con của W Ta có

i) f E( ) ={f u u E( ) ∈ } ={v W u E, f u∈ ∃ ∈ ( ) = v} là một không gian con của W; ii) f− 1( )F ={u V f u∈ ( )∈F} là một không gian con của V

Chứng minh

i) Với mọi v , v1 2 ∈f E( ), tồn tại u , u1 2 ∈E sao cho v1 = f u , v( )1 2 = f u( )2 Do đó với mọi k ∈ , ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

kv kf u f ku

Vì u , u1 2∈E và E là một không gian con của V nên u1 +u2, ku1∈E Do đó

v +v và kv1∈f E( ) Vậy f E là không gian con của ( ) W

ii) Chứng minh tương tự

2.3 Hệ quả Cho f : V →W là một ánh xạ tuyến tính Ta có

i) Ker f ≤ V,

ii) Im f ≤ W,

iii) dim Im f( )+dim Ker f( )=dim V

Chú ý rằng khi f : n → m là một ánh xạ tuyến tính thì Ker f chính là không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và Im f là không gian các vectơ hệ số tự do sao cho một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm (xem phần 3.3 và 3.4, chương 3)

Ví dụ 3 Xét ánh xạ tuyến tính f : 3 → 2 xác định bởi

( 1 2 3) ( 1 2 3 1 2 3)

f x , x , x = x −2x +x ,2x +x −x

Ta có

v= x , x , x ∈Kerf ⇔ f x , x , x =0

1 2 3

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

Nói khác đi v Kerf∈ nếu và chỉ nếu v là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Do hệ này có nghiệm tổng quát dạng (1 3 )

5m, m, m , với 5

m ∈ , ta suy ra

Kerf = m, m, m m∈ = , ,1 = 1,3,5

Vì một cơ sở của Ker f là { (1,3,5 , ta suy ra ) } dim Ker f( ) =1 Ngoài ra,

( )

v = a, b ∈Im f ⇔ tồn tại u =(x , x , x1 2 3) sao cho f (u) v= ,

nghĩa là nếu và chỉ nếu hệ phương trình

⎪

⎨

⎪⎩

có nghiệm Ta suy ra

Im f = x −2x +x ,2x + x −x x ∈

( ) ( ) ( )

1,2 , 2,1 , 1, 1

Dùng giải thuật tìm hạng hệ vectơ

( ) ( ) ( )

3 5

3 : 3 2

2 : 2 2 1

3 : 3 1

= +

= +

= −

,

ta được Im f = ( ) ( )1,2 , 0,5 Do đó dim Im f( ) =2 và

dim Im f +dim Ker f = =3 dim

3 MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

3.1 Định nghĩa Cho V và W là hai không gian vectơ và f : V → W là một ánh xạ tuyến tính Gọi B ={e ,e , ,e1 2 n}, C ={f , f , , f1 2 m} lần lượt là cơ sở của V và

W Giả sử

( )

11 21 1

m1

a a

f e

a

12 22 2

m2

a a

f e

a

1n 2n n

mn

a a

f e

a

C

thì

( ) ( ) ( )

được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với các cơ sở B và C

3.2 Định lý Cho f : V →W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ,

B là một cơ sở của V và C là một cơ sở của W Khi đó, với mọi v V∈ , ta có

( )

⎡ ⎤ = ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦

⎣ ⎦C B,C B

Ví dụ 4 Cho f : 3 → 2 xác định bởi

( 1 2 3) ( 1 2 3 2 3)

f x , x , x = −x +5x −3x , x− +x Lấy B ={e ,e ,e1 2 3} và C ={f , f1 2} là các cơ sở chính tắc của 3 và 2 Ta có

( ) (1 ) ( ) (2 ) ( ) (3 )

f e = −1,0 , f e = 5, 1 , f e− = −3,1 hay

⎣ ⎦C ⎝ ⎠ ⎣ ⎦C ⎝− ⎠ ⎣ ⎦C ⎝ ⎠

Do đó, ma trận của f đối với các cơ sở B,C là

f

Khi đó, với v =(x , x , x1 2 3), ta có

1 2 3

x

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟

⎣ ⎦

⎜ ⎟

⎝ ⎠

f v

và do đó

3

x

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦

⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Nhắc lại rằng, nếu f : V → V là một ánh xạ tuyến tính thì ta nói f là một toán tử tuyến tính trên V Khi đó, với một cơ sở B của V, ma trận

, f

⎡ ⎤

B B được

gọi là ma trận của toán tử tuyến tính f đối với cơ sở B , ký hiệu ⎡ ⎤f

B

Ví dụ 5 Xét toán tử tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi

( 1 2 3) ( 1 2 3 1 2 3 1 2)

f x , x , x = 3x +x −x ,2x +2x −x ,2x +2x i) Với B ={e ,e ,e1 2 3} là cơ sở chính tắc của 3, ta có

( ) (1 ) ( ) (2 ) ( ) (3 )

f e = 3,2,2 , f e = 1,2,2 , f e = − −1, 1,0 và ta được

2 2 0

ii) Lấy B′ ={e ,e ,e1′ ′ ′2 3} là một cơ sở khác của 3, trong đó

e′ = 1,1,0 , e′ = 1,0,1 , e′ = 0,1,1 ,

ta có

⎡ ⎤ =

Do

( ) (1 ) ( ) 1 1 2 2 3 3

f e′ = f 1,1,0 = 4,4,4 = x e′ +x e′ +x e′

⎪

⎩

1 2 3

⎪

⎩

ta được

( )1

2

2

′

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ′ ⎤ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tương tự, ta có

( )

1 2 3

1 2

f e

′

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ′ ⎤ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 1

3 2

f e

′

⎛− ⎞

Vậy

3 1

2

2

′

Nhận xét : Nếu f : V → V là một toán tử tuyến tính thì ứng với mỗi cơ sở B

của V, ta có một ma trận của f đối với cơ sở B Khi đổi cơ sở B thành cơ sở ′ B

khác thì ma trận của f cũng thay đổi

Hơn nữa, bằng cách dùng ma trận đổi cơ sở, ta nhận được sự liên hệ giữa hai

ma trận của một toán tử tuyến tính đối với các cơ sở khác nhau Cụ thể, với hai cơ

sở B và ′ B của không gian vectơ V và với mọi v V∈ , ta có

( )

⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

Với ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B , ta có

f v P → ′ f v

′

⎣ ⎦B B B ⎣ ⎦B và ⎡ ⎤⎣ ⎦v =PB B→ ′⎡ ⎤⎣ ⎦v ′

Từ đó, ta được

( ) ( ) 1

′

với mọi v V∈

3.3 Định lý Cho f : V → V là một toán tử tuyến tính và B , ′ B là hai cơ sở của

V Ta có

( ) 1

f ′ P → ′ − f P → ′

⎣ ⎦B B B ⎣ ⎦B B B

Ví dụ 6 Với cơ sở B và ′ B trong ví dụ 5, ta có các ma trận đổi cơ sở

1 1 0

0 1 1

′

→

và

1

2

−

Từ đó suy ra

1

1

2

4 1 3

−

Chú ý. Định lý 3.3 cho phép ta tìm ma trận của f đối với cơ sở mới, ⎡ ⎤f ′

B , khi biết ma trận của f đối với cơ sở cũ, ⎡ ⎤f

B, và ma trận đổi cơ sở PB B→ ′ Đặc biệt, khi n

V = , ta thường chọn B là cơ sở chính tắc Từ đó, dễ dàng thành lập được ma

trận ⎡ ⎤f

B, ma trận đổi cơ sở từ B sang ′ B , và suy ra ma trận ⎡ ⎤f ′

B

Ví dụ 7 Xét toán tử tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi

( 1 2 3) ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3)

f x , x , x = 4x +2x −x , 6x− −4x +3x , 6x− −6x +5x

Với B là cơ sở chính tắc và B′={e1′ =(1,0,2 ,e) ′2 =(0,1,2 ,e) ′3 =(1, 3, 3− − ) } là một cở sở khác của 3, ta có

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦ = −⎜ − ⎟

B

và

1 0 1

′

→

−

Vậy

1

2 0 0

0 0 1

−

′

⎣ ⎦

Nhận xét. Ma trận biểu diễn của f trong cơ sở ′B là ma trận chéo,

( )1 ( )2 ( )3

⎡ ′ ⎤ =⎜ ⎟ ⎡ ′ ⎤ =⎜ ⎟ ⎡ ′ ⎤ =⎜ ⎟

nghĩa là

( )1 1 ( )2 2 ( )3 3

f e′ = 2e , f e′ ′ =2e , f e′ ′ =e′ Từ nhận xét nêu trên, ta thấy rằng nếu ma trận của toán tử tuyến tính f đối với một cơ sở B ={e ,e , ,e1 2 n} là một ma trận chéo,

1 2

n

0 0

f

0 0

λ

⎡ ⎤ =

thì với mọi vectơ v thuộc cơ sở đó, tồn tại hằng số λ ∈ sao cho f v( )= λv

4 VECTƠ RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG

4.1 Định nghĩa Cho toán tử tuyến tính f : V → V Một vectơ v V∈ , v ≠ 0, được

gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại λ ∈ sao cho f v( )= λv Khi đó, λ được

gọi là trị riêng tương ứng với vectơ riêng v

Tập hợp Vλ tất cả các vectơ riêng tương ứng với cùng một trị riêng λ, thêm

vectơ không,

( )

Vλ = v V f v∈ = λv

tạo thành một không gian vectơ con, gọi là một không gian riêng của f

4.2 Giải thuật tìm vectơ riêng và trị riêng

Để tìm vectơ riêng cũng như trị riêng của một toán tử tuyến tính f : V → V,

ta chú ý rằng với một cơ sở B của không gian vectơ hữu hạn chiều V, nếu v ≠ 0 là

một vectơ riêng của f tương ứng với trị riêng λ, nghĩa là f v( )= λv, thì ta có

( )

⎡ ⎤ = λ⎡ ⎤⎣ ⎦

⎣ ⎦B B và do đó

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = λ⎡ ⎤

Đẳng thức (4.1) cho ta một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo các ẩn

là tọa độ của v đối với B và theo tham số λ Từ đó, ta có thể xác định được các trị

riêng cũng như các không gian riêng của toán tử tuyến tính f

Cụ thể, với toán tử tuyến tính f trên n, A =( )aij ∈Mn là ma trận của f đối

với cơ sở chính tắc của n, đẳng thức (4.1) được viết lại thành

0

, (4.2)

v = x , x , , x ∈ \ 0

Khi đó nếu λ ∈ là một trị riêng của f thì v =(x , x , , x1 2 n) chính là một

nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (4.2), có ma

trận các hệ số chính là A − λI, trong đó I là ma trận đơn vị cấp n Từ đó suy ra

Đẳng thức (4.3) xác định một phương trình bậc n theo λ, gọi là phương trình

đặc trưng, và det A( − λI) được gọi là đa thức đặc trưng của A Giải phương trình

đặc trưng, ta tìm được các trị riêng λ của ma trận A Ứng với mỗi giá trị riêng λ,

ta được các không gian riêng tương ứng

( )

Vλ = v∈ f v = λv = v∈ A − λI v⎡ ⎤⎣ ⎦ =

B 0 Chú ý rằng mỗi Vλ là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất có ma trận các hệ số là A − λI mà ta có thể tìm được một cơ sở cho nó

(xem phần 3.3, chương 3)

Ví dụ 8 Cho f là một toán tử tuyến tính trên 3 với ma trận trong cơ sở chính tắc là

Tìm các trị riêng và vectơ riêng của f

Giải phương trình đặc trưng

( )2

⇔ −λ λ − =

ta được hai trị riêng λ =0 và λ =3

∗ Ứng với trị riêng λ = 0, ta giải hệ phương trình (A 0I v− )⎡ ⎤⎣ ⎦ = 0

B

A v⎡ ⎤ 0, v x , x , x

Ta nhận được hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và giải chúng bằng phương pháp Gauss

( ) ( ) ( )

3 : 3 1

= +

= −

∼

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3

1 : 1

3 : 3 2

2 : 2

=−

= +

=

ta được hệ phương trình tương đương

⎪

⎨

⎪⎩

Chọn x , x1 2 làm ẩn cơ sở, x3 trở thành ẩn tự do Đặt x3 = m∈ , ta có hệ

2

⎪

⎨

=

⎪⎩

Vậy nghiệm của hệ là (m, m, m , m ∈ Do đó các vectơ riêng ứng với trị )

riêng λ =0 là (m, m, m , m 0) ≠ Suy ra không gian riêng ứng với λ = 0 là

V = m, m, m m∈ = 1,1,1

Hệ gồm một vectơ (1,1,1 là độc lập tuyến tính, nên nó là một cơ sở của ) V0 và 0

dim V =1

∗ Tương tự, ứng với trị riêng λ = 3, ta giải hệ (A 3.I v− )⎡ ⎤⎣ ⎦B =0, với

v = x , x , x ∈ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11

= −

= −

Ta được hệ phương trình tương đương : {−x1 −x2 −x3 = 0

Chọn x1 làm ẩn cơ sở, x , x2 3 trở thành ẩn tự do Đặt x2 = m, x3 = ∈n Ta được nghiệm của hệ là (− −m n, m,n) Do đó các vectơ riêng ứng với trị riêng λ =3

là (− −m n, m,n), m,n 0≠ Không gian riêng ứng với λ =3 là

3

V = − −m n, m,n m∈ = −1,1,0 , 1,0,1−

Do hệ gồm các vectơ (−1,1,0 , 1,0,1) (− ) là độc lập tuyến tính, nên nó là một cơ sở của V3 và dim V3 =2

5 CHÉO HÓA MA TRẬN

5.1 Định nghĩa Cho A,B M∈ n Ta nói A và B đồng dạng khi tồn tại một ma

trận khả nghịch P sao cho B P AP= − 1

Chẳng hạn, Định lý 3.3 cho thấy hai ma trận của một toán tử tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau là hai ma trận đồng dạng

Đặc biệt, nếu B là ma trận chéo, ta nói A là ma trận chéo hóa được và P được gọi là ma trận chéo hóa A

5.2 Chéo hóa ma trận

Cho A M∈ n là một ma trận vuông cấp n Ta có thể coi A chính là ma trận của một toán tử tuyến tính f : n → n đối với cơ sở chính tắc của n Nếu ma trận A chéo hóa được, nghĩa là tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho P AP−1

là một ma trận chéo, thì P chính là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc B qua

một cơ sở ′B nào đó của n mà trong cơ sở này ma trận của f là ma trận chéo Từ nhận xét ở cuối phần 3, ta suy ra rằng mọi vectơ của cơ sở ′B cần tìm đều

là các vectơ riêng của f Do đó, ma trận A chéo hóa được hay không tùy thuộc vào sự tồn tại một cơ sở của n gồm các vectơ riêng của f Hơn nữa, chú ý rằng nếu vi,

i 1,2, , m= , là m vectơ riêng tương ứng với các trị riêng λi khác nhau từng đôi một, nghĩa là

( )i i i

f v = λ v , i 1,2, , m= , với λ ≠ λi j khi i ≠ j, thì hệ các vectơ {v , v , , v1 2 m} độc lập tuyến tính Do đó, ta có kết quả sau

5.3 Định lý Cho A M∈ n, λ λ1, , ,2 λr là các nghiệm khác nhau của phương trình đặc trưng det A( − λ =I) 0 và dim Vi =ki, i 1, r= Khi đó, các điều sau đây là tương

đương

i) A chéo hóa được

ii) k1 +k2 + k+ r =n

iii) Nếu B là một cơ sở của i

i

Vλ , i 1, r= thì r i

i 1 =

′ = ∪

B B là một cơ sở của n

Khi đó, với B′ ={v , v , , v1 2 n} là cơ sở của nnhận được từ iii), và với ma trận đổi cơ sở P P= B B→ ′, P AP− 1 trở thành ma trận chéo với các số hạng trên đường chéo gồm toàn các giá trị riêng

5.4 Giải thuật chéo hóa ma trận A

Bước 1 Giải phương trình đặc trưng det A( − λ =I) 0 để tìm các trị riêng λ

Bước 2 Ứng với mỗi giá trị riêng λ, tìm một cơ sở cho không gian riêng Vλ

Bước 3 Xét hệ ′ B tất cả các vectơ riêng tạo thành cơ sở cho các không gian

riêng nhận được ở bước 2

∗ Nếu số phần tử của ′B bằng n , nghĩa là dim Vλ n

λ

=

∑ thì A chéo hóa được

Ma trận P chéo hóa A chính là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc B qua ′ B

∗ Nếu số phần tử của ′B nhỏ hơn n , nghĩa là dim Vλ n

λ

<

chéo hóa được

Ví dụ 9 Chéo hóa ma trận sau, nếu có,

Giải phương trình det A( − λ =I) 0

1 2

1 2

⎡λ =

⇔ ⎢

λ =

⎢⎣

ta được hai trị riêng λ =1 1 và λ =2 2